Bevezetés a Számításelméletbe 1 (BMEVISZAA00) - BME

Tantárgy neve: 
Bevezetés a Számításelméletbe 1
Tárgykód: 
BMEVISZAA00
A tematika szavaira kattintva megtudhatod, hogy az adott témakört pontosan hol találod a Matekingen:

Célja: A műszaki informatika tanulmányokhoz szükséges és a mérnöki alapműveltséghez tartozó egyes alapvető matematikai ismeretek elsajátítása, azok szemléletmódjának kialakítása.

Tematika:

1) Térbeli koordinátageometria: vektorok a térben, koordinátarendszer, skaláris szorzat. A sík egyenlete. Az egyenes (paraméteres és kanonikus egyenletrendszere). Rn fogalma, műveletek oszlopvektorokkal.

2) Rn alterének fogalma, műveleti zártság. Lineáris kombináció, generátorrendszer és generált altér fogalma, az utóbbi altér volta. Lineáris függetlenség fogalma, a kétféle definíció ekvivalenciája.

3) Reláció az alterek lineárisan független rendszereinek, illetve generátorrendszereinek elemszáma között. Bázis és dimenzió fogalma, a dimenzió egyértelműsége. Bázisban való felírás egyértelműsége.

4) Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss-eliminációval. Elemi sorekvivalens lépés, lépcsős alak és redukált lépcsős alak fogalma. Reláció az egyenletek és az ismeretlenek száma között egyértelmű megoldhatóság esetén.

5) Determináns definíciója. Permutációk inverziószáma. A determináns alaptulajdonságai. Determináns kiszámítása Gauss-eliminációval. (n x n)-es lineáris egyenletrendszer egyértelmű megoldhatóságának jellemzése a determinánssal. A kifejtési tétel.

6) Térvektorok vektoriális- és vegyesszorzatának fogalma, a vegyesszorzat kapcsolata a determinánssal. Műveletek mátrixok között, egységmátrix, transzponált mátrix. A determinánsok szorzástétele. Lineáris egyenletrendszerek Ax=b alakban. Kapcsolat a négyzetes mátrix oszlopainak/sorainak lineáris függetlensége, illetve a determináns között.

7) Az inverz mátrix fogalma, az inverz létezésének szükséges és elégséges feltétele. Az inverz kiszámítása. Mátrix rangjának fogalma, a háromféle rangfogalom egyenlősége, a rang kiszámítása.

8) Lineáris leképezés fogalma, leképezés linearitásának szükséges és elégséges feltétele. Lineáris leképezések kompozíciója, addíciós tételek a sin és cos függvényekre. Lineáris leképezés magtere, képtere, dimenziótétel.

9) Bázistranszformáció, lineáris transzformáció mátrixa adott B bázis szerint, annak kiszámítása. Sajátérték és sajátvektor fogalma, a sajátértékek kiszámítása, a karakterisztikus polinom fogalma.

10) A számelmélet alapjai: oszthatóság, prímszám, a számelmélet alaptétele, a prímek számossága, hézag a szomszédos prímek között, a nagy prímszámtétel. Kongruencia fogalma, alapműveletek kongruenciákkal. Lineáris kongruenciák megoldhatósága.

11) Euklideszi algoritmus a legnagyobb közös osztó kiszámítására, illetve lineáris kongruenciák megoldására. Kétváltozós, lineáris, diofantikus egyenletek, szimultán kongruenciarendszerek megoldása. Euler-Fermat tétel, kis Fermat-tétel.

12) Számelméleti algoritmusok: kapcsolat az input mérete és a bemenő adatok logaritmusa között, alapműveletek, hatványozás modulo m, prímtesztelés. Nyilvános kulcsú titkosírás, RSA.

13) Végtelen halmazok számossága: egyenlő és kisebb-vagy-egyenlő számosságú halmaz fogalma. Megszámlálhatóan végtelen és kontinuum számosságú halmaz fogalma. Az N, Z, Q és R számhalmazok számossága.

14) Ismétlés, összefoglalás, a tanult anyagrészek rendszerezett áttekintése. A szóbeli vizsgára vonatkozó aktuális vizsgatételsor és az egyes vizsgatételekkel kapcsolatos részletes elvárások ismertetése.

Legutóbb frissítve: 2017. február 27.
Visszajelzés