Írjuk fel a repülőtér forgalmát közelítő lineáris trendet.
| Repülőtér forgalma (ezer fő) |
|
| Január. | 2307 |
| Február | 2198 |
| Március | 2276 |
| Április | 2329 |
| Május | 2375 |
Írjuk fel a repülőtér forgalmát közelítő lineáris trendet.
| Repülőtér forgalma (ezer fő) |
|
| Január. | 2307 |
| Február | 2198 |
| Március | 2276 |
| Április | 2329 |
| Május | 2375 |
Ez itt az exponenciális trend egyenlete:
\( \hat{y}_t = \hat{b}_0 \cdot \hat{b}_1^t \)
Ha mindkét oldalnak vesszük a logaritmusát, azzal visszavezethetjük a feladatot a lineáris trendre...
EXPONENCIÁLIS TREND: \( \ln{\hat{y}_t} = \ln{\hat{b}_0} + \ln{\hat{b}_1}\cdot t \)
LINEÁRIS TREND: \( \hat{y}_t = \hat{b}_0 + \hat{b}_1 \cdot t \)
Ez itt az exponenciális trend egyenlete:
\( \hat{y}_t = \hat{b}_0 \cdot \hat{b}_1^t \)
Ha mindkét oldalnak vesszük a logaritmusát, azzal visszavezethetjük a feladatot a lineáris trendre...
EXPONENCIÁLIS TREND: \( \ln{\hat{y}_t} = \ln{\hat{b}_0} + \ln{\hat{b}_1}\cdot t \)
LINEÁRIS TREND: \( \hat{y}_t = \hat{b}_0 + \hat{b}_1 \cdot t \)
| Influenzában megbetegedettek száma január 1 és január 28 között (ezer fő) |
|||
| \( y_1=10 \) | \( y_8=19\) | \( y_{15}=35 \) | \( y_{22}=76\) |
| \( y_2=11\) | \( y_9=21\) | \( y_{16}=39\) | \( y_{23}=86\) |
| \( y_3=12\) | \( y_{10}=23\) | \( y_{17}=45\) | \( y_{24}=90\) |
| \( y_4=14\) | \( y_{11}=26\) | \( y_{18}=49\) | \( y_{25}=98\) |
| \( y_5=15\) | \( y_{12}=28 \) | \( y_{19}=57\) | \( y_{26}=110\) |
| \( y_6=17\) | \( y_{13}=31\) | \( y_{20}=63\) | \( y_{27}=120\) |
| \( y_7=18\) | \( y_{14}=33\) | \( y_{21}=69\) | \( y_{28}=132\) |
Adjuk meg az exponenciális trendet.
| Influenzában megbetegedettek száma január 1 és január 28 között (ezer fő) |
|||
| \( y_1=10 \) | \( y_8=19\) | \( y_{15}=35 \) | \( y_{22}=76\) |
| \( y_2=11\) | \( y_9=21\) | \( y_{16}=39\) | \( y_{23}=86\) |
| \( y_3=12\) | \( y_{10}=23\) | \( y_{17}=45\) | \( y_{24}=90\) |
| \( y_4=14\) | \( y_{11}=26\) | \( y_{18}=49\) | \( y_{25}=98\) |
| \( y_5=15\) | \( y_{12}=28 \) | \( y_{19}=57\) | \( y_{26}=110\) |
| \( y_6=17\) | \( y_{13}=31\) | \( y_{20}=63\) | \( y_{27}=120\) |
| \( y_7=18\) | \( y_{14}=33\) | \( y_{21}=69\) | \( y_{28}=132\) |
Adjuk meg az exponenciális trendet.
Íme 4 év fagyieladásai negyedéves bontásban:
| Negyedévek | forgalom (1000 gombóc) |
|
| 2018 | Q1 | \( y_1=100 \) |
| Q2 | \( y_2=122 \) | |
| Q3 | \( y_3=154 \) | |
| Q4 | \( y_4=132 \) | |
| 2019 | Q1 | \( y_5=111 \) |
| Q2 | \( y_6=144\) | |
| Q3 | \( y_7=196\) | |
| Q4 | \( y_8=140\) | |
| 2020 | Q1 | \( y_9=133\) |
| Q2 | \( y_{10}=156\) | |
| Q3 | \( y_{11}=216\) | |
| Q4 | \( y_{12}=181 \) | |
| 2021 | Q1 | \( y_{13}=160\) |
| Q2 | \( y_{14}=190\) | |
| Q3 | \( y_{15}=242\) | |
| Q4 | \( y_{16}=199\) | |
Adjuk meg az analitikus trendszámítás segítségével a lineáris trendet.
Íme 4 év fagyieladásai negyedéves bontásban:
| Negyedévek | forgalom (1000 gombóc) |
|
| 2018 | Q1 | \( y_1=100 \) |
| Q2 | \( y_2=122 \) | |
| Q3 | \( y_3=154 \) | |
| Q4 | \( y_4=132 \) | |
| 2019 | Q1 | \( y_5=111 \) |
| Q2 | \( y_6=144\) | |
| Q3 | \( y_7=196\) | |
| Q4 | \( y_8=140\) | |
| 2020 | Q1 | \( y_9=133\) |
| Q2 | \( y_{10}=156\) | |
| Q3 | \( y_{11}=216\) | |
| Q4 | \( y_{12}=181 \) | |
| 2021 | Q1 | \( y_{13}=160\) |
| Q2 | \( y_{14}=190\) | |
| Q3 | \( y_{15}=242\) | |
| Q4 | \( y_{16}=199\) | |
Adjuk meg az analitikus trendszámítás segítségével a lineáris trendet.
Egy új termék piacra történő bevezetésének adatai az alábbiak voltak.
| év | 1000 emberből a termékkel rendelkezők száma | |||
| I. negyedév | II. negyedév | III. negyedév | IV. negyedév | |
| 2008 | \( y_1=10 \) | \( y_2=12\) | \( y_3=14\) | \( y_4=15\) |
| 2009 | \( y_5=17\) | \( y_6=19\) | \( y_7=20\) | \( y_8=21\) |
| 2010 | \( y_9=23\) | \( y_{10}=25\) | \( y_{11}=28\) | \( y_{12}=30\) |
| 2011 | \( y_{13}=35\) | \( y_{14}=39 \) | \( y_{15}=43\) | \( y_{16}=46 \) |
Illesszünk az adatokra lineáris, majd exponenciális trendet és döntsük el, hogy melyik illeszkedik jobban. Mindkét esetben vizsgáljuk meg a szezonalitást.
Egy új termék piacra történő bevezetésének adatai az alábbiak voltak.
| év | 1000 emberből a termékkel rendelkezők száma | |||
| I. negyedév | II. negyedév | III. negyedév | IV. negyedév | |
| 2008 | \( y_1=10 \) | \( y_2=12\) | \( y_3=14\) | \( y_4=15\) |
| 2009 | \( y_5=17\) | \( y_6=19\) | \( y_7=20\) | \( y_8=21\) |
| 2010 | \( y_9=23\) | \( y_{10}=25\) | \( y_{11}=28\) | \( y_{12}=30\) |
| 2011 | \( y_{13}=35\) | \( y_{14}=39 \) | \( y_{15}=43\) | \( y_{16}=46 \) |
Illesszünk az adatokra lineáris, majd exponenciális trendet és döntsük el, hogy melyik illeszkedik jobban. Mindkét esetben vizsgáljuk meg a szezonalitást.
Egy üzem sörtermelése három egymást követő évben az alábbiak szerint alakult. Illesszünk az adatsorra lineáris majd exponenciális trendet, vizsgáljuk meg, hogy melyik illeszkedik jobban, és adjunk becslést a következő év sörtermelésére a jobban illeszkedő trend alapján, szezonalitással korrigálva.
| ÉV | termelés (1000 liter) | |
| első | TÉL | 560 |
| TAVASZ | 576 | |
| NYÁR | 590 | |
| ŐSZ | 565 | |
| második | TÉL | 558 |
| TAVASZ | 581 | |
| NYÁR | 602 | |
| ŐSZ | 579 | |
| harmadik | TÉL | 567 |
| TAVASZ | 598 | |
| NYÁR | 607 | |
| ŐSZ | 600 |
Egy üzem sörtermelése három egymást követő évben az alábbiak szerint alakult. Illesszünk az adatsorra lineáris majd exponenciális trendet, vizsgáljuk meg, hogy melyik illeszkedik jobban, és adjunk becslést a következő év sörtermelésére a jobban illeszkedő trend alapján, szezonalitással korrigálva.
| ÉV | termelés (1000 liter) | |
| első | TÉL | 560 |
| TAVASZ | 576 | |
| NYÁR | 590 | |
| ŐSZ | 565 | |
| második | TÉL | 558 |
| TAVASZ | 581 | |
| NYÁR | 602 | |
| ŐSZ | 579 | |
| harmadik | TÉL | 567 |
| TAVASZ | 598 | |
| NYÁR | 607 | |
| ŐSZ | 600 |
Egy hegyi üdülőfalu forgalma főleg a téli síszezonban és a nyári túraszezonban erős, a köztes időszakokban gyengébb. Három év forgalmát vizsgáltuk meg. Az adatok alapján határozzuk meg a lineáris és az exponenciális trendet, majd készítsünk mozgóátlagolású trendet is.
| ÉV | forgalom (1000 fő) |
|
| 2020 | TÉL | 16,9 |
| TAVASZ | 13,6 | |
| NYÁR | 20,6 | |
| ŐSZ | 16,7 | |
| 2021 | TÉL | 23,9 |
| TAVASZ | 20,4 | |
| NYÁR | 26,5 | |
| ŐSZ | 24,1 | |
| 2022 | TÉL | 32,5 |
| TAVASZ | 30,1 | |
| NYÁR | 39,7 | |
| ŐSZ | 36,5 |
Egy hegyi üdülőfalu forgalma főleg a téli síszezonban és a nyári túraszezonban erős, a köztes időszakokban gyengébb. Három év forgalmát vizsgáltuk meg. Az adatok alapján határozzuk meg a lineáris és az exponenciális trendet, majd készítsünk mozgóátlagolású trendet is.
| ÉV | forgalom (1000 fő) |
|
| 2020 | TÉL | 16,9 |
| TAVASZ | 13,6 | |
| NYÁR | 20,6 | |
| ŐSZ | 16,7 | |
| 2021 | TÉL | 23,9 |
| TAVASZ | 20,4 | |
| NYÁR | 26,5 | |
| ŐSZ | 24,1 | |
| 2022 | TÉL | 32,5 |
| TAVASZ | 30,1 | |
| NYÁR | 39,7 | |
| ŐSZ | 36,5 |
A valóságban az exponenciális jellegű trendek jelentős része nem valódi exponenciális trend, hanem úgynevezett logisztikai görbe.
A logisztikai görbe kezdetben megegyezik az exponenciális trenddel, de egyszer aztán megtorpan.
Tipikusan ilyen folyamat például egy járvány terjedése. Minél több ember fertőződik meg, a járvány annál gyorsabban terjed, tehát a trend exponenciális jellegű, ám egyszer aztán eléri a telítettségi szintet, amikor már nem tud több ember megfertőződni és a növekedés megáll.
A valóságban az exponenciális jellegű trendek jelentős része nem valódi exponenciális trend, hanem úgynevezett logisztikai görbe.
A logisztikai görbe kezdetben megegyezik az exponenciális trenddel, de egyszer aztán megtorpan.
Tipikusan ilyen folyamat például egy járvány terjedése. Minél több ember fertőződik meg, a járvány annál gyorsabban terjed, tehát a trend exponenciális jellegű, ám egyszer aztán eléri a telítettségi szintet, amikor már nem tud több ember megfertőződni és a növekedés megáll.
Egy részvény árfolyamának alakulását 20 napig figyeltük. Illesszünk az adatokra három napos mozgóátlagolású trendet, majd lineáris trendet. Számítsuk ki a változás átlagos napi mértékét és hasonlítsuk össze a lineáris trend megfelelő paramétereivel.
| nap | Részvény ára (USD) |
| 1. | 90 |
| 2. | 91 |
| 3. | 88 |
| 4. | 87 |
| 5. | 87 |
| 6. | 86 |
| 7. | 88 |
| 8. | 91 |
| 9. | 93 |
| 10. | 94 |
| 11. | 93 |
| 12. | 95 |
| 13. | 97 |
| 14. | 98 |
| 15. | 97 |
| 16. | 100 |
| 17. | 99 |
| 18. | 102 |
| 19. | 98 |
| 20. | 95 |
Egy részvény árfolyamának alakulását 20 napig figyeltük. Illesszünk az adatokra három napos mozgóátlagolású trendet, majd lineáris trendet. Számítsuk ki a változás átlagos napi mértékét és hasonlítsuk össze a lineáris trend megfelelő paramétereivel.
| nap | Részvény ára (USD) |
| 1. | 90 |
| 2. | 91 |
| 3. | 88 |
| 4. | 87 |
| 5. | 87 |
| 6. | 86 |
| 7. | 88 |
| 8. | 91 |
| 9. | 93 |
| 10. | 94 |
| 11. | 93 |
| 12. | 95 |
| 13. | 97 |
| 14. | 98 |
| 15. | 97 |
| 16. | 100 |
| 17. | 99 |
| 18. | 102 |
| 19. | 98 |
| 20. | 95 |
Egy webáruház havi forgalma három egymást követő évben az alábbiak szerint alakul. Illesszünk az adatsorra exponenciális trendet, adjuk meg a szezonindexeket és értelmezzük ezek jelentését.
| ÉV | Forgalom (1000 fő) |
|
| 2020 | TÉL | 120 |
| TAVASZ | 142 | |
| NYÁR | 164 | |
| ŐSZ | 196 | |
| 2021 | TÉL | 240 |
| TAVASZ | 256 | |
| NYÁR | 324 | |
| ŐSZ | 360 | |
| 2022 | TÉL | 420 |
| TAVASZ | 512 | |
| NYÁR | 576 | |
| ŐSZ | 600 |
Egy webáruház havi forgalma három egymást követő évben az alábbiak szerint alakul. Illesszünk az adatsorra exponenciális trendet, adjuk meg a szezonindexeket és értelmezzük ezek jelentését.
| ÉV | Forgalom (1000 fő) |
|
| 2020 | TÉL | 120 |
| TAVASZ | 142 | |
| NYÁR | 164 | |
| ŐSZ | 196 | |
| 2021 | TÉL | 240 |
| TAVASZ | 256 | |
| NYÁR | 324 | |
| ŐSZ | 360 | |
| 2022 | TÉL | 420 |
| TAVASZ | 512 | |
| NYÁR | 576 | |
| ŐSZ | 600 |
