Analízis 2 IK

Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.

A deriválás úgy működik, hogy függvények grafikonjának meredekségét vizsgálja, mégpedig azzal, hogy megnézi, milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához. Ha az érintő "fölfele megy" akkor a függvény grafikonja is "fölfele megy" vagyis a függvény növekszik. Hogyha pedig az érintő "lefele megy" akkor a függvény grafikonja is "lefele megy" tehát a függvény csökken. Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.

Konstans deriváltja, polinomok deriválási szabálya. Az exponenciális és logaritmus függvények deriválása. Trigonometrikus függvények deriváltjai.

Függvény konstansszorosának, két függvény összegének, szorzatának és hányadosának deriválási szabályai. Összetett függvények deriválási szabálya.

A lánc-szabály az összetett függvények deriválási szabálya.

A sinh és cosh hiperbolikus függvények közt fennálló azonosságok.

A cosh, sinh és tanh függvények deriváltjai.

A cosh, sinh és tanh függvények inverzfüggvényei.

Az arcosh, arsinh és artanh függvények deriváltjai.

Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.

A deriválás úgy működik, hogy függvények grafikonjának meredekségét vizsgálja, mégpedig azzal, hogy megnézi, milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához. Ha az érintő "fölfele megy" akkor a függvény grafikonja is "fölfele megy" vagyis a függvény növekszik. Hogyha pedig az érintő "lefele megy" akkor a függvény grafikonja is "lefele megy" tehát a függvény csökken. Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.

A függvény érintője egy olyan egyenes, amely egy függvényt pontosan egy pontban érint.

Egy függvény elaszticitása azt mondja meg, hogyha 1%-kal növeljük az x-et, akkor hány százalékkal változik a függvény értéke.

A határérték számítás csodafegyvere, egy szuper módszer, amivel nagyon sok bonyolult határérték gyorsan kiszámolható.

Néhány exponenciális, logaritmusos és végtelenhez, nullához tartó nevezetes sorozatok határértékei.

Az első derivált azt írja le, hogy a függvény mikor nő és mikor csökken.

A második derivált a függvény hangulatát írja le, ha pozitív, akkor a függvény vidám, ha negatív, akkor szomorkodik.

 A deriválás után megállapítjuk a derivált előjelét. Amikor a derivált nulla, olyankor stacionárius pont van.

Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.

A mértani sor képlete, példák mértani sorokra.

Egy végtelen sor akkor konvergens, ha részletösszegsorozata konvergens.

Ha egy sorozat határértéke nem 0, akkor a belőle képzett sor divergens.

Speciális sorok.

Egy másik fontos konvergenciakritérium, ami az n-edik tag n-edik gyökének segítségével dönti el a konvergenciát.

Egy fontos konvergenciakritérium, amely az n+1-edik tag és az n-edik tag hányadosával dönti el a konvergenciát.

Speciális sorok.

A sorok konvergenciájának megállapítására vonatkozó képletek.

Tört hatványának sorának konvergenciája a hatványkitevőtől függően.

Olyan sorok, amelyek valójában az első és az utolsó tagon kívül semmilyen más tagot nem tartalmaznak.

Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük, ahol $r$ a konvergenciasugár.

A hatványsorok konvergenciájának vizsgálata.

Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...

Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...

Az $e^x$, lnx, sinx és cosx függvények Taylor sorai.

Amikor egy függvény x helyen lévő értékét szeretnénk közelíteni egy Taylor polinommal, akkor lesz egy kis hibánk, mivel a polinom nem teljesen követi a függvényt. Ennek a hibának a kifejezésére van a Lagrange-féle maradéktag. 

A végtelen sorok egy speciális fajtája.

Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...

Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...

Az $e^x$, lnx, sinx és cosx függvények Taylor sorai.

Amikor egy függvény x helyen lévő értékét szeretnénk közelíteni egy Taylor polinommal, akkor lesz egy kis hibánk, mivel a polinom nem teljesen követi a függvényt. Ennek a hibának a kifejezésére van a Lagrange-féle maradéktag. 

Az f(x) függvény primitív függvényének jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.

Polinomok integrálása. Törtfüggvény integrálása. Exponenciális függvények integrálása. Trigonometrikus függvények integrálása.

Polinomok, törtfüggvény, exponenciális függvények, trigonometrikus függvények integráljainak lineáris helyettesítései.

Integráláskor a konstans szorzó kivihető.

Összeget külön-külön is integrálhatunk.

Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.

Szorzat integrálásának egy speciális esete, amikor a függvény n-edik hatványon van és meg van szorozva a deriváltjával.

Ezzel a remek módszerrel szorzatokat tudunk integrálni úgy, hogy egy bonyolultabb integrálásból csinálunk egy egyszerűbb integrálást.

Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.

Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.

Törtek integrálásának egy speciális esete, amikor a tört számlálója a nevező deriváltja.

A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk majd megoldani a feladatot.

A racionális törtfüggvények integrálásához a függvényeket parciális törtekre kell bontani, majd a parciális törteket egyesével integrálni.

A helyettesítéses integrálás úgy működik, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.

A helyettesítéses integrálás egyik legfurcsább esete az $u = \tan{ \frac{x}{2} } $. Olyankor használjuk, ha a törtben $\sin{x}$ és $\cos{x}$ is csak első fokon szerepel.

A Newton-Leibniz formula egy egyszerűen használható képlet a határozott integrál kiszámításához. Ez a tétel az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.

Egy zárt intervallumon értelmezett függvény akkor Riemann integrálható, ha egyetlen olyan szám létezik, amely bármely alsó közelítő összegénél nagyobb egyenlő, és bármely felső közelítő összegénél kisebb egyenlő.

Végtelenbe nyúló tartományok területének kiszámolása egy fontos függvénnyel.

Forgástestek térfogatának és felszínének képletei határozott integrálással.

A deriváltvektor azt jelenti, hogy egy többváltozós függvény parciális deriváltjait beletesszük egy vektorba. A deriváltvektort szokás gradiensvektornak is nevezni, és az f(x,y) kétváltozós függvény gradiensvektorát úgy jelöljük, hogy grad(f(x,y)). A gradiensvektor elnevezés onnan ered, hogy éppen a gradiens vektor irányában emelkedik mindig a legjobban a kétváltozós függvény grafikonja, ami egy felület. A deriváltvektort vagy gardiensvektort egy úgynevezett nabla szimbólummal is szokás jelölni. Ez egy csúcsára állított háromszög és a nabla operátor azt csinálja, hogy egy függvény parciális deriváltjait bepakolja egy vektorba. Ezt nem csak az f(x,y) kétváltozós függvénnyel lehet megtenni, hanem az f(x,y,z) háromváltozós függvénnyel is, vagy akár általánosan egy n változós függvénnyel. A nabla operátort alkalmazva erre a függvényre egy n koordinátás vektort kapunk, aminek a koordinátái a különböző parciális deriváltak lesznek. 

A deriváltvektor azt jelenti, hogy egy többváltozós függvény parciális deriváltjait beletesszük egy vektorba. A deriváltvektort szokás gradiensvektornak is nevezni, és az f(x,y) kétváltozós függvény gradiensvektorát úgy jelöljük, hogy grad(f(x,y)). A gradiensvektor elnevezés onnan ered, hogy éppen a gradiens vektor irányában emelkedik mindig a legjobban a kétváltozós függvény grafikonja, ami egy felület. A deriváltvektort vagy gardiensvektort egy úgynevezett nabla szimbólummal is szokás jelölni. Ez egy csúcsára állított háromszög és a nabla operátor azt csinálja, hogy egy függvény parciális deriváltjait bepakolja egy vektorba. Ezt nem csak az f(x,y) kétváltozós függvénnyel lehet megtenni, hanem az f(x,y,z) háromváltozós függvénnyel is, vagy akár általánosan egy n változós függvénnyel. A nabla operátort alkalmazva erre a függvényre egy n koordinátás vektort kapunk, aminek a koordinátái a különböző parciális deriváltak lesznek. 

Az iránymenti derivált azt jelenti, hogyha a kétváltozós függvény grafikonjának egy pontjában áll egy hagymászó, és elindul egy v irányban, akkor ebben az irányban milyen meredeken emelkedik a felület. Az iránymenti derivált kiszámolása nagyon egyszerű. Azzal kell kezdeni, hogy a P pontban kiszámoljuk a deriváltvektort. Ezek után a v irányba mutató vektorból egységnyi hosszú vektort csinálunk úgy, hogy elosztjuk a saját hosszával. Az így keletkező e vektort skalárisan megszorozzuk a deriváltvektorral és meg is van az iránymenti derivált.

Ahogy már láttuk, az iránymenti derivált azt jelenti, hogyha a kétváltozós függvény grafikonjának egy pontjában áll egy hagymászó, és elindul egy v irányban, akkor ebben az irányban milyen meredeken emelkedik a felület. Ahogy a v irányt változtatjuk, az iránymenti derivált értéke is változik. És van egy olyan v irány, ahol az iránymenti derivált maximális. Ezt az irányt nevezzük gradiens iránynak és ez mindig megegyezik a deriváltvektor irányával. Vagyis egy P pontban a függvény iránymenti deriváltja éppen abban az irányban a legnagyobb, ami a P ponthoz tartozó deriváltvektor iránya. A dolog egy egyszerű skaláris szorzattal könnyedén kijön. És az is kiderül, hogy melyik az az irány, amely mentén az iránymenti derivált éppen nulla. Ez a gradiens irányra merőleges irány, amit szintvonal iránynak nevezünk.

Az érintősík képlete nagyon hasonlít az egyváltozós függvényeknél az érintő egyenletére, csak most x és y szerint is deriválni kell. Lépésről lépésre megoldunk néhány feladatot a kétváltozós függvények érintősíkjával kapcsolatban. Az első lépés mindig a parciális deriváltak kiszámolása, aztán ezekbe a parciális deriváltakba behelyettesítjük az érintési pont koordinátát. Ezek után még kiszámoljuk a függvényértéket is az érintési pontban és már jöhet is az érintősík egyenletének a képlete.

A függvényeket két nagy típusba sorolhatjuk, az explicit és az implicit függvények csoportjába. Az explicit függvények azok, amelyek egy konkrét képlettel vannak megadva, míg az implicit függvények valamilyen egyenlet formájában adhatók meg. 

 A függvényeket két nagy típusba sorolhatjuk, az explicit és az implicit függvények csoportjába. Az explicit függvények azok, amelyek egy konkrét képlettel vannak megadva, míg az implicit függvények valamilyen egyenlet formájában adhatók meg. Az implicit függvények deriválására egy nagyon egyszerű képletet alkothatunk a parciális deriválás segítségével.

A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.

A vegyes másodrendű deriváltak mindig egyenlők, ha a függvény kétszer folytonosan deriválható.

A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.

Egy általános módszer, amivel kétváltozós függvények szélsőértékeit és nyeregpontjait lehet meghatározni

Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.

Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.

 másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen nyeregpontja van-e.

A sík azon pontjainak összességét, amelyekben az $f$ függvény ugyanazt a konstans értéket veszi fel, az $f$ függvény szintvonalának nevezzük.

Az érintősík képlete nagyon hasonlít az egyváltozós függvényeknél az érintő egyenletére, csak most x és y szerint is deriválni kell. Lépésről lépésre megoldunk néhány feladatot a kétváltozós függvények érintősíkjával kapcsolatban. Az első lépés mindig a parciális deriváltak kiszámolása, aztán ezekbe a parciális deriváltakba behelyettesítjük az érintési pont koordinátát. Ezek után még kiszámoljuk a függvényértéket is az érintési pontban és már jöhet is az érintősík egyenletének a képlete.

Az iránymenti derivált azt jelenti, hogyha a kétváltozós függvény grafikonjának egy pontjában áll egy hagymászó, és elindul egy v irányban, akkor ebben az irányban milyen meredeken emelkedik a felület. Az iránymenti derivált kiszámolása nagyon egyszerű. Azzal kell kezdeni, hogy a P pontban kiszámoljuk a deriváltvektort. Ezek után a v irányba mutató vektorból egységnyi hosszú vektort csinálunk úgy, hogy elosztjuk a saját hosszával. Az így keletkező e vektort skalárisan megszorozzuk a deriváltvektorral és meg is van az iránymenti derivált.

A függvényeket két nagy típusba sorolhatjuk, az explicit és az implicit függvények csoportjába. Az explicit függvények azok, amelyek egy konkrét képlettel vannak megadva, míg az implicit függvények valamilyen egyenlet formájában adhatók meg. 

 A függvényeket két nagy típusba sorolhatjuk, az explicit és az implicit függvények csoportjába. Az explicit függvények azok, amelyek egy konkrét képlettel vannak megadva, míg az implicit függvények valamilyen egyenlet formájában adhatók meg. Az implicit függvények deriválására egy nagyon egyszerű képletet alkothatunk a parciális deriválás segítségével.

Az egyváltozós függvények határértékének epszilon-deltás definícióját átültetjük a kétváltozós esetre.

Hogyan vihető át a deriválás szemléletes jelentése egyváltozós függvényekről kétváltozós függvényekre?

A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.

A kétváltozós függvények határozott integrálja egy test térfogata.

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni. A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.

Bizonyos kettősintegrálok kiszámolását megkönnyíti, ha inkább polárkoordinátákat használunk.

A síkbeli polárkoordináták egyik térbeli kiterjesztése - de nem az igazi...

A polárkoordináták háromdimenziós változatát gömbi koordinátáknak nevezzük. A régi x, y, z koordinátákat új gömbi koordinátákkal helyettesítjük.

Lássuk mi is az a függvényhatárérték!

Lássuk mi is az a függvényhatárérték!

Egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak valamely pontban, ha itt a függvényérték és a határérték megegyezik. Lássuk miért is ennyire fontos ez.

Függvények szakadása négy féle lehet: megszüntethető szakadás, ugrás, nem megszüntethető, nem véges szakadás, nem megszüntethető oszcilláló szakadás.

Beszéljünk egy kicsit a trigonometrikus függvények határértékéről. Néhány nevezetes határérték, élükön a sinx/x típusúval.