Matek 2

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni. A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.

A kétváltozós függvények határozott integrálja egy test térfogata.

Bizonyos kettősintegrálok kiszámolását megkönnyíti, ha inkább polárkoordinátákat használunk.

A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.

A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.

A vegyes másodrendű deriváltak mindig egyenlők, ha a függvény kétszer folytonosan deriválható.

 másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen nyeregpontja van-e.

Egy általános módszer, amivel kétváltozós függvények szélsőértékeit és nyeregpontjait lehet meghatározni

Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.

Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.

A differenciálegyenletek olyan egyenletek, amiben az ismeretlenek függvények. Az egyenletben ezeknek a függvényeknek a különböző deriváltjai és hatványai szerepelnek.

Azt mondja meg, hogy az ismeretlen függvény maximum hanyadik deriváltja szerepel az egyenletben.

Ha az ismeretlen függvény és deriváltjai csak első fokon szerepelnek a differenciálegyenletben, akkor az egyenlet lineáris.

Olyan differenciálegyenlet, amelyet az egyenlet szétválasztásával és a két rész külön-külön integrálásával lehet megoldani

Az egyik legfontosabb típus az y'+Py=Q alakú differenciálegyenlet, amelyre egy részletes megoldási tervet adunk.

Az elsőrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet egy speciális esete a lineáris elsőrendű egyenleteknek. Azért hívják állandó együtthatósnak, mert a $P(x)$ függvény ilyenkor valamilyen konstans, mondjuk $a$.

 Ez olyankor van, ha a homogén megoldás és a partikuláris megoldás hasonlít egymásra. Lássuk mit is jelent ez...

A másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet általános alakja: $ay'' + by' + cy = 0 $. Megoldásához a karakterisztikus egyenletet használjuk.

A másodrendű lineáris állandó együtthatós inhomogén differenciálegyenlet általános alakja: $ay'' + by' + cy = Q(x) $. A homogén megoldást megkapjuk a karakterisztikus egyenlet segítségével, a partikuláris megoldást pedig a próbafüggvény módszerrel végezzük.

Eseményeknek nevezzük a valószínűségi kísérlet során bekövetkező lehetséges kimeneteleket.

A valószínűség kiszámításának klasszikus modellje az, hogy megszámoljuk hány elemi eseményből áll a vizsgált esemény és ezt elosztjuk az összes elemi esemény számával.

Mikor mondjuk, hogy két esemény egymástól független? Példák független eseményekre.

Mikor kizáró két esemény? Példák kizáró eseményekre.

A feltételes valószínűség. Az A feltéva B valószínűség azt jelenti, hogy mekkora eséllyel következik be az A esemény, ha a B esemény biztosan bekövetkezik..

Események metszetének, uniójának, különbségének és komplementerének valószínűségei.

Ha kör alakban helyezünk el n különböző elemet és azok sorrendjét vizsgáljuk, akkor ciklikus permutációról beszélünk.

Olyankor használjuk, ha egy korábban bekövetkezett $B_k$ esemény valószínűségére vagyunk kíváncsiak egy később bekövetkezett A esemény tükrében.

A teljes valószínűség tétele azt mondja ki, hogy ha ismerjük egy A esemény feltételes valószínűségét egy teljes eseményrendszer valamennyi eseményére, akkor ebből az A esemény valószínűsége kiszámítható.

Diszkrétnek nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik megszámlálhatóan sok értéket vesznek fel.

Az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x). F(x)=P(x<X) Vagyis minden x számhoz hozzárendeli annak a valószínűségét, hogy X<x. Nos ez elég izgi..

Folytonosnak nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik folytonos mennyiségeket mérnek, ilyen például az idő, a távolság.

A sűrűségfüggvény a görbe alatti területekkel írja le egy esemény valószínűségét.

Az eloszlásfüggvény határértéke minusz végtelenben 0, plusz végtelenben 1, monoton nő és balról folytonos.

Három nagyon fontos összefüggés eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény között.

A sűrűségfüggvény integrálja minusz végtelentől plusz végtelenig 1, és nem negatív.

Az $X$ valószínűségi változó $F(x)$ eloszlásfüggvényéből úgy kapjuk meg az $f(x)$ sűrűségfüggvényét, hogy az $F(x)$ eloszlásfüggvényt deriváljuk. Fordítva pedig integrálni kell.

Ha egy esemény előfordulását geometriai alakzat (vonal, síkidom, test) mértékével jellemezzük, akkor geometriai valószínűségről beszélünk.

Kéttagú összegek n-edik hatványra emelésének képlete.

Az (a+b) hatványainak általánosítására egy képlet.

A szórás azt mutatja meg, hogy a várható érték körül milyen nagy ingadozásra számíthatunk.

A valószínűségi változó értékeinek valószínűségekkel súlyozott átlaga. De valójában ez rém egyszerű, nézzünk rá néhány példát.

Folytonos valószínűségi változó esetén a szórást ugyanúgy kell számolni, mint diszkrét valószínűségi változó esetén:

Folytonos valószínűségi változók esetén a várható értéket egy integrálás segítségével számítjuk.

A Markov egyenlőtlenség arról szól, hogy az X valószínűségi változó a várható értéknél nem lehet sokkal nagyobb.

A Csebisev egyenlőtlenség azt írja le, hogy az X valószínűségi változó várható értéktől való eltérése nem lehet túl nagy.

Ha egy esemény bekövetkezésének elméleti valószínűsége $p$, akkor minél többször végezzük el a kísérletet, a relatív gyakoriság és az elméleti valószínűség eltérése annál kisebb lesz.

A binomiális eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a valószínűsége p és egymástól függetlenül elvégzünk n darab kísérletet, ahol a kísérletek mindegyikében az esemény vagy bekövetkezik vagy nem. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.

Az eltelt idők és a távolságok eloszlása.

A hipergeometriai eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol N darab elem közül kiválasztunk n darab elemet visszatevés nélkül. Az összes elem között K darab selejtes található. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy a kiválasztott elemek között éppen k darab selejtes van.

A Poisson eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a várható előfordulása lambda darab. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.

Ez egy folytonos eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének valószínűsége valamely intervallumon konstans.

Mennyiségek eloszlása.

$X$ és $Y$ együttes eloszlása egy táblázat, amelyben szerepel $X$ és $Y$ összes lehetséges értéke és a hozzájuk tartozó valószínűségek.

A korreláció $X$ és $Y$ valószínűségi változók közötti kapcsolatot írja le.

Két valószínűségi változó együttes eloszlásfüggvényeinek felírása.

Két valószínűségi változó peremeloszlás-függvényeinek felírása.

Két valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvény nagyon vicces módon írja le a valószínűségeket a függvény felülete alatti térfogat segítségével, vagyis jó sokat kell integrálgatni.

Két valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvényéből ki tudjuk számolni az X és az Y valószínűségi változó saját sűrűségfüggvényét. Ezeket hívjuk perem-sűrűségfüggvényeknek.

Két valószínűségi változó peremeloszlás-függvényeinek felírása.

Az f(x) függvény primitív függvényének jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.

Polinomok integrálása. Törtfüggvény integrálása. Exponenciális függvények integrálása. Trigonometrikus függvények integrálása.

Polinomok, törtfüggvény, exponenciális függvények, trigonometrikus függvények integráljainak lineáris helyettesítései.

Integráláskor a konstans szorzó kivihető.

Összeget külön-külön is integrálhatunk.

Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.

Szorzat integrálásának egy speciális esete, amikor a függvény n-edik hatványon van és meg van szorozva a deriváltjával.

Ezzel a remek módszerrel szorzatokat tudunk integrálni úgy, hogy egy bonyolultabb integrálásból csinálunk egy egyszerűbb integrálást.

Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.

Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.

Törtek integrálásának egy speciális esete, amikor a tört számlálója a nevező deriváltja.

A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk majd megoldani a feladatot.