Legyen $A$ egy nxn-es reguláris mátrix, és az $A\underline{x}=\underline{b}$ egyenletrendszer megoldása $\underline{x}^{*}$. Ekkor az
$ \underline{x}^{(n+1)} = B \underline{x}^{(n)}+\underline{c}$
iterációt az egyenletrendszerrel konzisztensnek nevezzük, ha teljesül rá, hogy
$\underline{x}^{*}=B\underline{x}^{*}+\underline{c}$
Az $ \underline{x}^{(n+1)} = B \underline{x}^{(n)}+\underline{c}$ iteráció pontosan akkor tart az egyenletrendszer megoldásához, ha $ \rho{(B)}<1$
A Gauss-Seidel iteráció szerint:
\( \underline{x}^{(n+1)} = (D+L)^{-1}(-U) \underline{x}^{(n)} + (D+L)^{-1} \underline{b} \)
A Gauss-Seidel iteráció egy iterációs módszer egyenletrendszerek megoldására.
Oldjuk meg az egyenletrendszert a Gauss-Seidel iterációval.
\(4x_1+x_2-x_3=3\)
\(x_1+2x_2+x_3=8\)
\(x_1-x_2+5x_3=14\)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket a Jacobi és a Gauss-Seidel iterációval is.
a)
\(4x_1+x_2=7\)
\(2x_1+5x_2=17\)
b)
\(2x_1+x_2+2x_3=10\)
\(x_1+2x_2+2x_3=11\)
\(-2x_1+2x_2+x_3=5\)
