Trigonometrikus függvények és arkusz függvények

És most egy őrülten jó dolgot fogunk csinálni…

Megnézzük a trigonometrikus függvények inverzeit.

Kezdjük a koszinusszal…

A koszinusz nem kölcsönösen egyértelmű, vagyis nem injektív.

Mert ugyanazt az y értéket többször is fölveszi.

Így hát nincs inverze.

Ezzel akkor meg is vagyunk, jöhet a szinusz…

A szinusz is periodikus függvény, így annak sincs inverze.

Sőt egyik trigonometrikus függvénynek sincs inverze.

De ha csak egy perióduson belül nézzük őket…

Hát, ennek még akkor sincs.
Egy fél perióduson viszont…
Na, ott már igen.

Az inverz szemléletes jelentése, hogy tükrözzük a függvény grafikonját erre a szögfelezőre.

Ez a függvény a szinusz inverze.
És úgy hívják, hogy arkusz szinusz.

 
Az értelmezési tartománya mínusz egytől megy egyig…

 
Amikor megoldjuk például ezt az egyenletet:

E
 
Tulajdonképpen az arkusz szinusz függvényt használjuk.
 

És most nézzük, mi a helyzet a koszinusszal…
A koszinusz inverze az arkusz koszinusz.

Végül nézzük mi a helyzet a tangenssel.

És most lássuk a tangens függvény inverzét.
Ki gondolná, hogy ez olyan fontos?
De ki fog derülni, hogy nagyon is.

A tangensnek is csak egy periódusában van inverze.
Az inverz függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy tükrözünk erre a szögfelezőre…

És íme, a tangens inverze.

Úgy hívjuk, hogy arkusz tangens.
 

Ahogy az x tengelyen megyünk a végtelen felé, az arkusz tangens grafikonja egyre jobban rásimul erre az egyenesre.

A mínusz végtelenben meg erre.

Írjuk fel az arkusz tangenst is ide a listánkra…

Van itt ez a függvény:
 

Adjuk meg az értelmezési tartományát, értékkészletét, az inverzét, és az inverz értelmezési tartományát és értékkészletét.

Az arkusz tangens értelmezési tartománya minden valós szám.
És ezen az ilyen egyszerű kis módosítások nem változtatnak.

Mondjuk, itt már más lenne a helyzet…
 

Ez hamarosan ki is fog derülni, mert ez lesz a következő feladat…

Visszatérve ide, az értelmezési tartomány minden valós szám.
 

Az értékkészlet pedig…