Matek 3 Kandó

A deriváltvektor azt jelenti, hogy egy többváltozós függvény parciális deriváltjait beletesszük egy vektorba. A deriváltvektort szokás gradiensvektornak is nevezni, és az f(x,y) kétváltozós függvény gradiensvektorát úgy jelöljük, hogy grad(f(x,y)). A gradiensvektor elnevezés onnan ered, hogy éppen a gradiens vektor irányában emelkedik mindig a legjobban a kétváltozós függvény grafikonja, ami egy felület. A deriváltvektort vagy gardiensvektort egy úgynevezett nabla szimbólummal is szokás jelölni. Ez egy csúcsára állított háromszög és a nabla operátor azt csinálja, hogy egy függvény parciális deriváltjait bepakolja egy vektorba. Ezt nem csak az f(x,y) kétváltozós függvénnyel lehet megtenni, hanem az f(x,y,z) háromváltozós függvénnyel is, vagy akár általánosan egy n változós függvénnyel. A nabla operátort alkalmazva erre a függvényre egy n koordinátás vektort kapunk, aminek a koordinátái a különböző parciális deriváltak lesznek. 

A deriváltvektor azt jelenti, hogy egy többváltozós függvény parciális deriváltjait beletesszük egy vektorba. A deriváltvektort szokás gradiensvektornak is nevezni, és az f(x,y) kétváltozós függvény gradiensvektorát úgy jelöljük, hogy grad(f(x,y)). A gradiensvektor elnevezés onnan ered, hogy éppen a gradiens vektor irányában emelkedik mindig a legjobban a kétváltozós függvény grafikonja, ami egy felület. A deriváltvektort vagy gardiensvektort egy úgynevezett nabla szimbólummal is szokás jelölni. Ez egy csúcsára állított háromszög és a nabla operátor azt csinálja, hogy egy függvény parciális deriváltjait bepakolja egy vektorba. Ezt nem csak az f(x,y) kétváltozós függvénnyel lehet megtenni, hanem az f(x,y,z) háromváltozós függvénnyel is, vagy akár általánosan egy n változós függvénnyel. A nabla operátort alkalmazva erre a függvényre egy n koordinátás vektort kapunk, aminek a koordinátái a különböző parciális deriváltak lesznek. 

Az iránymenti derivált azt jelenti, hogyha a kétváltozós függvény grafikonjának egy pontjában áll egy hagymászó, és elindul egy v irányban, akkor ebben az irányban milyen meredeken emelkedik a felület. Az iránymenti derivált kiszámolása nagyon egyszerű. Azzal kell kezdeni, hogy a P pontban kiszámoljuk a deriváltvektort. Ezek után a v irányba mutató vektorból egységnyi hosszú vektort csinálunk úgy, hogy elosztjuk a saját hosszával. Az így keletkező e vektort skalárisan megszorozzuk a deriváltvektorral és meg is van az iránymenti derivált.

Ahogy már láttuk, az iránymenti derivált azt jelenti, hogyha a kétváltozós függvény grafikonjának egy pontjában áll egy hagymászó, és elindul egy v irányban, akkor ebben az irányban milyen meredeken emelkedik a felület. Ahogy a v irányt változtatjuk, az iránymenti derivált értéke is változik. És van egy olyan v irány, ahol az iránymenti derivált maximális. Ezt az irányt nevezzük gradiens iránynak és ez mindig megegyezik a deriváltvektor irányával. Vagyis egy P pontban a függvény iránymenti deriváltja éppen abban az irányban a legnagyobb, ami a P ponthoz tartozó deriváltvektor iránya. A dolog egy egyszerű skaláris szorzattal könnyedén kijön. És az is kiderül, hogy melyik az az irány, amely mentén az iránymenti derivált éppen nulla. Ez a gradiens irányra merőleges irány, amit szintvonal iránynak nevezünk.

Az érintősík képlete nagyon hasonlít az egyváltozós függvényeknél az érintő egyenletére, csak most x és y szerint is deriválni kell. Lépésről lépésre megoldunk néhány feladatot a kétváltozós függvények érintősíkjával kapcsolatban. Az első lépés mindig a parciális deriváltak kiszámolása, aztán ezekbe a parciális deriváltakba behelyettesítjük az érintési pont koordinátát. Ezek után még kiszámoljuk a függvényértéket is az érintési pontban és már jöhet is az érintősík egyenletének a képlete.

A függvényeket két nagy típusba sorolhatjuk, az explicit és az implicit függvények csoportjába. Az explicit függvények azok, amelyek egy konkrét képlettel vannak megadva, míg az implicit függvények valamilyen egyenlet formájában adhatók meg. 

 A függvényeket két nagy típusba sorolhatjuk, az explicit és az implicit függvények csoportjába. Az explicit függvények azok, amelyek egy konkrét képlettel vannak megadva, míg az implicit függvények valamilyen egyenlet formájában adhatók meg. Az implicit függvények deriválására egy nagyon egyszerű képletet alkothatunk a parciális deriválás segítségével.

A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.

A vegyes másodrendű deriváltak mindig egyenlők, ha a függvény kétszer folytonosan deriválható.

A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.

Egy általános módszer, amivel kétváltozós függvények szélsőértékeit és nyeregpontjait lehet meghatározni

Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.

Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.

 másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen nyeregpontja van-e.

A sík azon pontjainak összességét, amelyekben az $f$ függvény ugyanazt a konstans értéket veszi fel, az $f$ függvény szintvonalának nevezzük.

Az érintősík képlete nagyon hasonlít az egyváltozós függvényeknél az érintő egyenletére, csak most x és y szerint is deriválni kell. Lépésről lépésre megoldunk néhány feladatot a kétváltozós függvények érintősíkjával kapcsolatban. Az első lépés mindig a parciális deriváltak kiszámolása, aztán ezekbe a parciális deriváltakba behelyettesítjük az érintési pont koordinátát. Ezek után még kiszámoljuk a függvényértéket is az érintési pontban és már jöhet is az érintősík egyenletének a képlete.

Az iránymenti derivált azt jelenti, hogyha a kétváltozós függvény grafikonjának egy pontjában áll egy hagymászó, és elindul egy v irányban, akkor ebben az irányban milyen meredeken emelkedik a felület. Az iránymenti derivált kiszámolása nagyon egyszerű. Azzal kell kezdeni, hogy a P pontban kiszámoljuk a deriváltvektort. Ezek után a v irányba mutató vektorból egységnyi hosszú vektort csinálunk úgy, hogy elosztjuk a saját hosszával. Az így keletkező e vektort skalárisan megszorozzuk a deriváltvektorral és meg is van az iránymenti derivált.

A függvényeket két nagy típusba sorolhatjuk, az explicit és az implicit függvények csoportjába. Az explicit függvények azok, amelyek egy konkrét képlettel vannak megadva, míg az implicit függvények valamilyen egyenlet formájában adhatók meg. 

 A függvényeket két nagy típusba sorolhatjuk, az explicit és az implicit függvények csoportjába. Az explicit függvények azok, amelyek egy konkrét képlettel vannak megadva, míg az implicit függvények valamilyen egyenlet formájában adhatók meg. Az implicit függvények deriválására egy nagyon egyszerű képletet alkothatunk a parciális deriválás segítségével.

Az egyváltozós függvények határértékének epszilon-deltás definícióját átültetjük a kétváltozós esetre.

Hogyan vihető át a deriválás szemléletes jelentése egyváltozós függvényekről kétváltozós függvényekre?

A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.

Az f(x) függvény primitív függvényének jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.

Polinomok integrálása. Törtfüggvény integrálása. Exponenciális függvények integrálása. Trigonometrikus függvények integrálása.

Polinomok, törtfüggvény, exponenciális függvények, trigonometrikus függvények integráljainak lineáris helyettesítései.

Integráláskor a konstans szorzó kivihető.

Összeget külön-külön is integrálhatunk.

Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.

Szorzat integrálásának egy speciális esete, amikor a függvény n-edik hatványon van és meg van szorozva a deriváltjával.

Ezzel a remek módszerrel szorzatokat tudunk integrálni úgy, hogy egy bonyolultabb integrálásból csinálunk egy egyszerűbb integrálást.

Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.

Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.

Törtek integrálásának egy speciális esete, amikor a tört számlálója a nevező deriváltja.

A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk majd megoldani a feladatot.

A racionális törtfüggvények integrálásához a függvényeket parciális törtekre kell bontani, majd a parciális törteket egyesével integrálni.

A helyettesítéses integrálás úgy működik, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.

A helyettesítéses integrálás egyik legfurcsább esete az $u = \tan{ \frac{x}{2} } $. Olyankor használjuk, ha a törtben $\sin{x}$ és $\cos{x}$ is csak első fokon szerepel.

A kétváltozós függvények határozott integrálja egy test térfogata.

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni. A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.

Bizonyos kettősintegrálok kiszámolását megkönnyíti, ha inkább polárkoordinátákat használunk.

A síkbeli polárkoordináták egyik térbeli kiterjesztése - de nem az igazi...

A polárkoordináták háromdimenziós változatát gömbi koordinátáknak nevezzük. A régi x, y, z koordinátákat új gömbi koordinátákkal helyettesítjük.

A differenciálegyenletek olyan egyenletek, amiben az ismeretlenek függvények. Az egyenletben ezeknek a függvényeknek a különböző deriváltjai és hatványai szerepelnek.

Azt mondja meg, hogy az ismeretlen függvény maximum hanyadik deriváltja szerepel az egyenletben.

Ha az ismeretlen függvény és deriváltjai csak első fokon szerepelnek a differenciálegyenletben, akkor az egyenlet lineáris.

Olyan differenciálegyenlet, amelyet az egyenlet szétválasztásával és a két rész külön-külön integrálásával lehet megoldani

Egy differenciálegyenlet homogén fokszámú, ha $y=ux$ helyettesítés után minden $x$-es tag kitevője megegyezik.

A differenciálegyenletek második fő típusa, sok helyen nincs benne a tananyagban.

annak olyan egyenletek, amelyek ugyan nem egzaktak, de egy ügyes trükk segítségével egzakttá tehetők. Itt jön a trükk...

Az egyik legfontosabb típus az y'+Py=Q alakú differenciálegyenlet, amelyre egy részletes megoldási tervet adunk.

A konstans variálás módszere egy megoldási módszer az elsőrendű lineáris differenciálegyenletekhez.

Az elsőrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet egy speciális esete a lineáris elsőrendű egyenleteknek. Azért hívják állandó együtthatósnak, mert a $P(x)$ függvény ilyenkor valamilyen konstans, mondjuk $a$.

 Ez olyankor van, ha a homogén megoldás és a partikuláris megoldás hasonlít egymásra. Lássuk mit is jelent ez...

A másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet általános alakja: $ay'' + by' + cy = 0 $. Megoldásához a karakterisztikus egyenletet használjuk.

A másodrendű lineáris állandó együtthatós inhomogén differenciálegyenlet általános alakja: $ay'' + by' + cy = Q(x) $. A homogén megoldást megkapjuk a karakterisztikus egyenlet segítségével, a partikuláris megoldást pedig a próbafüggvény módszerrel végezzük.

Hát ez egy elég rémes improprius integrálás, de azért kimondottan hasznos, tehát megér egy megnézést...

Kiszámoljuk pár nevezetes függvény Laplace transzformáltját.

Ez a Laplace transzformált vissza-iránya, ami a differenciálegyenletek megoldásának a végén tartogat izgalmakat.

A vektormező egy olyan függvény, ami egy tér pontjaihoz vektort rendel.

A $v(x,y)$ vektormezőnek az $r(t)= ( x(t), y(t) )$ görbe mentén vett integrálja $t_1$ és $t_2$ között.

A fluxus azt mondja meg, hogy egy adott felületen mekkora az átáramló anyag vagy energia.

A $v(x,y,z)$ vektormezőnek az $S(t,u)=\left(  x(t,u), y(t,u), z(t,u) \right)$ felületi integrálja.

A $v(x,y,z)$ vektormezőnek az $r(t)= ( x(t), y(t), z(t) )$ görbe mentén vett integrálja.

A vektormező divergenciája egy olyan függvény, amely a vektormező minden pontjában megméri, hogy ott mennyi anyag áramlik a rendszerbe vagy épp mennyi tűnik el.

A rotáció a vektormező örvénylését írja le.

Egy vektormező akkor forrásmentes, ha nincs benne forrás, vagyis nincs benne olyan pont, amelynek pozitív a divergenciája.

Egy vektormező akkor örvénymentes, ha a vektormező rotációja mindenütt nulla.

A konzervatív vektormezőre több különböző definíció van forgalomban attól függően, hogy fizikusok vagy matematikusok alkották-e meg magát a definíciót.

A vektormező akkor konzervatív, ha létezik $F$ primitív függvénye. Ez az $F$ függvény a vektormező potenciál-függvénye.

Az első Green-tétel azt írja le a rotáció segítségével, hogy mekkora egy vektormező örvénylése a zárt görbén. A második Green-tétel pedig azt írja le a divergencia segítségével, hogy mekkora egy vektormező fluxusa a zárt görbén.

A második Green-tétel térbeli változata azt mondja, hogy egy vektormező integrálja az $S$ kifelé irányított zárt felületen egyenlő a divergencia integráljával a felület által határolt $D$ tartományon.

Az első Green-tétel térbeli változatát Stokes-tételnek nevezzük.