Hogyha itt van ez az egyenlet...
\( 2x+1 = 5x-5 \)
Aminek a megoldása $x=2$, akkor megoldhatjuk iterációs módszerekkel is.
Az első lépés, hogy kifejezzük $x$-et, lehetőleg úgy, hogy az együtthatója 1-nél kisebb legyen:
\( x=\frac{2}{5}x+\frac{6}{5} \)
Így $f(x)=\frac{2}{5}x+\frac{6}{5}$ egy kontrakció, és a fixpontja $x^{*}=f(x^{*})$, ami éppen az egyenlet megoldása.
Ha most veszünk egy ilyen sorozatot:
$x_{n+1}=f(x_n) \qquad x_n \to x^{*}=2$
Akkor a fixponttétel miatt ez a sorozat konvergál a fixponthoz, vagyis az egyenlet megoldásához.
Ezt a sorozatot iterációs sorozatnak nevezzük, magát az eljárást pedig iterációnak.
Az iteráció lényege, hogy elkezdjük egyesével kiszámolni a sorozat tagjait. És minél több tagot számolunk ki, annál közelebb kerülünk a megoldáshoz.
$x_{n+1}=\frac{2}{5}x_n + \frac{6}{5} \qquad x_n \to x^{*}=2$
$x_0=0$
$x_1=\frac{2}{5}\cdot 0 + \frac{6}{5}=1,2$
$x_2=\frac{2}{5}\cdot 1,2 + \frac{6}{5}=1,68$
$x_3=\frac{2}{5}\cdot 1,68 + \frac{6}{5}=1,872$
$x_4=\frac{2}{5}\cdot 1,872 + \frac{6}{5}=1,9488$
$\dots$
$x_{10}=1,99979$
Az iteráció lényege, hogy elkezdjük egyesével kiszámolni a sorozat tagjait. És minél több tagot számolunk ki, annál közelebb kerülünk a megoldáshoz.
