Matematika MATE
Van itt egy függvény.
Ha néhány pontjában érintőt húzunk a függvényhez,
akkor az látszik, hogy ahol az érintő fölfelé megy, ott a függvény növekszik,
ahol az érintő lefelé megy, ott a függvény csökken.
Ott pedig, ahol az érintő vízszintesen megy, a függvénynek minimuma van,
de tulajdonképpen lehet maximuma is.
Mi az a deriválás, Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.
Az érintő tehát valahogy együtt mozog a függvénnyel, így ha ki tudjuk számolni a függvény érintőinek a meredekségét, akkor meg tudjuk mondani, hogy mit csinál
maga a függvény.
Számoljuk ki mondjuk ennek az érintőnek a meredekségét.
A meredekség azt jelenti, hogy ha egyet lépünk előre, akkor mennyit lépünk fölfelé.
A meredekség kiszámolásához segítségül hívunk egy másik pontot.
Először annak az egyenesnek számoljuk ki a meredekségét,
ami ezen a két ponton megy át.
Lássuk mekkora ennek az egyenesnek a meredeksége!
amennyit fölfele megy
amennyit előre megy
Ezt a meredekséget differencia hányadosnak nevezzük.
A szelő meredeksége a
differenciahányados:
Ez igazán remek, de eredetileg az érintő meredekségének kiszámolása volt a cél.
Nos úgy lesz ebből érintő, hogy -et elkezdjük közelíteni felé, és így a szelők egyre jobban közelítenek az érintőhöz.
Az érintő meredeksége tehát a szelők meredekségének a határértéke.
Ezt differenciál hányadosnak nevezzük, ez a derivált.
Az érintő meredeksége
a differenciál hányados:
az pontban a derivált
Egy függvény deriváltja tehát azt mondja meg, hogy milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához.
Az függvény deriváltjának jelölésére az van forgalomban.
Lássuk melyik függvénynek mi a deriváltja!
A konstans függvények deriváltja nulla.
Például egy konstans függvény és
A hatványfüggvények deriváltja
például deriváltja
Ha úgy adódik, hogy ilyen gyökös izéket kell deriválni, azt ugyanígy kell:
és a derivált
Az egy biztos pont az életünkben, ugyanis deriváltja önmaga:
Az deriváltja kicsit rondább:
Itt van például ez, hogy
nos ennek a deriváltja nem mert itt x a kitevőben van.
és ez a bizonyos egy konkrét szám, nevezetesen e alapú logaritmus 5, de aggodalomra semmi ok, a számológéppel ki tudjuk számolni:
Ez igazán remek, de maradjunk inkább annál, hogy .
Aztán itt van az emlegetett deriváltja:
Az egyéb logaritmusok deriváltja pedig
például 10-es alapú logaritmus, így hát a=10 és a derivált:
Aztán itt jönnek a trigonometrikus függvények.
A szinusz deriváltja koszinusz, a koszinusz deriváltja mínusz szinusz.
A tangens deriváltja
na az már jóval barátságtalanabb, a többiről nem is beszélve.
Most pedig jöjjenek a deriválási szabályok!
És itt jön a legviccesebb, az összetett függvény deriválási szabálya.
Van itt egy függvény, ez még nem összetett.
Akkor válik összetett függvénnyé, ha x helyett mondjuk az van, hogy
Na ez már összetett függvény, és a szabály szerint úgy kell deriválni, hogy először deriváljuk a külső függvényt, ami az, hogy
aztán megszorozzuk a belső függvény deriváltjával.
Vagy itt van egy másik.
Ez nem összetett függvén, hanem egy ártatlan kis összeg.
De ha ez az egész a negyediken van,
na akkor már összetett függvény.
A külső függvény itt az, hogy
aminek a deriváltja, ahogyan lenni szokott
aztán itt is szorozni kell még a belső függvény deriváltjával.
És itt van például ez.
A külső függvény deriváltja
Most pedig elérkezett az idő, hogy szerencsét próbáljunk
a deriválás feladatokkal.
Van itt egy függvény.
Ha néhány pontjában érintőt húzunk a függvényhez,
akkor az látszik, hogy ahol az érintő fölfelé megy, ott a függvény növekszik,
ahol az érintő lefelé megy, ott a függvény csökken.
Ott pedig, ahol az érintő vízszintesen megy, a függvénynek minimuma van,
de tulajdonképpen lehet maximuma is.
Mi az a deriválás, Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.
Az érintő tehát valahogy együtt mozog a függvénnyel, így ha ki tudjuk számolni a függvény érintőinek a meredekségét, akkor meg tudjuk mondani, hogy mit csinál
maga a függvény.
Számoljuk ki mondjuk ennek az érintőnek a meredekségét.
A meredekség azt jelenti, hogy ha egyet lépünk előre, akkor mennyit lépünk fölfelé.
A meredekség kiszámolásához segítségül hívunk egy másik pontot.
Először annak az egyenesnek számoljuk ki a meredekségét,
ami ezen a két ponton megy át.
Lássuk mekkora ennek az egyenesnek a meredeksége!
amennyit fölfele megy
amennyit előre megy
Ezt a meredekséget differencia hányadosnak nevezzük.
A szelő meredeksége a
differenciahányados:
Ez igazán remek, de eredetileg az érintő meredekségének kiszámolása volt a cél.
Nos úgy lesz ebből érintő, hogy -et elkezdjük közelíteni felé, és így a szelők egyre jobban közelítenek az érintőhöz.
Az érintő meredeksége tehát a szelők meredekségének a határértéke.
Ezt differenciál hányadosnak nevezzük, ez a derivált.
Az érintő meredeksége
a differenciál hányados:
az pontban a derivált
Egy függvény deriváltja tehát azt mondja meg, hogy milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához.
Az függvény deriváltjának jelölésére az van forgalomban.
Lássuk melyik függvénynek mi a deriváltja!
A konstans függvények deriváltja nulla.
Például egy konstans függvény és
A hatványfüggvények deriváltja
például deriváltja
Ha úgy adódik, hogy ilyen gyökös izéket kell deriválni, azt ugyanígy kell:
és a derivált
Az egy biztos pont az életünkben, ugyanis deriváltja önmaga:
Az deriváltja kicsit rondább:
Itt van például ez, hogy
nos ennek a deriváltja nem mert itt x a kitevőben van.
és ez a bizonyos egy konkrét szám, nevezetesen e alapú logaritmus 5, de aggodalomra semmi ok, a számológéppel ki tudjuk számolni:
Ez igazán remek, de maradjunk inkább annál, hogy .
Aztán itt van az emlegetett deriváltja:
Az egyéb logaritmusok deriváltja pedig
például 10-es alapú logaritmus, így hát a=10 és a derivált:
Aztán itt jönnek a trigonometrikus függvények.
A szinusz deriváltja koszinusz, a koszinusz deriváltja mínusz szinusz.
A tangens deriváltja
na az már jóval barátságtalanabb, a többiről nem is beszélve.
Most pedig jöjjenek a deriválási szabályok!
És itt jön a legviccesebb, az összetett függvény deriválási szabálya.
Van itt egy függvény, ez még nem összetett.
Akkor válik összetett függvénnyé, ha x helyett mondjuk az van, hogy
Na ez már összetett függvény, és a szabály szerint úgy kell deriválni, hogy először deriváljuk a külső függvényt, ami az, hogy
aztán megszorozzuk a belső függvény deriváltjával.
Vagy itt van egy másik.
Ez nem összetett függvén, hanem egy ártatlan kis összeg.
De ha ez az egész a negyediken van,
na akkor már összetett függvény.
A külső függvény itt az, hogy
aminek a deriváltja, ahogyan lenni szokott
aztán itt is szorozni kell még a belső függvény deriváltjával.
És itt van például ez.
A külső függvény deriváltja
Most pedig elérkezett az idő, hogy szerencsét próbáljunk
a deriválás feladatokkal.
Van itt ez a két halmaz…
Hogyha az egyik halmaz elemeihez hozzárendeljük a másik halmaz elemeit…
Akkor kiderül, hogy milyen idő lesz a héten.
Az is megeshet, hogy több nap is ugyanolyan lesz az idő…
Ezzel nincsen semmi baj.
De ha szombathoz például két különböző elemet is rendelünk…
Na, akkor most esernyőt vigyünk vagy fürdőruhát?
Hát igen, ez így nem túl egyértelmű…
Egy hozzárendelést egyértelműnek nevezünk, ha minden elemhez pontosan egy másik elemet rendel hozzá.
Teljesen mindegy, hogy melyiket…
egyedül az a fontos, hogy csak egyet.
Ez a hozzárendelés most egyértelmű.
Az egyértelmű hozzárendeléseket úgy hívjuk, hogy függvény.
Az ilyen egyértelmű hozzárendeléseknek az a neve, hogy függvény.
Adott az és nem üres halmaz.
Ha az A halmaz bizonyos elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a B halmaz bizonyos elemeit, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.
Simán előfordulhat, hogy az A halmaznak csak néhány eleméhez rendeljük hozzá…
a B halmaznak néhány elemét.
És az sem okoz problémát, ha több elemhez is ugyanazt rendeljük.
Egyedül az lenne baj, ha egy elemhez rendelnénk hozzá több elemet.
ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
ÉRTÉKKÉSZLET
Az értelmezési tartomány azoknak az elemeknek a halmaza az A halmazban… amikhez a függvény hozzárendel B halmazbeli elemeket.
Az értékkészlet pedig azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban…
amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.
Az értelmezési tartományt a domain szó alapján, ami egyébként azt jelenti, hogy tartomány így jelöljük:
De a gyengébb idegzetűek kedvéért szokás úgy is jelölni, hogy É.T.
Az értékkészlet jele pedig a range szó alapján, ami azt jelenti, hogy kiterjedés:
Ennek is van egy akadálymentesített jelölése, ami így szól, hogy É.K.
Egy hozzárendelést kölcsönösen egyértelműnek nevezünk, hogyha nem csak az egyik irányba egyértelmű…
hanem a másik irányba is.
Esetünkben ez most nem mondható el.
Az eső ugyanis pénteken és szombaton is esik.
Így aztán a visszafelé irányban az esőhöz a pénteket és a szombatot is hozzárendeljük.
Talán, ha pénteken sütne egy kicsit a nap…
az minden problémát megoldana.
Ez most egy kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés.
És most lássuk, mire is használhatnánk ezeket a függvényeket, jóra vagy rosszra…
Az függvény kölcsönösen egyértelmű, ha akkor .
Vagyis különbözö x-ekhez mindig különböző y-okat rendel.
A kölcsönösen egyértelmű függvények az injektív függvények.
Itt jön aztán egy másik izgalmas tulajdonság is.
Egy függvény szürjektív, hogyha az egész B halmaz előáll képként, vagyis B minden eleme hozzá van rendelva valamelyik A-beli elemhez.
Hát ez most éppen nem mondható el, a napsütés ugyanis kimarad…
Hogyha mondjuk csütörtökön sütne egy kicsit a nap…
Na, az segítene a dolgon.
Ez a függvény így már szürjektív.
És így is szürjektív.
Hogyha ráadásul még injektív is lenne…
Ehhez egy kicsit változatosabb időjárásra lesz szükség…
Akkor ez egy injektív és szürjektív függvény, amit úgy hívunk, hogy bijektív.
Az x2 függvény grafikonja egy parabola.
A parabola csúcsa az origóban van.
Nézzük, mi történik akkor…
ha itt a zárójelen belül levonunk 3-at.
Ennek hatására a parabola eltolódik 3-mal...
A parabola csúcsa mindig oda tolódik,
ahol ez nulla.
Ez pedig akkor nulla, ha x=3.
Ebből tehát látjuk, hogy 3-mal tolódik el…
és azt is látjuk, hogy az x tengelyen.
Olyankor, amikor a 3-at így vonjuk le…
egészen más dolog történik.
Ilyenkor az y tengelyen tolódik 3-mal lefelé.
Az izgalmak növelése érdekében most nézzük, mi van akkor, ha ezt a két dolgot egyszerre csináljuk…
Kezdjük ezzel a résszel itt…
Aztán itt van még ez is.
Ezt úgy hívjuk, hogy belső függvény-transzformáció.
És úgy működik, hogy az x tengely mentén tolja el a függvény grafikonját.
A külső függvény-transzformáció a zárójelen kívül van itt.
Ez pedig az y tengelyen tolja el a függvényt.
Hogyha itt van például ez a függvény:
A belső transzformáció miatt az x tengely mentén eltolódik…
Egészen pontosan ide.
Az y tengely mentén pedig ide.
Most nézzük, mi a helyzet ezzel:
Ez pontosan ugyanúgy néz ki, mint az x2, csak éppen a kétszeresére nyújtva.
Az is megeshet, hogy a háromszorosára nyújtjuk…
Vagy éppen a mínusz kétszeresére.
És az is előfordulhat, hogy egyetlen függvényben minden eddigi rémség egyszerre van benne.
Végül itt jön még ez is:
De szenvedéseink tovább folytatódnak…
Néhány izgalmas kísérletet fogunk elvégezni a függvény segítségével.
Ha a elé írunk egy mínusz jelet, akkor ezzel a függvény grafikonját az x tengelyre tükrözzük.
Hogyha pedig belülre rakjuk a mínuszjelet, akkor az y tengelyre tükrözzük.
És ha kedvünk van, tükrözhetjük a függvényt
mindkét tengelyre is.
Lássuk, hogyan néz ki például ez…
A gyökjel előtt nincsen mínuszjel…
Itt belül az x előtt viszont igen.
Na persze még el is van tolva…
Megnézzük, hogy ez itt belül mikor nulla…
Úgy néz ki, hogy 4-gyel tolódik el az x tengelyen.
2-vel pedig fölfelé.
És talán még egy utolsó nem árthat meg:
A parabolát is pontosan ugyanígy tudjuk tükrözni a tengelyekre.
Hogyha az x2 elé írjuk a mínusz jelet, akkor a függvény grafikonját az x tengelyre tükrözzük.
Hogyha pedig a zárójelen belülre rakjuk a mínuszjelet, akkor az y tengelyre tükrözzük.
Csak sajnos ez nem igazán látszik…
mert a parabola az y tengelyre szimmetrikus.
Ezért is végeztük az iménti kísérleteinket a függvényen.
De azért így a végén még nézzük meg ezt:
Hát így kezdetnek ennyit a függvény-transzformációkról.
Ha az x különböző hatványait összeadjuk, akkor polinomokat kapunk.
Ez itt például az x5.
És, ha kivonjuk belőle azt, hogy x3…
akkor egy ilyen kanyargós polinomfüggvényt kapunk.
Íme, itt a polinomfüggvények általános alakja.
A polinomfüggvények viselkedése
A legmagasabb fokú tag együtthatóját hívjuk főegyütthatónak.
És a legmagasabb fokú tag határozza meg a polinomfüggvény viselkedését.
Ha a legmagasabb fokú tag kitevője páros és a főegyüttható pozitív, akkor így néz ki a polinomfüggvény.
Vagy így.
Ha a főegyüttható negatív, akkor ilyen.
A páratlan fokú polinomfüggvények egészen máshogy néznek ki.
Ha a főegyüttható pozitív, akkor innen lentről mennek fölfelé…
Ha negatív, akkor pedig fentről mennek lefelé.
Egy páros fokú polinomfüggvény megteheti, hogy sohasem metszi az x tengelyt.
De egy páratlan fokúnak legalább egyszer biztosan metszenie kell.
Ezért van az, hogy egy páratlan fokú polinomfüggvénynek mindig van zérushelye.
Most pedig néhány művészi rajzot fogunk készíteni.
Kezdjük egy olyan harmadfokú polinomfüggvénnyel, aminek pontosan két zérushelye van.
Egy harmadfokú polinomfüggvénynek legalább egy zérushelye biztosan van.
És maximum három tud lenni.
De egy kis trükk segítségével azért megoldható a kettő is.
Művészi pályafutásunk következő darabja egy olyan negyedfokú polinomfüggvény, aminek három zérushelye van.
Egy negyedfokú polinomfüggvénynek lehet nulla zérushelye…
aztán lehet egy is.
És kettő is.
Sőt lehet négy is.
De négynél több már nem.
Egy n-edfokú polinomfüggvénynek mindig legfeljebb n darab zérushelye tud lenni.
Ha a fokszám páratlan, akkor 1-től n-ig bármennyi lehet.
Ha a fokszám páros, akkor pedig 0-tól n-ig bármennyi.
Most éppen azt szeretnénk, hogy három zérushely legyen.
És íme, itt is van.
Próbáljuk meg kideríteni, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.
Az első grafikon ez a típus.
Egy páratlan fokú polinomfüggvény.
A mi kis függvényünk viszont negyedfokú.
A másik kettő már jobbnak tűnik.
Az ilyen extra kanyarokhoz viszont…
itt még lennie kéne valaminek.
Vagy x3-nek,
vagy x2-nek,
vagy mindkettőnek.
De egyik sincs.
Így hát a nyertes a középső.
Nézzünk meg még egyet.
Döntsük el, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.
Az első grafikon egy páros fokú polinomfüggvényé.
Úgyhogy pápá első grafikon.
A másik kettő páratlan fokú.
Ha lenne itt még egy x…
akkor lehetne itt egy extra kanyar.
De nincs.
Beszéljünk a határértékekről.
Van itt egy ártalmatlan függvény
amit kicsit izgalmasabbá teszünk ezzel a feltétellel.
Amikor a függvény még az unalmas volt, a 3-hoz azt rendelte hozzá, hogy 6.
De amióta izgalmasabbá tettük, nos azóta már 8-at.
Ezt a tényt így jelöljük, hogy
és úgy mondjuk, hogy a függvény a 3-ban 8-at vesz föl.
Ezt nevezzük függvényértéknek.
Ugyanakkor, ha az x-ekkel közelítünk a 3-hoz,
akkor a függvényértékek közelítenek a 6-hoz.
A másik oldalról is.
Ezt a tényt, hogy ha akkor úgy mondjuk, hogy a 3-ban a függvény határértéke 6 és így jelöljük:
Lássuk, mi van akkor, ha mondjuk .
A függvényérték
A határérték kiszámolásához föl kell tennünk magunknak azt a kérdést, hogy ha ,
akkor hova tart .
Nos a jelek szerint
és a határérték tehát
Vannak tehát olyan x-ek a függvény életében, ahol a határérték és a függvényérték nem egyezik meg és vannak olyanok, ahol megegyezik.
A mi függvényünk esetében egyetlen olyan x van, ahol a határérték és a függvényérték eltér.
Ez éppen x = 3, ahol a függvénnyel ez a kis kellemetlenség történik.
Itt a függvény ugrik egyet, mindenhol máshol teljesen normálisan viselkedik.
Ezt a normális viselkedést úgy fogjuk nevezni, hogy a függvény folytonos.
Folytonosnak nevezzük a függvényt azokban az x-ekben ahol a határértéke és a függvényértéke megegyezik.
A folytonosság kimutatásra pedig éppen ez lesz a módszerünk:
Kiszámoljuk a határértéket, aztán kiszámoljuk a függvényértéket, végül pedig föltesszük magunknak azt a kérdést, hogy az így kapott két szám megegyezik-e vagy sem.
Nézzünk meg néhány határértéket.
Itt van például az függvény.
Lássuk mennyi ez a határérték:
Nos ez egy folytonos függvény, ha a 2-t behelyettesítjük az jön ki, hogy
Hasonlóan nagy erőfeszítésekkel jár kiszámolni ezt is:
Mielőtt azonban túlzottan elbíznánk magunkat, nézzük meg ezt:
Ha itt x helyére 2-t írunk az jön ki, hogy
Ezzel pedig vannak bizonyos problémák. Aki nem hiszi, írja be a számológépbe és meglátja.
Szerencsére itt jön egy trükk.
Szorzattá alakítjuk a számlálót:
Aztán egyszerűsítünk.
És ebbe már be lehet helyettesíteni a 2-t.
Ha tehát itt van egy ilyen kellemetlenebb ügy, mint például ez:
Akkor a legfontosabb, hogy őrizzük meg a nyugalmunkat,
aztán próbáljunk meg szorzattá alakítani.
Utána egyszerűsítünk,
és így már be lehet helyettesíteni.
A következő képsorból kiderül, hogy ez az egész egyszerűbb, mint azt valaha is gondoltuk volna.
Hogyan tudjuk kiszámolni ezt a határértéket?
Az első lépés, hogy helyettesítsük be a függvénybe az -t.
Nézzük meg mit kapunk.
Ha amit kapunk értelmezhető, akkor kész is vagyunk.
Az így kapott szám a határérték.
Ha amit kapunk nem értelmezhető,
na akkor baj van.
Ilyenkor általában ez a két eset szokott lenni,
néha van egy harmadik.
Lássuk mi a teendő az első két esetben.
Ilyenkor a számlálót is és a nevezőt is szorzattá alakítjuk.
Ilyenkor csak a nevezőt alakítjuk szorzattá.
Ilyenkor is történik majd valami.
Vagyis mindig azt kell szorzattá alakítani, aki nulla.
Ha mindkettő nulla, akkor mindkettőt,
ha csak a nevező nulla, akkor csak a nevezőt.
Lássuk hogyan.
Nos így.
Itt ez a bizonyos ugye az a szám, ahova x tart.
Ha éppen akkor tehát 4.
Már csak annyi dolgunk van, hogy kitaláljuk ezeket.
Erre másodfokú esetben van egy trükk.
Ez most pont másodfokú, úgyhogy nézzük meg.
Föl kell tennünk magunknak néhány kérdést.
Az első kérdés: mit írjunk ide,
hogy kijöjjön az x2?
Az x jó ötletnek tűnik.
Eddig minden OK.
Most nézzük ezeket.
Na őket nem kell nézni.
Csak arra jók, hogy összezavarjanak minket, úgyhogy vegyük is őket halványabbra.
Amit nézni kell az ez.
És válaszolnunk kell arra a kérdésre, hogy a mínusz 4-et menyivel kell szoroznunk ahhoz, hogy 20-at kapjunk.
Ugyanez a trükk van alul is.
Nézzünk meg még egyet.
Azzal kezdjük, hogy behelyettesítjük a 2-t.
Ha ugyanis az jön ki, hogy 42, akkor kész is, nem kell csinálnunk semmit.
De nincs szerencsénk.
Így aztán megint jön a szorzattá alakítás.
Lássuk hogyan lesz 4x2.
Hasonló izgalmak várhatók alul is.
Most pedig lássuk ezeket.
Ez a másik eset kicsit kellemetlenebb lesz.
Itt ugyanis csak a nevezőt alakítjuk szorzattá,
és emiatt nem tudunk egyszerűsíteni.
De nézzünk egy konkrét példát.
Most is azzal kezdünk, hogy behelyettesítjük a 2-t, mert hátha szerencsénk lesz és kapunk egy konkrét számot.
Nincs szerencsénk.
Így aztán szorzattá alakítunk alul.
Felül ebben az esetben nincs értelme szorzattá alakítani,
de egyébként az -et nem is lehet.
Az tehát marad.
Alul a szokásos bűvészkedés következik.
És most jön ez a rész.
Ide már be lehet helyettesíteni a 2-t,
ezzel a résszel meg nagyon vicces dolgok fognak történni.
Vessünk egy pillantást erre a függvényre.
Ha akkor .
De csak balról.
Ha ugyanis jobbról
akkor
Ez nagyon érdekes és a következő jelölés van rá forgalomban:
Ilyenkor, amikor a jobb és bal oldali határérték nem egyezik meg, azt mondjuk, hogy nem létezik határérték.
És még egy dolog.
Már az általános iskolában is tudtuk, hogy nullával nem lehet osztani. Ennek tehát nincs értelme:
Ezeknek viszont van.
Ha a nevező negatív számokon keresztül tart nullához, akkor a tört negatív végtelenbe tart.
Ha a pozitív számokon keresztül, akkor pedig plusz végtelenbe.
Mindez azért érdekes, mert így rajz nélkül is meg tudjuk oldani az előző feladatot.
Itt kezdtünk el rajzolgatni.
Most rajz helyett behelyettesítünk.
Ez így nem értelmezhető, de…
Meg kell nézni külön balról és jobbról.
Ha akkor és negatív.
Ha viszont akkor és pozitív.
Az eredmény így is ugyanaz: nincs határérték.
Lássunk néhány határértéket.
Most pedig az előző képsorban bemutatott bűvészmutatványok következnek.
A számláló marad, a nevezőben megint jönnek a bűvészmutatványok.
Aztán a szétválasztás.
Ebbe a részbe már be is lehet helyettesíteni.
A bal oldali és a jobb oldali határérték nem egyezik meg, így nincs határérték.
Ezekben a szám/nulla esetekben általában ez szokott lenni.
De azért nem mindig.
Ha a nevező valami a négyzeten, akkor az tuti pozitív.
Ilyenkor létezik határérték és az plusz végtelen.
Vagy mínusz végtelen.
Ha a nevező valami a köbön, akkor az lehet ilyen is olyan is.
Ha a kitevő páros, akkor van határérték.
Ha a kitevő páratlan, akkor nincs.
Itt jön aztán néhány izgalmasabb ügy.
Lássuk mit kapunk, ha behelyettesítjük a 4-et.
Nos ez azt jelenti, hogy a számlálót is és a nevezőt is szorzattá kéne alakítani.
A számlálóban kiemelünk x-et és meg is van a szorzattá alakítás.
De sajnos a nevezőben található gyökjel kisebb problémákat okoz.
Valahogyan ott is elő kéne varázsolnunk -et, de ehhez egy trükkre van szükség.
Gyökteleníteni fogjuk a nevezőt.
Itt jön néhány eset, amikor magasabb fokú kifejezések vannak a határértékekben.
Ezekben az esetekben általában érdemes kiemeléssel kísérletezni.
Ez legtöbbször sikerül is. Néha nem, ilyenkor az erősebb idegzetűek próbálkozhatnak polinom osztással, a gyengébb idegzetűeknek pedig érdemes kétségbe esni.
Lássuk mit lehetne kiemelni.
Aztán alul szorzattá alakítunk.
És egyszerűsítünk.
Itt is először kiemelünk,
aztán szorzattá alakítunk.
Kis izgalmak azért adódnak az egyszerűsítésnél.
Szükség lehet néhány újabb azonosságra is. Nos itt volnának:
Lássuk mihez kezdhetnénk velük.
Most pedig jöjjön egy igazán vicces ügy.
Behelyettesítjük a 3-at,
kiderül, hogy 0/0 típus.
Így aztán a számlálót és a nevezőt is szorzattá kell alakítanunk.
Felül ki lehet emelni x3-öt.
Sajnos azonban van egy kis probléma, ugyanis a számláló és a nevező is negyedfokú.
Felül mondjuk x3 kiemelhető,
de az izé kitalálásához rettenetes polinomosztásra lesz szükség.
A valami és az izé kitalálásához ezért rettenetes polinomosztásra lesz szükség.
Lássunk néhány határértéket.
Most pedig az előző képsorban bemutatott bűvészmutatványok következnek.
A számláló marad, a nevezőben megint jönnek a bűvészmutatványok.
Aztán a szétválasztás.
Ebbe a részbe már be is lehet helyettesíteni.
A bal oldali és a jobb oldali határérték nem egyezik meg, így nincs határérték.
Ezekben a szám/nulla esetekben általában ez szokott lenni.
De azért nem mindig.
Ha a nevező valami a négyzeten, akkor az tuti pozitív.
Ilyenkor létezik határérték és az plusz végtelen.
Vagy mínusz végtelen.
Ha a nevező valami a köbön, akkor az lehet ilyen is olyan is.
Ha a kitevő páros, akkor van határérték.
Ha a kitevő páratlan, akkor nincs.
Itt jön aztán néhány izgalmasabb ügy.
Lássuk mit kapunk, ha behelyettesítjük a 4-et.
Nos ez azt jelenti, hogy a számlálót is és a nevezőt is szorzattá kéne alakítani.
A számlálóban kiemelünk x-et és meg is van a szorzattá alakítás.
De sajnos a nevezőben található gyökjel kisebb problémákat okoz.
Valahogyan ott is elő kéne varázsolnunk -et, de ehhez egy trükkre van szükség.
Gyökteleníteni fogjuk a nevezőt.
Itt jön néhány eset, amikor magasabb fokú kifejezések vannak a határértékekben.
Ezekben az esetekben általában érdemes kiemeléssel kísérletezni.
Ez legtöbbször sikerül is. Néha nem, ilyenkor az erősebb idegzetűek próbálkozhatnak polinom osztással, a gyengébb idegzetűeknek pedig érdemes kétségbe esni.
Lássuk mit lehetne kiemelni.
Aztán alul szorzattá alakítunk.
És egyszerűsítünk.
Itt is először kiemelünk,
aztán szorzattá alakítunk.
Kis izgalmak azért adódnak az egyszerűsítésnél.
Szükség lehet néhány újabb azonosságra is. Nos itt volnának:
Lássuk mihez kezdhetnénk velük.
Most pedig jöjjön egy igazán vicces ügy.
Behelyettesítjük a 3-at,
kiderül, hogy 0/0 típus.
Így aztán a számlálót és a nevezőt is szorzattá kell alakítanunk.
Felül ki lehet emelni x3-öt.
Sajnos azonban van egy kis probléma, ugyanis a számláló és a nevező is negyedfokú.
Felül mondjuk x3 kiemelhető,
de az izé kitalálásához rettenetes polinomosztásra lesz szükség.
A valami és az izé kitalálásához ezért rettenetes polinomosztásra lesz szükség.
Az függvény folytonos az -ban, ha értelmezve van az -ban, létezik és véges a határértéke az -ban és ami a lényeg:
Lássunk egy példát.
Folytonos-e a következő függvény a 3-ban?
Nos akinek látnoki képességei vannak az egyből tudja, hogy nem,
mert ez a függvény a 3-ban ugrik egyet, az ugrálás márpedig nem tesz jót a függvény folytonosságának.
Kiszámoljuk a határértéket,
aztán a függvényértéket
és ha egyenlők akkor folytonos, ha nem egyenlők akkor nem folytonos.
Nem egyenlők, tehát a függvény nem folytonos a 3-ban.
Nem folytonos a 3-ban, de folytonossá tehető.
Mindössze annyit kell tennünk, hogy átírjuk ezt.
És tessék, így már folytonos.
Nem ilyen egyszerű az ügy a 4-ben.
Itt meglehetősen nehéz lenne folytonossá varázsolni a függvényt.
Egészen pontosan lehetetlen.
Az függvény folytonossá tehető az -ban, ha értelmezve van az -ban
és létezik véges a határértéke az -ban.
Itt jön egy másik függvény, a feladat pedig az, hogy adjuk meg az és paramétereket úgy, hogy a függvény folytonos legyen 2-ben és 3-ban.
A rajz most is csak fekete mágia.
Lássuk a határértékeket. A 2-vel kezdjük.
Aztán nézzük mi van a 3-ban.
Ezt az előbb már sikeresen szorzattá alakítottuk.
Sőt már egyszerűsítettünk is.
nem adható meg úgy, hogy a függvény folytonos legyen a 3-ban.
Ez a függvény tehát folytonossá tehető a 2-ben, úgy, ha A=4 de nem tehető folytonossá a 3-ban.
Végül nézzünk meg egy harmadik függvényt is.
Derítsük ki, hogy folytonossá tehető-e az x=1 és az x=3 helyen.
Ha vetünk egy pillantást a rajzra, akkor látszik, hogy 1-ben a határérték véges, 3-ban pedig nem.
Így aztán 1-ben a függvény folytonossá tehető 3-ban nem.
Nézzük hogyan jön ez ki a rajz nélkül is.
A határérték véges, ezért a függvény folytonossá tehető.
Nem létezik határérték, így sajna 3-ban nem tehető folytonossá.
A FÜGGVÉNYEK ÉLETÉBEN FELMERÜLŐ PROBLÉMÁK.
Ha létezik véges határérték az a-ban és ez megegyezik a függvényértékkel, nos akkor a függvény folytonos.
Ha létezik véges határérték, az a-ban, de ez nem egyezik meg a függvényértékkel, akkor megszüntethető szakadás van.
Ha a bal oldali és a jobb oldali határérték két különböző szám az a-ban, akkor a szakadás nem megszüntethető és ugrásnak hívjuk.
Ha a bal és jobb oldali határérték nem is véges az a-ban, akkor pláne nem tehető folytonossá a függvény.
Végül meglehetősen patologikus esetek is vannak, amikor még csak jobb vagy bal oldali határérték sem létezik.
oscillating discontinuity
removable
jump discontinuity
Itt jön egy érdekes függvény:
A kérdés, hogy folytonos-e ez a függvény az x=2 helyen.
Nos akinek látnoki képességei vannak az egyből tudja, hogy nem.
Lássuk hogyan derül ez ki rajz nélkül is.
4.16. Megadható-e az A szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen
az x=1 helyen?
És most beszéljünk a trigonometrikus függvények határértékéről.
Itt jön néhány izgalmas ügy.
Nos ez egy 0/0 típusú határérték és jegyezzük meg, hogy
Van itt egy másik nagyon remek 0/0 típusú eset is,
jegyezzük meg ezt is.
Sőt vannak ezeknek ilyen mutáns változataik is.
Ha tehát ki kell számolnunk ezt a határértéket:
Akkor megállapíthatjuk, hogy
és mivel ezért , tehát a mutáns változat szerint az eredmény 1.
Ez nagyszerű, most pedig nézzünk néhány feladatot.
Ha a szinuszban 2x van, de a nevezőben csak x, akkor cselhez kell folyamodni.
Itt először a számlálót és nevezőt is leosztjuk* x-el,
aztán tömegesen alkalmazzuk az előző cselt.
*tudományosabban fogalmazva egyszerűsítünk x-el
Nos ez egy elég unalmas feladat, de ha már itt van megoldjuk ezt is.
Most pedig jönnek az izgalmak.
A hangok azt súgják, hogy itt x2-tel kéne osztani.
Mármint egyszerűsíteni.
Ezeknek pedig jót tenne, ha nem külön-külön osztanánk x2-tel,
hanem egyben.
Itt jön egy még izgalmasabb eset.
Végül a legizgalmasabb.
Van egy ilyen, hogy
Alul is kiemelünk –et.
A számlálót és a nevezőt is beszorozzuk -el.
Most pedig jön egy trükk.
Meg egy másik trükk.
Itt jön egy érdekes függvény:
A kérdés, hogy folytonos-e ez a függvény az x=2 helyen.
Nos akinek látnoki képességei vannak az egyből tudja, hogy nem.
Lássuk hogyan derül ez ki rajz nélkül is.
4.16. Megadható-e az A szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen
az x=1 helyen?
Halmazok, metszet, unió, és egyebek
Van itt egy A halmaz
aminek a komplementere ez. Minden ami körülötte van.
A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha kerítünk az A halmaz mellé
egy B halmazt is.
A halmaz komplementere:
Az a rész, ami mindkettőben benne van az A és B halmazok metszete.
A és B halmazok metszete:
Ez pedig az A és B halmazok uniója.
A és B halmazok uniója:
Ha pedig fogunk egy ollót és szépen kivágjuk az A halmazból azt a részt
ami a B-ben is benne van, nos amit így kapunk az a két halmaz különbsége.
A és B halmazok különbsége:
És most lássuk, mi az a részhalmaz.
A-nak egy részhalmaza például a páros számok halmaza:
Vagy éppen részhalmaza a páratlan számok halmaza is:
És részhalmaza mondjuk a 3-mal osztható számok halmaza is:
Adottak az A és B halmazok:
Határozzuk meg…
a két halmaz metszetét!
a két halmaz unióját!
a B\V-t!
Egy biztosítóhoz az egyik hónapban 24 autós biztosítási kárigény érkezett, és ezek közül
8-an más kárigényt is benyújtottak. Lakásbiztosításra 7 igény érkezett, és egyéb igény 17.
30 olyan ügyfél volt, aki csak egy igényt nyújtott be, 1-1 olyan ügyfél volt, aki a lakáson
kívül még pontosan egy kárigéényt nyújtott be és nem volt olyan, aki mindhármat.
Készítsünk ábrát, és állapítsuk meg, hogy hányan vannak, akik pontosan két kárigényt
nyújtottak be!
Akik pontosan két kárigényt nyújtottak be:
Végül itt jön még egy nagyon érdekes mese bárányokról és számhalmazokról…
Beszélgessünk egy kicsit a számokról.
Ez itt például 3.
Ez pedig 4.
És néha sajnos szükség van negatív számokra is.
Így jutunk el az egész számok halmazáig, amit Z-vel jelölünk.
Aztán fölmerülhet az igény olyan számokra is,
amelyek arányokat fejeznek ki.
Ezeket racionális számoknak nevezzük.
Mondjuk ennek az egyenletnek
a megoldása:
A racionális számokat Q-val jelöljük.
Vannak aztán olyan egyenletek, amiknek
a megoldásai nem racionális számok.
Ilyen például ez az egyenlet:
És így megjelennek az irracionális számok,
amik feltöltik a racionális számok közötti
hézagokat a számegyenesen.
A racionális és az irracionális számok
alkotják együttesen a valós számokat.
Hogyha a számegyenest felszeleteljük részekre…
akkor intervallumokat kapunk.
Ez itt például az 1 és 5 közötti intervallum.
Az 1 és az 5 az intervallum végpontjai.
Olyankor, amikor a végpontok nincsenek benne az intervallumban…
az intervallumot nyílt intervallumnak hívjuk.
NYÍLT INTERVALLUM
Ha mindkét végpont benne van, akkor az a neve, hogy zárt intervallum.
ZÁRT INTERVALLUM
Előfordulhat az is, hogy az intervallum egyik vége nyílt, a másik pedig zárt.
BALRÓL NYÍLT, JOBBRÓL ZÁRT INTERVALLUM:
Az A halmaz
Most pedig nézzük, mi történik, hogyha két intervallumnak vesszük a metszetét…
vagy épp az unióját.
Az intervallumok
Az A halmaz legyen a [2,6] zárt intervallum, a B halmaz pedig az ]1,4[ nyílt intervallum.
Határozzuk meg ezeket:
Úgy tűnik, hogy a 4 nincs benne B-ben…
Így aztán amikor a B halmazt kivonjuk az A halmazból…
akkor a 4-et nem vonjuk ki, az benne marad A-ban.
És ezáltal egy mindkét végén zárt intervallumot kapunk.
Hát, ennyit az intervallumokról.
Próbáljuk meg eldönteni, hogy vajon egyenlő-e ez a két halmaz.
Két halmaz akkor egyenlő, hogyha ugyanazok az elemeik.
Nézzük meg…
Úgy néz ki, egyenlők.
Most lássuk mi a helyzet ezekkel:
Na, itt van egy kis gond.
Ezek az elemek nem ugyanazok.
Azért nem, mert az egyik maga is egy halmaz.
Így aztán C és D nem egyenlők.
Vannak tehát olyan halmazok, aminek az elemei is halmazok.
Mint amilyen például ez:
Ennek a halmaznak három eleme van.
Az egyik eleme egy egyelemű halmaz…
a másik eleme egy kételemű halmaz…
a harmadik eleme egy háromelemű halmaz.
És létezik olyan halmaz is, aminek egyáltalán nincsen eleme…
Ezt a halmazt üreshalmaznak nevezzük.
Az üreshalmaz jele egy ilyen áthúzott nulla.
Van itt egy A halmaz, és soroljuk föl az összes részhalmazát.
Itt jönnek az egyelemű részhalmazok.
Aztán vannak kételemű részhalmazok…
Bármelyik két elemet kiválaszthatjuk…
Így ezekből is három van.
És az egész halmaz is részhalmaznak számít…
De van itt mégvalami.
Az üreshalmaz is A-nak részhalmaza.
Ez így összesen 8 darab részhalmaz:
Hogyha ezeket most betesszük szépen egy újabb halmazba…
Akkor ezt az újabb halmazt az eredeti A halmaz hatványhalmazának nevezzük.
Az A hatványhalmazának 8 eleme van, és maguk az elemek is mind halmazok.
Próbáljuk meg kideríteni, hogy vajon hány elemű halmaz lesz B-nek a hatványhalmaza.
A hatványhalmaz elemei B részhalmazai.
Éppen itt is jönnek...
Az egyik ilyen részhalmaz maga a B…
Hogyha a 8-ast nem tesszük bele…
akkor egy újabb részhalmazt kapunk.
Aztán az is lehet, hogy a 7-est nem tesszük bele…
A 8-ast pedig vagy igen, vagy nem.
Lesz olyan részhalmaz is, amiben a 6-os nincs benne…
A 7-es pedig vagy benne van, vagy nem.
És így szép lassan kirajzolódik az összes lehetőség.
Az eredeti B halmaz minden eleménél két eset van: vagy kiválasztjuk, vagy nem.
Az összes lehetőség így
Az ilyen szorzatoknak van valami speciális neve…
Meg is van, úgy hívják, hogy hatványozás.
A 4 itt nem véletlen…
Ez a B halmaz elemszáma.
Egy H halmaz hatványhalmazának az elemszáma tehát:
Remek, hogy ezt is megtudtuk…
Van itt még egy halmazművelet, ami úgy működik, hogy két halmaz uniójából kivágja…
a metszetüket.
Ezt a műveletet szimmetrikus differenciának nevezzük, és így jelöljük:
Érdemes megjegyezni, hogy
És azt is, hogy
Most pedig lásuk, hogy a szimmetrikus differencia vajon asszociatív-e, tehát igaz-e, hogy:
Az ilyen halmazokkal kapcsolatos állítások igazolására az egyik módszer a rajzolgatás.
Készítünk egy Venn diagramot.
Nézzünk aztán, hogy igaz-e például ez:
Megint jön a Venn diagram.
Hát, ezt most egy kicsit végig kell gondolni.
Ezeknek kell vennünk az unióját…
és aztán kivonjuk a metszetüket.
Hopp, ez éppen a B halmaz.
Ez a Venn diagramos rajzolgatás hatalmas vizuális élményt nyújt.
De már ennél a rövid kis feladatnál is könnyű belezavarodni.
Jobb lenne tehát valamilyen megbízhatóbb módszer.
A megbízhatóbb módszer az lesz, hogy használjuk a halmazműveletekre vonatkozó azonosságokat.
Ennél a konkrét esetnél például azt, hogy a szimmetrikus differencia kommutatív és asszociatív:
Most pedig lássuk, hogy milyen halmazműveleti azonosságok vannak még…
Elérkezett az idő, hogy készítsünk egy listát a halmazokkal kapcsolatos azonosságokról.
Van néhány alap azonosság, mint például ezek itt:
Aztán itt vannak még a De Morgan azonosságok is:
Meg van ez a szimmetrikus differencia…
És most lássunk néhány feladatot. Bizonyítsuk be, hogy
Hogyha nagyon szeretünk rajzolgatni…
Ez itt a B halmaz komplementere…
Ez pedig az uniója az A-val.
Hogyha most még vesszük ennek a metszetét B-vel…
De létezik egy teljesen rajzmentes megoldás is.
Készítünk egy táblázatot, nullákkal és egyesekkel.
Az alaphalmaz minden eleme négy tulajdonság közül pontosan az egyikkel rendelkezik.
Vagy nem eleme sem A-nak, sem B-nek…
vagy A-nak eleme de B-nek nem…
vagy A-nak nem eleme de B-nek igen…
vagy A-nak és B-nek is eleme.
Más lehetőség nincs.
Most pedig szépen kitöltjük a táblázatot.
A komplementer úgy működik, hogy a 0-ból 1-et és az 1-ből 0-t csinál.
Aztán az unió a szokásos…
Olyan elemek vannak benne, amelyek legalább az egyik halmaznak eleme.
Végül vesszük ennek a metszetét B-vel.
Az egyenlőség másik oldalán egy sima A metszet B van.
És most hasonlítsuk össze a sorokat…
Ha mindegyik sor egyezik, akkor egyenlők.
Nézzünk meg egy másikat is. Igazoljuk, hogy fennáll ez az egyenlőség:
Hát, itt rajzolni már nem fogunk…
Jöhet a táblázat.
És most hasonlítsuk össze a sorokat…
Ha mindegyik sor egyezik, akkor egyenlők.
Végül itt jön még egy:
Hát, ez nem néz ki túl jól…
Kezdjük egy kis átalakítással.
Ezek csak olyankor egyenlők, hogyha A és B metszete üres.
És most megpróbálunk választ adni néhány nagyon nyugtalanító kérdésre.
Olyanokra, mint amilyen ez, hogyha A és B halmazokról tudjuk, hogy
akkor vajon igaz-e, hogy
Készítsünk ehhez egy rajzot.
Ezek olyankor egyenlők, hogyha A minden eleme B-ben is benne van…
és B minden eleme A-ban is benne van.
Röviden, ha A=B.
Hogyha A=B, akkor itt mindenhol a B-t lecseréljük…
És hopp, így minden sokkal egyszerűbbé válik.
Úgy néz ki, hogy ez tényleg igaz.
Nézzünk meg még egy ilyet…
Hogyha A és B halmazokról tudjuk, hogy
akkor vajon igaz-e, hogy
Kicsit rajzolgatunk…
Íme, a szimmetrikus differencia.
Ez olyankor lesz B-vel egyenlő, hogyha A nincs is…
Mármint, hogyha A az üreshalmaz.
a \
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges A és B halmazokra teljesül, hogy
Megint jön a szokásos táblázat.
Aztán megyünk szépen tovább.
Az unióban olyan elemek vannak, amelyek legalább az egyik halmaznak eleme.
És így szép lassan kitöltjük a táblázatot.
Most pedig hasonlítsuk össze a sorokat…
X akkor részhalmaza Y-nak…
ha minden elem, ami benne van X-ben, az benne van Y-ban is.
Lássuk, mi a helyzet itt.
.
X-ben csak ilyen típusú elemek vannak.
És ezek mind benne vannak Y-ban is.
A jelek szerint tehát .
Itt jön aztán egy rondább ügy. Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B és C halmazokra teljesül, hogy
Megint jön a táblázat…
Adottak a G és H halmazok:
Határozzuk meg a …. és … halmazokat!
Az A halmaz elemei a 28 pozitív osztói, a B halmaz elemei a 49 pozitív osztói.
Adjuk meg az … és … halmazokat elemeik felsorolásával!
28 pozitív osztói: 49 pozitív osztói:
Hány kételemű részhalmaza van a (2, 3, 5, 7, 11) halmaznak?
Egy városban 60 étterem, 56 bár és 36 reggeliző hely üzemel. Olyan, ami étterem és bár is egyben 16 darab van, ami reggelizőként és bárként is üzemel, olyanból 20 darab van, és ami reggeliző és étterem is, olyan 11 darab van. 4 olyan hely van, ami reggelizőként, étteremként és bárként egyszerre működik. Hány olyan bár működik a városban, ami nem étterem és nem reggeliző hely?
Mindig a közös metszettel érdemes kezdeni.
A jelek szerint 24 olyan bár működik a városban, ami nem étterem és nem reggeliző hely.
Van három halmaz, , és pedig a 12 pozitív osztóinak halmaza.
Ábrázoljuk ezeket a halmazokat és adjuk meg elemeinek a felsorolásával az és az halmazokat.
Lássuk, milyen számok vannak a B halmazban.
És itt jön a C halmaz.
Van itt ez a két halmaz.
És vannak olyan helyzetek, amikor szükség lenne arra, hogy összepárosítsuk az elemeiket…
Ezeket a párokat rendezett pároknak nevezzük.
A rendezett párok maguk is halmazok, a pontos definícióhoz pedig itt jön most egy kis unalmas elméleti bűvészkedés.
Az x és y által alkotott rendezett pár egy halmaz.
Ez a halmaz itt:
Az y és x által alkotott rendezett pár pedig egy másik halmaz.
A definíció nagyon ravasz, mert a régóta használt halmaz fogalomra vezeti vissza a rendezett pár fogalmát…
Közben pedig benne van a rendezett párnak az a tulajdonsága is, hogy a két elem sorrendje számít.
És most készítsük el az összes olyan rendezett párt, aminek az első eleme az A halmazból van, a második eleme pedig a B-ből…
Hát, még jó sok van…
A hét minden napjához tartozik 4 lehetőség:
Ez összesen 28 darab rendezett pár.
Na, még írjuk ide az utolsót…
És most a rendezett párokat betesszük szépen egy halmazba…
Ezt a halmazt hívjuk az A és B halmazok Descartes-szorzatának.
Vannak, akik úgy hívják, hogy direkt-szorzat. Ezt könnyebb leírni…
Az A és B halmazok Descartes-szorzata tehát úgy működik, hogy elkészítjük az összes lehetséges rendezett párt, aminek az első elemét A-ból vesszük, a másodikat pedig B-ből.
Hogyha például itt vannak ezek a halmazok…
akkor a Descartes-szorzatuk…
Az A és B halmazok Descartes-szorzatának elemszáma mindig a két halmaz elemszámának a szorzata.
Van itt ez az A halmaz…
És nézzük meg, mi történik akkor, hogyha megszorozzuk önmagával.
Hogyha az A halmazba betesszük még a 4-et is…
Akkor a helyzet már valahogy így néz ki.
Valahonnan mintha már ismerős lenne ez…
Ja meg is van, hogy honnan.
Hogyha az A halmaz éppen a valós számok halmaza, vagyis R…
akkor az RxR Descartes szorzat épp a koordinátarendszert adja.
Most pedig lássuk, mire használhatnánk a Descartes-szorzatot, jóra vagy rosszra…
Ha meg szeretnénk mondani, hogy egy héten milyen lesz az idő…
akkor szükségünk lesz hét darab rendezett párra.
Ezeket a rendezett párokat az A és B halmazok Descartes-szorzatából választjuk ki.
Minden napra csak egy elemet választhatunk.
Ezt jó lenne valahogy megüzenni a meteorológusoknak is…
Hogyha ugyanis mondjuk keddre két elemet is választunk…
na, akkor most esernyőt vigyünk vagy fürdőruhát?
A jó előrejelzés titka az, hogy ugyanarra a napra nem jósol két különböző időjárást…
Vagyis, ha van egy és egy akkor szükségképpen .
Hogyha ez varázslatos dolog teljesül, azt úgy nevezzük, hogy függvény.
Az f halmazt függvénynek nevezzük, ha minden eleme rendezett pár, és ha és akkor szükségképpen .
Ha keddre két elemet is választunk, akkor ez nem függvény.
Hogyha viszont csak egyet, akkor igen.
Ez azt jelenti, hogy a hét minden napjához hozzárendelünk valamilyen időjárást.
És ezzel eljutottunk az általános iskolából ismert függvény-ábrához.
Ez jó jel, ezek szerint, amit általános iskolában tanulunk, annak van értelme.
Rögtön folytatjuk.
Van itt ez a két halmaz…
Hogyha az egyik halmaz elemeihez hozzárendeljük a másik halmaz elemeit…
Akkor kiderül, hogy milyen idő lesz a héten.
Az is megeshet, hogy több nap is ugyanolyan lesz az idő…
Ezzel nincsen semmi baj.
De ha szombathoz például két különböző elemet is rendelünk…
Na, akkor most esernyőt vigyünk vagy fürdőruhát?
Hát igen, ez így nem túl egyértelmű…
Egy hozzárendelést egyértelműnek nevezünk, ha minden elemhez pontosan egy másik elemet rendel hozzá.
Teljesen mindegy, hogy melyiket…
egyedül az a fontos, hogy csak egyet.
Ez a hozzárendelés most egyértelmű.
Az egyértelmű hozzárendeléseket úgy hívjuk, hogy függvény.
Az ilyen egyértelmű hozzárendeléseknek az a neve, hogy függvény.
Adott az és nem üres halmaz.
Ha az A halmaz bizonyos elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a B halmaz bizonyos elemeit, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.
Simán előfordulhat, hogy az A halmaznak csak néhány eleméhez rendeljük hozzá…
a B halmaznak néhány elemét.
És az sem okoz problémát, ha több elemhez is ugyanazt rendeljük.
Egyedül az lenne baj, ha egy elemhez rendelnénk hozzá több elemet.
ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
ÉRTÉKKÉSZLET
Az értelmezési tartomány azoknak az elemeknek a halmaza az A halmazban… amikhez a függvény hozzárendel B halmazbeli elemeket.
Az értékkészlet pedig azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban…
amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.
Az értelmezési tartományt a domain szó alapján, ami egyébként azt jelenti, hogy tartomány így jelöljük:
De a gyengébb idegzetűek kedvéért szokás úgy is jelölni, hogy É.T.
Az értékkészlet jele pedig a range szó alapján, ami azt jelenti, hogy kiterjedés:
Ennek is van egy akadálymentesített jelölése, ami így szól, hogy É.K.
Egy hozzárendelést kölcsönösen egyértelműnek nevezünk, hogyha nem csak az egyik irányba egyértelmű…
hanem a másik irányba is.
Esetünkben ez most nem mondható el.
Az eső ugyanis pénteken és szombaton is esik.
Így aztán a visszafelé irányban az esőhöz a pénteket és a szombatot is hozzárendeljük.
Talán, ha pénteken sütne egy kicsit a nap…
az minden problémát megoldana.
Ez most egy kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés.
És most lássuk, mire is használhatnánk ezeket a függvényeket, jóra vagy rosszra…
Az függvény kölcsönösen egyértelmű, ha akkor .
Vagyis különbözö x-ekhez mindig különböző y-okat rendel.
A kölcsönösen egyértelmű függvények az injektív függvények.
Itt jön aztán egy másik izgalmas tulajdonság is.
Egy függvény szürjektív, hogyha az egész B halmaz előáll képként, vagyis B minden eleme hozzá van rendelva valamelyik A-beli elemhez.
Hát ez most éppen nem mondható el, a napsütés ugyanis kimarad…
Hogyha mondjuk csütörtökön sütne egy kicsit a nap…
Na, az segítene a dolgon.
Ez a függvény így már szürjektív.
És így is szürjektív.
Hogyha ráadásul még injektív is lenne…
Ehhez egy kicsit változatosabb időjárásra lesz szükség…
Akkor ez egy injektív és szürjektív függvény, amit úgy hívunk, hogy bijektív.
A kvantorok. Hogy mik?
Minden ember utálja a matekot…
Azért ez így nem teljesen igaz, itt van ugyanis például Bob.
És Bob szereti a matekot.
Ez az állítás, hogy „Minden ember utálja a matekot.” tehát hamis.
Azért hamis, mert „Van olyan ember, aki szereti”.
Az egészből elég annyit megjegyezni, hogy Bobnak nehéz gyerekkora volt.
Nem, valójában ne ezt jegyezzük meg.
Hanem azt, hogy ez a két állítás egymás tagadása.
Nézzünk erre még egy példát és rögtön minden érthető lesz.
Itt van például ez az állítás:
Minden mamut piros.
Ennek az állításnak a tagadása:
Nem minden mamut piros.
Van olyan mamut, ami nem piros.
Tehát annak a tagadása, hogy „minden”…
így szól, hogy „van olyan, ami nem”.
A matematikában ezek a kifejezések meglehetősen gyakran előfordulnak.
Így aztán külön jelölés van rájuk forgalomban.
Ezt a jelet úgy hívják, hogy univerzális kvantor.
Ezt a másikat pedig úgy, hogy egzisztenciális kvantor.
Ezeknek a jeleknek a segítségével komplett kis titkosírásokat hozhatunk létre.
Ez például azt jelenti, hogy minden x-re létezik olyan y, hogy x+y=1.
A dolog igaznak tűnik, tényleg mindig létezik ilyen y.
Vagy itt van például egy másik:
Ami azt jelenti, hogy létezik olyan x, hogy minden y-ra x+y=1.
Na, ez már sajnos nem igaz.
Nem létezik olyan x szám, ami azt tudná, hogy bármilyen y-t adunk hozzá 1-et kapunk.
De visszatérve egy kicsit a mamutokra…
Van itt ez az állítás:
Minden mamut sárga.
Válasszuk ki innen azokat, amik az állítás tagadása:
Egyik mamut sem sárga.
Van olyan mamut, ami sárga.
Van olyan mamut, ami nem sárga.
A legtöbb mamut nem sárga.
Nem minden mamut sárga.
Hogyha még emlékszünk Bobra…
akkor talán rémlik valami, hogy a „minden” tagadása így szól: „van olyan, ami nem”.
Ez tehát biztosan jó.
Ez a másik pedig csak megtévesztésből van itt…
Hiányzik belőle a „nem” szócska.
Ócska kis trükk…
Aztán nyilván ez is az eredeti állítás tagadása…
Hiszen a mágikus „nem” szócskát őseink éppen a tagadás kifejezésére fejlesztették ki.
Ezek pedig nem tagadásai az eredeti állításnak, csak rá kell nézni itt lent a mamutokra és kiderül.
Próbáljuk meg eldönteni, hogy vajon igaz vagy hamis a következő állítás:
Esik az eső és a mamut piros.
Hát, eléggé hamisnak tűnik.
gy néz ki egyáltalán nem.
A mondat első fele sem igaz…
és a másik fele sem.
Ha mondjuk az eső legalább esne…
Az állítás ettől továbbra is hamis maradna.
Egyetlen egy esetben lenne igaz…
Ha mindkét fele igaz.
Készítsünk ebből egy kis táblázatot.
igaz
hamis
Végülis a mamutokra és az esőre nincs is szükség.
Az „és”-re pedig bevezetünk egy jelölést.
Itt jön aztán egy másik állítás:
Esik az eső vagy a mamut piros.
Készítsünk erről is egy táblázatot.
Hogyha mindkét rész hamis…
akkor az egész állítás is hamis.
Ha a két rész közül valamelyik igaz…
akkor az egész állítás is igaz.
Hogyha pedig mindkét rész igaz…
Ilyen esetekben az emberek hétköznapi logikája nem nagyon tudja értelmezni a „vagy” szócskát.
A matematika viszont igen, és az állítás ebben az esetben is igaz.
A „vagy”-ra is létezik egy matematikai jelölés…
Éppen itt is van.
Egy ősi népi megfigyelés szerint:
Ha esik az eső, akkor a mamut piros.
Nézzük, mikor lesz ez az állítás igaz.
Nos, olyankor, amikor süt a nap…
teljesen mindegy, hogy milyen színű a mamut.
Hiszen csak olyankor kell pirosnak lennie, ha esik.
Ezt az állítást matematikailag így jelöljük:
Olyankor, amikor a kiinduló feltevés hamis, már bármi történhet…
Maga az állítás igaz lesz.
És olyankor is igaz lesz, ha mindkét rész igaz.
Egyetlen egy esetben lesz az állítás hamis.
Amikor esik az eső, de a mamut mégsem piros.
Ezek itt valójában ugyanolyan műveletek, mint az algebrában az összeadás vagy a szorzás.
És ugyanúgy nevük is van.
KONJUNKCIÓ
DISZJUNKCIÓ
IMPLIKÁCIÓ
Vannak aztán még további műveletek is.
Az egyik az ekvivalencia.
Az ekvivalencia jeléből is látszik, hogy ez egy olyan művelet, amikor
Tehát A-ból következik B és B-ből is következik A.
A dolog valójában még ennél is egyszerűbb, az egész azt jelenti, hogy A pontosan akkor igaz, amikor B.
Ezek a műveletek mind kétváltozós műveletek, vagyis kell hozzá egy A és egy B is.
Itt jön aztán egy olyan logikai művelet is, ami egyváltozós.
Ez a művelet a tagadás, vagyis a „nem A”.
Olyan, mint az algebrában az ellentett…
A művelet neve negáció.
Jók ezek a táblázatok, csak hát rémesen sok helyet foglalnak.
Kénytelenek leszünk egy kicsit egyszerűsíteni őket:
Na, így már sokkal jobb.
Most nézzünk egy izgalmas feladványt, ami azt tesztelte, hogy a hétköznapi emberek mennyire fogékonyak a matematikai logika iránt.
A teszt során az derült ki, hogy nem különösebben…
De lássuk a feladványt.
Van itt ez a négy darab kártya. Az egyik oldalán mindegyiknek egy szám áll, a másik oldalon pedig egy betű.
És van itt ez az állítás:
Ha a kártya egyik oldalán magánhangzó van, akkor a másik oldalán páros szám áll.
A kérdés az, legfeljebb hány kártyát kell megfordítanunk ahhoz, hogy kiderüljön igaz-e az állítás?
A tipikus rossz válaszokat bárki megtudhatja, hogyha elmondja ezt a kis feladványt ismerőseinek…
És most lássuk a jó választ.
Ez az állítás tulajdonképpen mindig igaz, kivéve egyetlen esetben.
Egyedül az okozza a bajt, amikor A igaz, de B hamis.
Ez megtörténhet itt, ha a túloldalon páratlan szám van…
És itt, ha a másik oldalon magánhangzó van.
A többi esetben vagy eleve A hamis, és akkor már mindegy…
vagy B igaz és akkor is mindegy.
Ezt a két kártyát kell tehát megfordítani.
Itt jön néhány állítás, és fogalmazzuk meg ezek tagadását.
Az ég kék és a fű zöld.
Az állítás tagadásának a táblázata úgy kell, hogy kinézzen…
hogy itt mindenhol 0 helyett 1 és 1 helyett pedig 0 van.
Hát, ilyen éppen van…
Csak A-t és B-t is tagadni kellene.
Ha esetleg elsőre ez kicsit zavarosnak tűnik, az teljesen normális...
Nézzük meg szépen lépésről lépésre, és minden ki fog derülni.
Az állítás tagadásában tehát „vagy”-nak kell lennie…
És úgy fog stimmelni a táblázat, ha külön-külön A-t és B-t is tagadjuk.
Valahogy így:
Az ég nem kék vagy a fű nem zöld.
Lássuk a táblázatot.
Úgy tűnik ez meg is van.
A táblázat utolsó oszlopában minden épp a fordítottja lett annak, ami eredetileg volt.
Ez tehát valóban az eredeti állítás tagadása.
Végül nézzünk meg még egyet.
Ha az ég kék, akkor a fű zöld.
Megint megnézzük a táblázatot…
és keresünk egy ezzel ellentéteset.
Ami itt 0 volt…
az ebben 1.
Most hasonlítsuk össze ezt a két sort.
Csak a B-nél van változás, így most csak a B-t kell tagadni.
Az eredeti állítás tagadásában tehát „és” fog szerepelni és 
.
Az ég kék és a fű nem zöld.
Az utolsó oszlop épp a fordítottja annak, mint ami eredetileg volt.
Ez tehát az állítás tagadása.
Most pedig őrülten izgalmas dolgokat fogunk csinálni.
Elkészítjük néhány állítás igazságtáblázatát.
Épp itt is van az első:
edu10
Hát, ez kész is.
És ami azt illeti, élénken emlékeztet az A vagy B tagadására.
Sőt ez maga az A vagy B tagadása.
Hogyha most elkészítenénk az igazságtáblázatát…
akkor az derülne ki, hogy az pedig A és B tagadása.
Lássuk aztán, mi a helyzet ezzel:
Már jön is az igazságtáblázat…
A jelek szerint ez éppen az tagadása.
Az ekvivalencia tagadása pedig ez volna…
Most pedig lássuk, mi a tagadása ennek a nagyon egyszerű mondatnak:
Ha az ég kék, akkor a fű zöld és a mamut piros.
Beazonosítjuk a szereplőket.
És íme, az állítás:
Ez pedig a tagadása…
Hát ez megvolna.
Az ég kék, és a fű nem zöld vagy a mamut nem piros.
Végül vannak itt ezek az állítások:
És készítsük el az igazságtáblázatukat.
Ez a táblázat élénken emlékeztet az ekvivalencia igazságtáblázatára…
Annyira emlékeztet, hogy az is.
A jelek szerint ez éppen A.
Ez leginkább erre emlékeztet…
Egy kis módosítással.
Csodás.
Van itt ez a két láda. Az egyikben arany van, a másik üres, a ládákon lévő feliratok pedig lehetnek igazak vagy hamisak is.
Anélkül, hogy hozzáérnénk a ládákhoz, meg tudjuk-e mondani, hogy melyikben van az arany?
Ha a másik ládában van az arany, akkor mindkét ládán hamis felirat van.
Az arany nem ebben a ládában van.
Kezdjük az első ládán szereplő felirattal.
Ez a felirat csak abban az esetben hamis…
ha az arany a másik ládában van…
és nem mindkét ládán van hamis felirat.
Mivel ez a felirat hamis, így a másik ládán lévőnek kell igaznak lennie.
De ez lehetetlen, hiszen az arany abban a ládában van.
Az első ládán lévő felirat tehát nem lehet hamis.
Lássuk, mi van akkor, ha az első ládán a felirat igaz.
Ha az arany mégis a másik ládában van…
akkor ennek a résznek is igaznak kéne lennie.
De ez lehetetlen.
Csak úgy lehet az első ládán igaz felirat, hogy az állítás első fele hamis.
És ekkor a másik láda üres ugyan, de a rajta lévő felirat igaz.
Ezúttal már három láda van. Az egyikben arany van, a másik kettő üres, a ládákon lévő feliratok pedig lehetnek igazak vagy hamisak is.
Anélkül, hogy hozzáérnénk a ládákhoz, meg tudjuk-e mondani, hogy melyikben van az arany?
A második ládán a felirat igaz.
Az arany ebben a ládában van és az első ládán a felirat hamis.
Az arany olyan ládában van, amin a felirat hamis.
Az első két láda felirata egy kicsit ellentmond egymásnak.
Az első ládán a felirat biztosan nem lehet igaz.
Így aztán a második ládán is hamis felirat van.
De ennek a második fele igaz…
tehát az első felének mindenképp hamisnak kell lennie.
Most nézzük a harmadik ládát.
Ha ez a felirat hamis, akkor az aranynak olyan ládában kell lennie, amin a felirat igaz.
Csakhogy nincs ilyen láda, mert ebben az esetben mindegyik felirat hamis.
A harmadik láda felirata csak igaz lehet.
És az arany nem lehet ebben a ládában.
Az arany az első ládában van.
Hát, ennyit a ládákról. Most pedig tegyünk egy kört a lovagok és lókötők szigetén.
Ezen a szigeten kétféle ember él, akik külsejük alapján teljesen egyformák.
Csak éppen a lovagok mindig igazat mondanak, a lókötők pedig mindig hazudnak.
Találkozunk két szigetlakóval.
X azt mondja:
Ha Y lovag, akkor én lókötő vagyok.
Y nem mond semmit.
Milyen típusú X és Y?
Kezdjük azzal, hogy mi van akkor, ha X hazudik.
Ez csak úgy lehetséges, ha Y lovag…
és X is lovag.
De ez lehetetlen, hiszen akkor X nem hazudhat.
X-nek mindenképpen igazat kell mondania.
X tehát lovag.
És Y nem lehet lovag…
mert akkor X-nek lókötőnek kéne lennie.
Vagyis Y lókötő.
Egy másik alkalommal három szigetlakóval találkozunk, akik ezt mondják:
X: Y lókötő és Z lovag.
Y: Lókötő vagyok és Z lovag.
Milyen típusú X, Y és Z?
Kezdjük azzal, hogy lovag ilyet nem mondhat…
Y tehát biztosan lókötő, mivel pedig az állítás első fele igaz…
a második felének mindenképpen hamisnak kell lennie.
Eddig tehát ott tartunk, hogy Y és Z is lókötő.
Ez azt jelenti, hogy X hazudik.
Így aztán X is lókötő.
Egy újabb esetben ismét három szigetlakóval találkozunk, akik ezt mondják:
Kezdjük azzal a lehetőséggel, hogy Y hazudik.
Ekkor annak a résznek is hazugságnak kell lenni, hogy lókötő vagyok.
De az a rész éppen igaz, ez tehát ellentmondás.
Y csak lovag lehet, és így ez a rész biztosan igaz.
És a jelek szerint X is igazat mond.
Vagyis mindhárman lovagok.
Végül egy újabb esetben ismét három szigetlakóval találkozunk, akik ezt mondják:
Ha X igazat mond és Y lovag…
akkor X-nek lókötőnek kéne lennie.
Ez ellentmondás.
X tehát hazudik, így X és Y is lókötő.
Hogyha Y lókötő, akkor neki is hazudnia kell, de mivel az állítás első fele igaz…
a második fele nem lehet igaz.
Tehát Z-nek lókötőnek kell lennie.
Van itt ez az állítás:
Az áldozat a szobában van, és ha nem találják meg, akkor holnap is ott lesz.
Lássuk, mi lesz ennek a tagadása.
Ehhez egy kicsit formalizáljuk:
A tagadás pedig a mi kis képleteink segítségével…
Ez valahogy így szól, hogy:
Az áldozat nincs a szobában, vagy nem találják meg és holnap nem lesz ott.
Ezeket a képleteket De Morgan azonosságoknak hívják.
Voltak már ilyenek a halmazoknál is…
De ezek most a logikai De Morgan azonosságok.
Azon kívül, hogy segítenek nekünk leírni egy állítás tagadását még rengeteg mágikus dolgot tudnak.
Nézzük meg például ezt:
Ha most ezt újra tagadjuk…
A dupla tagadás éppen kiejti egymást.
Itt pedig használhatjuk ezt.
És ezzel egy „Ha akkor” típusú állítást le tudtunk írni egy tagadás és egy „vagy” segítségével.
Ezzel az új kis képletünkkel az eredeti állítás egész jól átalakítható…
Az állítás pedig így szól…
Az áldozat a szobában van, és megtalálják vagy holnap is ott lesz.
De nem csak a „Ha akkor” típusú állításokat tudjuk lecserélni…
A De Morgan azonosságokkal ugyanis képesek vagyunk az „és”-t átalakítani „vagy”-ra és fordítva.
Nézzük meg például, hogyan nézne ki egy olyan világ, amiben csak tagadás meg „vagy” létezik:
Itt túl sok dolgunk nincsen…
És az ekvivalencia…
Na, itt még szükség van egy kis trükkre.
Az ekvivalencia azt jelenti, hogy A és B is egyszerre igaz…
vagy egyszerre hamis.
Ezzel fogjuk folytatni.
Egy ügyes kis trükk segítségével minden kifejezés feldarabolható teljesen különálló részekre.
Itt van például az ekvivalencia, ami azt jelenti, hogy A és B is egyszerre igaz…
vagy egyszerre hamis.
Az implikációnál pedig…
Vagy A és B is egyszerre igaz…
vagy A hamis és B igaz…
vagy A hamis és B is hamis.
A „vagy”-gyal elválasztott részek csak tagadást meg „és”-t tartalmaznak, így mindegyik ilyen rész pontosan egyféleképpen lehet igaz.
Az eredeti kifejezésnek ezt a felírását úgy hívjuk, hogy teljes diszjunktív normálforma.
Nézzük meg, hogy mi lesz például a teljes diszjunktív normálformája ennek:
Azzal kezdjük, hogy elkészítjük a szokásos igazságtáblázatot.
Aztán kiválogatjuk azokat az eseteket, amikor az egész kifejezés igaz.
Ezeket felírjuk szépen egymás után…
És hopp, már kész is a teljes diszjunkt normálforma.
Minden nem azonosan hamis kifejezésnek van teljes diszjunktív normálformája.
És éppen így kell elkészíteni, ahogy az előbb csináltuk.
Nézzük, mi lesz a teljes diszjunktív normálformája ennek itt:
Na, itt túl sok dolgunk nem lesz…
Lássunk még egyet.
Pompás.
Teljes
diszjunktív
normálformák
Itt az ideje, hogy megismerkedjünk az integrálással. Rögtön kétfélével is, a határozott és a határozatlan integrálással.
A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.
Van itt egy függvény
aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.
A határozatlan integrálás egészen máshogy működik.
Azért nevezzük határozatlannak, mert itt nincsenek a és b határai az integrálásnak, csak úgy egyszerűen integrálgatunk:
f(x) határozatlan integrálja egy függvény, amit primitív függvénynek neveztek el.
A primitív függvény jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et.
Ez a határozatlan integrálás tulajdonképpen nem más, mint a deriválás megfordítása.
Emiatt úgy is szokás emlegetni, mint antideriválás.
Lássunk néhány példát.
Itt van mondjuk ez:
Egy olyan függvényre van szükségünk, aminek a deriváltja 2x.
Ilyen függvény van, mégpedig az
Itt jön egy másik:
Olyan függvény is van, aminek deriváltja
Ha még emlékszünk rá
Ha valaki tudja, hogy mi az az abszolútérték, akkor nem fogja nagyon felzaklatni a hír, hogy az még kell ide. Ez amiatt van, mert az
függvényt negatív x-ekre is szeretnénk integrálni.
lnx viszont csak a pozitív x-eket szereti és ezt a kis problémát oldja meg az abszolútérték,
de elég annyit megjegyezni, hogy
Végül lássunk még egyet:
Mit kell deriválni vajon, hogy x2-et kapjunk?
Ez majdnem jó, csak el kell osztani 3-mal.
És még egy dolog. Ha deriváljuk az x2-et az persze 2x, de
Vagyis x2 után állhat tetszőleges konstans.
Sőt itt is, meg itt is.
Most pedig lássuk, mi a kapcsolat a határozott és a határozatlan integrálás között.
A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele.
Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.
Ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon, akkor
ez itt azt jelenti, hogy a primitív függvény megváltozása, vagyis először be kell helyettesíteni a b-t, aztán pedig kivonni belőle, hogy behelyettesítjük az a-t
Próbáljuk is ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.
Itt jön a primitív függvény, aminek vennünk kell a megváltozását 0-tól 1-ig.
Probléma akkor van, ha nem jut eszünkbe a primitív függvény.
Számoljuk ki például az
görbe alatti területét 0 és 1 között.
Addig semmi gond, hogy felírjuk mit kéne integrálni.
Az viszont már baj, hogy fogalmunk sincs, mi lehet a primitív függvény.
A problémát tehát a primitív függvények keresése vagyis a határozatlan integrálás fogja okozni.
Vagyis itt az ideje, hogy fejlesszük ezt a képességünket.
Az igény ugyanakkor egyre nagyobb volt arra, hogy a bonyolult fizikai folyamatokat képesek legyenek leírni, csak éppen az nem volt világos, hogyan. Az 1700-as évek elejéig kellett várni erre, amikor nyilvánosan is megjelent egy angol fizikus-matematikus fluxió elmélete, amely alapjaiban változtatta meg a fizika és a matematika működését. Az illetőt Isaac Newtonnak hívták és elméletét már az 1660-as években kidolgozta, de akkor még nem érezte teljesen késznek a megjelentetésre, ugyanis voltak benne bizonyos definiálásból eredő pontatlanságok. Nos, ezeket a kisebb pontatlanságokat csak 100 évvel később, az 1800-as évek elejére sikerült kiiktatnia Augustin Louis Cauchy francia mérnök-matematikusnak, így aztán utólag megállapíthatjuk, Newton akár azon nyomban is előállhatott volna elméletével, ezzel megkímélve magát egy felesleges hiúsági versenytől, amelyet a kor másik hatalmas gondolkodójával Gottfried Wilhelm Leibniz-cel vívott.
A dolog ugyanis úgy áll, hogy Newton és Leibniz lényegében egyszerre jött rá egymástól függetlenül és más-más okok által motiválva ugyanarra a dologra. Míg Newtont a fizikai világ matematikai leírása vezérelte, addig Leibniz – aki inkább volt filozófus, mint matematikus – egészen más irányból közelített a problémához. Newton egy módszert fejlesztett ki, amely képessé tette az emberiséget arra, hogy leírhassa a minket körülvevő világ fizikai folyamatait. Leírhassa, hogy ezáltal lehetőség nyíljon a problémák megoldására. Amint az később számos alkalommal kiderült, a probléma leírását egyáltalán nem követi azonnal a megoldás megtalálása, de ha leírni sem vagyunk képesek a problémát, akkor egészen biztosan nem tudjuk megoldani. Ezzel szemben Leibniz arra érzett rá, hogy az 1600-as évek matematikusai rátaláltak valamire, de „mintha bekötött szemmel jártak volna” nem voltak képesek ezt egy kerek egységes elméletté kidolgozni. Leibniz megtette azt a sorsdöntő lépést, hogy egységes és nagyon okos jelölést vezetett be és ezen jelölésének köszönhetően képes volt olyan új összefüggéseket is meglátni, melyeket maga Newton sem látott.
A Newton és Leibniz közötti prioritási vita voltaképpen azért volt igazán tragikus, mert ha nem egymással szemben, hanem egymás mellett dolgoztak volna, közösen talán képesek lettek volna betömni azokat a réseket, amelyeknek a betömésére még több mint 100 évet kellett várni.
A primitív függvények keresését úgy fogjuk kezdeni, hogy visszaemlékszünk néhány fontosabb függvény deriváltjára.
Itt van mindjárt az xn
Ha deriválunk, akkor a kitevő 1-el csökken. Ha integrálunk, akkor 1-el nő.
Kis probléma van ugyan, ha
De éppen itt jön a megoldás.
Aztán végre egy biztos pont az életünkben.
A lista elég hosszú lesz.
És ez még csak a kezdet. Most viszont tisztáznunk kell néhány nagyon fontos dolgot.
Itt az egyik:
de
És itt a másik:
Próbáljuk meg kitalálni, hogy mi lehet vajon
Logikusnak tűnik, hogy
De sajnos van egy kis gond:
Az integrálás a deriválás fordítottja, tehát ha egy függvényt integrálunk majd deriválunk, akkor pontosan vissza kell kapnunk az eredeti függvényt. Most viszont ez nem mondható el.
Nem kapjuk vissza az eredeti függvényt, mert a deriválásnál bejön ide ez a 3-as szorzó.
Mondjuk ezen lehet segíteni.
Ha a kitevőben valami ax+b típusú kifejezés szerepel
akkor az integrálásnál szorozni kell -val
Vegyük például ezt:
Most nem a kitevőben, hanem a nevezőben van egy ax+b típusú kifejezés.
Ez a módszer gyakran fog kelleni így hát valami közeli helyen raktározzuk el a fejünkben.
Most pedig jöjjenek az izgalmak!
Integrálni sokkal viccesebb elfoglaltság lesz, mint deriválni.
Itt van például egy szorzat.
Deriválni nagyon egyszerű, egyetlen szabályt kell csak megjegyeznünk és aztán bármilyen szorzatra használhatjuk.
Ha viszont integrálni kell, nos akkor a helyzet sokkal izgalmasabb.
Lesz legalább öt különböző szabály és ki kell tudnunk találni, hogy épp melyik módszerrel kell majd integrálni.
Egy apró változás és máris másik módszer kell.
Vagyis nem fogunk unatkozni.
Ahhoz, hogy sikerüljön felülkerekednünk ezeken a kis nehézségeken, az integrálási szabályokat úgy fogjuk csoportosítani, hogy a legegyszerűbbtől indulunk el és haladunk az egyre bonyolultabbak felé.
Lássuk a szabályokat.
INTEGRÁLÁSI SZABÁLYOK
A legelső szabály pont olyan, mint a deriválásnál. A konstans szorzó kivihető.
A második szabály az összegek integrálására vonatkozik. Még ez is olyan, mint a deriválásnál: összeget külön-külön integrálunk.
A szorzatokra vonatkozó szabály már izgalmasabb. Nincs ugyanis ilyen szabály.
Ha egy szorzatot kell integrálni, akkor több különböző módszert is választhatunk. Pontosan ötöt.
De azt is el kell majd tudnunk dönteni, hogy mikor melyik szabályra lesz szükség és ezt nem javasolt pénzfeldobással.
Szerencsére mindegyik módszerről lesz egy külön képsor, amiből kiderül róla hogyan kell használni, sőt az is kiderül majd, hogy mikor kell használni.
Aztán ugyanez a helyzet a törtekkel. Törtek integrálására is lesz néhány módszer. Lássuk csak, úgy kábé három.
És összetett függvényekre is van minimum kettő.
Úgyhogy vágjunk is bele.
Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk
Hát nem ez volt életünk legnehezebb integrálása.
És valószínűleg ez sem az lesz:
Itt az ideje, hogy lássunk valami érdekesebbet.
Jöhet a következő integrálási szabály.
Lássunk erre egy példát.
Itt jön egy másik.
És egy harmadik.
Néha bele kell fektetnünk egy kis energiát, hogy minden stimmeljen.
Itt van például ez:
Megkezdjük az azonosítást.
A jelek szerint kéne ide egy 6-os szorzó.
Így hát az integráláson belül szorzunk 6-tal, az integráljel előtt pedig osztunk.
Nézzük mi jöhet még.
Ezen még javítanunk kell egy kicsit, aztán hopp, kész is.
Itt jön aztán ez.
Vannak egészen trükkös esetek is.
Ilyenkor az fα a nevezőben van így először meg kell kérni, hogy jöjjön föl onnan,
és utána használhatjuk a képletet.
Itt van még egy.
És itt jön még egy.
Végül pedig nézzünk meg néhány bűvészmutatványt.
Nos ez az integrálási szabály ennyit tud. De van még bőven sok másik integrálási módszer is. Éppen itt jön a következő, ami az egyik legizgalmasabb.
A parciális integrálást szorzatok integrálására fejlesztették ki.
Az elnevezés onnan ered, hogy a szorzatot részenként fogjuk integrálni.
Nézzük meg hogyan.
Szükségünk van egy szereposztásra.
A szorzatban az egyik tényező lesz az f a másik pedig a g’.
Nem javasolt azonban ezt pénzfeldobással eldönteni.
Vagyis hasznos lenne egy jó ötlet ami alapján dönthetünk.
Próbáljuk meg először így.
A parciális integrálás célja, hogy egy bonyolultabb integrálásból egy egyszerűbb integrálást csináljon.
A szereposztás akkor jó, ha sikerül elérni ezt a célt.
Most nem sikerült.
Ez az integrálás ugyanis bonyolultabb mint az eredeti, mert x helyett x2 van benne.
Mit rontottunk el?
Nos a helyzet az, hogy a szereposztásnál van egy f és egy g’.
Menet közben az f-et deriváljuk, a g’-t integráljuk és ezek jelennek meg majd az új integrálásban.
Ha az x-et nevezzük g’-nek, akkor őt fogjuk integrálni, ezáltal a kitevőjét növeljük.
Ha az x-et nevezzük f-nek, akkor deriválni fogjuk és így a kitevője csökken.
Nekünk az a jó ha csökken.
Fordítva kell tehát elnevezni.
ezért fordítva kell elnevezni.
Ezzel a szereposztással az x-et deriváljuk és 1 lesz belőle.
Az ex-nek meg tökmindegy, belőle ugyanúgy ex lesz, mint az előbb.
És íme elértük célunkat, ez a második integrálás már valóban egyszerűbb.
Nézzünk meg még egyet.
Az eddigiek alapján úgy tűnik f=x2 lesz a nyerő választás.
A célunkat elértük, egy bonyolultabb integrálásból egy egyszerűbb integrálást csináltunk.
De még nem elég egyszerűt, ezért újra parciálisan integrálunk.
Az eddigiekből az derült ki, hogy mindig a szorzatban szereplő x hatványt érdemes f-nek nevezni.
Írjunk erről magunknak egy kis emlékeztetőt.
SZEREPOSZTÁS:
De túl szép lenne, ha nem lennének bosszantó kivételek.
Itt van például ez.
A feljegyzéseink alapján így kéne elnevezni.
Csak sajnos így nem jön ki semmi. Aki nem hiszi, próbálja ki és meglátja.
Éppen ezért fordítva nevezünk el.
Bővítjük a listánkat.
esetek,amikor fordítva kell elnevezni:
És még egy dolog.
Vannak itt ezek a függvények azokból az esetekből amikor fordítva kell elnevezni.
Nos próbáljuk meg őket integrálni.
Szükségünk lesz egy kis trükkre.
Parciálisan fogunk integrálni, a listánk alapján őket nevezzük f-nek és most jön a trükk: g’=1
Lássunk egy másikat is.
A parciális integrálás célja, hogy egy bonyolultabb integrálásból egy egyszerűbb integrálást csináljon.
Az előző képsorból kiderült hogyan működik a parciális integrálás, most pedig megoldunk még néhány igazán remek feladatot.
Itt jön például ez:
=f · g- f f’·g
Nézzünk meg még egyet.
f f·g’ =f·g- f f’·g
Parciálisan integrálunk, kiosztjuk a szerepeket:
=f · g - f f’·g
Itt jön még egy.
Nos van egy ilyen, hogy
Vigyázni kell ezzel a parciális integrálással, nagy mennyiségben ugyanis ártalmas lehet.
De talán még egy nem árthat meg.
Nos van egy ilyen is, hogy
Sőt egy ilyen is
=f · g - f f’·g
A parciális integrálás lényege tehát az, hogy bonyolultabb integrálásokból csinál egyszerűbb integrálásokat.
Azt a folyamatot, amikor egy bonyolultabb integrálás átalakul egy egyszerűbb integrálásra redukciónak nevezzük.
Itt jön néhány redukciós formula. Ezeket tulajdonképpen semmi értelme megjegyezni, mert bármikor ki tudjuk számolni.
Arra tudjuk őket használni, hogy elintézhessünk néhány kellemetlenebb integrálást.
Nos ez a csodálatos parciális integrálás ennyit tud. Szorzatokat lehet integrálni parciálisan, de nem akármilyen szorzatokat csak bizonyosakat. Mielőtt integrálunk, tehát meg kell győződnünk arról, hogy ez a szorzat parciálisan integrálható vagy valamilyen más integrálási módszerrel.
A parciális integrálást szorzatok integrálására fejlesztették ki.
Az elnevezés onnan ered, hogy a szorzatot részenként fogjuk integrálni.
Nézzük meg hogyan.
Szükségünk van egy szereposztásra.
A szorzatban az egyik tényező lesz az f a másik pedig a g’.
Nem javasolt azonban ezt pénzfeldobással eldönteni.
Vagyis hasznos lenne egy jó ötlet ami alapján dönthetünk.
Próbáljuk meg először így.
A parciális integrálás célja, hogy egy bonyolultabb integrálásból egy egyszerűbb integrálást csináljon.
A szereposztás akkor jó, ha sikerül elérni ezt a célt.
Most nem sikerült.
Ez az integrálás ugyanis bonyolultabb mint az eredeti, mert x helyett x2 van benne.
Mit rontottunk el?
Nos a helyzet az, hogy a szereposztásnál van egy f és egy g’.
Menet közben az f-et deriváljuk, a g’-t integráljuk és ezek jelennek meg majd az új integrálásban.
Ha az x-et nevezzük g’-nek, akkor őt fogjuk integrálni, ezáltal a kitevőjét növeljük.
Ha az x-et nevezzük f-nek, akkor deriválni fogjuk és így a kitevője csökken.
Nekünk az a jó ha csökken.
Fordítva kell tehát elnevezni.
ezért fordítva kell elnevezni.
Ezzel a szereposztással az x-et deriváljuk és 1 lesz belőle.
Az ex-nek meg tökmindegy, belőle ugyanúgy ex lesz, mint az előbb.
És íme elértük célunkat, ez a második integrálás már valóban egyszerűbb.
Nézzünk meg még egyet.
Az eddigiek alapján úgy tűnik f=x2 lesz a nyerő választás.
A célunkat elértük, egy bonyolultabb integrálásból egy egyszerűbb integrálást csináltunk.
De még nem elég egyszerűt, ezért újra parciálisan integrálunk.
Az eddigiekből az derült ki, hogy mindig a szorzatban szereplő x hatványt érdemes f-nek nevezni.
Írjunk erről magunknak egy kis emlékeztetőt.
SZEREPOSZTÁS:
De túl szép lenne, ha nem lennének bosszantó kivételek.
Itt van például ez.
A feljegyzéseink alapján így kéne elnevezni.
Csak sajnos így nem jön ki semmi. Aki nem hiszi, próbálja ki és meglátja.
Éppen ezért fordítva nevezünk el.
Bővítjük a listánkat.
esetek,amikor fordítva kell elnevezni:
És még egy dolog.
Vannak itt ezek a függvények azokból az esetekből amikor fordítva kell elnevezni.
Nos próbáljuk meg őket integrálni.
Szükségünk lesz egy kis trükkre.
Parciálisan fogunk integrálni, a listánk alapján őket nevezzük f-nek és most jön a trükk: g’=1
Lássunk egy másikat is.
A parciális integrálás célja, hogy egy bonyolultabb integrálásból egy egyszerűbb integrálást csináljon.
Az előző képsorból kiderült hogyan működik a parciális integrálás, most pedig megoldunk még néhány igazán remek feladatot.
Itt jön például ez:
=f · g- f f’·g
Nézzünk meg még egyet.
f f·g’ =f·g- f f’·g
Parciálisan integrálunk, kiosztjuk a szerepeket:
=f · g - f f’·g
Itt jön még egy.
Nos van egy ilyen, hogy
Vigyázni kell ezzel a parciális integrálással, nagy mennyiségben ugyanis ártalmas lehet.
De talán még egy nem árthat meg.
Nos van egy ilyen is, hogy
Sőt egy ilyen is
=f · g - f f’·g
A parciális integrálás lényege tehát az, hogy bonyolultabb integrálásokból csinál egyszerűbb integrálásokat.
Azt a folyamatot, amikor egy bonyolultabb integrálás átalakul egy egyszerűbb integrálásra redukciónak nevezzük.
Itt jön néhány redukciós formula. Ezeket tulajdonképpen semmi értelme megjegyezni, mert bármikor ki tudjuk számolni.
Arra tudjuk őket használni, hogy elintézhessünk néhány kellemetlenebb integrálást.
Nos ez a csodálatos parciális integrálás ennyit tud. Szorzatokat lehet integrálni parciálisan, de nem akármilyen szorzatokat csak bizonyosakat. Mielőtt integrálunk, tehát meg kell győződnünk arról, hogy ez a szorzat parciálisan integrálható vagy valamilyen más integrálási módszerrel.
TRIGONOMETRIKUS KIFEJEZÉSEK INTEGRÁLÁSA
A trigonometrikus kifejezések integrálása nem könnyű. Néhány egyszerűbb trükköt és a legfontosabb módszereket nézzük most meg. Kezdjük rögtön az egyik legizgalmasabbal.
A helyettesítéses integrálás egyik legfurább esete az u= tan(x/2)
Olyankor használjuk, ha a törtben sinx és cosx is csak első fokon szerepel.
A helyettesítés lényege a következő három azonosság:
Most pedig bűvészmutatványok következnek.
Aki nem annyira rajong a bűvészetért, ezt a részt átugorhatja.
Egy kisebb trükkel kezdünk:
Aztán egy közepes trükkel folytatjuk.
Végül egy záró trükk következik.
A bűvészkedésnek vége, és azt kaptuk, hogy
Végül még egy dolog.
A helyettesítésnél szükségünk van a kifejezett x deriváltjára is.
Nos ehhez először kifejezzük x-et.
Van egy ilyen, hogy
Így aztán pápá tangens, megvan az x.
És megvan a derivált is. Ugyebár
Jó hír, hogy az iménti a megpróbáltatásokat csak most az egyszer kellett elszenvednünk.
Innentől annyi dolgunk van, hogy följegyezzük ezeket és ha szükség lesz rá, csak megnézzük.
Itt jön egy feladat.
A módszer bonyolultabb esetekben is beválik:
Kicsit darabolgatunk
és aztán kész is.
A tangens x feles helyettesítés olyan esetekben használható amikor szinusz és koszinusz is első fokon szerepel. Más esetekben ez a tangens x feles helyettesítés nem igazán nyerő, ilyenkor másfajta helyettesítéseket érdemes alkalmazni
Hát ennyit erről.
Ez a tétel tulajdonképpen az összetett függvények integrálásáról szól. Csak sajnos az a gond az összetett függvényekkel, hogy az integrálásuk általában elég reménytelen vállalkozás.
Nem rendelkezik elemi primitívfüggvénnyel ezek közül a függvények közül egyik sem:
Ezeket az integrálokat tehát sajna nem tudjuk kiszámolni. Úgy értem nem ma, hanem egyáltalán. A helyzetünk akkor válik reménytelivé, ha ezek a függvények meg vannak szorozva a belső függvényeik deriváltjával.
néhány speciális esetet érdemes megjegyeznünk
Íme itt van hozzájuk pár feladat.
Vannak aztán olyan esetek is, amikor bele kell fektetnünk egy kis energiát, hogy minden stimmeljen.
alak eléréséhez.
Általában két lehetőség van.
A könnyebbik, amikor csak konstansban tér el az integrálandó függvény a reményteli állapottól, a másik, amikor már x-et tartalmazó tényezők is eltérnek.
Ha csak konstansbeli eltérés mutatkozik, az könnyen megoldható:
PÉLDÁK:
A másik lehetőség, már jóval kellemetlenebb. Nézzünk rá egy példát!
Első ránézésre ez egy
típusú esetnek tűnik, csakhogy van egy kis gond.
Itt ugyanis a kitevő deriváltjának kéne lennie, de az x2 deriváltja 2x.
Innen jön az ötlet, hogy ha ott 2x-nek kellene lennie, hát akkor írjunk oda 2x-et.
Persze így megváltoztatjuk a feladatot. Ahhoz, hogy ne változzon meg, ha beszorzunk 2x-el akkor el is kell vele osztani.
Be is szoroztunk 2x-el és el is osztottunk 2x-el, így az eredeti feladat nem változott meg.
Viszont itt megjelent a kitevő deriváltja, tehát most már tudjuk integrálni.
Az egetlen kérdés, hogy mihez kezdünk ezzel a résszel.
Parciálisan fogunk integrálni.
Itt még egy kicsit integrálunk, aztán kész is.
Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.
Ez a földarabolásos módszer általában akkor hasznos, ha a nevező egyetlen tagból áll, vagyis ha nincs a nevezőben összeadás.
De néha előfordulhat, hogy akkor is működik, ha van.
Vannak aztán egészen trükkös esetek is.
Na ennyit a feldarabolásról.
T2
Lássunk erre egy példát
deriváljuk
Itt jön egy másik:
Megeshet, hogy a számláló nem a nevező deriváltja, de majdnem.
Ilyen esetekben, hogy ihletet merítsünk, deriváljuk a nevezőt, és hasonlítsuk össze a számlálóval, hogy kiderüljön, mit kell tennünk a siker érdekében.
A számlálóban sajna csak x van, de nekünk 4x kéne.
A számlálót szorozzuk 4-gyel, cserébe pedig az integráljel előtt osztunk 4-gyel.
Nem csak az lehet baj, ha kevesebb x van a számlálóban, hanem az is, ha több.
A nevező deriváltja , de a számlálóban van, ami több, mint kéne, ezért kihozunk onnan egy 3-as szorzót.
Végül vannak egészen furmányos esetek is.
Vannak aztán trükkösebb esetek is.
HELYETTESÍTÉSES INTEGRÁLÁS
A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést u-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.
Nézzünk erre egy példát!
Az ilyen esetekben mindig az egész gyökös kifejezést érdemes elnevezni u-nak.
HASZNOS HELYETTESÍTÉSEK
Eddig jó, most pedig kifejezzük x-et.
Amit aztán feltehetően majd be fogunk helyettesíteni ide.
De sajna van itt még egy dolog.
Nos az, hogy a dx-et is le kell cserélni, mégpedig a következőképpen.
A kifejezett x-et deriváljuk u szerint.
Akit esetleg meglep amit lát, nos mindent meg tudok magyarázni.
A dolog úgy áll, hogy réges-régen az emberek még nem a jól ismert f’ jelölést használták a deriválásra, hanem azt, hogy
Vannak akik még ma is ezt használják.
Később aztán egyszerűsítették a jelöléseket, de valamilyen rejtélyes okból itt a
helyettesítéses integrálásnál mégis megmaradt az ősi módszer.
Szóval törődjünk bele, hogy a kifejezett x-nek a deriváltja nem a szokásos
hanem
Remélhetőleg azért senkinek nem lesznek álmatlan éjszakái emiatt.
Most pedig jön a helyettesítés.
Nos ez megvolna.
Nézzünk meg még egy ilyet.
A helyettesítéses integrálást érdemes használni akkor is, ha ronda összetett függvényekkel van dolgunk.
Ilyenkor általában a belső függvényt nevezzük el u-nak.
Most pedig parciálisan integrálunk.
Lássunk még egy ilyet.
Ebből ki kell fejeznünk x-et
egy kis trükk segítségével.
Van egy ilyen, hogy
úgyhogy ezzel megvolnánk.
Már csak deriválni kell u szerint.
És jöhet a helyettesítés.
Most pedig integrálunk. A nevező deriváltja
éppen a számláló.
Vannak aztán ezeknél izgalmasabb helyettesítések is.
Már jönnek is a következő képsorban. Persze csak azoknak akik kedvelik az izgalmakat.
A helyettesítéses integrálás úgy működik, hogy egy kifejezést u-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.
Eddig voltak a könnyebb helyettesítéses integrálások most pedig jöhetnek a nehezebbek. Kezdjük például a gyökös esetekkel.
Ha a gyök alatti kifejezés lineáris, az a kellemesebb ügy, ilyenkor mindig az egész gyökös kifejezést érdemes helyettesíteni.
Ha viszont a gyök alatti kifejezés nem lineáris, nos akkor egészen más a helyzet.
Ilyenkor nem is mindig helyettesítéssel érdemes próbálkozni.
Gyanakvásra ad okot, hogy a gyök alatti 1 – x4 deriváltja majdnem a számláló.
Így aztán nem helyettesítünk, hanem
az S2 névre keresztelt módszert használjuk.
De ha bosszantó módon a számlálóban nem x3 van hanem x2,
akkor az előző módszer nem működik.
Így hát elkeseredésünkben a helyettesítéses integrálást választjuk.
Íme a menü.
Most éppen erre lesz szükség.
Lássuk mi lesz ebből.
Most jön az, hogy deriváljuk x-et.
Először a külső függvényt deriváljuk,
aztán a belsőt.
Hát ez eddig nem tűnik túl bíztatónak. De nézzük a helyettesítést.
És most jön a lényeg.
Az egész helyettesítést azért csináljuk, mert
és így megszabadulunk a gyökjeltől.
Az már csak külön mázli, hogy egyszerűsíteni is tudunk.
Végül pedig kiderül, hogy ez életünk legkönnyebb integrálása.
Már csak annyi dolgunk van, hogy u helyére visszaírjuk, hogy mit is neveztünk u-nak.
Tényleg mit is neveztünk u-nak?
Most pedig mindkét oldalnak vesszük az arkusz szinuszát.
Ez a szinusz inverze, és így
Nézzünk meg még egy izgalmas esetet.
Most jön az, hogy megszabadulunk a gyökjeltől.
És most pedig jó lenne integrálni egyet.
Ehhez egy kis trükkre van szükség.
Már megint
Aztán pedig darabolunk (T1)
Végül u helyére visszaírjuk, hogy mit is neveztünk u-nak.
A következő történet a trigonometrikus függvények helyettesítéséről fog szólni.
Nézzünk meg egy gyökös esetet is ebben a j(t) belső függvényes verzióban.
Ilyenkor a nevezőben lévő gyökös kifejezést érdemes elnevezni t-nek,
tehát így és .
Ez utóbb lesz a j(t) függvény,
vagyis és .
A helyettesítést elvégezve feladatunk a következőképpen alakul:
Itt még t helyére vissza kell helyettesíteni és kész is.
HELYETTESÍTÉSES INTEGRÁLÁS
A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést u-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.
Nézzünk erre egy példát!
Az ilyen esetekben mindig az egész gyökös kifejezést érdemes elnevezni u-nak.
HASZNOS HELYETTESÍTÉSEK
Eddig jó, most pedig kifejezzük x-et.
Amit aztán feltehetően majd be fogunk helyettesíteni ide.
De sajna van itt még egy dolog.
Nos az, hogy a dx-et is le kell cserélni, mégpedig a következőképpen.
A kifejezett x-et deriváljuk u szerint.
Akit esetleg meglep amit lát, nos mindent meg tudok magyarázni.
A dolog úgy áll, hogy réges-régen az emberek még nem a jól ismert f’ jelölést használták a deriválásra, hanem azt, hogy
Vannak akik még ma is ezt használják.
Később aztán egyszerűsítették a jelöléseket, de valamilyen rejtélyes okból itt a
helyettesítéses integrálásnál mégis megmaradt az ősi módszer.
Szóval törődjünk bele, hogy a kifejezett x-nek a deriváltja nem a szokásos
hanem
Remélhetőleg azért senkinek nem lesznek álmatlan éjszakái emiatt.
Most pedig jön a helyettesítés.
Nos ez megvolna.
Nézzünk meg még egy ilyet.
A helyettesítéses integrálást érdemes használni akkor is, ha ronda összetett függvényekkel van dolgunk.
Ilyenkor általában a belső függvényt nevezzük el u-nak.
Most pedig parciálisan integrálunk.
Lássunk még egy ilyet.
Ebből ki kell fejeznünk x-et
egy kis trükk segítségével.
Van egy ilyen, hogy
úgyhogy ezzel megvolnánk.
Már csak deriválni kell u szerint.
És jöhet a helyettesítés.
Most pedig integrálunk. A nevező deriváltja
éppen a számláló.
Vannak aztán ezeknél izgalmasabb helyettesítések is.
Már jönnek is a következő képsorban. Persze csak azoknak akik kedvelik az izgalmakat.
A helyettesítéses integrálás úgy működik, hogy egy kifejezést u-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.
Eddig voltak a könnyebb helyettesítéses integrálások most pedig jöhetnek a nehezebbek. Kezdjük például a gyökös esetekkel.
Ha a gyök alatti kifejezés lineáris, az a kellemesebb ügy, ilyenkor mindig az egész gyökös kifejezést érdemes helyettesíteni.
Ha viszont a gyök alatti kifejezés nem lineáris, nos akkor egészen más a helyzet.
Ilyenkor nem is mindig helyettesítéssel érdemes próbálkozni.
Gyanakvásra ad okot, hogy a gyök alatti 1 – x4 deriváltja majdnem a számláló.
Így aztán nem helyettesítünk, hanem
az S2 névre keresztelt módszert használjuk.
De ha bosszantó módon a számlálóban nem x3 van hanem x2,
akkor az előző módszer nem működik.
Így hát elkeseredésünkben a helyettesítéses integrálást választjuk.
Íme a menü.
Most éppen erre lesz szükség.
Lássuk mi lesz ebből.
Most jön az, hogy deriváljuk x-et.
Először a külső függvényt deriváljuk,
aztán a belsőt.
Hát ez eddig nem tűnik túl bíztatónak. De nézzük a helyettesítést.
És most jön a lényeg.
Az egész helyettesítést azért csináljuk, mert
és így megszabadulunk a gyökjeltől.
Az már csak külön mázli, hogy egyszerűsíteni is tudunk.
Végül pedig kiderül, hogy ez életünk legkönnyebb integrálása.
Már csak annyi dolgunk van, hogy u helyére visszaírjuk, hogy mit is neveztünk u-nak.
Tényleg mit is neveztünk u-nak?
Most pedig mindkét oldalnak vesszük az arkusz szinuszát.
Ez a szinusz inverze, és így
Nézzünk meg még egy izgalmas esetet.
Most jön az, hogy megszabadulunk a gyökjeltől.
És most pedig jó lenne integrálni egyet.
Ehhez egy kis trükkre van szükség.
Már megint
Aztán pedig darabolunk (T1)
Végül u helyére visszaírjuk, hogy mit is neveztünk u-nak.
A következő történet a trigonometrikus függvények helyettesítéséről fog szólni.
Nézzünk meg egy gyökös esetet is ebben a j(t) belső függvényes verzióban.
Ilyenkor a nevezőben lévő gyökös kifejezést érdemes elnevezni t-nek,
tehát így és .
Ez utóbb lesz a j(t) függvény,
vagyis és .
A helyettesítést elvégezve feladatunk a következőképpen alakul:
Itt még t helyére vissza kell helyettesíteni és kész is.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA
A racionális törtfüggvények integrálása roppant szórakoztató dolog.
A történet azzal fog kezdődni, hogy kifejlesztjük magunkban az úgynevezett elemi törtek integrálásának képességét.
Kétféle elemi tört létezik:
I. II.
Az első típusú elemi tört nevezője elsőfokú, számlálója pedig egy konstans.
A második típusú elemi tört nevezője másodfokú, ami nem alakítható elsőfokú tényezők szorzatára, a számlálója pedig elsőfokú.
Lássuk, hogyan kell integrálni az elemi törteket.
Aztán an egy ilyen, hogy
A számlálót egy kicsit átalakítjuk, hogy megjelenjen benne a nevező deriváltja.
Ez még ide kéne, ezért hozzá is adjuk meg le is vonjuk.
És íme, megjelent a nevező deriváltja a számlálóban.
Valami konstans tag társaságában.
Most pedig felbontjuk a törtet két tört összegére:
Ez első integrálás kész is:
A másodikkal még szenvedünk egy kicsit.
A nevezőben teljes négyzetet alakítunk ki.
Itt a nevezőben megjelenik a teljes négyzet. A mögötte létrejövő tagot az egyszerűség kedvéért elnevezzük D-nek.
Őket itt elnevezzük D-nek és aztán hopp:
Most pedig oldjunk meg egy feladatot.
Bármilyen racionális törtfüggvényt nagyon egyszerűen tudunk integrálni. Mindössze annyit kell tennünk, hogy fölbontjuk elemi törtekre és az elemi törteket az előbbi módszereinkkel integráljuk.
Éppen itt is van egy feladat:
Elsőként ellenőrizzük, hogy a számláló foka kisebb-e mint a nevezőé. Ha ugyanis ez nem teljesül, akkor polinomosztásra van szükség.
A polinomosztás egy marhajó dolog, majd később megnézzük, most azonban szerencsére nincs rá szükség.
A számláló ugyanis másodfokú, a nevező meg harmadfokú.
Megkezdjük az elemi törtekre bontást. Ehhez a nevezőt elsőfokú és tovább nem bontható másodfokú tényezők szorzatára kell bontanunk.
x-et ki tudunk emelni, ez pedig már nem bontható tovább, mert negatív a diszkriminánsa.
Kész van tehát a szorzattá alakítás.
Ezek lesznek a parciális törtek nevezői.
Most ki kell találnunk a számlálókat. Egyelőre nem a konkrét számlálókat, hanem a paraméteres alakjukat. Lássuk mit is jelent ez.
Feltett szándékunk az elemi törtekre való bontás. Elemi törtből márpedig kétféle van.
Az I. típusú elemi tört olyan, hogy nevezője elsőfokú.
A II. típusú elemi tört olyan, hogy a nevezője másodfokú, és nem bontható szorzattá.
A felbontás során mindig a nevezőkből indulunk ki. Az első tört nevezője szemmel láthatóan elsőfokú, így ez minden bizonnyal csak egy I. típusú elemi tört lehet. A számláló tehát valami A.
A második tört nevezője viszont egy másodfokú kifejezés, így hát ez a tört szükségképpen II. típusú, ekként számlálója AX+B alakú.
Nos A már foglalt, tehát mondjuk Bx+C lesz a számláló.
Most pedig kiszámoljuk, hogy mennyi vajon A, B és C.
Ehhez őket kell egy kicsit nézegetnünk.
Beszorzunk a nevezőkkel,
és felbontjuk a zárójeleket
Aztán pedig megnézzük, hogy jobb oldalon hány x2 van, hány x van és mennyi a konstans tag.
Mert pontosan ugyanennyi van bal oldalon is.
Megoldjuk az egyenletrendszert.
Az első tört kész is, a második egy kicsit tovább fog tartani.
Először kialakítjuk a nevező deriváltját, majd
Racionális törtfüggvényeket tehát úgy integrálunk, hogy először parciális törtekre bontjuk, majd ezeket a parciális törteket integráljuk. Maga a parciális törtekre bontás nem nehéz és a parciális törtek integrálása sem igényel különösebb szaktudást. Ez remek.
Bármilyen racionális törtfüggvényt nagyon egyszerűen tudunk integrálni. Mindössze annyit kell tennünk, hogy fölbontjuk elemi törtekre és az elemi törteket az előbbi módszereinkkel integráljuk.
Éppen itt is van egy feladat:
Elsőként ellenőrizzük, hogy a számláló foka kisebb-e mint a nevezőé. Ha ugyanis ez nem teljesül, akkor polinomosztásra van szükség.
A polinomosztás egy marhajó dolog, majd később megnézzük, most azonban szerencsére nincs rá szükség.
A nevezőt szorzattá alakítjuk. Emeljünk ki x-et.
Aztán nézzük meg, hogy a másodfokú tényező tovább bontható-e.
Úgy tűnik igen. Ha valaki nem érzi magában az erőt, hogy ilyen szorzattá alakítást megcsináljon, nos neki itt van ez a remek kis képlet:
ahol
Kész a szorzattá alakítás. Ezek lesznek a parciális törtek nevezői.
A számlálókat mindig a nevezőkből következtetjük ki.
Mivel mindhárom nevező elsőfokú, mindhárom tört I. típusú elemi tört, így a számlálók A, B és C.
Most pedig kiszámoljuk, hogy mennyi vajon A, B és C.
Ehhez őket kell egy kicsit nézegetnünk.
Beszorzunk a nevezőkkel,
aztán pedig jön egy trükk.
Nézzük meg mi történik, ha x helyére nullát írunk.
Most próbáljuk meg kiszámolni, hogy mennyi lehet B.
Ehhez ezeket kéne kinullázni.
Végül pedig C kiszámolásához ezeket fogjuk kinullázni.
Ha esetleg nem tetszett a trükk, megtehetjük azt is, hogy felbontjuk a zárójeleket:
Aztán pedig megnézzük, hogy jobb oldalon hány x2 van, hány x van és mennyi a konstans tag.
Mert pontosan ugyanennyi van bal oldalon is.
Megoldjuk az egyenletrendszert.
Itt egy újabb racionális törtfüggvény:
A nevezőt most is elsőfokú és tovább nem bontható másodfokú tényezők szorzatára kell bontani.
Lássuk csak felbontható-e ez.
Nos úgy tűnik igen.
Most jön az elemi törtekre bontás. Mint látjuk, a nevezőben az egyik elsőfokú tényező kétszer is szerepel. Ilyenkor az elemi törtekre bontásnál van egy kis trükk.
Az egyik elemi tört nevezője (2x+1) a másiké pedig (2x+1)2.
A számlálókat most is a nevezőkből következtetjük ki.
Mivel mindhárom nevező elsőfokú, vagy elsőfokú tag hatványa, ezért mindhárom tört I. típusú elemi tört, így a számlálók A, B és C.
Most pedig lássuk mennyi A, B, és C.
Az előző képsorban látott trükkös módszert fogjuk használni.
Először ezeket nullázzuk ki:
Ezeket nem tudjuk egyszerre kinullázni, úgyhogy az A kicsit nehezebben jön ki.
Nos írjunk mondjuk x helyére 0-t.
Írhatnánk 666-ot is, de akkor nehezebb lenne számolni.
Ezeket már könnyű integrálni.
Bármilyen racionális törtfüggvényt nagyon egyszerűen tudunk integrálni. Mindössze annyit kell tennünk, hogy fölbontjuk elemi törtekre és az elemi törteket az előbbi módszereinkkel integráljuk.
Éppen itt is van egy feladat:
Elsőként ellenőrizzük, hogy a számláló foka kisebb-e mint a nevezőé. Ha ugyanis ez nem teljesül, akkor polinomosztásra van szükség.
A polinomosztás egy marhajó dolog, majd később megnézzük, most azonban szerencsére nincs rá szükség.
A nevezőt szorzattá alakítjuk. Emeljünk ki x-et.
Aztán nézzük meg, hogy a másodfokú tényező tovább bontható-e.
Úgy tűnik igen. Ha valaki nem érzi magában az erőt, hogy ilyen szorzattá alakítást megcsináljon, nos neki itt van ez a remek kis képlet:
ahol
Kész a szorzattá alakítás. Ezek lesznek a parciális törtek nevezői.
A számlálókat mindig a nevezőkből következtetjük ki.
Mivel mindhárom nevező elsőfokú, mindhárom tört I. típusú elemi tört, így a számlálók A, B és C.
Most pedig kiszámoljuk, hogy mennyi vajon A, B és C.
Ehhez őket kell egy kicsit nézegetnünk.
Beszorzunk a nevezőkkel,
aztán pedig jön egy trükk.
Nézzük meg mi történik, ha x helyére nullát írunk.
Most próbáljuk meg kiszámolni, hogy mennyi lehet B.
Ehhez ezeket kéne kinullázni.
Végül pedig C kiszámolásához ezeket fogjuk kinullázni.
Ha esetleg nem tetszett a trükk, megtehetjük azt is, hogy felbontjuk a zárójeleket:
Aztán pedig megnézzük, hogy jobb oldalon hány x2 van, hány x van és mennyi a konstans tag.
Mert pontosan ugyanennyi van bal oldalon is.
Megoldjuk az egyenletrendszert.
Itt egy újabb racionális törtfüggvény:
A nevezőt most is elsőfokú és tovább nem bontható másodfokú tényezők szorzatára kell bontani.
Lássuk csak felbontható-e ez.
Nos úgy tűnik igen.
Most jön az elemi törtekre bontás. Mint látjuk, a nevezőben az egyik elsőfokú tényező kétszer is szerepel. Ilyenkor az elemi törtekre bontásnál van egy kis trükk.
Az egyik elemi tört nevezője (2x+1) a másiké pedig (2x+1)2.
A számlálókat most is a nevezőkből következtetjük ki.
Mivel mindhárom nevező elsőfokú, vagy elsőfokú tag hatványa, ezért mindhárom tört I. típusú elemi tört, így a számlálók A, B és C.
Most pedig lássuk mennyi A, B, és C.
Az előző képsorban látott trükkös módszert fogjuk használni.
Először ezeket nullázzuk ki:
Ezeket nem tudjuk egyszerre kinullázni, úgyhogy az A kicsit nehezebben jön ki.
Nos írjunk mondjuk x helyére 0-t.
Írhatnánk 666-ot is, de akkor nehezebb lenne számolni.
Ezeket már könnyű integrálni.
Íme itt egy összefoglaló példa, amin minden fontos lépést megnézhetünk.
Rossz hír. Elsőként polinomosztásra lesz szükség, mivel a számlálónak kisebb fokúnak kell lennie, mint a nevezőnek.
Ez a polinomosztás pont olyan, mint az a fajta osztás amit az általános iskolában tanultunk.
Például 25:7=3 és a maradék 4
Vagyis
Na éppen ez lesz a polinomosztásnál is.
eredmény maradék
Itt jön a polinomosztás:
Eddig minden O.K.
De itt még nincs ám vége.
A kapott eredményt visszaszorozzuk az osztóval,
és levonjuk az osztandóból.
Aztán megint osztunk és ezt addig ismételgetjük, míg az osztandó fokszáma végül alacsonyabb lesz, mint az osztóé.
Hopp, most alacsonyabb lett, úgyhogy kész.
Az első két tagot integráljuk, aztán rátérünk a törtre, ahol a számláló már kisebb fokú, mint a nevező.
A nevezőt ezúttal is elsőfokú és tovább nem bontható másodfokú tényezők szorzatára kell bontani. Először kiemelünk x2-et.
Aztán megnézzük, hogy a maradék másodfokú rész szorzattá alakítható-e. Kiderül, hogy nem. Azért nem, mert nincs valós megoldása az egyenletnek.
Az x2 viszont szorzattá alakítható.
Most jön az elemi törtekre bontás.
Ha a nevezőben valami ax+b elsőfokú kifejezés négyzete szerepel úgy bontunk elemi törtekre,
hogy az egyik elemi tört nevezője ax+b,
a másiké (ax+b)2.
Most ki kell találnunk a számlálókat. Az első tört nevezője úgy tűnik elsőfokú, így a számláló valami A.
A második tört nevezője elsőfokú kifejezés négyzete ezért itt a számláló szintén valami A, de mivel A már foglalt, legyen B.
Végül a harmadik törtünk nevezője egy másodfokú kifejezés, így hát ennek a számlálója valami Ax+B alakú kell, hogy legyen, ám A és B már foglalt, tehát legjobb lesz a Cx+D.
Most pedig kiszámoljuk, hogy mennyi A, B, C és D.
Beszorzunk a nevezőkkel.
Aztán fölbontjuk a zárójeleket.
És megnézzük, hogy jobb oldalon hány x3 van, hány x2 van, hány x van és mennyi a konstans tag.
Mert pontosan ugyanennyi van bal oldalon is.
Az első két tagot nagyon könnyű integrálni.
A harmadik tagból meg ez lesz:
Az első tag célunknak megfelelően f’/f, míg a második tag arcustangensre vezet.
Hát ez kész.
Végezetül még egy példa:
Mindenekelőtt a nevezőt elsőfokú vagy tovább már nem bontható másodfokú tényezők szorzatára kell bontani. A felbontás egyáltalán nem triviális, ugyanis a nevezőnek valós gyöke nincsen. A szorzat alak:
Ekkor:
A nevezőben lévő tényezők lesznek a parciális törtek nevezői. Mivel mindkét tényező tovább nem bontható másodfokú kifejezés, a jelek szerint két II. típusú elemi tört összegét kapjuk:
Rátérünk A, B, C, D meghatározására.
Beszorzunk:
majd átalakítunk
végül jön a szokásos egyenletrendszer:
A megoldások: , így
A két törtet külön-külön fogjuk integrálni.
Az első tört:
Ebből arctgx-nek egy lineáris helyettesítése lesz:
A második tört szimmetriai okok miatt:
A feladat megoldása az előbbiekben kapott kifejezések összege:
Ne feledjük azonban, a racionális törtfüggvények integrálásának módszerét csak akkor érdemes alkalmazni, ha már semmilyen más módszer nem bizonyul használhatónak. Ezt az iménti feladatot némileg gyorsabban S4 segítségével már korában megoldottuk!
TRIGONOMETRIKUS KIFEJEZÉSEK INTEGRÁLÁSA
A trigonometrikus kifejezések integrálása nem könnyű. Néhány egyszerűbb trükköt és a legfontosabb módszereket nézzük most meg. Kezdjük rögtön az egyik legizgalmasabbal.
A helyettesítéses integrálás egyik legfurább esete az u= tan(x/2)
Olyankor használjuk, ha a törtben sinx és cosx is csak első fokon szerepel.
A helyettesítés lényege a következő három azonosság:
Most pedig bűvészmutatványok következnek.
Aki nem annyira rajong a bűvészetért, ezt a részt átugorhatja.
Egy kisebb trükkel kezdünk:
Aztán egy közepes trükkel folytatjuk.
Végül egy záró trükk következik.
A bűvészkedésnek vége, és azt kaptuk, hogy
Végül még egy dolog.
A helyettesítésnél szükségünk van a kifejezett x deriváltjára is.
Nos ehhez először kifejezzük x-et.
Van egy ilyen, hogy
Így aztán pápá tangens, megvan az x.
És megvan a derivált is. Ugyebár
Jó hír, hogy az iménti a megpróbáltatásokat csak most az egyszer kellett elszenvednünk.
Innentől annyi dolgunk van, hogy följegyezzük ezeket és ha szükség lesz rá, csak megnézzük.
Itt jön egy feladat.
A módszer bonyolultabb esetekben is beválik:
Kicsit darabolgatunk
és aztán kész is.
A tangens x feles helyettesítés olyan esetekben használható amikor szinusz és koszinusz is első fokon szerepel. Más esetekben ez a tangens x feles helyettesítés nem igazán nyerő, ilyenkor másfajta helyettesítéseket érdemes alkalmazni
Hát ennyit erről.
Ha α és β közül valamelyik páratlan, akkor nyert ügyünk van.
Nézzünk meg egy konkrét példát.
A páratlan kitevős tényezőt fogjuk felbontani másodfokú, és egy darab elsőfokú tényezők szorzatára.
Aztán jön egy kis trükk.
Végül beszorzunk és megjelenik egy régi ismerős:
Ha cosx kitevője magasabb fokú, az sem jelent problémát.
Megint a páratlan kitevős tényezőt fogjuk felbontani néhány másodfokú, és egy darab elsőfokú tényező szorzatára.
Aztán szükségünk lesz erre a köbös azonosságra:
Végül megint jön ez:
Ha α és β közül mindkettő páros, akkor ez a módszer nem működik.
Ilyenkor úgynevezett linearizáló azonosságokat fogunk használni.
Lássunk egy ilyet is.
Ha még emlékszünk rá, volt egy ilyen, hogy
Na ezt fogjuk most használni.
A saját farkába harapó kígyó esete
Ezekben az esetekben parciálisan integrálunk és aztán kicsit bűvészkedünk.
Nézzük meg, mondjuk ezt:
Itt a szereposztás teljesen mindegy, bárhogy nevezünk, el ugyanaz jön ki.
Újra parciálisan integrálunk.
És ezzel éppen visszakaptuk az eredeti feladatot.
Ha most folytatnánk az integrálást, akkor kétszer egymás után parciálisan integrálva újra visszakapnánk az eredeti feladatot.
És ezt akár egészen életünk végéig folytathatnánk. De ez elég unalmas lenne, ezért inkább jön a trükk.
A trükk lényege, hogy írjuk föl egy egyenlet formájában ami eddig kijött.
És oldjuk meg az egyenletet.
Nézzünk meg még egyet.
Ha α és β közül valamelyik páratlan, akkor nyert ügyünk van.
Nézzünk meg egy konkrét példát.
A páratlan kitevős tényezőt fogjuk felbontani másodfokú, és egy darab elsőfokú tényezők szorzatára.
Aztán jön egy kis trükk.
Végül beszorzunk és megjelenik egy régi ismerős:
Ha cosx kitevője magasabb fokú, az sem jelent problémát.
Megint a páratlan kitevős tényezőt fogjuk felbontani néhány másodfokú, és egy darab elsőfokú tényező szorzatára.
Aztán szükségünk lesz erre a köbös azonosságra:
Végül megint jön ez:
Ha α és β közül mindkettő páros, akkor ez a módszer nem működik.
Ilyenkor úgynevezett linearizáló azonosságokat fogunk használni.
Lássunk egy ilyet is.
Ha még emlékszünk rá, volt egy ilyen, hogy
Na ezt fogjuk most használni.
A saját farkába harapó kígyó esete
Ezekben az esetekben parciálisan integrálunk és aztán kicsit bűvészkedünk.
Nézzük meg, mondjuk ezt:
Itt a szereposztás teljesen mindegy, bárhogy nevezünk, el ugyanaz jön ki.
Újra parciálisan integrálunk.
És ezzel éppen visszakaptuk az eredeti feladatot.
Ha most folytatnánk az integrálást, akkor kétszer egymás után parciálisan integrálva újra visszakapnánk az eredeti feladatot.
És ezt akár egészen életünk végéig folytathatnánk. De ez elég unalmas lenne, ezért inkább jön a trükk.
A trükk lényege, hogy írjuk föl egy egyenlet formájában ami eddig kijött.
És oldjuk meg az egyenletet.
Nézzünk meg még egyet.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.
Van itt egy függvény, aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.
Mindez persze akkor, ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon.
Ez a bizonyos primitív függvény a F(x), másnéven a határozatlan integrál.
Ha ilyen primitív függvény nem létezik, nos akkor a görbe alatti terület kiszámolása rémálommá változik.
A rémálmokkal egy külön képsor foglalkozik majd.
Most inkább próbáljuk ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.
Szóval Newton és Leibniz szerint ez a terület:
Itt jön a primitív függvény:
És ebbe kell behelyettesíteni először az 1-et, aztán pedig a 0-t.
Most nézzük meg hogyan tehetnénk mindezt izgalmasabbá.
Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.
A terv a következő:
Először kiszámoljuk a piros függvény görbe alatti területét a és b között,
aztán a sárga függvény területét is,
végül a kettőt egymásból kivonjuk.
Ugyanakkor azt sem ártana tudnunk, mennyi lehet a és b.
Nos ez az a és b azt tudja, hogy ilyenkor a két függvény egyenlő.
Ezt az egyenletet kell tehát megoldanunk.
Az ilyen típusú tartományokat, mint aminek a területét most éppen kiszámoltuk normáltartománynak nevezzük.
A normáltartományokat alulról is és felülről is egy függvény határolja,
oldalai pedig x=a és x=b.
Megeshet, hogy az egyik oldalon a két függvény találkozik,
sőt, lehet, hogy mindkét oldalon.
Az ilyen normáltartományok területe:
vagy ha éppen a g függvény van felül, mint például itt a rajzunkon,
akkor fordítva.
Ennek a módszernek a haszna, hogy csak egyszer kell integrálni. Nézzük is meg.
Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.
Először kiszámoljuk a metszéspontokat,
aztán jöhet az integrálás.
Van itt egy függvény,
amihez érintőt húzunk az x=3-nál.
Így keletkezik két tartomány.
Az egyiket a függvény, az érintő és az y tengely határolja,
a másikat a függvény, az érintő és az x tengely.
Számoljuk ki ezeknek a tartományoknak a területét.
Nos alighanem szükségünk lesz az érintő egyenletére.
Szerencsére éppen itt jön:
Most pedig térjünk a tárgyra.
A két terület közül sokkal könnyebb azt kiszámolnunk, ahol az y tengely határol.
Ez ugyanis egy normáltartomány, és így elég a két függvény különbségét integrálni:
A másik terület kiszámolása jóval kellemetlenebb lesz.
Előszöris szükségünk van ezekre a metszéspontokra.
Most pedig lássuk a területeket.
A keresett terület:
Integrálás végtelenig, Az improprius integrál, Konvergens és divergens integrálok, Integrálás végtelentől végtelenig, Véges és végtelen atárértékek.
Most pedig egy nagyon vicces dolgot fogunk csinálni.
Végtelenig fogunk integrálni.
Számoljuk ki például, hogy vajon mekkora lehet ez a terület:
Úgy fogunk -ig integrálni, hogy először integrálunk -ig,
és aztán azt mondjuk, hogy na akkor te most menj -be.
Nos lássuk csak mennyi lehet vajon ez a határérték.
A kiszámolásához jól jöhetnek ezek:
De könnyebb őket így megjegyezni.
Itt jön egy másik:
Nos az is előfordulhat, hogy mindkét határ végtelen:
Ilyenkor kettéosztjuk az integrálást, mondjuk nullánál.
Igazából ez a terület 1/3+1/3 vagyis 2/3 de úgy működik a határozott integrálás, hogy az x tengely alatti területek negatív előjellel jönnek ki.
Nos ezért kaptuk azt, hogy nulla.
Ezeket a végtelenbe elnyúló integrálásokat improprius integrálnak nevezzük.
Amiket eddig láttunk, azok az x tengely irányában nyúltak el a végtelenbe, de olyan is van, ami az y tengely mentén.
Nos íme:
De a megoldás menete ugyanaz.
Ha integráljuk a pozitív számegyenesen az
függvényt, akkor 0-tól 1-ig is improprius integrált kapunk
és 1-től végtelenig is.
Nézzük meg először, hogy mi a helyzet akkor, ha 0-tól 1-ig integrálunk.
Nos az esettel majd külön foglalkozunk.
Most lássuk mennyi lesz ez a határérték.
Először az 1-et helyettesítjük be,
aztán lássuk mi történik, ha .
Tehát ha a kitevő pozitív szám,
akkor itt nulla jön ki.
Ha a kitevő negatív…
nos akkor a határérték végtelen.
Ha éppen 1:
Most lássuk, mi van 1 és végtelen között.
Ha akkor a kitevő pozitív,
és ilyenkor az integrál divergens.
Ha pedig éppen 1:
Mindezt összefoglalva, ha akkor 0 és 1 között az integrál divergens, 1-től végtelenig konvergens.
Ha akkor 0 és 1 között konvergens és 1-től végtelenig divergens.
Ha pedig , nos akkor mindenhol divergens.
Integrálás végtelenig, Az improprius integrál, Konvergens és divergens integrálok, Integrálás végtelentől végtelenig, Véges és végtelen atárértékek.
Most pedig egy nagyon vicces dolgot fogunk csinálni.
Végtelenig fogunk integrálni.
Számoljuk ki például, hogy vajon mekkora lehet ez a terület:
Úgy fogunk -ig integrálni, hogy először integrálunk -ig,
és aztán azt mondjuk, hogy na akkor te most menj -be.
Nos lássuk csak mennyi lehet vajon ez a határérték.
A kiszámolásához jól jöhetnek ezek:
De könnyebb őket így megjegyezni.
Itt jön egy másik:
Nos az is előfordulhat, hogy mindkét határ végtelen:
Ilyenkor kettéosztjuk az integrálást, mondjuk nullánál.
Igazából ez a terület 1/3+1/3 vagyis 2/3 de úgy működik a határozott integrálás, hogy az x tengely alatti területek negatív előjellel jönnek ki.
Nos ezért kaptuk azt, hogy nulla.
Ezeket a végtelenbe elnyúló integrálásokat improprius integrálnak nevezzük.
Amiket eddig láttunk, azok az x tengely irányában nyúltak el a végtelenbe, de olyan is van, ami az y tengely mentén.
Nos íme:
De a megoldás menete ugyanaz.
Ha integráljuk a pozitív számegyenesen az
függvényt, akkor 0-tól 1-ig is improprius integrált kapunk
és 1-től végtelenig is.
Nézzük meg először, hogy mi a helyzet akkor, ha 0-tól 1-ig integrálunk.
Nos az esettel majd külön foglalkozunk.
Most lássuk mennyi lesz ez a határérték.
Először az 1-et helyettesítjük be,
aztán lássuk mi történik, ha .
Tehát ha a kitevő pozitív szám,
akkor itt nulla jön ki.
Ha a kitevő negatív…
nos akkor a határérték végtelen.
Ha éppen 1:
Most lássuk, mi van 1 és végtelen között.
Ha akkor a kitevő pozitív,
és ilyenkor az integrál divergens.
Ha pedig éppen 1:
Mindezt összefoglalva, ha akkor 0 és 1 között az integrál divergens, 1-től végtelenig konvergens.
Ha akkor 0 és 1 között konvergens és 1-től végtelenig divergens.
Ha pedig , nos akkor mindenhol divergens.
Ez exponenciális függvényekkel való ismerkedésünket kezdjük az alapokkal, a hatványazonosságokkal.
Hatványozni jó dolog és így kezdetben bőven elég annyit tudni, hogy
de semmi ördögi nem lesz itt.
Az első hatványazonosság azzal fog foglalkozni, hogy mi történik, ha megszorozzuk ezt mondjuk azzal, hogy 62.
Hát nézzük meg.
Nos ha ezeket összeszorozzuk, akkor
a kitevők összeadódnak.
Ez lesz az első azonosság.
HATVÁNYAZONOSSÁGOK
Most nézzük meg mi történik, ha ezeket elosztjuk egymással.
De azért van itt egy apró kellemetlenség.
Már jön is.
Nos amikor a nevező kitevője nagyobb, ilyenkor az eredmény egy tört.
Itt pedig a kitevő negatív lesz.
Most lássuk, hogyan kell hatványt hatványozni.
Nos így:
A kitevőket kell összeszoroznunk.
Itt van aztán ez, hogy
Na ez vajon mi lehet?
Nézzük meg mi történik ha alkalmazzuk rá a legújabb azonosságunkat.
Vagyis ez valami olyan, amit ha négyzetre emelünk, akkor 9-et kapunk.
Ilyen éppenséggel van, ezt hívjuk -nek.
A törtkitevő tehát gyökvonást jelent.
Az előbbi két azonosságot kicsit továbbfejlesztve kapunk egy harmadikat.
Ha van egy ilyen, hogy
nos akkor ezen ki is próbálhatjuk ezt a képletet.
Jön itt még néhány újabb képlet,
de most már lássuk a függvényeket.
Így néz ki a 2x függvény. Ez pedig a 3x.
Ha az alap egy 2 és 3 közti szám, akkor a függvény a 2x és a 3x között van.
Például egy ilyen szám a
2,71828182845904523536028747135266249775724709369995…
Ez a szám mágikus jelentőséggel bír a matematikában és az egyszerűség kedvéért elnevezték e-nek.
Ez a függvény tehát az ex.
Az összes 1-nél nagyobb alapú exponenciális függvény valahogy így néz ki.
Ha az alap 1-nél kisebb, nos az egy másik állatfajta.
Színre lép a logaritmus
És most egy új szereplő lép színre, a logaritmus.
Nos ez a logaritmus egy nagyon remek dolog, de kis magyarázatot igényel.
Mindössze arról van szó, hogy azt mondja meg, a-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy x-et kapjunk.
Itt van például ez:
Ez azt jelenti, hogy 2-t hányadik hatványra kell emelnünk, hogy 8-at kapjunk.
Nos 23=8, tehát a válasz…
Vagy nézzük meg ezt:
Nos lássuk csak
Itt jön aztán egy nehezebb ügy:
A kérdés az, hogyan lesz a 8-ból 2. Az elosztjuk 4-gyel ugye nem jó válasz, mert valami hatványozás kell ide.
A jó válasz:
Próbáljuk meg kitalálni, mennyi lehet ez:
A kérdés, 8 a hányadikon a 16.
Nos ami a 8-ban és a 16-ban közös, az a 2, mert 23=8 és 24=16.
Így aztán úgy jutunk el a 8-ból a 16-hoz, hogy előbb a 8-ból csinálunk 2-t,
utána pedig a 2-ből 16-ot.
Mindezek után már nem jelenthet gondot ez sem:
Sőt ez sem:
Most pedig lássuk a logaritmusos azonosságokat.
LOGARITMUS AZONOSSÁGOK
A logaritmus egyik legnagyobb haszna az, hogy képesek vagyunk megoldani az ilyen egyenleteket, mint amilyen ez
Mindkét oldalnak vesszük a logaritmusát.
És voila.
Általánosítva, ha van egy ilyen, hogy
akkor ebből így kapjuk meg x-et.
A megfordítását is jegyezzük meg, ha
akkor így kapjuk meg x-et.
Exponenciális egyenlet megoldása
Logaritmikus egyenlet megoldása
Oldjuk meg például ezeket:
Most pedig lássuk a függvényeket.
Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Hány perc múlva lesz a tenyészetben 30 milligramm baktérium?
Készítsünk erről egy rajzot.
Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van, ezzel a kis képlettel kapjuk meg:
A történet végén 30 milligramm baktériumunk van.
Ezt az egyenletet kéne valahogy megoldanunk.
Valahogy így…
Ehhez az kell, hogy a 2x önállóan álljon. Ne legyen megszorozva senkivel.
Most jön a számológép, megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 6.
Ha a világnak ahhoz a szerencsétlenebbik feléhez tartozunk, akiknek a számológépén csak sima log van…
Nos, akkor egy kis trükkre lesz szükség.
De így is kijön.
Itt az x=2,585 nem azt jelenti, hogy ennyi perc telt el…
Azt jelenti, hogy x=2,585 generációnyi idő telt el.
64,625 perc
Egy másik baktériumtenyészetben 40 perc alatt 3 szorosára nő a baktériumok száma. Mennyi a generációs idő, vagyis hány perc alatt duplázódik meg a baktériumok száma?
Kezdetben van valamennyi baktérium.
Aztán megduplázódik…
aztán megint megduplázódik.
És így tovább.
A mi történetünkben háromszorosára nő a baktériumok száma:
Megint jön a számológép és megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 3.
Vagy ha az előbb így nem tudtuk kiszámolni, akkor feltehetően most se.
Ilyenkor segít nekünk ez a trükk.
És most nézzük, hogyan tovább.
Az x=1,585 azt jelenti, hogy ennyi generációs idő telt el 40 perc alatt.
Vagyis egy generációs idő hossza…
25,24 perc.
A baktériumok száma 25,24 perc alatt duplázódik meg.
A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mennyi idő alatt csökken a 12,5%-ára a 90-stroncium mennyisége? A T felezési idő 25 év, és az alábbi összefüggés áll fenn:
Lássuk, mi történik 40 év alatt:
40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.
Most nézzük, mennyi idő alatt csökken a 90%-ára az atommagok száma.
Tehát úgy néz ki, hogy 3,8 év alatt csökken 90%-ára az atommagok száma.
Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?
Itt jön a mi kis képletünk:
30 év alatt 12%-kal csökkent:
Na, ez így sajna nem túl jó…
Ha valami 12%-kal csökken, akkor 88% lesz.
A felezési idő tehát 162,7 év.
Most nézzük, hogy mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra a radioaktív atomok száma:
377,8 év alatt csökken 50%-ról 10%-ra.
Hát, ennyi.
Az exponenciális egyenletek megoldása:
Most néhány egészen fantasztikus exponenciális egyenletet fogunk megoldani.
Már jön is az első:
Mindig ez lebegjen a szemünk előtt:
Persze csak akkor, ha meg akarunk oldani egy ilyen egyenletet…
Lássuk csak, bingo!
Na, ezzel megvolnánk.
Csak még egy dolog. Ennél a lépésnél írjuk oda, hogy: az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt.
Itt van aztán egy újabb ügy:
A két hatványalap nem ugyanaz…
de van remény.
És nézzük, mit tehetnénk ezzel:
Most pedig lássunk valami izgalmasabbat.
Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva?
Készítsünk erről egy rajzot.
Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van ezzel a kis képlettel kapjuk meg:
Itt x azt jelenti, hogy hányszor 25 perc telt el.
A mi kis történetünkben két óra, vagyis 120 perc telik el:
Tehát ennyi milligramm lesz a baktériumok tömege 120 perc múlva.
Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben?
A történet úgy szól, hogy kezdetben volt 23 milligramm, a végén pedig 736:
De az x=5 nem azt jelenti, hogy 5 perc telt el…
Az x=5 azt jelenti, hogy 5 generációnyi idő telt el:
Vagyis 60 perc telt el.
A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében.
Hát így elsőre ez egy elég ronda képlet, de mindjárt kiderül, hogy nem is olyan rémes.
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége?
A 90-stroncium felezési ideje 25 év, tehát képletünk valahogy így néz ki:
Íme, a képlet:
Ha 40 év telik el, akkor t helyére 40-et írunk:
Ezt beírjuk a számológépbe…
40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.
Most nézzük, mi történik 100 év alatt.
Ha 100 év telik el, nos, akkor t helyére 100-at kell írnunk:
Vagyis 100 év alatt 6,3%-ra csökken a radioaktív atommagok száma.
Újabb rémtörténetek következnek exponenciális egyenletekkel.
Itt is jön az első:
Na, ezzel megvolnánk.
Itt van aztán ez:
Eddig jó…
Vannak aztán első ránézésre eléggé rémisztő egyenletek is.
Itt jön néhány újabb remek exponenciális egyenlet.
Na, ezzel megvolnánk.
Nézzünk egy másikat.
Most pedig lásunk valami izgalmasabbat.
Így aztán elhatalmasodik rajtunk az érzés, hogy le kéne osztani 4x-nel.
Nos, az izgalmak még tovább fokozhatók.
Nézzük, vajon meg tudjuk-e oldani ezt:
Ez valójában egy másodfokú egyenlet, ami exponenciális egyenletnek álcázza magát.
És vannak egészen trükkös esetek is.
Nézzünk meg még egy ilyet.
Az exponenciális egyenletek megoldása:
Most néhány egészen fantasztikus exponenciális egyenletet fogunk megoldani.
Már jön is az első:
Mindig ez lebegjen a szemünk előtt:
Persze csak akkor, ha meg akarunk oldani egy ilyen egyenletet…
Lássuk csak, bingo!
Na, ezzel megvolnánk.
Csak még egy dolog. Ennél a lépésnél írjuk oda, hogy: az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt.
Itt van aztán egy újabb ügy:
A két hatványalap nem ugyanaz…
de van remény.
És nézzük, mit tehetnénk ezzel:
Most pedig lássunk valami izgalmasabbat.
Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva?
Készítsünk erről egy rajzot.
Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van ezzel a kis képlettel kapjuk meg:
Itt x azt jelenti, hogy hányszor 25 perc telt el.
A mi kis történetünkben két óra, vagyis 120 perc telik el:
Tehát ennyi milligramm lesz a baktériumok tömege 120 perc múlva.
Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben?
A történet úgy szól, hogy kezdetben volt 23 milligramm, a végén pedig 736:
De az x=5 nem azt jelenti, hogy 5 perc telt el…
Az x=5 azt jelenti, hogy 5 generációnyi idő telt el:
Vagyis 60 perc telt el.
A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében.
Hát így elsőre ez egy elég ronda képlet, de mindjárt kiderül, hogy nem is olyan rémes.
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége?
A 90-stroncium felezési ideje 25 év, tehát képletünk valahogy így néz ki:
Íme, a képlet:
Ha 40 év telik el, akkor t helyére 40-et írunk:
Ezt beírjuk a számológépbe…
40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.
Most nézzük, mi történik 100 év alatt.
Ha 100 év telik el, nos, akkor t helyére 100-at kell írnunk:
Vagyis 100 év alatt 6,3%-ra csökken a radioaktív atommagok száma.
Újabb rémtörténetek következnek exponenciális egyenletekkel.
Itt is jön az első:
Na, ezzel megvolnánk.
Itt van aztán ez:
Eddig jó…
Vannak aztán első ránézésre eléggé rémisztő egyenletek is.
Itt jön néhány újabb remek exponenciális egyenlet.
Na, ezzel megvolnánk.
Nézzünk egy másikat.
Most pedig lásunk valami izgalmasabbat.
Így aztán elhatalmasodik rajtunk az érzés, hogy le kéne osztani 4x-nel.
Nos, az izgalmak még tovább fokozhatók.
Nézzük, vajon meg tudjuk-e oldani ezt:
Ez valójában egy másodfokú egyenlet, ami exponenciális egyenletnek álcázza magát.
És vannak egészen trükkös esetek is.
Nézzünk meg még egy ilyet.
Ha egy sorozat előbb utóbb tetszőlegesen megközelít valamilyen számot, akkor a sorozatoknak ezt a tulajdonságát konvergenciának nevezzük.
A konvergencia definícióját több száz év alatt találták ki a matematikusok. Nekünk most lesz rá egy percünk.
Az sorozat konvergens és határértéke az A szám, ha bármilyen pici -hoz tudunk találni olyan indexet, hogy minden ezt követő tag -nál közelebb van az A számhoz.
Ezt nevezzük a sorozat határérték definíciójának.
Mivel azonban a matematika törekszik az egyszerű megfogalmazásokra, nos emiatt még át kell esnie egy kis igazításon.
Íme itt is van.
A leginkább kétségbeejtő rész ebben az új definícióban ez.
De aggodalomra semmi ok. Az, hogy
mindössze ezt jelenti.
Vagyis azt, hogy közelebb van -hoz, mint .
Nézzük meg például, hogy mennyi lesz az -hoz tartozó , ha
Nos, úgy tűnik akkor lesz a sorozat -nál közelebb a határértékéhez, ha
Vagyis a hetedik tagtól és így .
Itt van aztán egy másik nagyszerű sorozat.
Újabb nagyszerű sorozatok felbukkanása várható életünkben. A konvergens sorozatokat már ismerjük:
Itt jönnek aztán a divergens sorozatok.
Ez a sorozat például azért divergens, mert végtelenbe tart.
A sorozat bármilyen számot túlnő, tagjai megállíthatatlanul tartanak a végtelen felé.
Vannak aztán olyan sorozatok is, amelyek azért divergensek, mert mínusz végtelenbe tartanak.
És végül vannak olyan divergens sorozatok is, amelyek nem tartanak sehova. Ilyen sehova sem tartó sorozat például ez:
Az sorozat oszcillálva divergens, ha nincs semmilyen határértéke, vagyis sem egy valós számhoz, sem plusz vagy mínusz végtelenbe nem tart.
Íme a menü:
Nézzük meg, mit művel például ez a sorozat:
A jelek szerint divergens, és tart plusz végtelenbe.
Ez azt jelenti, hogy bármely M>0-ra van olyan n0, hogy
Ha mondjuk , akkor
és így
Ez azt jelenti, hogy sorozatnak a 14696-odik tag utáni összes tagja 600-nál nagyobb.
Ha ez a bizonyos M nem 600, hanem mondjuk 800…
akkor a sorozat egy későbbi tagtól ugyan, de a 800-on is túlnő.
Itt jön aztán egy vicces sorozat. Próbáljuk meg kiszámolni az -hoz tartozó -t
A sorozat divergens.
Így aztán nem létezik -hoz semmiféle .
Itt az ideje, hogy szeszélyesebben viselkedő sorozatokkal is megismerkedjünk.
És most megszabadulunk az abszolútértékektől.
Fönt kezdjük.
Ha n=1
Lássuk csak, vajon pozitív-e.
Nos, ha n=1, 2, 3, 4, 5 akkor igen. De 6 után negatív.
Minket a nagy n-ek érdekelnek, ugyanis valahol itt lesz.
Most pedig nézzük mi van a nevezővel.
Ha n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 akkor negatív.
De 9-től már pozitív.
Minket most is a nagy n-ek érdekelnek, ugyanis valahol itt lesz.
Beszorzunk és aztán kicsit rendet rakunk…
És íme a küszübindex.
Itt jön egy újabb remek sorozat, és
Lássuk mi a helyzet a nevezővel. Ha n=1, 2, 3, akkor negatív…
De az összes többi n-re pozitív.
A sorozatok monotonitásának vizsgálata valóban elég monoton elfoglaltság lesz.
Szóval ne sok izgalomra számítsunk…
Egy sorozat szigorúan monoton növekedő, ha bármelyik tagja nagyobb az előtte lévő tagnál.
Szigorúan monoton csökkenő, ha bármelyik tagja kisebb az előtte lévő tagnál.
Monoton növekedő, ha bármelyik tagja nagyobb vagy egyenlő az előtte lévő tagnál.
És monoton csökkenő, ha bármelyik tagja kisebb vagy egyenlő az előtte lévő tagnál.
Itt van például egy sorozat, és vizsgáljuk meg a monotonitását.
Nos ez elég rémes lesz.
2.1.
A jelek szerint tehát szigorúan monoton nő.
Ugyanezt kideríthetjük egy trükk segítségével is.
Épp itt is jön:
Itt picit álljunk meg gondolkodni.
Mi történik, ha a 4-et egyre nagyobb számokkal osztjuk?
Nos ez.
Nézzünk meg egy másikat is.
A sorozat szigorúan monoton nő.
Lássuk, hogyan jön ez ki a trükk segítségével is:
Jön megint a gondolkodás.
Mi történik, ha a 9/5-öt egyre nagyobb számokkal osztjuk?
A mínusz jellel együtt viszont már szigorúan monoton nő.
És így az egész sorozat is szigorúan monoton nő.
Itt jön aztán egy érdekesebb eset:
Ha akkor a számláló éppen nulla.
Ha akkor pozitív.
Tehát a sorozat monoton nő.
Lássuk, hogyan működik itt a trükk:
Nos, sehogy.
Az okozza a problémát, hogy egyszerre és is szerepel és sajna ilyenkor a trükk nem működik…
Vannak aztán olyan sorozatok is, amelyek nem monotonok.
Sajnos ettől még nem mondható el róluk, hogy izgalmasak volnának.
Itt van például egy ilyen.
Az ilyen sorozatokat oszcilláló sorozatoknak nevezzük.
Ez a sorozat például a nulla körül oszcillál:
ha n páratlan
ha n páros
Mi jöhet még ez után…
Minden függvény egy hozzárendelés, aminek az inverze, ha az egyáltalán létezik, az fordított hozzárendelés.
Az inverz kiszámolásának menete a következő:
Legyen mondjuk
Előszöris írjuk a függvényt y=izé alakban:
Itt x-hez rendelünk y-t.
Az inverz a fordított hozzárendelés, ahol y-hoz rendelünk x-et, ezért a cél mindig az, hogy az Y=izét x=bigyó alakra rendezzük.
Végül x-et és y-t kicseréljük (van aki nem) és így kapjuk az inverzt:
Az inverz jele:
Van azonban egy kis gond. Nem minden függvénynek van inverzze, ugyanis nem minden függvénynél fordítható meg a hozzárendelés.
Például az függvény esetében és amit megfordítani nem tudunk: .
A gond azzal van, hogy ez a függvény két különböző számhoz (a 2-höz és a -2-höz is) ugyanazt a számot rendeli és emiatt a hozzárendelés nem fordítható meg.
De ha a negatív számokat kiiktatjuk,
nos akkor már minden rendben.
Inverze tehát csak azon függvényeknek van, amik két különböző x-hez
különböző y-okat rendelnek.
Ezt úgy mondjuk, hogy kölcsönösen egyértelműek, vagy kicsit rövidebben injektívek.
Az függvény injektív, ha akkor .
Minden szigorúan monoton függvény injektív és így invertálható.
És van itt még egy dolog.
Legyen a függvényünk az és értelmezési tartománya .
Nos, ekkor az értékkészlete .
Az inverz függvény a fordított hozzárendelés, tehát ilyenkor ezek fölcserélődnek.
Ha invertálható, akkor az értelmezési tartománya megegyezik az inverzének értékkészletével, és értékkészlete az inverz értelmezési tartományával.
Nézzünk néhány példát.
Adjuk meg az függvény inverzét, ha
Nincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Például 4-hez és -4-hez is ugyanazt rendeli, éppenséggel 0-t.
Ebben az esetben viszont egészen más a helyzet, itt ugyanis x csak pozitív lehet. Márpedig nincs két pozitív szám, aminek a négyzete ugyanaz, így a függvény injektív.
Lássuk az inverzt
Ebben az esetben is van inverz, mert a függvény injektív.
Lássuk az inverzt!
Ebben az esetben a függvénynek nincs inverze, mert ezúttal sem injektív, például 4-hez és -4-hez is megint ugyanazt rendeli, 0-t.
Sajna ilyenkor sincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Lássunk még egyet.
Van itt ez a függvény, keressük az inverzét.
és
Végül nézzük meg ezt is.
Beszéljünk egy kicsit az inverz geometriai jelentéséről.
Van itt egy függvény
és nézzük meg, mi történik a függvény grafikonjával, amikor invertáljuk.
Nos ez.
Tükrözzük a függvénygrafikonját az y=x egyenletű egyenesre.
A rajzon az is remekül látszik, hogy a gyökös függvények inverze sosem a teljes paraola, mindig csak a fele.
És ez fordítva is igaz: a teljes parabolát sosem tudjuk invertálni, mindig csak a felét.
Itt jön aztán egy másik remek függvény az
Nos ennek a függvénynek az inverze az
Az exponenciális függvények inverzei a logaritmusfüggvények.
És ez kölcsönös, tehát a logaritmusfüggvények inverzei az exponenciális függvények.
Nézzük meg például ennek az inverzét:
A kitevőből úgy tudjuk x-et előcsalogatni, hogy vesszük mindkét oldal logaritmusát.
Vagy itt van például egy másik:
Az és az szintén egymás inverzei.
Vigyázni kell ezzel az inverz függvény számolással, nagy mennyiségben ugyanis ártalmas lehet.
De talán egy még belefér…
Minden függvény egy hozzárendelés, aminek az inverze, ha az egyáltalán létezik, az fordított hozzárendelés.
Az inverz kiszámolásának menete a következő:
Legyen mondjuk
Előszöris írjuk a függvényt y=izé alakban:
Itt x-hez rendelünk y-t.
Az inverz a fordított hozzárendelés, ahol y-hoz rendelünk x-et, ezért a cél mindig az, hogy az Y=izét x=bigyó alakra rendezzük.
Végül x-et és y-t kicseréljük (van aki nem) és így kapjuk az inverzt:
Az inverz jele:
Van azonban egy kis gond. Nem minden függvénynek van inverzze, ugyanis nem minden függvénynél fordítható meg a hozzárendelés.
Például az függvény esetében és amit megfordítani nem tudunk: .
A gond azzal van, hogy ez a függvény két különböző számhoz (a 2-höz és a -2-höz is) ugyanazt a számot rendeli és emiatt a hozzárendelés nem fordítható meg.
De ha a negatív számokat kiiktatjuk,
nos akkor már minden rendben.
Inverze tehát csak azon függvényeknek van, amik két különböző x-hez
különböző y-okat rendelnek.
Ezt úgy mondjuk, hogy kölcsönösen egyértelműek, vagy kicsit rövidebben injektívek.
Az függvény injektív, ha akkor .
Minden szigorúan monoton függvény injektív és így invertálható.
És van itt még egy dolog.
Legyen a függvényünk az és értelmezési tartománya .
Nos, ekkor az értékkészlete .
Az inverz függvény a fordított hozzárendelés, tehát ilyenkor ezek fölcserélődnek.
Ha invertálható, akkor az értelmezési tartománya megegyezik az inverzének értékkészletével, és értékkészlete az inverz értelmezési tartományával.
Nézzünk néhány példát.
Adjuk meg az függvény inverzét, ha
Nincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Például 4-hez és -4-hez is ugyanazt rendeli, éppenséggel 0-t.
Ebben az esetben viszont egészen más a helyzet, itt ugyanis x csak pozitív lehet. Márpedig nincs két pozitív szám, aminek a négyzete ugyanaz, így a függvény injektív.
Lássuk az inverzt
Ebben az esetben is van inverz, mert a függvény injektív.
Lássuk az inverzt!
Ebben az esetben a függvénynek nincs inverze, mert ezúttal sem injektív, például 4-hez és -4-hez is megint ugyanazt rendeli, 0-t.
Sajna ilyenkor sincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Lássunk még egyet.
Van itt ez a függvény, keressük az inverzét.
és
Végül nézzük meg ezt is.
Beszéljünk egy kicsit az inverz geometriai jelentéséről.
Van itt egy függvény
és nézzük meg, mi történik a függvény grafikonjával, amikor invertáljuk.
Nos ez.
Tükrözzük a függvénygrafikonját az y=x egyenletű egyenesre.
A rajzon az is remekül látszik, hogy a gyökös függvények inverze sosem a teljes paraola, mindig csak a fele.
És ez fordítva is igaz: a teljes parabolát sosem tudjuk invertálni, mindig csak a felét.
Itt jön aztán egy másik remek függvény az
Nos ennek a függvénynek az inverze az
Az exponenciális függvények inverzei a logaritmusfüggvények.
És ez kölcsönös, tehát a logaritmusfüggvények inverzei az exponenciális függvények.
Nézzük meg például ennek az inverzét:
A kitevőből úgy tudjuk x-et előcsalogatni, hogy vesszük mindkét oldal logaritmusát.
Vagy itt van például egy másik:
Az és az szintén egymás inverzei.
Vigyázni kell ezzel az inverz függvény számolással, nagy mennyiségben ugyanis ártalmas lehet.
De talán egy még belefér…
Azokat az összegeket, amiket úgy kapunk, hogy végtelen sok valós számot adunk össze végtelen sornak nevezzük.
Ez itt például egy végtelen sor:
Az összeadásban szereplő tagokat képzeljük el úgy, mint egy bolha ugrásait a számegyenesen.
A sor összege az a szám ahova a bolha ugrásai során eljut.
Most egy fáradékony bolhával van dolgunk, ugrásai egyre rövidülnek.
Mindig fele akkorát ugrik, mint ami még a hátralévő út a 2-ig, így véges sok ugrással sosem érheti el a 2-t, mert
Ha viszont az ugrások száma végtelen, akkor a bolha éppen eljut a 2-be.
Van itt aztán egy másik bolha is, ez egyáltalán nem fáradékony, viszont meglehetősen összevissza ugrál.
Először ugrik 1-et, majd vissza 1-et.
Utána megint ugrik 1-et, majd megint vissza…
Nos ez a bolha nem jut el sehova, ha az ugrások száma végtelen.
Mindig épp valahol úton lesz a 0 és az 1 között.
És itt egy harmadik, ahol az ugrások mindig megduplázódnak.
Konvergensnek nevezzük azokat a sorokat, ahol a bolha ugrásai során eljut egy konkrét számhoz. Azt a számot pedig ahova eljut, a sor összegének nevezzük.
Ha a bolha ugrásai során nem jut el sehova, vagy éppen plusz vagy mínusz végtelenbe jut el, akkor a sor divergens.
A sorokkal kapcsolatban kétféle kérdés merülhet föl.
Az egyik, hogy konvergens-e vagy divergens a sor. Erre viszonylag könnyen tudunk válaszolni úgynevezett konvergencia kritériumok segítségével.
A másik kérdés, hogy ha a sor konvergens, akkor mi az összege, vagyis hova tart a bolha. Nos ez egy jóval nehezebb kérdés és erre csak elég speciális sorok esetében tudunk megnyugtató választ adni.
Ilyen speciális sor például a mértani sor, amilyenek ezek a bolhás esetek is itt balra.
Lássuk, hogyan kell kiszámolni a mértani sorok összegét.
Azokat a sorokat nevezzük mértani sornak, amelyek így néznek ki, mint ez:
Itt és konkrét számok.
Ha akkor a mértani sor konvergens és összege
Ha akkor a sor divergens
divergens
Íme itt egy példa:
Mindig az első tag lesz a1,
a q pedig az, aki az n-ediken van.
A sor konvergens.
A sor divergens.
Itt van aztán egy másik.
Nos, ezek a mértani sorok nem túl izgalmasak. De néhányat még talán megnézhetünk.
de mivel a -2 a nevezőben van…
És most jöhetnek a konvergencia kritériumok.
Itt az ideje, hogy a végtelen sorok konvergenciáját kicsit precízebben is definiáljuk és megalkossunk egy bolhák nélküli definíciót.
Valójában azonban csak a bolha szót fogjuk kicserélni egy tudományosabban hangzóra.
Bevezetjük a részletösszeg-sorozat fogalmát.
A részletösszeg-sorozat jele és első tagja a bolha első ugrása, vagyis .
A második tagja az első két ugrás összege.
A harmadik tag az első három ugrás összege.
Vagyis pontosan azt mondja meg, hogy éppen hol jár a bolha.
És ahova tart, nos egészen pontosan oda tart a bolha is.
Tehát a bolha uticélja vagyis a sor összege éppen az sn határértéke.
Nos ez a precíz definíció.
Egy végtelen sor akkor konvergens, ha a részletösszeg-sorozata konvergens és ekkor a sor összege:
És most lássuk, hogyan tudjuk eldönteni, hogy egy sor konvergens-e vagy divergens.
Ez egy viszonylag könnyen megválaszolható kérdés és az úgynevezett konvergencia kritériumok fognak nekünk ebben segíteni.
Az első ilyen kritérium annyit mond, hogy ha a bolha nem fáradékony, akkor a sor biztosan divergens.
Vagyis, ha az ugrások hossza nem tart nullához, akkor a sor divergens.
Lássunk egy példát. Itt van mondjuk ez a sor:
Az állítás megfordítása viszont nem igaz, vagyis annak ellenére, hogy
divergens.
Vagyis nem minden fáradékony bolha konvergens.
A zavarodott fáradékony bolhák viszont garantáltan konvergensek. Erre jött rá Leibniz.
Legyen pozitív tagú sorozat. Ekkor a
végtelen sort Leibniz-típusú sornak nevezzük.
Minden Leibniz-sor konvergens. A magyarázat a következő.
A bolha első ugrása bármekkora lehet.
A második ugrás az előzőnél kisebb és ellentétes irányú.
Aztán megint kisebbet ugrik és megint a másik irányba.
Így szépen lassan bezárja magát és eljut uticéljához, ami a sor összege.
A sor abszolút konvergens, ha a sor is konvergens.
Vannak olyan sorok, amik konvergensek ugyan, de nem abszolút konvergensek.
A Leibniz-sorok között ez gyakran előfordul. Itt van például ez:
Nos ez egy Leibniz-sor, tehát konvergens…
de nem abszolút konvergens, mert
ez utóbbi pedig, ha még emlékszünk rá divergens.
Hát ez igazán érdekes volt, most pedig következzen két nagyon gyakran használt konvergencia kritérium.
Itt jön erre egy példa:
ezért a sor konvergens, sőt abszolút konvergens.
Itt van aztán egy másik:
Ajjaj. Hát ebből most nem tudtunk meg semmit.
De még van remény, próbáljuk ki ezt:
Lássunk egy példát a hányados kritériumra is:
Az n!-ról érdemes tudni, hogy
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
Kezdjük az elsővel. Itt alkalmazzuk a hányados kritériumot. Azért a hányadost, mert a faktoriális nem szereti a gyök kritériumot.
Nos ez úgy tűnik konvergens.
Lássuk a következőt.
Itt a gyök kritérium jót fog tenni majd a kitevőknek.
Ez is konvergens. Lássuk mi a helyzet a harmadikkal.
Próbálkozzunk itt is a gyök kritériummal.
Rossz hír, ezek a sorozatok sajna 1-hez tartanak:
Ennek végzetes következményei vannak, ugyanis olyankor, amikor a határérték 1, a gyök kritérium csődöt mond.
Próbálkozhatnánk esetleg a hányados kritériummal is, de azzal sem jönne ki semmi.
Leibniz sem segíthet, és sajna ez sem, ugyanis ha valaki utánaszámol,
Így aztán jelenleg semmilyen eszközünk nincs, amivel ennek a sornak a konvergenciáját megnyugtató módon tisztázhatnánk.
De szerencsére még van remény, erről fog szólni a következő képsor.
Itt jön egy újabb konvergencia kritérium. Ezt a kritériumot kimondottan olyan sorokra érdemes használni, mint amilyen ez:
A számláló és a nevező is egy polinom.
azokban az esetekben az összehasonlító kritériumot érdemes használni.
Éppen itt is jön:
Ha és nem negatív tagú sorok, és egy bizonyos tagtól akkor
konvergens is konvergens
divergens is divergens
Ezen kívül azt is érdemes tudni, hogy a
típusú sor konvergens, ha és divergens, ha .
Most, hogy mindezt megtudtuk, lássuk konvergens-e ez a sor.
Feltehetően igen.
De lássuk az összehasonlító kritériumot.
Úgy tudjuk igazolni, hogy a sor konvergens, ha felülről becsüljük egy másik konvergens sorral.
Úgy kell felülről becsülni, hogy a számlálót növeljük, a nevezőt pedig csökkentjük.
De nem bízzuk a dolgot a véletlenre.
A számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.
A számlálót úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A nevezőt meg úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
Az eredeti sort felülről becsültük egy olyan sorral, ami konvergens, ezért az eredeti sor is konvergens.
Nézzünk meg egy másikat is.
Konvergens-e a következő sor?
Nos megint az összehasonlító kritériumot hívjuk segítségül.
A hangok azt mondják, hogy ezúttal a sor divergens lesz.
Így most alulról kell becsülni… ráadásul szintén divergenssel.
Nagyon nem is kell megerőltetnünk a fantáziánkat.
Nos ez divergens, tehát az eredeti sor is divergens.
Végül lássunk egy bonyolultabbat.
Így aztán megint alulról kell becsülni:
A számlálót csökkentjük,
a nevezőt pedig növeljük.
SZÜKSÉGES FELTÉTEL
Ha akkor divergens.
LEIBNIZ-SOROK
A sor mindig konvergens, ha
de nem mindig abszolút konvergens.
GYÖK KRITÉRIUM
Ha akkor abszolút konvergens
Ha akkor divergens
Ha akkor nem tudni mi van
HÁNYADOS KRITÉRIUM
Ha akkor absz. konvergens
Ha akkor divergens
Ha akkor nem tudni mi van
A mértani soroknál már nagy sikereket értünk el a sorösszeg meghatározásában. Itt az idő, hogy egy újabb speciális sor, az úgynevezett teleszkopikus sor összegét is kiszámoljuk.
Beszéljünk egy kicsit a sorozatokról. Kezdjük azzal, hogy mire jók a sorozatok.
Nos, például arra, hogy beszéljünk róluk.
Íme itt is van egy sorozat.
Ez itt a sorozat indexe, ami azt mondja meg, hogy éppen hányadik tagot nézzük.
index
A sorozatok egyik leglényegesebb tulajdonsága, hogy vajon mi történik vele, ha egyre távolibb tagjait nézzük.
Ez a sorozat például közeledik a nullához.
Olyannyira, hogy mondhatunk bármilyen pici számot, eljön az idő, hogy a sorozat annál is közelebb kerül a nullához.
A sorozatnak ezt a tulajdonságát úgy nevezzük, hogy tart a nullához vagy másként a határértéke nulla.
És így jelöljük: vagy így:
Itt jön egy másik sorozat.
Ez a sorozat még inkább nullához tart.
Sőt általában ezek a sorozatok nullához tartanak.
Aztán itt vannak ezek a sorozatok.
Nos ők a végtelenbe tartanak.
NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI
Vannak aztán ilyen gyökös sorozatok is.
Ők is végtelenbe tartanak.
És itt jön a legizgalmasabb sorozat, az
Ha akkor
sehova
Most pedig nézzük meg mi történik ha két sorozatot összeadunk.
Ha mondjuk és akkor logikusnak tűnik, hogy
De az élet sajnos ennél bonyolultabb.
Előfordulhat ugyanis, hogy és .
Hova tart ilyenkor az összegük?
Nos a helyzet az, hogy az sorozat tarthat mínusz végtelenbe,
egy konkrét számhoz
és plusz végtelenbe.
A sorozat szintén.
Az összegükre pedig ez a kilenc eset adódhat.
Nézzük meg őket.
Ha mindkét sorozat mínusz végtelenbe tart, akkor az összegük is.
Ha az egyik A-hoz a másik mínusz végtelenbe, akkor az összegük is mínusz végtelenbe.
Hogyha az egyik sorozat mínusz végtelenbe a másik pedig plusz végtelenbe tart, akkor egészen egyszerűen nem tudjuk, hova tart az összegük.
Lehet mínusz végtelen is
lehet 42 is
és lehet plusz végtelen is
A táblázat többi részének kitöltése nem sok meglepetést tartogat, a bal alsó sarok szintén kérdőjeles.
Most pedig nézzük meg mi a helyzet két sorozat szorzatával.
Itt sajnos kicsit sok eset lesz.
Nos ez megint olyan, hogy egészen egyszerűen nem tudjuk.
A folytatás már nem túl izgalmas:
Aztán végre néhány egyértelmű eset:
Most pedig jöjjön a legrosszabb, az osztás.
Itt meglehetősen sok kérdőjel lesz.
Mindjárt az első:
De van még.
Nos ezeknek a táblázatoknak a lényege az, hogy segítsen eligazodni a különböző típusú határértékek között.
A kérdőjeles esetek mondjuk nincsenek túlzottan a segítségünkre, így a továbbiakban az lesz a feladatunk, hogy megnézzük mit lehet csinálni ezekben az esetekben.
Az egyik legizgalmasabbal fogjuk kezdeni a esettel.
HA k KONKRÉT SZÁM
Lássuk mik a teendők a kritikus határértékekkel. A sorozatok határértékének kiszámolása ezekben az esetekben válik igazán izgalmassá.
Itt jön egy ilyen eset:
A trükk az, hogy leosztjuk –el.
A számlálót is és a nevezőt is.
Ezzel egy -ből csináltunk egy -et.
Utóbbiról pedig lehet tudni, hogy az eredmény 2.
Nézzünk meg egy másikat is.
Végülis osszuk le ezt is -el.
Lássuk mi jön ki.
A számláló 4-hez tart.
A nevező nullához.
Nos ez baj.
A problémát az okozza, hogy a nevezőben a legnagyobb kitevőjű tag másodfokú.
Így ne lepődjünk meg, hogyha -el osztunk, a nevezőben mindenki nullához fog tartani.
Ha nem szeretnénk, hogy nullához tartson a nevező, akkor mindig a nevező legnagyobb kitevőjű tagjával kell osztanunk.
A számlálót és a nevezőt is leosztjuk a nevező legnagyobb kitevőjű tagjával.
A számlálót és a nevezőt is leosztjuk a nevező legnagyobb hatványalapú tagjával.
Először átalakítunk.
Aztán leosztunk.
A SZÁMLÁLÓT ÉS A NEVEZŐT IS LEOSZTJUK A NEVEZŐ LEGNAGYOBB KITEVŐJŰ TAGJÁVAL.
Előszöris kiderítjük, hogy melyik a nevező legnagyobb kitevőjű tagja.
Van itt ez az n2,
de köbgyök alatt van.
Aztán itt van ez az n3,
de esélyes sincs mert ötödik gyök alatt.
Végül itt van ez az n,
na úgy tűnik ő nyert.
A legnagyobb kitevőjű tag a nevezőben tehát n, vagyis vele fogunk osztani.
De ha bevisszük a gyökjelek alá, varázslatos átalakulásokon megy keresztül.
A különböző gyökjelek alatt tehát más-más kitevőjű n-ekkel osztunk.
Most néhány nagyon vicces sorozat következik.
Íme itt az első.
Hát ez nem életünk legnehezebb határértéke.
Aztán itt van ez a másik.
És egy harmadik.
Nos ebben eddig semmi vicces nincs.
De az izgalmak most jönnek.
Van itt ez a határérték.
Ami az előzőek alapján feltehetőleg megint 1.
Csak az a baj, hogy nem.
Azért nem, mert itt a kitevő nem egy konkrét szám, hanem a sorozat indexe, tehát folyamatosan változik.
Ha a kitevő egy konkrét szám, akkor minden amit eddig csináltunk OK.
De ha a kitevőben n van, nos akkor egészen más a helyzet.
Ilyenkor a határérték nem 1, hanem egy egészen kellemetlen szám.
Azért, hogy ezt a kellemetlen számot ne kelljen annyit nézegetni, elnevezték e-nek.
Ha itt nem 1 van, hanem valamilyen más szám,
akkor a határérték is kicsit megváltozik.
És van itt mégvalami.
Legalábbis akkor, ha
Nos nézzünk erre néhány példát.
Itt van például ez a határérték:
ami a képlet alapján
De ha ez a rész itt átváltozik
és a kitevő is,
nos akkor újra ugyanaz jön ki.
Vagy itt van egy másik:
Azok a határértékek tehát amikor ezek egyformák nagyon könnyen kiszámolhatók.
Kérdés, mi van akkor, ha nem egyformák.
Ilyenkor tenni kell valamit, hogy egyformák legyenek. Vagy ebből csinálunk 2n-et
vagy ebből n-et.
Csináljunk ebből n-et.
Egyszerűsítjük a törtet 2-vel. És tessék, így már jó is.
Itt a kitevőt fogjuk átalakítani.
Van egy ilyen, hogy
Vannak aztán kicsit izgalmasabb esetek is:
De ezek még mindig nem olyan izgalmasak, mint amik most jönnek majd.
Azokat a határértékeket ahol megjelenik itt
és a kitevőben is,
mindig ezeknek a képleteknek a segítségével tudjuk kiszámolni.
A teendő mindig az, hogy addig-addig kell bűvészkedni, amíg ezek a képletek egyszer csak megjelennek.
Nos az ügy érdekében osszuk le -el a számlálót és a nevezőt.
Ha esetleg a számlálóban és nevezőben is van, akkor -el osztunk:
És rondább esetekkel is el tudunk bánni
Ha a kitevő konkrét szám, akkor:
De ha sajna itt
ott
akkor csak -el osztunk aztán kiemelünk
Megeshet, hogy n2 is van.
Sőt lehet, hogy n3.
Fent is 2n3 van és lent is, úgyhogy osszunk 2n3-el.
Most néhány nagyon vicces sorozat következik.
Íme itt az első.
Hát ez nem életünk legnehezebb határértéke.
Aztán itt van ez a másik.
És egy harmadik.
Nos ebben eddig semmi vicces nincs.
De az izgalmak most jönnek.
Van itt ez a határérték.
Ami az előzőek alapján feltehetőleg megint 1.
Csak az a baj, hogy nem.
Azért nem, mert itt a kitevő nem egy konkrét szám, hanem a sorozat indexe, tehát folyamatosan változik.
Ha a kitevő egy konkrét szám, akkor minden amit eddig csináltunk OK.
De ha a kitevőben n van, nos akkor egészen más a helyzet.
Ilyenkor a határérték nem 1, hanem egy egészen kellemetlen szám.
Azért, hogy ezt a kellemetlen számot ne kelljen annyit nézegetni, elnevezték e-nek.
Ha itt nem 1 van, hanem valamilyen más szám,
akkor a határérték is kicsit megváltozik.
És van itt mégvalami.
Legalábbis akkor, ha
Nos nézzünk erre néhány példát.
Itt van például ez a határérték:
ami a képlet alapján
De ha ez a rész itt átváltozik
és a kitevő is,
nos akkor újra ugyanaz jön ki.
Vagy itt van egy másik:
Azok a határértékek tehát amikor ezek egyformák nagyon könnyen kiszámolhatók.
Kérdés, mi van akkor, ha nem egyformák.
Ilyenkor tenni kell valamit, hogy egyformák legyenek. Vagy ebből csinálunk 2n-et
vagy ebből n-et.
Csináljunk ebből n-et.
Egyszerűsítjük a törtet 2-vel. És tessék, így már jó is.
Itt a kitevőt fogjuk átalakítani.
Van egy ilyen, hogy
Vannak aztán kicsit izgalmasabb esetek is:
De ezek még mindig nem olyan izgalmasak, mint amik most jönnek majd.
Azokat a határértékeket ahol megjelenik itt
és a kitevőben is,
mindig ezeknek a képleteknek a segítségével tudjuk kiszámolni.
A teendő mindig az, hogy addig-addig kell bűvészkedni, amíg ezek a képletek egyszer csak megjelennek.
Nos az ügy érdekében osszuk le -el a számlálót és a nevezőt.
Ha esetleg a számlálóban és nevezőben is van, akkor -el osztunk:
És rondább esetekkel is el tudunk bánni
Ha a kitevő konkrét szám, akkor:
De ha sajna itt
ott
akkor csak -el osztunk aztán kiemelünk
Megeshet, hogy n2 is van.
Sőt lehet, hogy n3.
Fent is 2n3 van és lent is, úgyhogy osszunk 2n3-el.
Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha van egy olyan valós szám, ami a sorozat határértéke.
Konvergens
sorozatok
Divergens
sorozatok
Van
határérték
Nincs
határérték
Ha ilyen szám nem létezik, akkor a sorozat divergens.
A divergenciának azonban vannak fokozatai.
Egy sorozat lehet azért is divergens, mert végtelenbe tart,
és lehet azért is, mert az égvilágon nem tart sehova.
A sehova sem tartó sorozatok mindig oszcilláló sorozatok.
Az oszcilláló sorozatok egyik legegyszerűbb példája a sorozat.
Mielőtt azonban azt gondolnánk, hogy minden oszcilláló sorozat divergens,
nos itt jön egy másik.
Attól tehát, hogy a sorozat ugrál, még nem feltétlen lesz divergens.
Az is lényeges, hogy mekkorákat ugrik.
Itt jön három példa a lehetséges viselkedésekre:
ha n páros
ha n páratlan
Most pedig lássunk néhány vicces ügyet.
Nos itt a képletben az 1-es van elől, úgyhogy csere.
Az összeadásnál ez nem okoz problémát.
A kivonásnál…
se, ha nem rontjuk el.
És voila, egy újabb oszcilláló sorozat.
Most a számlálóban és a nevezőben is felbukkant a ,
így aztán ez nem egy oszcilláló sorozat.
Most pedig lássunk néhány gyökös sorozatot.
Itt jön egy másik.
Megint beazonosítjuk, hogy ki lehet a nevező legnagyobb kitevőjű tagja.
És most lássunk valami egészen érdekeset.
Nos ebben eddig még nincs semmi izgalmas.
Az izgalmak akkor jönnek, ha a + jelet kicseréljük…
jelre.
ugyanis szintén de
Ilyenkor egy kis varázslatra van szükség.
Innentől már a szokásos.
Itt jön aztán még egy:
És még egy:
Ha itt összeadás van, akkor kész is.
De ha kivonás, akkor megint jön a bűvészkedés.
Az sorozat erősebb, mint a sorozat, ha
és ezt a tényt így jelöljük, hogy
Ezt úgy kell elképzelni, hogy az erősebb sorozat gyorsabban tart a végtelenbe.
Nagy n-ekre így néz ki például az n2…
és így néz ki az n3.
De amint színre lép a mindkettőjüknél jóval erősebb 2n…
nos az meglehetősen rossz hatással van az előző két sorozat önbizalmára.
Ám a 2n sem mindenható, mert jóval erősebb nála a 3n.
Nagy tehát a küzdelem itt a sorozatok világában.
Jó tudni, ki milyen erős.
Most pedig térjünk a tárgyra.
Itt jön egy tétel, amit bonyolultabb sorozatok határértékeinek kiszámolására fogunk használni.
A tétel azt mondja, hogy ha
és és van olyan , hogy minden esetén
akkor .
A tételt szendvics-szabálynak nevezzük és egyik tipikus alkalmazási területe a
típusú határértékek.
Vegyük például ezt a határértéket:
Azt kell megértenünk, hogy itt a legerősebb tag és
ez azt jelenti, hogy nagy n-ekre a többi tag hozzá képest nagyon kicsi,
mintha ott sem volna, olyan.
Így aztán nem meglepő, hogy a határérték
A Rendőr-elv arra való, hogy mindezt precízen be is bizonyítsuk.
A terv a következő.
Először keresünk egy olyan sorozatot, ami az eredeti sorozatnál kisebb,
és a határértéke 5.
Aztán keresünk egy másik sorozatot, ami az eredeti sorozatnál nagyobb, és szintén 5-höz tart.
Végül elégedetten megállapítjuk, hogy akkor az eredeti sorozat is 5-höz tart.
Nos ez szép terv, de nem is olyan könnyű megvalósítani.
Addig minden rendben, hogy kell egy olyan sorozat, ami az eredetinél kisebb,
és kell egy másik, ami nála nagyobb.
Ilyen sorozatokat mondani bárki tud. De olyan sorozatokat mondani, amik ráadásul 5-höz is tartanak, nos az már jóval nehezebb.
Ehhez meg kell tanulnunk a becslés művészetét.
Vigyáznunk kell, hogy a becslés során a legerősebb tagot ne változtassuk meg.
Az alsó becslésnél mindenkit elhagyunk, csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A felső becslésnél pedig minden tagot lecserélünk a legerősebbre.
Nézzünk meg egy másik határértéket is.
A legerősebb tag a számlálóban , a nevezőben pedig .
És most jöhet a becslés.
Úgy kell alulról becsülni, hogy a számlálót csökkentjük, a nevezőt pedig növeljük.
De a számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.
A számlálót úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A nevezőt meg úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A felső becslésnél a számlálót növeljük: mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A nevezőt pedig csökkentjük: csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
Aztán vannak bonyolultabb esetek is:
A felső becslés még könnyű, a mínuszos tagot egyszerűen elhagyjuk:
Az alsó becslés viszont meglehetősen furmányos.
Ide valami olyan kell, ami az eredetinél kisebb.
Az tehát nem jó, ha elhagyjuk az 5n-t, sőt éppen ellenkezőleg, még nála is többet kellene levonni.
De mit? Ha ugyanis 6n-t vonunk le, akkor az alsó becslés nulla.
Sajna ez probléma...
Szükségünk van tehát egy trükkre.
Nos az alsó becslés ez lesz. Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám.
A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nézzük tényleg kisebb-e, mint az eredeti:
Nos igen, ha .
Innentől már rutinmunka.
Most pedig lássuk mi jöhet még.
Most pedig folytassuk néhány vicces határértékkel.
A legerősebb tag 6n, a határérték szempontjából a többiek nem érdekesek.
Mivel pedig , ezért a sorozat határértéke 6.
Mindez azonban csak egy sejtés, egy elképzelés. A precíz bizonyításhoz szükségünk van egy tételre, amit rendőr-elvnek neveztünk el.
És most jöhet a precíz megoldás.
Kezdjük a felső becsléssel, ami most nagyon egyszerű.
Az alsó becslés már érdekesebb.
Itt bűvészmutatványokat fogunk végezni. Először minden mínuszos tagot lecserélünk a mínuszos tagok közül a legerősebbre.
És ezt még alulról becsüljük.
Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám. A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nos ez teljesül, ha .
Az alsó és felső becslésünk is 6-hoz tart, így aztán az eredeti sorozat határértéke most már hivatalosan is 6.
Nos ez remek hír, és akkor nézzünk is meg még egyet.
A felső becslés egyszerű. A számlálót növeljük azzal, hogy a mínuszos tagokat elhagyjuk,
a nevezőt pedig csökkentjük azzal, hogy ezt elhagyjuk.
ugyanis biztosan nem negatív.
Az alsó becslés már érdekesebb.
A nevezőt növelnünk kell, az még nem gond.
A számlálót viszont csökkentenünk kell és ehhez az előző trükköt fogjuk használni.
Nos ez előbb-utóbb teljesülni fog. Egészen pontosan 8-nál nagyobb n-ekre.
Most pedig néhány nagyon vicces határérték következik.
Mindegyik olyan típusú lesz, mint ezek:
De ráadásul használnunk kell majd a rendőr-elvet is.
Kezdjük egy könnyűvel:
Felső becslésnél a nevezőt csökkentjük,
alsó becslésnél pedig növeljük:
Itt jön egy kis trükk.
Itt jönnek az igazán vicces esetek.
Sokkal boldogabbak lennénk, ha nem lenne itt ez az n, és éppenséggel ezen tudunk segíteni:
És voila, innentől már pont olyan, mint az előző feladat.
Az sorozat erősebb, mint a sorozat, ha
és ezt a tényt így jelöljük, hogy
Ezt úgy kell elképzelni, hogy az erősebb sorozat gyorsabban tart a végtelenbe.
Nagy n-ekre így néz ki például az n2…
és így néz ki az n3.
De amint színre lép a mindkettőjüknél jóval erősebb 2n…
nos az meglehetősen rossz hatással van az előző két sorozat önbizalmára.
Ám a 2n sem mindenható, mert jóval erősebb nála a 3n.
Nagy tehát a küzdelem itt a sorozatok világában.
Jó tudni, ki milyen erős.
Most pedig térjünk a tárgyra.
Itt jön egy tétel, amit bonyolultabb sorozatok határértékeinek kiszámolására fogunk használni.
A tétel azt mondja, hogy ha
és és van olyan , hogy minden esetén
akkor .
A tételt szendvics-szabálynak nevezzük és egyik tipikus alkalmazási területe a
típusú határértékek.
Vegyük például ezt a határértéket:
Azt kell megértenünk, hogy itt a legerősebb tag és
ez azt jelenti, hogy nagy n-ekre a többi tag hozzá képest nagyon kicsi,
mintha ott sem volna, olyan.
Így aztán nem meglepő, hogy a határérték
A Rendőr-elv arra való, hogy mindezt precízen be is bizonyítsuk.
A terv a következő.
Először keresünk egy olyan sorozatot, ami az eredeti sorozatnál kisebb,
és a határértéke 5.
Aztán keresünk egy másik sorozatot, ami az eredeti sorozatnál nagyobb, és szintén 5-höz tart.
Végül elégedetten megállapítjuk, hogy akkor az eredeti sorozat is 5-höz tart.
Nos ez szép terv, de nem is olyan könnyű megvalósítani.
Addig minden rendben, hogy kell egy olyan sorozat, ami az eredetinél kisebb,
és kell egy másik, ami nála nagyobb.
Ilyen sorozatokat mondani bárki tud. De olyan sorozatokat mondani, amik ráadásul 5-höz is tartanak, nos az már jóval nehezebb.
Ehhez meg kell tanulnunk a becslés művészetét.
Vigyáznunk kell, hogy a becslés során a legerősebb tagot ne változtassuk meg.
Az alsó becslésnél mindenkit elhagyunk, csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A felső becslésnél pedig minden tagot lecserélünk a legerősebbre.
Nézzünk meg egy másik határértéket is.
A legerősebb tag a számlálóban , a nevezőben pedig .
És most jöhet a becslés.
Úgy kell alulról becsülni, hogy a számlálót csökkentjük, a nevezőt pedig növeljük.
De a számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.
A számlálót úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A nevezőt meg úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A felső becslésnél a számlálót növeljük: mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A nevezőt pedig csökkentjük: csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
Aztán vannak bonyolultabb esetek is:
A felső becslés még könnyű, a mínuszos tagot egyszerűen elhagyjuk:
Az alsó becslés viszont meglehetősen furmányos.
Ide valami olyan kell, ami az eredetinél kisebb.
Az tehát nem jó, ha elhagyjuk az 5n-t, sőt éppen ellenkezőleg, még nála is többet kellene levonni.
De mit? Ha ugyanis 6n-t vonunk le, akkor az alsó becslés nulla.
Sajna ez probléma...
Szükségünk van tehát egy trükkre.
Nos az alsó becslés ez lesz. Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám.
A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nézzük tényleg kisebb-e, mint az eredeti:
Nos igen, ha .
Innentől már rutinmunka.
Most pedig lássuk mi jöhet még.
Most pedig folytassuk néhány vicces határértékkel.
A legerősebb tag 6n, a határérték szempontjából a többiek nem érdekesek.
Mivel pedig , ezért a sorozat határértéke 6.
Mindez azonban csak egy sejtés, egy elképzelés. A precíz bizonyításhoz szükségünk van egy tételre, amit rendőr-elvnek neveztünk el.
És most jöhet a precíz megoldás.
Kezdjük a felső becsléssel, ami most nagyon egyszerű.
Az alsó becslés már érdekesebb.
Itt bűvészmutatványokat fogunk végezni. Először minden mínuszos tagot lecserélünk a mínuszos tagok közül a legerősebbre.
És ezt még alulról becsüljük.
Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám. A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nos ez teljesül, ha .
Az alsó és felső becslésünk is 6-hoz tart, így aztán az eredeti sorozat határértéke most már hivatalosan is 6.
Nos ez remek hír, és akkor nézzünk is meg még egyet.
A felső becslés egyszerű. A számlálót növeljük azzal, hogy a mínuszos tagokat elhagyjuk,
a nevezőt pedig csökkentjük azzal, hogy ezt elhagyjuk.
ugyanis biztosan nem negatív.
Az alsó becslés már érdekesebb.
A nevezőt növelnünk kell, az még nem gond.
A számlálót viszont csökkentenünk kell és ehhez az előző trükköt fogjuk használni.
Nos ez előbb-utóbb teljesülni fog. Egészen pontosan 8-nál nagyobb n-ekre.
Most pedig néhány nagyon vicces határérték következik.
Mindegyik olyan típusú lesz, mint ezek:
De ráadásul használnunk kell majd a rendőr-elvet is.
Kezdjük egy könnyűvel:
Felső becslésnél a nevezőt csökkentjük,
alsó becslésnél pedig növeljük:
Itt jön egy kis trükk.
Itt jönnek az igazán vicces esetek.
Sokkal boldogabbak lennénk, ha nem lenne itt ez az n, és éppenséggel ezen tudunk segíteni:
És voila, innentől már pont olyan, mint az előző feladat.
Az sorozat erősebb, mint a sorozat, ha
és ezt a tényt így jelöljük, hogy
Ezt úgy kell elképzelni, hogy az erősebb sorozat gyorsabban tart a végtelenbe.
Nagy n-ekre így néz ki például az n2…
és így néz ki az n3.
De amint színre lép a mindkettőjüknél jóval erősebb 2n…
nos az meglehetősen rossz hatással van az előző két sorozat önbizalmára.
Ám a 2n sem mindenható, mert jóval erősebb nála a 3n.
Nagy tehát a küzdelem itt a sorozatok világában.
Jó tudni, ki milyen erős.
Most pedig térjünk a tárgyra.
Itt jön egy tétel, amit bonyolultabb sorozatok határértékeinek kiszámolására fogunk használni.
A tétel azt mondja, hogy ha
és és van olyan , hogy minden esetén
akkor .
A tételt szendvics-szabálynak nevezzük és egyik tipikus alkalmazási területe a
típusú határértékek.
Vegyük például ezt a határértéket:
Azt kell megértenünk, hogy itt a legerősebb tag és
ez azt jelenti, hogy nagy n-ekre a többi tag hozzá képest nagyon kicsi,
mintha ott sem volna, olyan.
Így aztán nem meglepő, hogy a határérték
A Rendőr-elv arra való, hogy mindezt precízen be is bizonyítsuk.
A terv a következő.
Először keresünk egy olyan sorozatot, ami az eredeti sorozatnál kisebb,
és a határértéke 5.
Aztán keresünk egy másik sorozatot, ami az eredeti sorozatnál nagyobb, és szintén 5-höz tart.
Végül elégedetten megállapítjuk, hogy akkor az eredeti sorozat is 5-höz tart.
Nos ez szép terv, de nem is olyan könnyű megvalósítani.
Addig minden rendben, hogy kell egy olyan sorozat, ami az eredetinél kisebb,
és kell egy másik, ami nála nagyobb.
Ilyen sorozatokat mondani bárki tud. De olyan sorozatokat mondani, amik ráadásul 5-höz is tartanak, nos az már jóval nehezebb.
Ehhez meg kell tanulnunk a becslés művészetét.
Vigyáznunk kell, hogy a becslés során a legerősebb tagot ne változtassuk meg.
Az alsó becslésnél mindenkit elhagyunk, csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A felső becslésnél pedig minden tagot lecserélünk a legerősebbre.
Nézzünk meg egy másik határértéket is.
A legerősebb tag a számlálóban , a nevezőben pedig .
És most jöhet a becslés.
Úgy kell alulról becsülni, hogy a számlálót csökkentjük, a nevezőt pedig növeljük.
De a számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.
A számlálót úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A nevezőt meg úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A felső becslésnél a számlálót növeljük: mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A nevezőt pedig csökkentjük: csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
Aztán vannak bonyolultabb esetek is:
A felső becslés még könnyű, a mínuszos tagot egyszerűen elhagyjuk:
Az alsó becslés viszont meglehetősen furmányos.
Ide valami olyan kell, ami az eredetinél kisebb.
Az tehát nem jó, ha elhagyjuk az 5n-t, sőt éppen ellenkezőleg, még nála is többet kellene levonni.
De mit? Ha ugyanis 6n-t vonunk le, akkor az alsó becslés nulla.
Sajna ez probléma...
Szükségünk van tehát egy trükkre.
Nos az alsó becslés ez lesz. Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám.
A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nézzük tényleg kisebb-e, mint az eredeti:
Nos igen, ha .
Innentől már rutinmunka.
Most pedig lássuk mi jöhet még.
Most pedig folytassuk néhány vicces határértékkel.
A legerősebb tag 6n, a határérték szempontjából a többiek nem érdekesek.
Mivel pedig , ezért a sorozat határértéke 6.
Mindez azonban csak egy sejtés, egy elképzelés. A precíz bizonyításhoz szükségünk van egy tételre, amit rendőr-elvnek neveztünk el.
És most jöhet a precíz megoldás.
Kezdjük a felső becsléssel, ami most nagyon egyszerű.
Az alsó becslés már érdekesebb.
Itt bűvészmutatványokat fogunk végezni. Először minden mínuszos tagot lecserélünk a mínuszos tagok közül a legerősebbre.
És ezt még alulról becsüljük.
Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám. A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nos ez teljesül, ha .
Az alsó és felső becslésünk is 6-hoz tart, így aztán az eredeti sorozat határértéke most már hivatalosan is 6.
Nos ez remek hír, és akkor nézzünk is meg még egyet.
A felső becslés egyszerű. A számlálót növeljük azzal, hogy a mínuszos tagokat elhagyjuk,
a nevezőt pedig csökkentjük azzal, hogy ezt elhagyjuk.
ugyanis biztosan nem negatív.
Az alsó becslés már érdekesebb.
A nevezőt növelnünk kell, az még nem gond.
A számlálót viszont csökkentenünk kell és ehhez az előző trükköt fogjuk használni.
Nos ez előbb-utóbb teljesülni fog. Egészen pontosan 8-nál nagyobb n-ekre.
Most pedig néhány nagyon vicces határérték következik.
Mindegyik olyan típusú lesz, mint ezek:
De ráadásul használnunk kell majd a rendőr-elvet is.
Kezdjük egy könnyűvel:
Felső becslésnél a nevezőt csökkentjük,
alsó becslésnél pedig növeljük:
Itt jön egy kis trükk.
Itt jönnek az igazán vicces esetek.
Sokkal boldogabbak lennénk, ha nem lenne itt ez az n, és éppenséggel ezen tudunk segíteni:
És voila, innentől már pont olyan, mint az előző feladat.
Itt egy csodálatos kör, aminek a középpontja az origó és a sugara 1.
Ezt a kört egységkörnek nevezzük.
Az egységkör pontjainak x és y koordinátái -1 és 1 közé eső számok.
Ezekkel a koordinátákkal foglalkozni meglehetősen unalmas időtöltésnek tűnik…
Mivel azonban a matematikában mágikus jelentőségük van, egy kis időt mégis szakítanunk kell rájuk.
Itt van, mondjuk ez a P pont.
Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,
a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.
A két irány által bezárt szög lehet pozitív,
és lehet negatív.
A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.
Nos, ez a radián egész érdekesen működik:
a szögek mérésére az egységkör ívhosszát használja.
Van itt ez a szög, ami fokban számítva
És most lássuk mi a helyzet radiánban.
A kör kerületének a képlete .
Az egységkör sugara 1, tehát a kerülete .
A 45fok a teljes körnek az 1/8-a,
így a hozzá tartozó körív is a teljes kerület 1/8-a vagyis
Nos így kapjuk, hogy
Most pedig lássuk az egységkör pontjainak koordinátáit.
Kezdjük ezzel, amikor
Ezt jegyezzük föl.
A jelek szerint ez egy egyenlő szárú háromszög, tehát x=y.
Jön a Pitagorasz-tétel:
Most nézzük meg mi van akkor, ha
Ha egy háromszögben van két -os szög, akkor a háromszög egyenlő oldalú.
És most jön a Pitagorasz-tétel.
Az esetét elintézhetjük egy tükrözés segítségével.
Ha az -os esetet tükrözzük, akkor pedig eljutunk -hoz.
-nál túl sok számolásra nincs szükség.
Ahogyan –nál és -nál sem.
És most elérkezett az idő, hogy nevet adjunk ezeknek a koordinátáknak.
Az x koordinátát hívjuk Bobnak,
az y koordinátát pedig…
Nos mégsem olyan jó név a Bob. Egy K-val kezdődő név jobban hangzana.
Legyen mondjuk koszinusz.
A másik pedig szinusz.
Rögtön folytatjuk.
Van itt ez az egység sugarú kör.
Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,
a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.
A két irány által bezárt szög lehet pozitív,
és lehet negatív.
A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.
A P pont x koordinátáját -nak nevezzük.
Az y koordinátáját -nak.
Most pedig számoljuk ki néhány szög szinuszát és koszinuszát.
A sinx és cosx periodikus függvények.
Van itt ez az egység sugarú kör.
Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,
a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.
A két irány által bezárt szög lehet pozitív,
és lehet negatív.
A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.
A P pont x koordinátáját -nak nevezzük.
Az y koordinátáját -nak.
Most pedig számoljuk ki néhány szög szinuszát és koszinuszát.
A sinx és cosx periodikus függvények.
Ez azt jelenti, hogy bizonyos időközönként megismétlik önmagukat.
Ezt az időközt periódusnak nevezzük és az ő esetükben ez a periódus 2pi.
Ha van egy ilyen egyenlet, hogy
nos akkor ennek a periodikusság miatt végtelen sok megoldása van.
Ráadásul van egy kék megoldás,
ezt adja a számológép, ez meg a periódus.
Na persze a számológéppel ezt úgy lehet kiszámolni, hogy
és van egy zöld.
Na, ezt már nem adja ki a számológép, hanem egy kis cselhez kell folyamodnunk.
A szinusz úgy működik, hogy mindig van egy kék megoldás, amit a számológép ad,
és van egy zöld megoldás, amit nekünk kell kiszámolni és úgy kapjuk,
hogy az összegüknek éppen pi-nek kell lennie.
Ezt nem árt megjegyezni.
Lássuk, mi a helyzet a koszinusszal.
Itt is lesz egy kék és egy zöld megoldás,
ráadásul mindkettőből végtelen sok.
A helyzet annyival egyszerűbb, mint a szinusz esetében, hogy itt
a kék és a zöld megoldás mindig egymás mínuszegyszerese.
A kéket adja a számológép.
és ha elé biggyesztünk egy mínuszjelet.
nos akkor meg is van a zöld.
A koszinusz tehát sokkal jobb, mint a szinusz.
Itt jön egy újabb remek történet.
A szinusz úgy működik, hogy a kék megoldást mindig a számológép adja,
a zöld megoldás pedig úgy jön ki, hogy a két szög összege mindig pi legyen.
Most pedig újabb állatfajták következnek.
Lássuk hogyan is néznek ezek ki.
Nos nem túl szépen.
Leginkább talán tapétamintának használhatnánk őket.
A vizuális élvezetek után most a trigonometriai képletek özönvízszerű áradata következik.
Csak a legfontosabb egymillió darab képletet nézzük meg.
A LEGFONTOSABB TRIGONOMETRIAI ÖSSZEFÜGGÉSEK
Itt az egység sugarú körben van egy derékszögű háromszög,
amire felírjuk a Pithagorasz-tételt.
Nos talán ez a legfontosabb trigonometriai összefüggésünk.
Van ennek két mutáns változata is.
Most pedig újabb bűvészkedések következnek az egységsugarú körben.
És itt jön még néhány.
És most egy őrülten jó dolgot fogunk csinálni…
Megnézzük a trigonometrikus függvények inverzeit.
Kezdjük a koszinusszal…
A koszinusz nem kölcsönösen egyértelmű, vagyis nem injektív.
Mert ugyanazt az y értéket többször is fölveszi.
Így hát nincs inverze.
Ezzel akkor meg is vagyunk, jöhet a szinusz…
A szinusz is periodikus függvény, így annak sincs inverze.
Sőt egyik trigonometrikus függvénynek sincs inverze.
De ha csak egy perióduson belül nézzük őket…
Hát, ennek még akkor sincs.
Egy fél perióduson viszont…
Na, ott már igen.
Az inverz szemléletes jelentése, hogy tükrözzük a függvény grafikonját erre a szögfelezőre.
Ez a függvény a szinusz inverze.
És úgy hívják, hogy arkusz szinusz.
Az értelmezési tartománya mínusz egytől megy egyig…
Amikor megoldjuk például ezt az egyenletet:
E
Tulajdonképpen az arkusz szinusz függvényt használjuk.
És most nézzük, mi a helyzet a koszinusszal…
A koszinusz inverze az arkusz koszinusz.
Végül nézzük mi a helyzet a tangenssel.
És most lássuk a tangens függvény inverzét.
Ki gondolná, hogy ez olyan fontos?
De ki fog derülni, hogy nagyon is.
A tangensnek is csak egy periódusában van inverze.
Az inverz függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy tükrözünk erre a szögfelezőre…
És íme, a tangens inverze.
Úgy hívjuk, hogy arkusz tangens.
Ahogy az x tengelyen megyünk a végtelen felé, az arkusz tangens grafikonja egyre jobban rásimul erre az egyenesre.
A mínusz végtelenben meg erre.
Írjuk fel az arkusz tangenst is ide a listánkra…
Van itt ez a függvény:
Adjuk meg az értelmezési tartományát, értékkészletét, az inverzét, és az inverz értelmezési tartományát és értékkészletét.
Az arkusz tangens értelmezési tartománya minden valós szám.
És ezen az ilyen egyszerű kis módosítások nem változtatnak.
Mondjuk, itt már más lenne a helyzet…
Ez hamarosan ki is fog derülni, mert ez lesz a következő feladat…
Visszatérve ide, az értelmezési tartomány minden valós szám.
Az értékkészlet pedig…
A sor összege ezek szerint egy.
Nos ez a megoldás nem teljesen precíz, de a részletösszeg-sorozat segítségével precízzé tudjuk tenni.
Itt jön egy másik:
A nevezőt szorzattá alakítjuk, aztán megint bűvészmutatványok következnek.
Az egyenlőség mindkét oldalán ugyanannyi n-nek kell lennie.
A bal oldalon nulla darab van…
így a jobb oldalon is.
A konstans tag is mindkét oldalon ugyanaz kell, hogy legyen.
Jöjjön aztán egy kellemetlenebb ügy.
Megint először parciális törtekre bontunk.
Az egyenlőség mindkét oldalán ugyanannyi n2-nek kell lennie.
A bal oldalon nulla darab van…
így a jobb oldalon is.
Nos, aztán n-ből is nulla darab van bal oldalon.
Ezért jobb oldalon is.
A konstans tag is mindkét oldalon ugyanaz kell, hogy legyen.
Végül még egy trükk. A középső tagot kettébontjuk és nem is véletlenül. Azért bontjuk ketté, hogy neki is 1/2 legyen a számlálója és így jobban szeressék őt a többiek.
Most pedig jöhet a részletösszeg-sorozat.
És még egy érdekesség:
Itt is a parciális törtekre bontás módszerét használjuk, mégpedig úgy, hogy ahol a különbség első tagjában n-1 van, ott a második tagban n van.
Erre azért van szükség, hogy a felbontás során teleszkopikus összeget kapjunk.
És most jöhet a részletösszeg-sorozat.
Azokat a végtelen sorokat, amelyek így néznek ki, hatványsornak nevezzük:
Itt van például egy hatványsor.
És derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
A hatványsoroknál általában a gyök kritérium szokott beválni.
Ha akkor
és itt úgy viselkedik, mint egy konstans, vagyis sajátmagához tart.
A sor akkor konvergens, ha ez kisebb, mint 1.
A sárgával jelölt tartományban helyezkednek el azok az x-ek amelyekre a sor konvergens.
Ezt hívjuk konvergencia-tartománynak.
Az pedig a konvergencia-sugár.
A kérdés, hogy vajon konvergens-e a sor a konvergencia-tartomány végpontjaiban?
Nos, ezt mindig még külön meg kell vizsgálni.
A jelek szerint ez egy Leibniz-sor, tehát konvergens.
Most lássuk a másik végpontot.
Nos, itt a sor divergens.
-t a hatványsor középpontjának nevezzük.
-ban a hatványsor mindig abszolút konvergens.
Az pont sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük.
A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.
Lássuk mi a helyzet ezzel:
Megint gyök kritérium:
És most jöhetnek a végpontok.
Az ebben a végpontban kapott sor konvergens, sőt abszolút konvergens.
A másik végpontban szintén.
Itt jön aztán egy olyan hatványsor, amire nem lesz jó a gyök kritérium.
Az miatt itt a hányados kritérium lesz a nyerő.
Írhatunk x helyére bármilyen számot, ez mindig teljesülni fog.
A jelek szerint tehát a sor miden x-re konvergens.
