Gazdasági matematika ÚJ epizód tartalma:
Ebben az apizódban szuper-érthetően elmagyarázzuk a függvények szakadási típusait.
Ha egy függvény nem folytonos egy adott helyen, azt mondjuk, hogy ott szakadása van. A függvények szakadási típusait aszerint osztályozzuk, hogy az adott helyen létezik-e a függvény határértéke, illetve a jobb és bal oldali határértéke, és ezek végesek-e. Ez alapján négy szakadási típus van, amelyek két nagyobb osztályba, az elsőfajú és a másodfajú szakadásba sorolhatók. Ebben az epizódban mind a négyet részletesen, példákkal együtt nézzük meg.
Elsőfajú szakadás
Elsőfajú szakadásról akkor beszélünk, ha a függvénynek az adott helyen létezik mind a jobb, mind a bal oldali határértéke, és mindkettő véges. Ide két szakadási típus tartozik.
- Megszüntethető szakadás: a függvénynek van véges határértéke az adott helyen, de ez nem egyezik meg a függvényértékkel (vagy a függvény ott nincs is értelmezve). Az ilyen szakadás a függvényérték megfelelő megválasztásával “kijavítható”, vagyis a függvény folytonossá tehető.
- Véges ugrás: a függvénynek nincs határértéke az adott helyen, mert a jobb és a bal oldali határérték különbözik, de mindkettő létezik és véges. Ez a szakadás nem szüntethető meg, a függvény azonban jobbról vagy balról még lehet folytonos.
Az elsőfajú szakadás lényege tehát: a függvény nem folytonos, de külön-külön jobbról is és balról is folytonossá tehető.
Másodfajú szakadás
Másodfajú szakadása van a függvénynek, ha a jobb vagy a bal oldali határérték nem véges, vagy valamelyik egyáltalán nem létezik. Ennek is két esete van.
- Nem véges ugrás (végtelen szakadás): a jobb vagy a bal oldali határérték (esetleg mindkettő) plusz vagy mínusz végtelen. Tipikus példa az 1/x függvény a 0 helyen.
- Nem létező egyoldali határérték: a jobb vagy a bal oldali határérték nem is létezik, a függvény az adott hely környezetében nem tart sehová. Klasszikus példa a sin(1/x) függvény a 0 helyen.
Hogyan döntsük el, milyen típusú a szakadás?
A gyakorlatban mindig ugyanazt a három kérdést tesszük fel: létezik-e a jobb és a bal oldali határérték, végesek-e, és megegyeznek-e egymással, illetve a függvényértékkel. Ha mindkét egyoldali határérték véges, elsőfajú szakadásról van szó; ezen belül ha egyenlők, megszüntethető, ha nem, véges ugrás. Ha valamelyik egyoldali határérték végtelen vagy nem létezik, a szakadás másodfajú. Az epizódban ezt a döntési menetet konkrét feladatokon is végigvisszük.
Kinek ajánljuk?
Egyetemistáknak az analízis, kalkulus vagy matematika A1 tárgyhoz, valamint mindenkinek, aki a függvények folytonosságát és a határértékszámítást tanulja, és rendszerezett összefoglalót keres a szakadási típusokról.
A FÜGGVÉNYEK ÉLETÉBEN FELMERÜLŐ PROBLÉMÁK.
Ha létezik véges határérték az a-ban és ez megegyezik a függvényértékkel, nos akkor a függvény folytonos.
Ha létezik véges határérték, az a-ban, de ez nem egyezik meg a függvényértékkel, akkor megszüntethető szakadás van.
Ha a bal oldali és a jobb oldali határérték két különböző szám az a-ban, akkor a szakadás nem megszüntethető és ugrásnak hívjuk.
Ha a bal és jobb oldali határérték nem is véges az a-ban, akkor pláne nem tehető folytonossá a függvény.
Végül meglehetősen patologikus esetek is vannak, amikor még csak jobb vagy bal oldali határérték sem létezik.
oscillating discontinuity
removable
jump discontinuity
Itt jön egy érdekes függvény:
A kérdés, hogy folytonos-e ez a függvény az x=2 helyen.
Nos akinek látnoki képességei vannak az egyből tudja, hogy nem.
Lássuk hogyan derül ez ki rajz nélkül is.
4.16. Megadható-e az A szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen
az x=1 helyen?
Gazdasági matematika ÚJ epizód