Lássuk, hogy mik azok a mértani sorozatok, mire lehet őket használni és megoldunk néhány mértani sorozatos feladatot. Megnézzük a mértani sorozatok összegképletét, a sorozat általános tagját, és tulajdonságait. Itt jön egy másik történet.

Bob, a laborjában baktériumok tenyésztésébe kezd. Egy óra alatt 5 milligramm baktérium keletkezett, és utána óránként megduplázódik a baktériumok száma a tenyészetben. Hány milligramm baktériuma lesz Bobnak a hatodik órában?

Ez egy sorozat, aminek a tagjait úgy kapjuk meg, hogy az előző tagot mindig 2-vel szorozzuk.

Az ilyen sorozatokat mértani sorozatnak nevezzük.

A számtani sorozatoknál azt csináltuk, hogy az előző taghoz mindig ugyanazt a számot hozzáadtuk…
Most pedig ugyanazzal a számmal szorozzuk.

Ezt a számot q-val jelöljük, és a mértani sorozat hányadosának nevezzük.

És, hogy miért éppen hányadosnak hívjuk…

Ha egy mértani sorozat bármelyik tagját elosztjuk az őt megelőző taggal…

Akkor mindig ugyanazt a számot kapjuk.
Ezt hívjuk a sorozat hányadosának.

És így jutunk el a mértani sorozatok hivatalos definíciójához is.

Egy sorozat akkor mértani sorozat, ha a második tagtól kezdve bármelyik tag és az azt megelőző tag hányadosa állandó.

Ez a hányados a q, amit kvóciensnek is szokás nevezni.

A mértani sorozatoknak is van összegképlete...

Most pedig nézzünk meg egy tanulságos történetet.

általános képlete pedig ez.

Mértani sorozat általános tagjának képlete

És itt jön még az összegképlet is.

Egy iskolai futóversenyre a fiúk és a lányok külön-külön edzenek. Első nap mindannyian 3 kilométert futnak, aztán a fiúk minden nap 2 kilométerrel többet, a lányok pedig minden nap 20%-kal többet, mint előző nap. Mennyit futnak a fiúk és a lányok a tízedik napon? Mennyit futottak a 10 nap alatt összesen?

Kezdjük a fiúkkal.

Minden nap ugyanannyival futnak többet, úgyhogy ez egy számtani sorozat.

A sorozat első tagja 3…
És a differencia pedig 2.

Lássuk, hogy mennyit futottak a tízedik napon…

Most pedig nézzük, mennyit futottak a 10 nap alatt.

Ennyit.

Ez egy piti feladat, úgyhogy ide a könnyített képlet is elég lesz.
A 10 nap alatt a fiúk 120 kilométert futottak összesen.

Jönnek a lányok…
Ők is minden nap ugyanannyival futnak többet, naponta 20%-kal.

Úgy néz ki, hogy ez is egy számtani sorozat lesz…

De a lányok sárgák…
Vagyis valami gubanc még lesz itt.
A lányok első nap 3 kilométert futnak.
A második nap pedig 20%-kal többet.

Aztán megint 20%-kal többet, de ez már a második nap 20%-a.
És ahogy napról napra többet futnak…
Ezek a 20%-ok is egyre nagyobbak lesznek.

Úgy néz ki, hogy ez mégsem számtani sorozat.
Hanem egy mértani sorozat.

A kérdés, hogy mit kezdhetnénk ezzel a +20%-kal.

Az, hogy a lányok naponta 20%-kal többet futnak, ezt jelenti:

Minden nap 1,2-szer annyit futnak, mint előző nap.

Ez tehát egy mértani sorozat lesz, aminek 1,2 a hányadosa.

:

A mértani sorozat képletével kiszámoljuk a a10-et, és meg is van, hogy mennyit futottak a lányok a tízedik napon.

Azt, hogy a tízedik napon mennyit futnak, a mértani sorozat képletével tudjuk kiszámolni.

Úgy tűnik, hogy 15,48 kilométert.

Végül nézzük, hogy mennyit futottak a lányok 10 nap alatt összesen.