Iterációs módszerek egyenletrendszer megoldására

Hogyha itt van ez az egyenlet...

\( 2x+1 = 5x-5 \)

Aminek a megoldása $x=2$, akkor megoldhatjuk iterációs módszerekkel is.

Az első lépés, hogy kifejezzük $x$-et, lehetőleg úgy, hogy az együtthatója 1-nél kisebb legyen:

\( x=\frac{2}{5}x+\frac{6}{5} \)

Így $f(x)=\frac{2}{5}x+\frac{6}{5}$ egy kontrakció, és a fixpontja $x^{*}=f(x^{*})$, ami éppen az egyenlet megoldása.

Ha most veszünk egy ilyen sorozatot:

$x_{n+1}=f(x_n) \qquad x_n \to x^{*}=2$

Akkor a fixponttétel miatt ez a sorozat konvergál a fixponthoz, vagyis az egyenlet megoldásához.

Ezt a sorozatot iterációs sorozatnak nevezzük, magát az eljárást pedig iterációnak.

Az iteráció lényege, hogy elkezdjük egyesével kiszámolni a sorozat tagjait. És minél több tagot számolunk ki, annál közelebb kerülünk a megoldáshoz.

$x_{n+1}=\frac{2}{5}x_n + \frac{6}{5} \qquad x_n \to x^{*}=2$

$x_0=0$

$x_1=\frac{2}{5}\cdot 0 + \frac{6}{5}=1,2$

$x_2=\frac{2}{5}\cdot 1,2 + \frac{6}{5}=1,68$

$x_3=\frac{2}{5}\cdot 1,68 + \frac{6}{5}=1,872$

$x_4=\frac{2}{5}\cdot 1,872 + \frac{6}{5}=1,9488$

$\dots$

$x_{10}=1,99979$