1. Egy céltábla sugara 50 cm. Azt a távolságot, hogy ilyen távol lövünk a céltábla középpontjától, jelöljük $X$-szel. Tegyük föl, hogy a céltáblát biztosan eltaláljuk.
a) $P(X<10)=?$
b) $P(X<20)=?$
c) $P(X<x)=?$
Megnézem, hogyan kell megoldani
2.
a) Lehet-e $X$ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az alábbi függvény?
\( f(x)= \begin{cases} e^{2x}, &\text{ha } x<0 \\ 1-x, &\text{ha } 0\leq x\leq1 \\ 0, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)
b) Milyen $A$ paraméter esetén lesz $f(x)$ sűrűségfüggvény?
\( f(x)= \begin{cases} e^{3x}, &\text{ha } x<0 \\ Ax^2, &\text{ha } 0\leq x\leq1 \\ 0, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
3. Csináljunk $F(x)$-ből $f(x)$-et.
\( F(x)= \begin{cases} \frac{3}{4}e^{2x-4}, &\text{ha } x<2 \\ 1-\frac{1}{x^2}, &\text{ha } 2 \leq x \end{cases} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
4.
a) Adott az $X$ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, álltsuk elő a sűrűségfüggvényt.
\( F(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}e^{2x}, &\text{ha } x \leq 0 \\ \frac{1}{2}+x-\frac{x^2}{2}, &\text{ha } 0 < x \leq 1 \\ 1, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)
b) Itt volna a sűrűségfüggvény és állítsuk elő az eloszlásfüggvényt!
\( f(x)= \begin{cases} e^{2x}, &\text{ha } x \leq 0 \\ 1-x, &\text{ha } 0 < x \leq 1 \\ 0, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
5. \( F(x) \) egy eloszlásfüggvény.
\( F(x)= \begin{cases} A+2^{x-2}, &\text{ha } x<1 \\ B-\frac{1}{x^2+1}, &\text{ha } 1 \leq x \end{cases} \)
\( A=? \qquad B=? \qquad P(0<X<2)=? \qquad f(x)=? \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
6. \( f(x) \) egy sűrűségfüggvény.
\( f(x)= \begin{cases} Ae^{3x-6}, &\text{ha } x<2 \\ 0, &\text{ha } 2 \leq x \end{cases} \)
\( A=? \qquad F(x)=? \qquad P(1<X<3)=? \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
7. \( f(x) \) egy sűrűségfüggvény.
\( f(x)= \begin{cases} \frac{1}{4} \frac{1}{\sqrt{x+1}}, &\text{ha } 0<x \leq 8 \\ 0, &\text{máshol } \end{cases} \)
\( F(x)=? \qquad P(0<X<3)=? \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
8. Egy sorsjegy ára 200 forint és minden ötödik sorsjegy nyer. Pista bácsinak 800 forintja van és addig veszi a sorsjegyeket, amíg nem nyer - vagy amíg el nem fogy a pénze. Jelentse X a vásárolt sorsjegyek számát. Adjuk meg az eloszlást, eloszlásfüggvényt, várható értéket és szórást.
Megnézem, hogyan kell megoldani
9. Egy dobozban van 2 piros, 3 sárga és 1 kék labda. Kiveszünk három darabot visszatevés nélkül. Jelentse X a húzott piros labdák számát. Adjuk meg az eloszlást, eloszlásfüggvényt, várható értéket és szórást.
Megnézem, hogyan kell megoldani
10. Egy dobozban cédulákat helyezünk el. Egy darab 1-es, két darab 2-es és három darab 3-as feliratút. A dobozokból két cédulát húzunk és jelentse X a húzott cédulákon szereplő számok összegét. Adjuk meg az eloszlást és az eloszlásfüggvényt.
Megnézem, hogyan kell megoldani
11. \( f(x) \) egy sűrűségfüggvény.
\( f(x)= \begin{cases} \frac{Ax}{\sqrt{x^2+16}}, &\text{ha } 0<x<3 \\ 0, &\text{máshol } \end{cases} \)
\( A=? \qquad F(x)=? \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
12. \( f(x) \) egy sűrűségfüggvény.
\( f(x)= \begin{cases} \frac{1}{x^4}, &\text{ha } x<-1 \\ x+1, &\text{ha } -1\leq x \leq 0 \\ e^{-6x}, &\text{ha } 0<x \end{cases} \)
\( F(x)=? \qquad P(X<4)=? \qquad P(|X-5|<3)=? \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
13. \( f(x) \) egy sűrűségfüggvény.
\( f(x)= \begin{cases} Ax\cdot e^{-3x^2}, &\text{ha } 0>x \\ 0, &\text{máshol } \end{cases} \)
\( A=? \qquad F(x)=? \qquad P(X<4)=?\)
Megnézem, hogyan kell megoldani
14. \( f(x) \) egy sűrűségfüggvény.
\( f(x)= \begin{cases} \frac{A \ln{x}}{x}, &\text{ha } 1<x<e \\ 0, &\text{máshol } \end{cases} \)
\( A=? \qquad F(x)=? \)
