Analízis 1 NJE

A mátrixok rendkívül barátságosak. Egy nXk-as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, aminek n darab sora és k darab oszlopa van.

Ha egy mátrixot egy számmal szorzunk, akkor a mátrix összes elemét meg kell szorozni a számmal.

Ha egy mátrixot osztunk egy számmal, akkor a mátrix minden elemét osztani kell a számmal.

Két mátrix összeadásakor összeadjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet összeadni, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

Két mátrix kivonásakor kivonjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet kivonni egymásból, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

Két mátrix szorzata akkor létezik, ha a bal oldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobb oldali mátrix sorainak számával. Az eredménymátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorát skalárisan szorozzuk a jobb oldali mátrix j-edik oszlopával. (Tehát az első elemet az elsővel, a másodikat a másodikkal stb. szorozzuk, majd összeadjuk)

A mátrix összeadás kommutatív és asszociatív.

A mátrixszorzás nem kommutattív, de asszociatív.

A kvadratikus mátrix négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa.

A diagonális mátrix olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák.

Az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy.

Az inverz mátrix egy olyan mátrix, hogy ha azzal szorozzuk az eredeti mátrixot, akkor egységmátrixot kapunk. Ha balról szorozva kapunk egységmátrixot, akkor bal inverz, ha jobbról szorozva, akkor jobb inverz mátrix.

A transzponált a mátrix sorainak és oszlopainak felcserélése.

Azokat a mátrixokat, melyek transzponáltjuk önmaga, szimmetrikus mátrixnak nevezzük.

Vektort egy számmal úgy szorzunk, hogy a vektor minden koordinátáját megszorozzuk a számmal.

Vektort egy számmal úgy osztunk, hogy a vektor minden koordinátáját leosztjuk a számmal.

Két vektort úgy adunk össze, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön össze adjuk.

Két vektort úgy vonunk ki egymásból, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön kivonjuk egymásból.

A skaláris szorzat két vektor közti művelet, ami csinál belőlük egy számot.

Két vektor diadikus szorzata egy mátrix. Lássuk milyen.

Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak sorait.

Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak egy oszlopában lévő elemeit.

Ha egy mátrixot megszorzunk jobbról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik oszlopát.

Ha egy mátrixot megszorzunk balról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik sorát.

A vektor egy irányított szakasz.

Vektorok összeadásakor összeadjuk az x koordinátákat és összeadjuk az y koordinátákat. Kivonáskor vesszük az x koordináták különbségét és az y koordináták különbségét.

Egy vektor hosszát megkapjuk, ha vesszük a koordinátái négyzetösszegének a gyökét. Két pont távolsága az őket összekötő vektor hossza.

Két pont közti vektor a végpontba mutató helyvektor minusz a kezdőpontba mutató helyvektor.

Két vektor skaláris szorzata a vektorok hosszának szorzata a közbezárt szögük koszinuszával.

Egy vektor 90°-os elforgatásához megcseréljük a két koordinátáját és az egyik előjelét megváltoztatjuk.

Két vektor skalárisszorzatát kiszámolhatjuk a vektorok hosszának és hajlásszögének segítségével, illetve a vektorok koordinátáival is.

Két vektor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk 0.

Az egyenes egyenletének felírásához kell egy pontja és egy normálvektora.

A sík egyenletének felírásához kell egy pontja és egy normálvektora.

Két pont közti vektort a vektorok koordinátáinak különbségével írhatunk fel.

Két pont távolsága gyök alatt a koordináták különbségeinek négyzetösszege.

Az egyenes egyenletének felírásához a síkban szükségünk van az egyenes egy pontjára és a normálvektorára.

A sík egyenletének felírásához kell a sík egy pontja és a normálvektora.

Két vektor vektoriális szorzatát egy 3x3-as mátrix determinánsával számíthatjuk ki, ahol a mátrix első sora egységvektorok, a második és harmadik sora pedig az a és b vektorok.

Két vektor vektoriális szorzata egy olyan harmadik vektort ad, ami merőleges a két vektor által kifeszített síkra.

A vektorösszeadás kommutatív, asszociatív, létezik nullelem és létezik ellentett. A skalárszoros asszociatív, disztributív a vektorokra és a skalárokra is, és létezik egységszeres.

Egy vektorrendszer akkor lineárisan független, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.

Egy vektorrendszer akkor lineárisan összefüggő, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor úgy is elő tud állni, hogy nem minden szorzótényező 0.

Vektorok generátor-rendszert alkotnak, ha minden vektortérbeli vektor elő áll az ő lineáris kombinációjuként.

Egy vektorrendszer akkor alkot független rendszert, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.

A bázis független generátorrendszer.

Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok maximális száma

W altér V-ben, ha részhalmaza és maga is vektortér a V-beli műveletekre. Nos ez remek, de nézzük meg, mit is jelet mindez.

A legfeljebb n-ed fokú polinomok vektorteret alkotnak az összeadás és a skalárral való szorzás műveletekre.

A generált altér vektorok lineáris kombinációja.

Egy vektor akkor állítható egy vektorrendszerrel, ha előáll azon vektorok lineáris kombinációjaként.

Egy egyenletrendszer együtthatómátrixa az x-ek együtthatóiból álló mátrix.

Az egyenletrendszer megoldásának egy szuper, de koránt sem a legszuperebb módja.

Az egyenletrendszerek megoldásának legszuperebb módja.

Az egyenletrendszerek megoldásának legszuperebb módja.

Ha egy egyenletrendszernek több az ismeretlene, mint ahány egyenlete van, akkor az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása.

Ha egy egyenletrendszerben két olyan egyenlet szerepel, ahol az ismeretlenek együtthatói megegyeznek, de más az eredményük, akkor az ellentmondó egyenletrendszer, aminek nincs megoldása.

A szabadságfok a szabadváltozók száma.

A Gauss-Jordan elimináció a Gauss-elimináció pro változata.

Egy mátrix oszloprangja az oszlopvektorai közül kiválasztható független vektorok maximális száma.

Egy mátrix sorrangja a sorvektorai közül kiválasztható független vektorok maximális száma.

A mátrix rangja a mátrix Gauss elimináció során keletkezett vezéregyeseinek száma, amely megegyezik a mátrix sorrangjával vagy oszlopvektorával

Egy mátrixot teljes oszloprangúnak nevezünk, hogyha az oszlopvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.

Egy mátrixot teljes sorrangúnak nevezünk, hogyha a sorvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.

Bármely mátrixot fel lehet bontani két olyan mátrix szorzatára, amelyek közül az egyik teljes oszloprangú, a másik pedig teljes sorrangú.

Lássuk hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Kezdjük az nxn-es mátrixokkal.

Lássuk hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Kezdjük az nxn-es mátrixokkal.

Most pedig olyan mátrixok inverzét próbáljuk meg kiszámolni, amelyek nem négyzetesek.

Most pedig olyan mátrixok inverzét próbáljuk meg kiszámolni, amelyek nem négyzetesek.

A determináns úgy működik, hogy minden négyzetes mátrixból csinál egy valós számot. Hogy miért, és, hogy hogyan, az mindjárt kiderül.

Egy 2x2-es mátrix determinánsát úgy kapjuk, hogy a bal átló elemeinek szorzatából kivonjuk a jobb átló elemeinek szorzatát.

Egy nem túl jó módszer a determináns kiszámolására.

Egy túl jó módszer a determináns kiszámolására.

Példák mikor nulla egy mátrix determinánsa. Két mátrix szorzatának determinánsa.

Azokat a mátrixokat nevezzük szingulárisnak, amelyek determinánsa nulla.

Azokat a mátrixokat nevezzük regulárisnak, amelyek determinánsa nem nulla.

A Cramer szabály egy újabb módszer az egyenletrendszerek megoldására.

Mátrix adjungátlja egy egészen rettenetes dolog.

A 2x2-es mátrix adjungátlja már könnyen megadható.

Az adjungált egyik legnagyobb haszna, hogy segítségével meg tudunk alkotni egy képletet a négyzetes mátrixok inverzére.

Hogyha szeretnénk egy olyan módszert, amivel rettentő lassan és őrülten sok számolással oldhatunk meg egyenletrendszereket, akkor ez lesz az.

A Vandermonde-determináns egy speciális determináns, amit nagyon egyszerű kiszámolni.

Egy mátrix sarok főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.

Egy mátrix főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.

Egy nxn-es mátrix pozitív definit, ha minden sajátértéke pozitív.

Egy nxn-es mátrix negatív definit, ha minden sajátértéke negatív.

Egy nxn-es mátrix pozitív szemidefinit, ha minden sajátértéke nagyobb vagy egyenlő 0.

Egy nxn-es mátrix negatív szemidefinit, ha minden sajátértéke kisebb vagy egyenlő 0.

Egy nxn-es mátrix indefinit, ha van nullánál nagyobb és nullánál kisebb sajátértéke is..

Éjszaka nem ajánlatos összefutni velük az utcán...

A kvadratikus alakok mátrixa segít eldönteni a definitséget.

Egy mátrix sajátértéke egy valós szám, amely azt mondja meg, hogy a sajátvektor hányszorosát kapjuk akkor, ha azt a mátrixszal szorozzuk.

Egy mátrix sajátvektora egy olyan nem nullvektor, ami azt tudja, hogy megszorozva a mátrixszal az eredeti vektor skalárszorosát kapjuk. Ez igazán remek, de, hogy pontosan miért, nos ez mindjárt kiderül.

A sajátértékek kiszámolásához szükséges egyenlet.

A mátrix főátló elemeiből kivonunk $\lambda$-kat, majd ennek vesszük a determinánsát.

Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.

Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix spektrálfelbontását.

Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor a mátrix diagonizálható.

A sajátfelbontás egy olyan, kizárólag diagonalizálható mátrixokkal végezhető felbontás, ami megkönnyíti a hatványozást.

A spektrálfelbontás segítségével könnyebben hatványozhatunk.

A lineáris leképezés egy test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény.

A képtér egy olyan altér $V_2$-ben, amely azokból a vektorokból áll, amiket a $V_1$-beli vektorokból csinál a leképezés.

A magtér egy olyan altér $V_1$-ben, amelyek képe a leképezés során nullvektor.

A képtér és a magtér dimenzióinak összege éppen $V_1$ dimenziója.

Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal.

Egy leképezésnek akkor létezik inverze, ha a leképezés mátrixának létezik inverze.

Két leképezés kompozíciója a mátrixaik szorzata.

Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.

Ha a mátrixnak létezik diagonális alakja, akkor van sajátbázisa, ami fantasztikus dolgokra képes.

A lineáris leképezések másnéven homomorfizmusok. Ezek a homomorfizmusok és azok mátrixai maguk is egy vektorteret alkotnak, ezt a vektorteret $Hom(V_1, V_2)$-nek nevezzük.

Az A és B mátrixok hasonlók, ha létezik egy C mátrix, amivel ha jobbról szorozzuk a B-t, balról pedig a C inverzével szorozzuk, akkor ennek eredménye A.

Komplex számok összeadásakor összeadjuk a valós részeket és külön összeadjuk a képzetes részeket. Kivonáskor külön kivonjuk egymásból a valós részeket és a képzetes részeket.

Egy képlet az a+bi alakú komplex számok szorzásához.

A komplex számok egy valós és egy imaginárius (képzetes) számból épülnek föl. A valós számok a szokásos x tengelyen helyezkednek el, míg az imaginárius számok egy erre merőleges y tengelyen, amit imaginárius tegelynek, vagy képzetes tengelynek nevezünk.

Olyan számok, amelyek valós és képzetes részből épülnek fel.

A valós számokat úgy érdemes elképzelni, mint egy koordinátarendszer x tengelyét. És minden helyet ki is töltenek a valós számok ezen a számegyenesen. A komplex számok egy valós és egy imaginárius (képzetes) részből épülnek föl, és szemléltetésükhöz nem egy, hanem két koordinátatengelyre van szükség. Az x tengelyen vannak a valós számok, az y tengelyen pedig az imaginárius, vagyis a képzetes számok. A valós számok tengelyén az egység a szokásos 1, míg az imaginárius számok tengelyén az egység az i. A kétb tengely által kifeszített síkot nevezzük komplex számsíknak, vagy másknt Gauss-féle számsíknak. 

A komplex szám tükörképe az x tengelyre.

Egy komplex szám abszolútértéke az origotól mért távolsága.

A komplex számok osztását, szorzását és hatványozását megkönnyítő forma.

Képlet komplex számok szorzásához és osztásához, ha azok trigonometrikus alakban vannak megadva.

Egy képlet komplex számok hatványozásához, ha a komplex szám trigonometrikus alakban van.

Egy képlet komplex számok gyökvonásához, ha a komplex szám trigonometrikus alakban van.

Képlet komplex számok szorzásához és összeadásához, ha a komplex számok exponenciális alakban vannak megadva.

Egy képlet komplex számok hatványozásához, ha a komplex szám exponenciális alakban van.

Egy képlet komplex számok gyökvonásához, ha a komplex szám exponenciális alakban van.

Készítünk egy szuper-érthető összefoglalót a hatványazonosságokból. Megnézzük, hogyan kell a hatványazonosságokat használni. Megnézzük mi az az exponenciális függvény és hogyan kell ábrázolni.

Az exponenciális függvények meglehetősen fontosak a matematikában, sőt nem csak a matematikában. Itt jönnek az exponenciális függvények.

Itt végre szuper-érthetően kiderül, hogy mi az a logaritmus. Készítünk egy gyors kis összefoglalót a logaritmus azonosságairól. Megnézzük, hogyan kell a logaritmus azonosságokat használni. Megnézzük mi az a logaritmus függvény és hogyan kell ábrázolni.

Készítünk egy szuper-érthető összefoglalót a logaritmus azonosságokról. Megnézzük, hogyan kell az azonosságokat használni, milyen kikötéseket kell tenni a logaritmikus kifejezéseknél, hogyan néz ki a logaritmus függvény.

Mik azok az exponenciális egyenletek? Hogyan kell megoldani egy exponenciális egyenletet? Törtes exponenciális egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető exponenciális egyenletek.

Mik azok az exponenciális egyenlőtlenségek? Hogyan kell megoldani egy exponenciális egyenlőtlenséget?

Mik azok a logaritmusos egyenletek? Hogyan kell megoldani egy logaritmikus egyenletet? Milyen kikötéseket kell tenni egy logaritmusos egyenlet megoldásánál? Törtes logaritmikus egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető logaritmikus egyenletek.

Mi az egység sugarú kör? Mi az a szinusz és koszinusz? Mire jó a szinusz és a koszinusz? Mi az a radián? Mi a kapcsolat a fok és a radián között?

Trigonometriai képlet összefoglaló. Összefüggések a tangens és kotangens között. A trigonometria alapegyenlete. Szögek kétszeresének szinusza és koszinusza.

Az egységkör egy szöggel elforgatott egységvektorának végpontjának x koordinátáját nevezzük a szög koszinuszának

Az egységkör egy szöggel elforgatott egységvektorának végpontjának y koordinátáját nevezzük a szög szinuszának.

Egy szög tangense a szög szinuszának és koszinuszának hányadosával egyenlő.

Szinuszt és koszinuszt tartalmazó egyenletek megoldásának lépései.

Trigonometrikus függvényeknek vagy szögfüggvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek tartalmaznak trigonometrikus kifejezéseket, mint például szinusz, koszinusz vagy tangens. Ezek eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldala hányadosa közti összefüggéseket írja le.

Nevezetes 0-hoz tartó sorozatok.

Nevezetes végtelenhez tartó sorozatok.

Nevezetes gyökös sorozatok határértéke.

Exponenciális kifejezések határértéke.

Egy nevezetes sorozatcsalád, az e-hez tartó sorozatok.

Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük. Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük. Az ugráló sorozatokat oszcillálónak nevezzük. Lássunk néhány példát.

Ha két rendőr közrefog egy honpolgárt és a két rendőr konvergál a rendőrőrsre, akkor az általuk közrefogott honpolgárnak is szükségképpen konvergálnia kell a rendőrőrsre..

Lássuk mi a teendő gyökös sorozatok és ronda gyökös sorozatok esetén.

A végtelenbe tartó sorozatok nagyságrendi sorrendje azt mondja meg, hogy melyik sorozat milyen ütemben tart a végtelenbe. Minél nagyobb nagyságrendű egy sorozat, annál gyorsabban tart a végtelenbe

Egy sorozatnak torlódási pontja az A szám, ha bármilyen kis környezetében a sorozatnak végtelen sok tagja van.

Egy sorozat limesz inferiorja a torlódási pontjainak infinuma. A limesz szuperiorja a torlódási pontjainak szuprémuma.

A sorozatok egyik legfontosabb tulajdonsága a határértékük, ami azt jelenti, hogy mi történik a sorozattal ahogy egyre és egyre nagyobb indexű tagjait vizsgáljuk.

Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük.

Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük.

A sorozat monotonitása lehet monton nő, monoton csökkenő, szigorúan monoton nő, szigorúan monoton csökkenő.

A függvény értékkészlete azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban, amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.

Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.

A függvény monotonitása lehet növekedő, csökkenő, szigorúan monton növekedő vagy szigorúan monoton csökkenő.

Globális és lokális maximumok és minimumok.

A függvény konvexitása megmondja, hogy a függvény szomorú vagy vidám hangulatban van.

Megnézzük, hogy melyik függvény hogyan néz ki, aztán megnézzük a külső és belső függvénytranszformációkat. Eltolás az x tengely mentén, eltolás az y tengely mentén, tükrözés, nyújtás.

Mikor páros, mikor páratlan vagy éppen egyik sem egy függvény.

Lássuk mik azok a polinomfüggvények, és hogyan kell őket ábrázolni.

Ha két függvényt egymásba ágyazunk, összetett függvényt kapunk.

A függvény hozzárendelésének megfordításával kapjuk a függvény inverzfüggvényét, amennyiben a megfordított hozzárendelés is egy egyértelmű hozzárendelés.

A mértani sor képlete, példák mértani sorokra.

Egy végtelen sor akkor konvergens, ha részletösszegsorozata konvergens.

Ha egy sorozat határértéke nem 0, akkor a belőle képzett sor divergens.

Speciális sorok.

Egy másik fontos konvergenciakritérium, ami az n-edik tag n-edik gyökének segítségével dönti el a konvergenciát.

Egy fontos konvergenciakritérium, amely az n+1-edik tag és az n-edik tag hányadosával dönti el a konvergenciát.

Speciális sorok.

A sorok konvergenciájának megállapítására vonatkozó képletek.

Tört hatványának sorának konvergenciája a hatványkitevőtől függően.

Olyan sorok, amelyek valójában az első és az utolsó tagon kívül semmilyen más tagot nem tartalmaznak.

Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük, ahol $r$ a konvergenciasugár.

A hatványsorok konvergenciájának vizsgálata.

Egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak valamely pontban, ha itt a függvényérték és a határérték megegyezik. Lássuk miért is ennyire fontos ez.

Függvények szakadása négy féle lehet: megszüntethető szakadás, ugrás, nem megszüntethető, nem véges szakadás, nem megszüntethető oszcilláló szakadás.

Beszéljünk egy kicsit a trigonometrikus függvények határértékéről. Néhány nevezetes határérték, élükön a sinx/x típusúval.

Lássuk mi is az a függvényhatárérték!

Lássuk mi is az a függvényhatárérték!

Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.

A deriválás úgy működik, hogy függvények grafikonjának meredekségét vizsgálja, mégpedig azzal, hogy megnézi, milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához. Ha az érintő "fölfele megy" akkor a függvény grafikonja is "fölfele megy" vagyis a függvény növekszik. Hogyha pedig az érintő "lefele megy" akkor a függvény grafikonja is "lefele megy" tehát a függvény csökken. Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.

Konstans deriváltja, polinomok deriválási szabálya. Az exponenciális és logaritmus függvények deriválása. Trigonometrikus függvények deriváltjai.

Függvény konstansszorosának, két függvény összegének, szorzatának és hányadosának deriválási szabályai. Összetett függvények deriválási szabálya.

A lánc-szabály az összetett függvények deriválási szabálya.

A sinh és cosh hiperbolikus függvények közt fennálló azonosságok.

A cosh, sinh és tanh függvények deriváltjai.

A cosh, sinh és tanh függvények inverzfüggvényei.

Az arcosh, arsinh és artanh függvények deriváltjai.

Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.

A deriválás úgy működik, hogy függvények grafikonjának meredekségét vizsgálja, mégpedig azzal, hogy megnézi, milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához. Ha az érintő "fölfele megy" akkor a függvény grafikonja is "fölfele megy" vagyis a függvény növekszik. Hogyha pedig az érintő "lefele megy" akkor a függvény grafikonja is "lefele megy" tehát a függvény csökken. Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.

A függvény érintője egy olyan egyenes, amely egy függvényt pontosan egy pontban érint.

Egy függvény elaszticitása azt mondja meg, hogyha 1%-kal növeljük az x-et, akkor hány százalékkal változik a függvény értéke.

Az első derivált azt írja le, hogy a függvény mikor nő és mikor csökken.

A második derivált a függvény hangulatát írja le, ha pozitív, akkor a függvény vidám, ha negatív, akkor szomorkodik.

 A deriválás után megállapítjuk a derivált előjelét. Amikor a derivált nulla, olyankor stacionárius pont van.

Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.

Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...

Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...

Az $e^x$, lnx, sinx és cosx függvények Taylor sorai.

Amikor egy függvény x helyen lévő értékét szeretnénk közelíteni egy Taylor polinommal, akkor lesz egy kis hibánk, mivel a polinom nem teljesen követi a függvényt. Ennek a hibának a kifejezésére van a Lagrange-féle maradéktag. 

A határérték számítás csodafegyvere, egy szuper módszer, amivel nagyon sok bonyolult határérték gyorsan kiszámolható.

Néhány exponenciális, logaritmusos és végtelenhez, nullához tartó nevezetes sorozatok határértékei.