Valszám és stat alapok epizód tartalma:

Különbségfelbontás, hányadosfelbontás, főátlagok különbsége, részhatás különbség, összetételhatás különbség, főátlagindex, részhatás index, összetételhatás index.

A képsor tartalma

STANDARDIZÁLÁS

Különbségfelbontás

A standardizálást egy meglehetősen furcsa statisztikai probléma megoldására találták ki.

Nézzünk meg erre egy példát, mondjuk Németország és Törökország egy évre vonatkozó halálozási adataival.

Ha a sajnálatosan elhalálozottak számát elosztjuk a lakosok számával, megkapjuk az úgynevezett halálozási arányszámot, ami azt adja meg, hogy egy adott évben a lakosság hányad részének esedékes távozni az örök vadászmezőkre. Ezt az arányt ezerrel beszorozva kapjuk a halálozás ezrelékben kifejezett értékét.

Az egyes korcsoportokra vonatkozó halálozási adatok szemléletesen azt jelentik, hogy az adott korcsoportban évente ezer emberből hányan haláloznak el. Az oszlop legalsó sora a teljes lakosság halálozási mutatója.

Németország (0)

Törökország (1)

ÉLETKOR

HALÁLOZÁS

(fő/év)

NÉPESSÉG

(%)

HALÁLOZÁSI

ARÁNYSZÁM

(‰)

HALÁLOZÁS

(millió fő)

NÉPESSÉG

(%)

HALÁLOZÁSI

ARÁNYSZÁM

(‰)

0-14

16 605

13,5

1,5

52 500

26,9

2,5

15-34

41 000

25

2

122 500

45

3,5

35-64

102 090

41,5

3

68 000

21,9

4

65-

738 000

20

45

240 000

6,2

50

összesen

897 695

100

10,9

435 750

100

6,2

Ami első ránézésre meglehetősen furcsának tűnik, hogy ez a halálozási mutató Németországban 10,9 ami sokkal rosszabb, mint Törökországban, ahol csak 6,2.

Vagyis Törökország halálozási arányszáma lényegesen jobb, mint a németeké. Vajon mi lehet ennek az oka?

A helyzet még ennél is furcsább, ha korcsoportonként hasonlítjuk össze a halálozási adatokat, ott ugyanis mindenhol a németek a jobbak.

A 65 év felettiek halálozási mutatója például a németeknél ezer emberből csak 45, míg a törököknél 50. De hasonlóan nagy eltérések mutatkoznak a többi korcsoportban is. A németek halálozási mutatója tehát minden egyes korcsoportban messze jobb, mint a törököké, csak valahogy összességében mégis rosszabb.

A kérdés tehát az, hogy ha a német halálozási mutatók minden egyes korcsoportban jobbak a török mutatóknál, hogyan fordulhat elő, hogy a teljes lakosság halálozási aránya mégis jóval magasabb Németországban?

Nos ennek a tisztázására való a standardizálás módszere.

Németország (0)

Törökország (1)

ÉLETKOR

NÉPESSÉG

(%)

HALÁLOZÁSI

ARÁNYSZÁM

(‰)

NÉPESSÉG

(%)

HALÁLOZÁSI

ARÁNYSZÁM

(‰)

0-14

13,5

1,5

26,9

2,5

15-34

25

2

45

3,5

35-64

41,5

3

21,9

4

65-

20

45

6,2

50

összesen

100

10,9

100

6,2

A népességi adatokat összehasonlítva látszik, hogy a német lakosság túlnyomó része öreg, márpedig az ember halandó, tehát legyenek bármilyen jók a kórházak, vagy az életkörülmények, a 65 éven felüliek halálozási aránya bizony nagy, és ha egy adott országban sok a 65 év feletti, akkor az az egész ország halálozási mutatóját lerontja.

Ennek a számszerűsítésére vezetjük be a standardizálás módszerét. Az eljárás lényege, hogy a teljes népességre vonatkozó halálozási adatokat három szinten hasonlítjuk össze.

Az első szint a tényleges adatok összehasonlítása.

=10,9–6,2=4,7

A németek mi tűrés tagadás 4,7-el halandóbbak a törököknél, ezek a könyörtelen tények. A további vizsgálat ennek a magyarázatáról szól.

A második szint lényege, hogy a halálozási adatok összehasonlításánál kiválasztjuk valamelyik ország népességbeli összetételét és mindkét ország halálozási adatait ezzel az összetétellel számoljuk. Ezt az összetételt tekintjük standardnek. Legyen most a standard Németország, de lehetne a standard Törökország is, ha a feladatban erre nincs határozott utalás ezt mi döntjük el, pl. dobjunk föl egy érmét

Most tehát a németeket vesszük standardnek. Ekkor a német halálozás kiszámolásánál a német korcsoportonkénti halálozási adatokat a német népesség összetételével súlyozzuk ez pont a valós értéket adja:

német halál német darab

A török halálozás kiszámolásánál pedig a török korcsoportonkénti halálozási adatokat szintén a német népesség összetételével súlyozzuk:

török halál német darab

A török halálozási adatokra kapott új eredmény úgy értendő, hogy ha Törökországban ugyanolyan volna a lakosság összetétele, mint Németországban, akkor a jelenlegi életkörülményeik 12,87 ezrelékes halálozási arányt eredményeznének, ami már határozottan rosszabb, mint a német. Az így kapott különbséget nevezzük részhatás-különbségnek és -vel jelöljük.

A részhatás-különbség azt mutatja meg, hogy azonos összetétel mellett mekkorák a részhatásokból – most a két ország halálozási adatai – adódó különbségek.

A harmadik szint kiszámolásánál pont fordítva, nem a részhatások, hanem az úgynevezett összetételhatások különbségét vizsgáljuk. Ezúttal a halálozási arányt vesszük standardnek, méghozzá a másik ország, vagyis Törökország korcsoportonkénti halálozási arányát, és így számoljuk ki mindkét ország teljes népességre vonatkozó halálozási mutatóját.

A németeknél tehát a német lakossági adatokat súlyozzuk a török halálozási adatokkal:

török halál német darab

A törököknél pedig a török lakossági adatokat súlyozzuk szintén a török halálozási adatokkal, ami pont a valós értéket adja

török halál török darab

Az összetételhatás-különbség tehát

A kapott eredmény azt mondja meg, hogy ha mindkét országban ugyanolyan volna részhatás, vagyis a kórházak állapota, életkörülmények meg ilyenek, akkor a német halandóság 6,67-el nagyobb volna, mint a török.

Mindezeket összefoglalva a következőket állapíthatjuk meg.

A standardizálás során kapott három érték:

A három értékre, -ra -re és -re a kiszámolási módjukból adódóan a

összefüggés áll fenn, ami arra jó, hogy nem kell mindegyiket kiszámolni. Bármelyik kettőből már megvan a harmadik.

A három érték szemléletes jelentése a következő:

Ami azt jelenti, hogy a németek 1000 emberből 4,7-el halandóbbak a törököknél.

Ez azt jelenti, hogy ha a német lakossági összetételt vesszük standardnek, vagyis ha a németek átköltöznek Törökországba, az ott tapasztalt kórházi körülmények következtében 1,97-el válnak halandóbbá, mint odahaza.

Ez pedig azt jelenti, hogy a török részhatást vesszük standardnek, vagyis ha mindkét országban a török licensz alapján működne az egészségügy, akkor ennek hatására a németek ezer emberből 6,67-el mutatkoznának halandóbbnak, török társaiknál.

Jegyezzük meg, hogy -nél mindig a másikat kell standardnek venni, mint -nél, méghozzá minden szempontból, vagyis a másik országot és a másik hatást.

-nél a lakosság összetétele(összetételhatás) a standard és a németeké

-nél a lakosság halálozása(részhatás) a standard és a törököké

Most kicsit formalizáljuk a standardizálás módszerét, hogy ezzel megkönnyítsük más, hasonló problémákra való átültetését. A táblázatunk ugyanaz, de a népesség összetételét nem százalékban, hanem darabban adjuk meg, a halálozási arányszámot pedig nem ezrelékben, hanem meghaltak/népesség formában.

Az egyes korcsoportokban elhalálozottak számát jelöljük a két országban

-al illetve -el a az egyes korcsoportok népességét pedig -al illetve -el.

A korcsoportonkénti halálozási arányok ezek hányadosa, meghaltak/népesség.

Ezeket az arányokat részátlagoknak nevezzük:

illetve

A teljes népességre vonatkozó halálozási arányt úgy kapjuk, ha összeadjuk hányan haláloztak el az egyes korcsoportokban és ezt elosztjuk a teljes népességgel. Ezeket az arányokat főátlagoknak nevezzük:

illetve

Németország

Törökország

ÉLETKOR

HALÁLOZÁS

A0

NÉPESSÉG

B0

HALÁLOZÁSI

ARÁNYSZÁM

V0=A0/B0

HALÁLOZÁS

A1

NÉPESSÉG

B1

HALÁLOZÁSI

ARÁNYSZÁM

V1=A1/B1

0-4

0,016605

11,07

0,0015

0,0525

21

0,0025

5-29

0,041

20,5

0,002

0,1225

35

0,0035

30-59

0,10209

34,03

0,003

0,068

17

0,004

60-

0,738

16,4

0,045

0,24

4,8

0,05

összesen

0,897695

82

0,0109

0,43575

77,8

0,0062

Az eredményeket összefoglalva, a német halálozási arány -el rosszabb a töröknél. A kedvezőtlen népesség összetételi hatások következtében ez az eltérés még nagyobb lenne, de a jó részhatások, vagyis a kedvező német korcsoportonkénti halálozási adatok ezt -el csökkentik.

Az összehasonlítást fordítva is elvégezhetjük, amikor a török halálozási adatokhoz hasonlítjuk a német adatokat. Ekkor

Most a török lakossági összetétellel súlyozzuk mindkét ország halálozási adatait (a török a standard)

Itt viszont a német halálozási adatokkal számolunk (német standard)

A török halálozási adatok tehát 0,0047-el jobbak a németnél, amit 0,0015-el ugyan rontanak a kedvezőtlen török részhatások, vagyis a korcsoportonkénti halálozási adatok, de 0,0062-vel javít rajta a török lakossági összetétel.

A különbségfelbontás

EGYIK IZÉ

MÁSIK IZÉ

ÖSSZ:

FŐÁTLAGOK KÜLÖNBSÉGE

RÉSZHATÁS KÜLÖNBSÉG

(részhatás=V ilyenkor az összetételhatás=B a standard)

ÖSSZETÉTELHATÁS KÜLÖNBSÉG

(összetételhatás=B ilyenkor a részhatás=V a standard, de mindig a másik, ha az előbb volt akkor most ha pedig volt, most )

Hányadosfelbontás

A standardizálást nem csak területi, hanem időbeni összehasonlításra is alkalmazzuk. Az alábbi táblázat egy elektronikai cég DVD-lejátszókat gyártó üzemeinek termelési adatait tartalmazza.

Termelés

helye

2012

2013

A termelés

összköltsége

(USD, millió)

Előállított

darabszám

(millió)

Egy

termékre

eső költség

(USD)

A termelés

összköltsége

(USD, millió)

Előállított

darabszám

(millió)

Egy

termékre

eső költség

(USD)

Ausztria

68

1

68

56

0,8

70

India

273

6,5

42

423

9,4

45

Kanada

286

4,4

65

204

3

68

Malajzia

285

7,5

38

496

12,4

40

Total

912

19,4

47,01

1 179

25,6

46,05

A táblázat érdekessége, hogy akárcsak a német vs. török esetben, most is van egy látszólagos ellentmondás az adatokban. Az egy termékre eső termelési költség ugyanis egy év alatt minden egyes termelési helyen nőtt, összességében viszont mégis csökkent. A lényeg megértéséhez nem kell persze standardizálás, egyszerűen arról van szó, hogy mindenhol drágult ugyan a termelés, de az olcsóbb helyeken többet kezdtek el gyártani, ami a teljes termelés költségét csökkentette.

Most időben bekövetkezett változás elemzéséről van szó, ezért itt nem különbségeket, hanem hányadosokat képzünk. Minden ugyanúgy megy tehát, mint az előző módszer esetében, csak nem kivonunk, hanem osztunk. Valahogy így:

Területi összehasonlítás

Időbeli összehasonlítás

Termelés

helye

2012

2013

A termelés

összköltsége

(USD, millió)

Előállított

darabszám

(millió)

Egy

termékre

eső költség

(USD)

A termelés

összköltsége

(USD, millió)

Előállított

darabszám

(millió)

Egy

termékre

eső költség

(USD)

Ausztria

68

1

68

56

0,8

70

India

273

6,5

42

423

9,4

45

Kanada

286

4,4

65

204

3

68

Malajzia

285

7,5

38

496

12,4

40

Total

912

19,4

47,01

1 179

25,6

46,05

A kapott eredményeket összefoglalva megállapítható, hogy egy termék gyártási költsége 2012-ről 2013-ra 2,1%-al csökkent. A csökkenés két hatás alapján következett be. Egyrészt a melósok már megint béremelést követeltek, meg a nyersanyag is drágult, ami miatt a darabonkénti előállítási költség 5,7%-al emelkedett (ez az I’ vagyis a részhatás index) másrészt a leleményes cégvezetés a termelés jelentős részét szervezte át a drága elkényelmesedett nyugatiaktól a szorgos kizsigerelhető keletiekhez, ami jelentős 7,4%-os költségcsökkenést eredményezett (ez az I” vagyis az összetételhatás index).

A hányadosfelbontás

EGYIK ÉV

MÁSIK ÉV

ÖSSZ:

FŐÁTLAG INDEX

RÉSZHATÁS INDEX

(részhatás=V ilyenkor az összetételhatás=B a standard és általában )

ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX

(összetételhatás=B ilyenkor a részhatás=V a standard, de mindig a másik, ezért )

4.1. Egy gyár dolgozóinak bérei a következőképpen alakultak 2010-ben és 2011-ben. Vizsgáljuk meg az átlagos bérváltozást standardizálással.

Gyár

dolgozói

Dolgozók

átlagbére

(EUR)

Létszám

összetétele

2010

2011

2010

2011

vezetők

5000

5200

4

0,75%

szellemi

2000

2300

36

8%

fizikai

1100

1250

350

91,25%

Össz.

Az első észrevétel, hogy a létszám az egyik oszlopban darabban, a másikban meg százalékban van megadva. Nos ez nem jelent problémát. Gondoljunk arra, hogy leépítés volt a cégnél, és a 4 vezetőből megtartották az egyiknek a fejét és a testét, de a lábait már nem, így most 0,75-en vannak. A szellemi dolgozók 8-an, a melósok meg 91,25-en, mert Bélának a másik kezét és lábát is levágta az eszterga. És tessék, így már a 2011-es adatok is darabban értendők.

Érdemes megjegyezni, hogy az összetétel teljesen mindegy, hogy darabban vagy százalékban van megadva, olyannyira, hogy még akár az is lehet, hogy az egyik így, a másik úgy, ez semmilyen zavart nem fog okozni.

Az átlagos bér 2010-ben

Az átlagos bér 2011-ben

A főátlag index

Az átlagos bérnövekedés egy év alatt 11,5%-os volt.

A részhatás index (az 2011-es év létszám összetételét standardnek véve)

ami 13,5%-ot jelent

Az összetételhatás index pedig (ahol a 2010-es bérek a standard)

ami -1,8%-ot jelent

A gyár átlagos bérnövekedése egy év leforgása alatt 11,5% volt. A bérek emeléséből összesen 13,5%-os emelkedés adódott (ez a részhatás index), amit azonban 1,8%-al csökkentett a dolgozói létszám összetételének megváltozása (ez pedig az összetételhatás index)

4.2. Egy cég dolgozóinak a fizetését tartalmazza az alábbi táblázat. Hasonlítsuk össze a férfi és női dolgozók átlagbérének különbségét standardizálással.

Termelés

helye

férfiak

nők

Alkalmazottak

száma

Egy főre jutó

átlagkereset

(USD)

Kifizetett teljes

bérköltség

Egy főre jutó

átlagkereset

(USD)

vezetők

10

5 200

15 000

5 000

középvezetők

50

4 000

24 500

3 500

beosztottak

350

1 200

748 000

1 100

személyzet

25

750

36 000

750

Total

435

823 500

Első lépésként próbáljuk meg egységessé tenni a táblázatot. A nőknél ugyanis az átlagkereset mellett nem az alkalmazottak száma, hanem az összes kifizetett bér látható. Ha pl ez 15.000 és az egy főre jutó átlagkereset 5000, akkor az alkalmazottak száma 15.000/5000=3 db. Hasonlóan fondorlatosan a többit is kiszámoljuk:

Termelés

helye

férfiak

nők

Alkalmazottak

száma

Egy főre jutó

átlagkereset

(USD)

Kifizetett teljes

bérköltség

Alkalmazottak

száma

Egy főre jutó

átlagkereset

(USD)

vezetők

10

5 200

15 000

3

5 000

középvezetők

50

4 000

24 500

7

3 500

beosztottak

350

1 200

748 000

680

1 100

személyzet

25

750

36 000

48

750

Total

435

823 500

738

Végül a férfi és női átlagbéreket is kiszámoljuk. Ezek az úgynevezett főátlagok, amiket úgy kapunk, hogy a cég által a férfiaknak összesen kifizetett bért osztjuk a férfiak számával, aztán ugyanezt megcsináljuk a nőknél is.

Termelés

helye

férfiak

nők

Alkalmazottak

száma

B1

Egy főre jutó

átlagkereset

(USD)

V1

Kifizetett teljes

Bérköltség

A2

Alkalmazottak

Száma

B2

Egy főre jutó

átlagkereset

(USD)

V2=A2/B2

vezetők

10

5 200

15 000

3

5 000

középvezetők

50

4 000

24 500

7

3 500

beosztottak

350

1 200

748 000

680

1 100

személyzet

25

750

36 000

48

750

Total

435

1587,93

823 500

738

1115,85

4.3. Az egyik egyetem két büféjében húsz napon át figyelték a vásárlások értékét.

I. büfé

II. büfé

vásárló

Vásárlók

Száma (fő)

Átlagos

Vásárlás (EUR/fő)

Vásárlók

Száma (fő)

Átlagos

Vásárlás (EUR/fő)

Hallgató

1200

2

1600

1,8

Oktató

400

2,5

600

2,2

Egyéb

400

3

800

2,7

Össz.

2000

3000

Hasonlítsuk össze a két büfében a vásárlások átlagos költségét és az erre ható tényezőket!

4.5. Egy üzem dolgozóinak bérei a következőképpen alakultak 2010-ben és 2011-ben. Vizsgáljuk meg az átlagos bérváltozást standardizálással.

Üzem

dolgozói

Bérek

összetétele

(EUR)

Létszám

összetétele

2010

Havonta kifizetett

összes bér

2011

Átlag

bér

2010

2011

vezetők

50 000

5200

10

5%

szellemi

20 000

2300

10

8%

fizikai

880 000

1250

800

89%

Össz.

950 000

1000

Először a 2010-es béradatokat átalakítjuk. A kifizetett összes bért elosztva a létszámokkal megkapjuk az egyes beosztásokhoz tartozó átlagos béreket.

Üzem

dolgozói

Bérek

összetétele

(EUR)

Létszám

összetétele

2010

Havonta kifizetett

összes bér

2010

Átlag

bér

2011

Átlag

bér

2010

2011

vezetők

450 000

5000

5200

90

5%

szellemi

220 000

2000

2300

110

8%

fizikai

880 000

1100

1250

800

87%

Össz.

1 550 000

1550

1000

Ezek után már a szokásos történet, még egy apróság, hogy a létszám 2010-ben darabban 2011-ben meg százalékban van megadva, de ez nem jelent problémát.

Érdemes megjegyezni, hogy az összetétel teljesen mindegy, hogy darabban vagy százalékban van megadva, olyannyira, hogy még akár az is lehet, hogy az egyik így, a másik úgy, ez semmilyen zavart nem fog okozni.

de ezt már eddig is tudtuk, szóval csak unaloműzésképpen számoltuk ki.

Az átlagos bér 2010-ben 1550 EUR 2011-ben pedig 1531,5 EUR

A főátlag index

Átlagosan tehát -1,2%-al csökkentek a bérek. Mivel minden beosztásban volt béremelés, ez az átlagos bércsökkenés majd az összetétel megváltozásával lesz magyarázható.

A részhatás index (az 2011-es év összetételét standardnek véve)

ami 12%-os béremelkedés

Az összetételhatás index pedig (ahol a 2010-es árak a standard)

ami 12%-os bércsökkenés

Az egy év leforgása alatt bekövetkező 1,2%-os átlagos bércsökkenés két összetevővel magyarázható. Egyrészt a minden beosztást érintő béremelés átlagosan 12%-os bérnövekedést okozott, de a létszám összetételének megváltozása (például a vezetők számának jelentős csökkenése) 12%-os bércsökkenést is eredményezett. A két hatás együttesen érte el az 1,2%-os átlagbér-csökkenést.

4.6. Egy biztosító biztosítási káreseteire vonatkozó adatait tartalmazza az alábbi táblázat 2011-ben illetve a bázis évnek választott 2001-ben. Állapítsuk meg, hogyan változott meg a kifizetések átlagos összege és milyen hatások következtében.

Üzletágak

A kifizetett teljes

összeg megoszlása

2011-ben

Egy biztosítási káresetre

fizetett átlagos összeg (EUR)

2001

2011

Élet- baleset-

betegbiztosítás

30%

800

1000

Lakásbiztosítás

(lakossági)

50%

1200

2000

Ipari ingatlanok

és eszközök

20%

100 000

160 000

Össz.

100%

1100

Azonosítsuk be a szereplőket. Van egyszer egy teljes kifizetés a bázisévben, ez alighanem A1. Aztán a másik két oszlop V0 és V1. Ezeket hasznosíthatjuk a következő módon:

tehát

Ekkor a táblázat

Üzletágak

A kifizetett teljes

összeg megoszlása

2011-ben

Egy biztosítási káresetre

fizetett átlagos összeg (EUR)

2001

2011

Élet- baleset-

betegbiztosítás

30%

800

1000

1,25

Lakásbiztosítás

(lakossági)

50%

1200

2000

1,67

Ipari ingatlanok

és eszközök

20%

100 000

160 000

1,6

Össz.

100%

1100

Számoljuk ki -et, rá alighanem szükség lesz.

Sajnálatosan azonban -eket nem ismerjük.

Vannak viszont remek -ek, akik tökéletesen megfelelnek a célnak, csak nem számtani, hanem harmonikus átlagot számolunk.

A főátlag index tehát

FŐÁTLAG INDEX

RÉSZHATÁS INDEX

ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX

Számoljunk egy részhatás indexet.

Végül egy összetételhatás indexet:

tehát

Amiből

A kifizetések átlagosan 65%-al emelkedtek 2001-ről 2011-re.

Ez az emelkedés 50%-ban a kifizetett összeg megemelkedésével és 9,7 vagyis durván 10%-ban a káresetek arányának megváltozásával magyarázható.

4.8. A következő táblázat egy alpesi városka szállodaárait tartalmazza. Hasonlítsuk össze az átlagos árszint változását standardizálással.

2010

2011

Szálloda

típus

Vendégéjszakák

száma (ezer db)

Ár

(EUR/fő)

Vendégéjszakák

száma (ezer db)

Ár

(EUR/fő)

***

1200

50

1600

52

****

400

70

600

70

*****

400

80

800

84

Össz.

2000

3000

Az átlagos szállodaár 2010-ben 60 EUR 2011-ben pedig 64,1 EUR

A főátlag index

Az átlagos áremelkedés egy év alatt viszonylag magas, 6,8%-os volt.

A részhatás index (az 2011-es év összetételét standardnek véve)

Az összetételhatás index pedig (ahol a 2010-es árak a standard)

Az egy év leforgása alatt bekövetkező 6,8%-os átlagos áremelkedésből 24% a részhatásoknak és -14% az összetételhatásoknak tudható be. Vagyis az árak emeléséből adódóan 24%-os árbevétel növekedés keletkezett, de a vendégösszetétel megváltozása miatt (50%-al nőtt a négycsillagos szállók forgalma, ahol nem történt áremelés) 14%-os csökkenés következett be. Ennek a két hatásnak az eredménye a 6,8%-os átlagos áremelkedés.

4.9. Egy kft háromféle termék előállításával foglalkozik. A termelésre vonatkozó adatok az alábbiak:

Termékek

Összes termelési

költség megoszlása

2011-ben (%)

Önköltség (ezer forint/db)

2010-ben

Változás 2010-ről

2011-re (ezer forintban)

A

10

+1

B

30

20

-2

C

50

25

+5

összesen

22

+2

Elemezzük a termékcsoport átlagos önköltségének változását és az arra ható tényezőket.

Az összes termelési költség megoszlása 2011-ben alighanem és tökmindegy, hogy százalékban vagy dollárban van megadva. Mivel a termelési költség összesen 100%, az A termék költsége 20%.

Az önköltség egy darab termék előállítási költségét jelenti, ez lesz 2010-ben

és 2011-ben pedig . Ezek hányadosa külön-külön termékenként a , az összesen rovatban pedig a , de nem az, aki sütit süt, hanem a főátlagindex.

Termékek

Összes termelési

költség megoszlása

2011-ben (%)

Önköltség (ezer forint/db)

2010-ben

2011-ben

A

20

10

11

1,1

B

30

20

18

0,9

C

50

25

30

1,2

összesen

100

22

24

1,09

Az átlagos önköltség 9%-al emelkedett 2010-ről 2011-re.

Számoljunk ki egy -t vagy egy -t. Lássuk melyikhez vannak adatok. Van egyszer meg aztán van is, tehát

Végül alapján 1,015

A termelés önköltsége átlagosan tehát 9%-al drágult. Ebből 7,3%-os drágulás az egyes termékek előállításának drágulása miatt következett be (részhatás index), míg 1,5%-os drágulás pedig a termelés összetételének a megváltozása miatt (összetételhatás index).

4.10. Egy terméket két üzemben állítanak elő

üzemek

Termelési költség

Termelés

2010-ben

(db)

önköltség

2010-ben

(ezer forint)

Változás

2010=100%

2011-ben

Forint/db

Változás

2010=100%

A-üzem

36 700

124%

800

47 710

104

B-üzem

42 720

87%

960

48 950

110

összesen

Elemezzük az önköltség alakulására ható tényezőket standardizálással

Kezdjük meg az azonosítást. Az első oszlop a teljes termelés költsége a két üzemben, 2010-ben, így ez . A második oszlop jelenlegi állapotában nem hasznos, de végülis miért ne számolnánk ki a 2011-es termelési költségeket:

üzemek

Termelési költség

Termelés

2010-ben

(db)

önköltség

2010-ben

(ezer forint)

2011-ben

(ezer forint)

2011-ben

Forint/db

Változás

2010=1

A-üzem

36 700

45 508

800

47,710

1,04

B-üzem

42 720

37 166

960

48,950

1,10

összesen

79 420

82 674

A következő oszlop aztán az önköltség 2011-ben , de jobban járunk, ha ezt is ezer forintban adjuk meg, végül pedig az utolsó oszlop, ha megszabadulunk a százalékoktól, akkor .

Végül alapján 1,004

A két üzemben együttesen 7%-al nőtt a termelés önköltsége. Ebből 6,6%-ot az egyes üzemek önköltségének emelkedése, 0,4%-ot pedig a termelés összetételének a megváltozása tett ki.

4.11. Egy terméket három különböző üzemben állítanak elő.

üzem

Önköltség

változása

2010=100%

Termelés

költségének

változása

2010=100%

Termelés

költsége

2010

(%)

A

107

107

24

B

105

110

32

C

106

108

44

összesen

102

100

Hogyan változott az előállított termék önköltsége 2010-ről 2011-re?

Elemezze az önköltség változására ható tényezőket.

Az önköltség , ahol A=Termelés költsége B=darab.

üzem

Önköltség

változása

2010=100%

Termelés

költségének

változása

2010=100%

Termelés

költsége

2010

(%)

Termelés

költsége

2011

A

1,07

1,07

24

25,68

B

1,05

1,10

32

35,2

C

1,06

1,08

44

47,52

összesen

1,02

100

108,4

Szükségünk lesz egy oszlopra is, ezt úgy kapjuk, hogy

Az első oszlop az önköltség változását tartalmazza termékenként, az öszesen rovata pedig éppen , tehát

A részhatás index

Az összetételhatás index pedig ekkor alapján

A termelés önköltsége tehát 2010-ről 2011-re 2%-al emelkedett. A termelés költségeinek növekedése 5,9%-os önköltség növekedést eredményezett volna, de az üzemek részarányának változása (a drágább üzemben kevesebbet gyártanak) 3,7%-os önköltség csökkenést okozott.

4.12. Egy városban a síelési szezon három időszakból, előszezonból, főszezonból és utószezonból áll. Elemezzük az egy vendég által átlagosan eltöltött vendégéjszakák számának változását 2010-es szezonról a 2011-es szezonra standardizálással.

szezonok

Vendégéjszakák

számának megoszlása

2011-es szezonban

Egy vendég által átlagosan eltöltött

éjszakák száma

2010-es szezon

2011-es szezon

Főszezon

60%

5

5,1

Előszezon

15%

4,4

4

Utószezon

25%

3,2

3,6

Össz.

100%

4,3

Próbáljuk meg beazonosítani a szereplőket.

A vendégek által átlagosan eltöltött éjszakák száma V0 és V1.

Ha az egy vendég által eltöltött éjszakák számát beszorozzuk a vendégek számával, megkapjuk a vendégéjszakák összes számát. Ezt tartalmazza az első oszlop, igaz nem darabban, hanem százalékban a 2011-es szezonra.

Végül a V0 és V1 oszlopokat hasznosítjuk a következő módon:

tehát

Ekkor a táblázat

szezonok

Vendégéjszakák

Számának megoszlása

2011-es szezonban

Egy vendég által átlagosan eltöltött éjszakák száma

2010-es szezon

2011-es szezon

Főszezon

60%

5

5,1

1,02

Előszezon

15%

4,4

4

0,91

Utószezon

25%

3,2

3,6

1,125

Össz.

100%

4,3

Számoljuk ki -et, rá alighanem szükség lesz.

Sajnálatos módon azonban -eket nem ismerjük.

Vannak viszont helyette remek -ek, akik szintén hasznosíthatóak, csak nem számtani átlagot, hanem harmonikus átlagot kell számolni.

A főátlag index tehát

FŐÁTLAG INDEX

RÉSZHATÁS INDEX

ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX

Ez 3,5%-os növekedés.

Lássuk csak, mit tudnánk ezek után

számolni? és sajnálatos hiánya

miatt csak részhatás indexet tudunk

számolni, mégpedig így:

Ez 2,5%-os növekedés.

Végül számoljunk egy

összetételhatás indexet:

tehát

Amiből vagyis 1%-os növekedés.

A vendégek által eltöltött éjszakák száma tehát 3,5%-al növekedett a 2010-es szezonról a 2011-es szezonra. Ebből 2,5% tulajdonítható annak, hogy a vendégek hosszabb ideig maradnak, 1% pedig annak, hogy nagyobb lett a részaránya a hosszabb ott tartózkodást jelentő szezonoknak.

4.13. Egy légitársaság forgalmi adatait tartalmazza a következő táblázat. Elemezzük az egy járatra eső átlagos utas-szám változást 2011-ről 2012.re.

Desztináció

Utasforgalom

összesen

2012 (%)

Összes utas-forgalom változás 2011=100%

Járatok számának változása 2011=100%

Belföldi

24%

+7%

+5%

Külföldi

76%

+4%

-2%

Össz.

100%

+5%

+1%

Lássuk csak, ki kicsoda.

Az egy járatra eső átlagos utas-szám úgy jön ki, hogy összes utasforgalom osztva a járatok számával. Tehát összes utasforgalom=A és járatok száma=B.

Desztináció

Utasforgalom

összesen

2012 (%)

Összes utas-forgalom változás 2011=100%

Járatok számának változása 2011=100%

Belföldi

24%

+7%

+5%

Külföldi

76%

+4%

-2%

Össz.

100%

+5%

+1%

Az első oszlopban maradhatnak a százalékok, de a másik két oszlopban egyik évről másik évre történő változás szerepel, amit tizedes törtben kell megadnunk.

+7%=1,07 a többiek ugyanígy jönnek ki.

Most pedig lássuk a képleteket.

FŐÁTLAG INDEX

RÉSZHATÁS INDEX

ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX

Rendkívül sajnálatos, hogy egyik képlet

sem tartalmaz olyanokat, hogy

vagy ezeket az adatokat tehát

valahogyan hasznosítani kéne.

Nos ami azt illeti, bizonyos általános iskolai

emléktöredékek alapján

Ami pedig azért jó, mert

Ha a táblázat második és harmadik oszlopát elosztjuk egymással, keletkezik tehát egy oszlop.

Desztináció

Utasforgalom

összesen

2012 (%)

Összes utas-forgalom változás 2011=100%

Járatok számának változása 2011=100%

Belföldi

24%

1,07

1,05

1,02

Külföldi

76%

1,04

0,98

1,061

Össz.

100%

1,05

1,01

1,04

Ez az újonnan keletkezett oszlop rendkívül hasznos. Először is az összesen sorban található 1,04 az összes , tehát éppen a főátlagindex:

vagyis 4%.

Aztán meg ugye itt van ez a képlet:

Ez 5%-os növekedés.

Végül számoljunk egy összetételhatás indexet:

tehát

Amiből vagyis 1%-os csökkenés.

Az egy járatra eső utas-szám tehát 2011-ről 2012-re 4%-al nőtt. Ebből 5% tulajdonítható annak, hogy az átlagos utas-szám járatonként emelkedett, ugyanakkor a külföldi és belföldi járatok részarányának változása miatt 1%-al csökkent (kisebb lett a zsúfoltabb járatok részaránya).

4.14. Az egyik egyetem három campusán az egy tanárra jutó tanulók számát vizsgálták.

campus

Egy tanárra jutó

tanulók száma

2013

Tanárok megoszlása

2014

Egy tanárra jutó

tanulók számának változása

2013=100%

A

25

12%

94 %

B

24

25%

86 %

C

27

63%

96 %

Az egy tanárra jutó tanulók száma a három campuson együttesen 7%-al csökkent.

Elemezzük az egy tanárra jutó tanulók számának változására ható tényezőket.

Azonosítsuk be a szereplőket. Az egy tanárra jutó tanulók számát úgy kapjuk, hogy tanuló/tanár.

Ekkor a táblázat első oszlopa éppen V, méghozzá a második oszlop tanár, tehát B és éppenséggel az utolsó oszlop pedig

campus

Egy tanárra jutó

tanulók száma

2013

Tanárok megoszlása

2014

Egy tanárra jutó

tanulók számának változása

2013=100%

A

25

12%

94 %

B

24

25%

86 %

C

27

63%

96 %

Az egy tanárra jutó tanulók száma együttesen 10%-al csökkent, nos ez éppen

Most pedig lássuk a képleteket.

FŐÁTLAG INDEX

RÉSZHATÁS INDEX

ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX

Egy picit alakítgatunk itt.

így hát

Meg is vagyunk:

Ez 6,5%-os csökkenést jelent.

Végül számoljunk egy összetételhatás indexet:

tehát

Amiből ez további 4%-os csökkenés.

Az egy tanárra eső tanulók száma tehát 2013-ról 2014-re 7%-al csökkent. Ebből 6,5% tulajdonítható annak, hogy az egy tanárra jutó tanulók száma átlagosan mindhárom campuson csökkent és további 4%-os csökkenést okozott a campusok részarányainak megváltozása. (kisebb lett a zsúfoltabb campusok részaránya).

4.15. Egy üzemben háromféle terméket állítanak elő. Elemezzük az egy termékre jutó átlagos előállítási költség változását standardizálással.

termékek

A termelés

összértékének

megoszlása

2011-ben

(EUR)

Az egyes termékek

előállítási költsége

a 2010-es százalékában

A

52%

102%

B

36%

104%

C

12%

105%

Össz.

100%

103%

Beazonosítjuk a szereplőket.

termékek

A termelés

összértékének

megoszlása

2011-ben

(EUR)

Az egyes termékek

előállítási költsége

a 2010-es százalékában

A

52%

102%

B

36%

104%

C

12%

105%

Össz.

100%

103%

Az első oszlop maradhat százalékban, de a második oszlop indexeket tartalmaz ezért azt átírjuk.

termékek

A termelés

összértékének

megoszlása

2011-ben

(EUR)

Az egyes termékek

előállítási költsége

a 2010-es százalékában

A

52%

1,02

B

36%

1,04

C

12%

1,05

Össz.

100%

1,04

Az összesen rovatban lévő index éppen a főátlagindex, vagyis I=1,04.

Lássuk csak, mit tudnánk ezek után ki számolni? és sajnálatos hiánya miatt csak részhatás indexet tudunk számolni, mégpedig így:

FŐÁTLAG INDEX

RÉSZHATÁS INDEX

ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX

Végül számoljunk egy

összetételhatás indexet:

tehát

Amiből

Az egy termékre jutó átlagos költség tehát 4%-al növekedett 2010-ről 2011-re. Ebből 3% tulajdonítható annak, hogy drágult az egyes termékek előállítási költsége, 1% pedig annak, hogy megváltozott az előállított termékek részaránya.

 

MI AZ ÖRDÖG AZ A STANDARDIZÁLÁS?

01
Itt jön egy fantasztikus
Valszám és stat alapok epizód.

Hozzászólások

Még nincs hozzászólás. Legyél Te az első!