Matek 2
A kurzus 12 szekcióból áll: Kettős integrál (csak gazdinfon), Parciális deriválás, kétváltozós függvények, Diff.egyenletek (csak gazdinfon), Valszám alapok, kombinatorika, Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel, Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény, Idióta feladatok, amik várhatók az első ZH-ban, Várható érték és szórás, Markov és Csebisev egyenlőtlenségek, Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások, Kétváltozós eloszlások, Nem árt, ha tudunk integrálni
KETTŐS INTEGRÁL
- A kettősintegrál - A kettősintegrál kétváltozós függvények által meghatározaott felületek alatt elhelyezkedő térfogatok kiszámolására valók.
- Példák kettősintegrálra - Néhány feladat kettősintegrálok kiszámolására.
- x és y szerinti integrálás - A parciális deriválás megfordításaként először x majd y szerint integrálunk.
- Kettősintegrál normáltartományokon - Integrálás függvények által határolt tartományok felett.
- Az integrálás sorrendjének felcserélése - Vannak olyan esetek, amikor nem segít más, mint felcserélni az integrálás sorrendjét.
DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
- Mese a differenciálegyenletekről - A differenciálegyenletek olyan egyenletek, amelyben az ismeretlenek függvények. Nos ez írtó izgi lesz...
- A differenciálegyenlet rendje - Azt mondja meg, hogy az ismeretlen függvény maximum hanyadik deriváltja szerepel az egyenletben.
- A differenciálegyenlet linearitása - Na ez egy határozottan jó tulajdonság, ami megkönnyíti az életünket.
- A differenciálegyenletek típusai - Készítünk egy listát a főbb típusokról, majd elkezdjük sorra venni a megoldási módszereket.
- Szeparábilis differenciálegyenlet - A legegyszerűbb típus, amin érdemes gyakorlatozni, hogy a bonyolultabb típusok megoldása előtt legyen egy kis rutin.
- Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet - Az egyik legfontosabb típus az y'+Py=Q alakú differenciálegyenlet, amelyre egy részletes megoldási tervet adunk.
- A v(x) függvény - Az y'+Py=Q alakú elsőrendű lineáris differenciálegyenlet egyik megoldási módszerében szereplő függvény.
- Lagrange szorzó - Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet egyik megoldási módszerében szereplő v(x) függvény.
- Elsőrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet - Egy speciális típus az y'+ay=Q alakú differenciálegyenlet, amelyet a próbafüggvéyn módszerrel oldunk meg.
- A próbafüggvény módszer - Egy olyan megoldási módszer, ahol a homogén egyenlet megoldása után a partikuláris megoldást határozatlan együtthatókkal keressük.
- Rezonancia elsőrendű egyenleteknél - Ez olyankor van, ha a homogén megoldás és a partikuláris megoldás hasonlít egymásra. Lássuk mit is jelent ez...
- Homogén egyenlet - Azokat az egyenleteket nevezzük homogénnek, ahol nincs az ismeretlen függvényt tartalmazótól különböző tag. y"+ay'+by=0 alakú esetekkel fogunk foglalkozni.
- Homogén megoldás - A homogén egyenlet megoldása.
- Parikuláris megoldás - Az úgynevezett zavaró függvény alapján létrejövő megoldás, amit például a próbafüggvény módszer segítségével kaphatunk meg.
- Másodrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet - Egy speciális típus az y"+ay'+by=Q alakú differenciálegyenlet, amelyet a próbafüggvéyn módszerrel oldunk meg.
- Rezonancia másodrendű egyenleteknél - Ez olyankor van, ha a homogén megoldás és a partikuláris megoldás hasonlít egymásra. Lássuk mit is jelent ez...
KOMBINATORIKA
- Permutáció - Egy n elemű halmaz permutációinak száma n!
- Variáció - n elem k-ad osztályú variációja azt mondja meg, hogy n elemből hányféleképpen lehet k darabot kiválasztani úgy, ha számít a kiválasztás sorrendje.
- Kombináció - n elem k-ad osztályú kombinációja azt mondja meg, hogy n elemből hányféleképpen lehet k darabot kiválasztani úgy, ha nem számít a kiválasztás sorrendje.
ESEMÉNYEK ÉS VALÓSZÍNŰSÉGEK
- Események - Mik azok az események? Műveletek eseményekkel, eseményalgebra és egyéb izgalmak..
- Független események - Mikor mondjuk, hogy két esemény egymástól független? Példák független eseményekre.
- Kizáró események - Mikor kizáró két esemény? Példák kizáró eseményekre.
- Feltételes Valószínűség - A feltételes valószínűség. Az A feltéva B valószínűség azt jelenti, hogy mekkora eséllyel következik be az A esemény, ha a B esemény biztosan bekövetkezik..
- Teljes valószínűség tétele - A teljes valószínűség tétele azt mondja ki, hogy ha ismerjük egy A esemény feltételes valószínűségét egy teljes eseményrendszer valamennyi eseményére, akkor ebből az A esemény valószínűsége kiszámítható.
- Bayes-tétel - Olyankor használjuk, ha egy korábban bekövetkezett Bk esemény valószínűségére vagyunk kiváncsiak egy később bekövetkezett A esemény tükrében.
ELOSZLÁSFÜGGVÉNY ÉS SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY
- Valószínűségi változó - A valószínűségi változó eseményekhez rendel hozzá valós számokat. Nézzük meg, hogyan.
- Eloszlásfüggvény - Az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x). F(x)=P(x<X) Vagyis minden x számhoz hozzárendeli annak a valószínűségét, hogy X<x. Nos ez elég izgi..
- Sűrűségfüggvény - A sűrűségfüggvény a görbe alatti területekkel írja le egy esemény valószínűségét.
- Hogyan lesz eloszlásfüggvényből sűrűségfüggvény - A sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény deriváltja.
- Hogyan lesz sűrűségfüggvényből eloszlásfüggvény - Nos nagyon kalandos körülmények között...
VÁRHATÓ ÉRTÉK ÉS SZÓRÁS
- Várható érték - A valószínűségi változó értékeinek valószínűséggekkel súlyozott átlaga. De valójában ez rémegyszerű, nézzünk rá néhány példát.
- Szórás - A várható értéktől való átlagos eltérést írja le a szórás.
- Markov egyenlőtlenség - A Markov egyenlőtlenség arról szól, hogy az X valószínűségi változó a várható értéknél nem lehet sokkal nagyobb.
- Csebisev egyenlőtlenség - A Csebisev egyenlőtlenség azt írja le, hogy az X valószínűségi változó várható értéktől való eltérése nem lehet túl nagy.
NEVEZETES DISZKRÉT ÉS FOLYTONOS ELOSZLÁSOK
- Binomiális eloszlás - A binomiális eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a valószínűsége p és egymástól függetlenül elvégzünk n darab kísérletet, ahol a kísérletek mindegyikében az esemény vagy bekövetkezik vagy nem. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.
- Hipergeometriai eloszlás - A hipergeometriai eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol N darab elem közül kiválasztunk n darab elemet visszatevés nélkül. Az összes elem között K darab selejtes található. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy a kiválasztott elemek között éppen k darab selejte van.
- Poisson-eloszlás - A Poisson eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a várható előfordulása lambda darab. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.
- Egyenletes eloszlás - Ez egy folytonos eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének valószínűsége valamely intervallumon konstans.
- Exponenciális eloszlás - Az eltelt idők és a távolságok eloszlása.
- Normális eloszlás - Mennyiségek eloszlása.
- A Poisson eloszlás és az exponenciális eloszlás kapcsolata - A két eloszlás lényegében ugyanazt írja le, csak az egyik a bekeövetkezések számával, míg a másik a bekövetkezések közt eltelt idővel teszi ezt.
- Az örökifjú tulajdonság - Örökifjúnak lenni marhajó dolog. Az exponenciális eloszlásnak ez megadatik...
KÉTVÁLTOZÓS VALÓSZÍNŰSÉGI ELOSZLÁSOK
- Együttes eloszlás - Két valószínűségi változó együttes eloszlása és eloszlástáblázata.
- Peremeloszlás - Két valószínűségi változó perem eloszlásainak kiszámolása.
- Várható érték - Két valószínűségi változó várhatóértékeinek kiszámolása.
- Szorzat várható értéke - A szorzat várható értékének kiszámítása az együttes eloszlás táblázatából.
- Kovariancia - Két valószínűségi változó kovarianciájának kiszámolása.
- Korreláció - Két valószínűségi változó korrelációjának kiszámolása.
- Peremeloszlás-függvény - Két valószínűségi változó peremeloszlás-függvényeinek felírása.
- Együttes eloszlásfüggvény - Két valószínűségi változó együttes eloszlásfüggvényeinek felírása.
Kettős integrál (csak gazdinfon)
- -
A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni. A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.
- -
A kétváltozós függvények határozott integrálja egy test térfogata.
- -
Bizonyos kettősintegrálok kiszámolását megkönnyíti, ha inkább polárkoordinátákat használunk.
Parciális deriválás, kétváltozós függvények
- -
A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.
- -
A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.
- -
A vegyes másodrendű deriváltak mindig egyenlők, ha a függvény kétszer folytonosan deriválható.
- -
másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen nyeregpontja van-e.
- -
Egy általános módszer, amivel kétváltozós függvények szélsőértékeit és nyeregpontjait lehet meghatározni
- -
Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.
- -
Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.
Diff.egyenletek (csak gazdinfon)
- -
A differenciálegyenletek olyan egyenletek, amiben az ismeretlenek függvények. Az egyenletben ezeknek a függvényeknek a különböző deriváltjai és hatványai szerepelnek.
- -
Azt mondja meg, hogy az ismeretlen függvény maximum hanyadik deriváltja szerepel az egyenletben.
- -
Ha az ismeretlen függvény és deriváltjai csak első fokon szerepelnek a differenciálegyenletben, akkor az egyenlet lineáris.
- -
Olyan differenciálegyenlet, amelyet az egyenlet szétválasztásával és a két rész külön-külön integrálásával lehet megoldani
- -
Az egyik legfontosabb típus az y'+Py=Q alakú differenciálegyenlet, amelyre egy részletes megoldási tervet adunk.
- -
Az elsőrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet egy speciális esete a lineáris elsőrendű egyenleteknek. Azért hívják állandó együtthatósnak, mert a $P(x)$ függvény ilyenkor valamilyen konstans, mondjuk $a$.
- -
Ez olyankor van, ha a homogén megoldás és a partikuláris megoldás hasonlít egymásra. Lássuk mit is jelent ez...
- -
A másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet általános alakja: $ay'' + by' + cy = 0 $. Megoldásához a karakterisztikus egyenletet használjuk.
- -
A másodrendű lineáris állandó együtthatós inhomogén differenciálegyenlet általános alakja: $ay'' + by' + cy = Q(x) $. A homogén megoldást megkapjuk a karakterisztikus egyenlet segítségével, a partikuláris megoldást pedig a próbafüggvény módszerrel végezzük.
Valszám alapok, kombinatorika
- -
Eseményeknek nevezzük a valószínűségi kísérlet során bekövetkező lehetséges kimeneteleket.
- -
A valószínűség kiszámításának klasszikus modellje az, hogy megszámoljuk hány elemi eseményből áll a vizsgált esemény és ezt elosztjuk az összes elemi esemény számával.
- -
Mikor mondjuk, hogy két esemény egymástól független? Példák független eseményekre.
- -
Mikor kizáró két esemény? Példák kizáró eseményekre.
- -
A feltételes valószínűség. Az A feltéva B valószínűség azt jelenti, hogy mekkora eséllyel következik be az A esemény, ha a B esemény biztosan bekövetkezik..
- -
Események metszetének, uniójának, különbségének és komplementerének valószínűségei.
- -
Ha kör alakban helyezünk el n különböző elemet és azok sorrendjét vizsgáljuk, akkor ciklikus permutációról beszélünk.
Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel
- -
- -
A teljes valószínűség tétele azt mondja ki, hogy ha ismerjük egy A esemény feltételes valószínűségét egy teljes eseményrendszer valamennyi eseményére, akkor ebből az A esemény valószínűsége kiszámítható.
Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
- -
Diszkrétnek nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik megszámlálhatóan sok értéket vesznek fel.
- -
Az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x). F(x)=P(x<X) Vagyis minden x számhoz hozzárendeli annak a valószínűségét, hogy X<x. Nos ez elég izgi..
- -
Folytonosnak nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik folytonos mennyiségeket mérnek, ilyen például az idő, a távolság.
- -
A sűrűségfüggvény a görbe alatti területekkel írja le egy esemény valószínűségét.
- -
Az eloszlásfüggvény határértéke minusz végtelenben 0, plusz végtelenben 1, monoton nő és balról folytonos.
- -
Három nagyon fontos összefüggés eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény között.
- -
A sűrűségfüggvény integrálja minusz végtelentől plusz végtelenig 1, és nem negatív.
- -
Az $X$ valószínűségi változó $F(x)$ eloszlásfüggvényéből úgy kapjuk meg az $f(x)$ sűrűségfüggvényét, hogy az $F(x)$ eloszlásfüggvényt deriváljuk. Fordítva pedig integrálni kell.
Idióta feladatok, amik várhatók az első ZH-ban
- -
Ha egy esemény előfordulását geometriai alakzat (vonal, síkidom, test) mértékével jellemezzük, akkor geometriai valószínűségről beszélünk.
- -
Kéttagú összegek n-edik hatványra emelésének képlete.
- -
Az (a+b) hatványainak általánosítására egy képlet.
Várható érték és szórás
- -
A szórás azt mutatja meg, hogy a várható érték körül milyen nagy ingadozásra számíthatunk.
- -
A valószínűségi változó értékeinek valószínűségekkel súlyozott átlaga. De valójában ez rém egyszerű, nézzünk rá néhány példát.
- -
Folytonos valószínűségi változó esetén a szórást ugyanúgy kell számolni, mint diszkrét valószínűségi változó esetén:
- -
Folytonos valószínűségi változók esetén a várható értéket egy integrálás segítségével számítjuk.
Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
- -
A Markov egyenlőtlenség arról szól, hogy az X valószínűségi változó a várható értéknél nem lehet sokkal nagyobb.
- -
A Csebisev egyenlőtlenség azt írja le, hogy az X valószínűségi változó várható értéktől való eltérése nem lehet túl nagy.
- -
Ha egy esemény bekövetkezésének elméleti valószínűsége $p$, akkor minél többször végezzük el a kísérletet, a relatív gyakoriság és az elméleti valószínűség eltérése annál kisebb lesz.
Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások
- -
A binomiális eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a valószínűsége p és egymástól függetlenül elvégzünk n darab kísérletet, ahol a kísérletek mindegyikében az esemény vagy bekövetkezik vagy nem. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.
- -
Az eltelt idők és a távolságok eloszlása.
- -
A hipergeometriai eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol N darab elem közül kiválasztunk n darab elemet visszatevés nélkül. Az összes elem között K darab selejtes található. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy a kiválasztott elemek között éppen k darab selejtes van.
- -
A Poisson eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a várható előfordulása lambda darab. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.
- -
- -
Mennyiségek eloszlása.
Kétváltozós eloszlások
- -
$X$ és $Y$ együttes eloszlása egy táblázat, amelyben szerepel $X$ és $Y$ összes lehetséges értéke és a hozzájuk tartozó valószínűségek.
- -
A korreláció $X$ és $Y$ valószínűségi változók közötti kapcsolatot írja le.
- -
Két valószínűségi változó együttes eloszlásfüggvényeinek felírása.
- -
Két valószínűségi változó peremeloszlás-függvényeinek felírása.
- -
Két valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvény nagyon vicces módon írja le a valószínűségeket a függvény felülete alatti térfogat segítségével, vagyis jó sokat kell integrálgatni.
- -
Két valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvényéből ki tudjuk számolni az X és az Y valószínűségi változó saját sűrűségfüggvényét. Ezeket hívjuk perem-sűrűségfüggvényeknek.
- -
Két valószínűségi változó peremeloszlás-függvényeinek felírása.
Nem árt, ha tudunk integrálni
- -
Az f(x) függvény primitív függvényének jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.
- -
Polinomok integrálása. Törtfüggvény integrálása. Exponenciális függvények integrálása. Trigonometrikus függvények integrálása.
- -
Polinomok, törtfüggvény, exponenciális függvények, trigonometrikus függvények integráljainak lineáris helyettesítései.
- -
Integráláskor a konstans szorzó kivihető.
- -
Összeget külön-külön is integrálhatunk.
- -
Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.
- -
Szorzat integrálásának egy speciális esete, amikor a függvény n-edik hatványon van és meg van szorozva a deriváltjával.
- -
Ezzel a remek módszerrel szorzatokat tudunk integrálni úgy, hogy egy bonyolultabb integrálásból csinálunk egy egyszerűbb integrálást.
- -
Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.
- -
Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.
- -
Törtek integrálásának egy speciális esete, amikor a tört számlálója a nevező deriváltja.
- -
A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk majd megoldani a feladatot.