xxx
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Hármas integrál
A minket körülvevő háromdimenziós térben a háromváltozós függvények különféle fizikai mennyiségeket írnak le. A tér pontjainak 3 koordinátájához rendelnek hozzá ezt-azt.
Mondjuk sűrűséget vagy fluxust vagy nyomást vagy valamilyen más nagyon érdekes fizikai mennyiséget. Az integrálás segítségével ezeket a mennyiségeket az adott térrészre összesítjük.
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
a) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=2-x$ és $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$ által közrefogott tartomány!
$$ \iint_D x+4y \; dydx $$
b) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=\sqrt{x}$ és $y=x^2$ által közrefogott tartomány!
$$ \iint_D xy \; dydx $$
c) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=\sqrt{x}$ és $y=x^2$ által közrefogott tartomány!
$$ \iint_D \frac{y}{\sqrt{x}} \; dxdy $$
Egy futóverseny döntőjében a francia a német és a svájci futó ér célba leghamarabb.
Hányféle sorrendben érkezhetnek be?
Egy másik futóversenyen hat futó kerül a döntőbe: olasz, svájci, francia, német, osztrák, svéd.
a) Hányféle sorrendben kerülhetnek a dobogóra? A dobogóra az első a második és a harmadik helyezett állhat fel.
b) Hányféle dobogós sorrend van, ha tudjuk, hogy a svájci ér célba leghamarabb?
c) Hány olyan dobogós sorrend lehetséges, amikor a svájci a harmadik?
d) Hány olyan sorrend van, amikor a német az első és a francia a harmadik?
Van öt darab számkártyánk. Az egyiken 1-es, a másodikon 4-es, a harmadikon 5-ös, a negyediken 6-os és az ötödiken 8-as számjegy szerepel.
a) Hányféle négyjegyű szám készíthető a számkártyákkal?
b) Hány olyan négyjegyű szám alkotható, ami 6-tal kezdődik?
c) Hány olyan eset van, amikor az első számjegy 4-es, a harmadik számjegy pedig 6-os?
d) Hányféle négyjegyű páros szám rakható ki a számkártyákból?
Van hat darab számkártya ezekkel a számjegyekkel: 0, 1, 4, 5, 6, 8.
a) Hányféle négyjegyű szám készíthető a számkártyákkal?
b) Hány olyan négyjegyű szám alkotható, aminek az utolsó számjegye 6-os?
a) Bobnak épp nincs programja délutánra, ezért azt találta ki, hogy berajzolja egy koordinátarendszerbe az A(5,6) pontot, meg a B(3,2) és C(8,8) meg D(5, 10) és E(3,8) pontokat. Aztán annyi sütit eszik, ahány darab pont közelebb van az A-hoz, mint 4 egység. Hány sütit eszik Bob?
b) Maradt még süti, így hát Bob újabb kihívást talál ki. Berajzolja az A(5,3) pontot, és annyi sütit eszik meg, ahány pont legalább 2 egység és legfeljebb 5 egység távolságra van az A-tól ezek közül a pontok közül:
B(2,2) C(7,7) D(7,10) E(3,8)
Hány sütit eszik Bob?
c) Bob úgy dönt, hogy az utolsó sütit akkor eszi meg, ha talál olyan pontot, ami az A(2,3)-tól 5 egység távolságra, a B(7,6)-tól pedig 3 egység távolságra van.
Öt lány, Hanna, Luca, Léna, Mira és Lili együtt megy moziba, és öt egymás melletti helyre vesznek jegyet.
a) Hányféleképpen ülhetnek le egymás mellé?
b) Hányféleképpen ülhetnek egymás mellé, ha Mira mindenképpen középen szeretne ülni?
c) Hányféleképpen ülhetnek egymás mellé, ha Mira mindenképpen a szélén szeretne ülni?
d) Hányféleképpen ülhetnek le a lányok, ha Mira és Lili mindenképpen egymás mellé szeretne ülni?
e) Hányféleképpen ülhetnek le a lányok, ha Hanna és Luca biztosan nem akar egymás mellé ülni?
Hányféleképpen rakhatunk egymás mellé egy polcra hat könyvet, ha a piros és a kék könyvet nem szeretnénk egymás mellé rakni. Ezek a könyvek: Rózsaszín, sárga, piros, lila, kék, zöld
Van három szabályos dobókocka, egy zöld, egy kék és egy sárga. Mindhárom kockával egyszer dobunk. Soroljuk föl az összes olyan lehetőséget, amikor a három kockával dobott pontok összege hét.
Négy darab számkártyánk van: 1, 3, 4, 8. Ezekből a számkártyákból négyjegyű számokat készítünk.
a) Hány eset van összesen?
b) Soroljuk föl az összes lehetőséget
Egy vonatra kilométer alapú jegyet lehet venni, vagyis a jegy ára a megtett kilométerekkel egyenesen arányos. A jegy mellé helyjegyet is lehet venni, aminek fix ára van, a megtett út hosszától függetlenül.
A 60 km-es út ára helyjeggyel 21 euróba kerül, a 130 km-es út pedig szintén helyjeggyel 42 euróba. Mennyibe kerül egy 250 km-es út helyjeggyel?
a) Egy dobozban kartonból kivágott háromszögek és deltoidok vannak. Ötször annyi háromszög van a dobozban, mint a deltoidok számának a hatoda, és a szokszögeknek így összesen 273 csúcsa van. Hány darab háromszög és hány darab deltoid van a dobozban?
b) Egy másik dobozban kartonból kivágott háromszögek, deltoidok és ötszögek vannak. Tudjuk, hogy 16 kivételével mind háromszög, 20 kivételével mind deltoid és 28 kivételével mind ötszög. Hány darab háromszög, hány darab deltoid és hány darab ötszög van a dobozban?
a) Három szám összege 208. Ha az első számnak vennénk a harmadát, a második számot megfeleznénk és a harmadiknak vennénk az ötszörösét, akkor az így kapott három szám egyenlő lenne. Mi volt az eredeti három szám?
b) Három szám összege 560. Ha az első két számot összeadnánk, akkor éppen a harmadik számot kapnánk. Hogyha pedig az első szám kétszereséhez hozzáadnánk a második szám felét, akkor az eredmény 320 lenne. Melyik az eredeti három szám?
a) Egy előadáson lányok és fiúk vettek részt. Ha 12-vel több lány vett volna részt az előadáson, akkor 56-an lettek volna. Hogyha pedig 9-cel kevesebb lány és kétszer annyi fiú vett volna részt, akkor 60-an lettek volna. Hány lány és hány fiú vett részt az előadáson?
b) Egy dobozban hárommal több háromszög van, mint négyszög. Héttel több négyszög van, mint ötszög. A háromszögek száma kétszerese az ötszögek számának. Hány háromszög, hány négyszög és hány ötszög van a dobozban?
a) Egy kétjegyű szám számjegyeinek a különbsége 3. Ha a számot és a számjegyek felcserélésével kapott számot összeadjuk, az összeg 165. Melyik ez a szám?
b) Egy kétjegyű szám számjegyeinek összeg 12. Ha a jegyeket felcseréljük, a szám értéke 75%-kal növekszik. Melyik ez a szám?
a) Ha a markológép óránként 20 köbméter földet termel ki, a tervhez képest 5 órával elmarad. Ha azonban óránként 30 köbméter földet tud kitermelni, akkor a tervét 100 köbméterrel túlteljesíti. Mennyi földet kellett a markolónak kitermelnie óránként?
b) Ha egy markológép óránként 5 köbméterrel több földet termel ki az előre tervezettnél, akkor 16 óra alatt végez a munkával. Ha pedig óránként a tervezettnél 20%-kal kevesebb földet termel ki, akkor 25 óra alatt végez a munkával. Mennyi földet kellett a markolónak a terv szerint kitermelnie óránként?
a) Egy gazda négy fia (Antonio, Benedetto, Carlo, Diego) között elosztotta bárányait. Antonio kapta a bárányok ötödét, Benedetto pedig a negyedét. Carlo az Antonio és Benedetto része után megmaradt bárányok harmadát kapta. Dieog 22 bárányt kapott. Hány darab báránya volt a gazdának?
b) Egy városi fútóversenyen indulók közül a versenyzők 1/12 része nem ért célba szintidőn belül. Akik szintidőn belül célba értek, közülük a versenyzők 5/7 része ért be három órán belül, és ezek 20%-a két órán belül, a többi 396 versenyző pedig két óránál tovább, de három óránál rövidebb ideig futottak. Hányan indultak a versenyen?
Egy víztározóból karbantartási munkák miatt le kell engedni a víz egy részét. Hétfőn a víztárolóban lévő víz negyedét engedik le, és még 3 millió köbméter vizet. Kedden a megmaradt víz harmadát és még 4 millió köbméter vizet engednek le. Végül szerdán a megmaradt víz felét engedik le és még 6 millió köbméter vizet. Így 15 millió köbméter víz marad a víztárolóban. Mennyi víz volt benne eredetileg?
a) Egy kocsi hátsó kerekének átmérője 75 cm, az első keréké 50 cm. Mekkora távolságon fordul az első kerék 50 fordulattal kevesebbet, mint a hátsó kerék fordulatai számának a kétszerese?
b) Egy traktor hátsó kerekének kerülete kétszer akkora, mint az első kerekének a kerülete. Ha a hátsó kerék kerülete 20 cm-rel kisebb lenne, az első kerék kerülete pedig 40 cm-rel nagyobb, akkor 12 méteres távon másfélszer annyit fordulna az első kerék, mint a hátsó. Mekkora az első és a hátsó kerék kerülete?
Egy vonatra első osztályú és másodosztályú jegyeket is lehet venni. Mindkét jegy kilométer alapú, vagyis a jegy ára a megtett kilométerekkel egyenesen arányos. A jegyek mellé helyjegyet is lehet venni, aminek fix ára van a megtett út hosszától függetlenül.
a) Az első osztályon a 110 km-es út 30 euróval kerül többe, mint a 60 km-es. Mennyibe kerül a 60 km-es út?
b) Egy 60 km-es út másodosztályon helyjeggyel 29 euróba kerül, egy 110 km-es út szintén helyjeggyel 49 euróba. Mennyibe kerül egy 250 km-es út másodosztályon helyjeggyel?
Bob gondolt egy számot, megszorozta 12-vel aztán hozzáadott 12-t. Az így kapott eredményt elosztotta 12-vel és utána még ki is vont belőle 12-t. Így végül 12-t kapott. Melyik számra gondolt Bob?
Három szám összege 205. Ha az első számot elharmadolnánk, a másodikat megháromszoroznánk, a harmadikat pedig hárommal növelnénk, akkor az így kapott három szám egyenlő lenne. Mi volt az eredeti három szám?
Bob nem túl jó matekból, viszont szeret rajzolni, így hát elhatározta, hogy ábrázolja a matekjegyeit egy 20 cm átmérőjű kördiagramon.
a) Mekkora középponti szög tartozik a kettesekhez?
b) Milyen hosszú körív tartozik a hármasokhoz?
c) Mekkora a sárga körcikk területe a négyeseknél?
A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.
A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.
A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az x szerinti határokat adjuk meg és utána az y szerintit vagy fordítva.
A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha nem téglalapon integrálunk, hanem mondjuk ezen a háromszög alakú tartományon.
Ilyenkor érdemes felülnézeti rajzot készíteni, hogy jobban lássuk miről is van szó.
Az x szerinti határok rajzunkon most 0-tól 2-ig tartanak.
Az y szerinti határok viszont nem 0-tól 2-ig, mert akkor egy téglalapot kapunk…
Úgy lesz ebből háromszög, ha az y szerinti határok 0, és .
Vagyis az y szerinti határ egy függvény.
Esetünkben csak a felső határ függvény, de miért is ne lehetne az alsó határ is függvény.
Nos, legyen mondjuk
Integráljuk ezen az tartományon mondjuk azt a függvényt, hogy
Mindig a belső integrálással kezdünk.
Először tehát y szerint integrálunk.
Ilyenkor x olyan, mintha konstans lenne.
És most jöhet az x szerinti integrálás.
Csak előbb egy kicsit összevonunk.
Nem is olyan kicsit…
Hát ez nem volt túl kellemes.
Nézzünk meg egy másikat is, hátha az barátságosabb lesz.
Integráljuk a D tartományon az függvényt.
Előfordulhat, hogy a határoló függvény csak y-nal írható le.
Itt van például ez a tartomány.
Megpróbálhatnánk a határoló függvényt y-ra rendezni, de kár fáradozni vele.
Sok felesleges munkánk adódna ugyanis:
Szóval maradjunk inkább az eredeti függvénynél,
vállalva azt a kis kellemetlenséget, hogy most az y szerinti határok lesznek konkrét számok.
Nos integráljuk ezen a tartományon az függvényt.
A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.
A helyzet akkor válik izgalmassá, ha egy olyan tartományon integrálunk, amit egyváltozós függvények határolnak.
Itt van például ez. Az x szerinti határok legyenek és ,
az y szerinti határok pedig két függvény, és .
Ezek a függvények lehetnek például valamilyen parabolák…
vagy éppen olyan függvények, amik pont egy kört rajzolnak ki.
Egy 2 sugarú kört.
Lássuk csak, a kör egyenlete:
És ha , akkor
Ha szeretnénk megtudni, hogy mik lehetnek a határoló függvények, nos akkor ebből ki kell fejeznünk y-t.
Integráljuk ezen a körön az függvényt.
A helyzet nem tűnik túl bíztatónak.
Az alapvető probléma ezzel az integrálással az, hogy nehéz. Azért nehéz, mert ronda gyökös kifejezések vannak benne.
A gyökös kifejezések pedig a kör miatt vannak.
Nos, éppen ilyen körös esetekre van egy remek módszer, ami hihetetlenül megkönnyíti ezt az integrálást.
Ez egyfajta helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.
A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos x és y koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.
Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.
A másik pedig egy forgásszög, és jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:
Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek.
A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:
A kör összes pontját úgy kapjuk meg, ha befutja a teljes kört,
0-tól egészen –ig…
az r pedig befutja a 0-tól 2-ig terjedő intervallumot.
A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.
A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:
A polárkoordinátás helyettesítésnek köszönhetően a ronda gyökös kifejezések eltűntek, és ami maradt, az életünk legegyszerűbb integrálása
Főleg, ha tudjuk, hogy
Sőt, a polárkoordinátás helyettesítés még ennél is többet tud.
Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni egy olyan tartományon, ami egy lukas belsejű kör, egy körgyűrű.
Ráadásul mondjuk egy fél körgyűrű.
A polárkoordinátás helyettesítés megdöbbentően leegyszerűsíti az ilyen első ránézésre igencsak komplikáltnak tűnő helyzeteket.
Mindössze annyit kell tennünk, hogy megadjuk a szöget,
és a sugarat.
És már kész is van.
A polárkoordináták lényege, hogy az x és y koordinátákat új koordinátákra cseréljük le.
Azokban az esetekben ugyanis, amikor körök, gömbök vagy hengerek bukkannak fel, nos olyankor nem bizonyul kifizetődőnek az a fajta szögletes mentalitás, hogy x koordináta és y koordináta.
Egy olyan koordinátázást érdemes bevezetni, ami jobban alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.
Egy kör belsejében a legfontosabb jellemzők a középponttól való távolság és a forgásszög.
Az egyik koordináta ezért azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.
A másik pedig egy forgásszög, és jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:
A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:
Egy R sugarú kör összes pontját úgy kapjuk meg, hogy befutja a teljes kört,
0-tól egészen –ig…
az r pedig befutja a 0-tól R-ig terjedő intervallumot.
A polárkoordinátás helyettesítés egyik haszna, hogy megdöbbentően leegyszerűsíti azokat a bonyolult integrálásokat, amiket körön vagy valamilyen köralakú alakzaton végzünk.
A helyettesítést a következő képlet segítségével végezzük el:
Lássunk néhány ilyen esetet.
Integráljuk a tartományon a következő függvényt:
Lássuk csak, hogyan is néz ki ez a tartomány.
A konstansok határozott integrálása nagyon egyszerű:
Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni ezen a félkörön.
Ilyenkor látszik igazán, milyen ügyesen a körre vannak szabva a polárkoordináták.
A szokásos x és y koordinátákkal borzalmas lenne ez az integrálás.
De így csak annyit kell tennünk, hogy a szögeket átírjuk,
és már kész is.
Itt jön aztán egy másik.
Integráljuk a D tartományon az f(x,y) függvényt:
Egy futóverseny döntőjében ez a három versenyző ér célba leghamarabb...
Hányféle sorrendben érkezhetnek be?
A három versenyző közül bármelyik lehet az első...
Ez összesen három lehetőség...
A második helyre már csak két versenyző kerülhet.
Hiszen a győztes már nem lehet második.
Na persze győzhet a német is…
Vagy a francia…
De bárki győz, a második helyre már csak a maradék kettő kerülhet.
És a harmadik helyre már csak egy.
Az, aki nem az első és nem is a második.
A lehetőségek ilyenkor szorzódnak…
Vagyis összesen 6 darab lehetőség van.
Mindezt akár le is rajzolhatjuk.
Az első helyre még bármelyik három versenyző kerülhet.
Aztán a második helyre már csak a megmaradt két versenyző közül kerül az egyik…
Végül a harmadik helyre mindig a megmaradt egyetlen versenyző kerülhet.
De az ilyen rajzocskák helyett mindig jobban járunk, ha egy táblázatban gyűjtjük össze az eseteket…
Menjünk szépen sorban…
Kezdjük azzal, amikor az első a francia.
Ilyenkor a második lehet a német…
És a svájci a harmadik.
Vagy az is lehet, hogy még minidig a francia az első…
A svájci a második…
És a német a harmadik.
Aztán jönnek azok az esetek, amikor a német az első…
Ilyenkor vagy a francia a második…
Vagy a svájci.
Végül itt jönnek azok az esetek, amikor a svájci a győztes.
Ilyenkor a második lehet a francia…
És akkor a német a harmadik.
Vagy fordítva…
A német a második…
És a francia a harmadik.
Meg is van a hat darab eset.
Ebből az egészből egy dolgot mindenképpen jegyezzünk meg.
Általában sokkal könnyebb megmondani azt, hogy hány darab lehetőség van, mint felsorolni az összes lehetőséget.
Egy másik futóversenyen ezek a futók kerültek a döntőbe:
Hányféle sorrendben kerülhetnek a dobogóra?
És most nézzük, mi van akkor, ha több futó van…
Az első helyre még bármelyik futó kerülhet…
Aztán a második helyre már csak a megmaradt 5 futó közül valamelyik…
Végül a harmadik helyre négy lehetőség van.
A lehetőségek ilyenkor is szorzódnak…
Az összes eset pedig 120 darab.
Ha mind a 120 darab esetet föl kéne sorolnunk…
Hát, azzal ellennénk egy darabig.
A nagy bölcsesség erre a feladatra is igaz…
Sokkal könnyebb megmondani, hogy hány darab eset van, mint felsorolni az eseteket.
Amikor az a feladat, hogy „hányféle”…
Olyankor szerencsére nem kell az esetek felsorolásával bajlódnunk.
Most nézzük, hányféle dobogós sorrend lehetséges, ha tudjuk, hogy a svájci ér célba először.
Hány olyan dobogós sorrend lehetséges, amikor a svájci a harmadik?
Végül nézzük meg, hogy hány olyan sorrend van, amikor a német az első és a francia a harmadik.
Berakjuk a franciát az első helyre…
És a németet harmadiknak.
A második helyre pedig négyféle futó mehet.
Ez így 4 darab lehetőség.
Bobnak őrülten jó tervei vannak a délutánra…
Számkártyákkal fog négyjegyű számokat alkotni…
Kezdjük azzal, hogy ezekkel a számkártyákkal hányféle négyjegyű szám készíthető.
Az első helyre még bármelyik kártya mehet…
Ez 5 darab lehetőség.
A második helyre már csak a megmaradt 4 darab kártyából mehet valamelyik…
És ilyenkor a lehetőségek szorzódnak…
Aztán a harmadik helyre már csak 3 darab kártya marad…
Az utolsó helyre pedig kettőből lehet választani.
Így összesen 120 darab lehetőség van.
Ennyi esetet föl sem lehet sorolni…
Az ilyen feladatoknál általában kétféle kérdés szokott lenni.
Az egyik kérdés, hogy „Hány eset van?”
És ez a kérdés általában könnyű.
Gyorsan ki lehet számolni, ahogyan itt az előbb csináltuk.
De a másik kérdés, hogy „Soroljuk föl az összes esetet”
Na, az már nehezebb ügy.
Az összes esetet gyakran csak pokoli kínok között tudjuk felsorolni.
Itt jön egy újabb izgalmas kérdés… Hány olyan négyjegyű szám alkotható a számkártyákból, ami 6-tal kezdődik?
Akkor fog 6-tal kezdődni egy szám, ha megfogjuk a 6-os számkártyát és betesszük ide az elejére.
Ezt csak egyféleképpen tudjuk megtenni, hogy odarakjuk és kész.
Aztán a második helyre a megmaradt négy kártya közül bármelyiket rakhatjuk…
Ez négy lehetőség…
A következő helyre már csak háromféle kártya mehet…
És az utolsó helyre csak kettő.
Úgy néz ki, hogy összesen 24 darab lehetőség van.
Most nézzük, hány olyan eset van, amikor az első számjegy 4-es, a harmadik számjegy pedig 6-os.
Ezeket berakjuk ide…
Aztán feltöltjük az üres helyeket.
Összesen hat ilyen eset van.
De az izgalmak csak most jönnek…
Hányféle négyjegyű páros szám rakható ki a számkártyákból?
Egy szám akkor páros, ha az utolsó számjegye páros.
Ezek a jelöltek…
És most itt jön egy nagyon fontos dolog.
Ha azt akarjuk, hogy az utolsó számjegy páros legyen, akkor azzal kell kezdenünk a helyek feltöltését.
A három páros számjegy közül kell ide tennünk az egyiket.
Erre 3 lehetőség van.
Most, hogy ezzel megvagyunk, már bárhol folytathatjuk a helyek feltöltését.
Kezdjük az elején.
Van két megmaradt két páros számjegy, amit nem használtunk el…
És még ez a 2 másik.
Vagyis négyféle számjegy mehet az elejére.
És teljesen mindegy, hogy melyiket rakjuk oda.
Aztán a következő helyre már csak háromféle mehet…
És ide már csak kettő.
Így összesen 72 darab lehetőség van.
És most, valami egészen elképesztő dolog jön…
Egy újabb számkártya.
Nézzük meg, hogy hány négyjegyű számot alkothatunk így.
Az izgalmat az okozza, hogy a 0 nem mehet legelőre…
Mármint ide.
Nullával ugyanis nem kezdődnek négyjegyű számok.
Ezekkel a kártyákkal úgy tudunk négyjegyű számokat gyártani, hogy az első helyre nem mehet a nulla…
Oda csak a másik 5 darab kártya közül mehet valamelyik.
Aztán a következő helyre már mehet a nulla…
És a megmaradt négy kártya közül is bármelyik.
Vagyis erre a helyre is 5 darab lehetőség van.
És teljesen mindegy, hogy melyiket rakjuk oda.
Aztán ide már csak négyféle kártya kerülhet.
És ide már csak háromféle.
Ez így összesen 72 darab lehetőség.
Most nézzük, hány olyan négyjegyű szám alkotható, aminek az utolsó számjegye 6-os.
Az utolsó helyre be is rakjuk a 6-sot…
Aztán az első helyre megint nem mehet a nulla…
Csak a maradék 4 darab kártya közül valamelyik.
A második helyre viszont már mehet a nulla.
És a megmaradt három kártya közül is bármelyik.
Teljesen mindegy, hogy melyiket tesszük ide, vagyis ez 4 lehetőség.
Ez pedig már csak három.
Vagyis összesen 48 darab lehetőség van.
Hány négyjegyű páros szám alkotható a számkártyákból?
Itt van ez a három szabályos dobókocka, egy zöld, egy kék és egy sárga.
Mindhárom kockával egyszer dobunk. Soroljuk föl az összes olyan lehetőséget, amikor a három kockával dobott pontok összege hét.
Hát, nézzük hogyan kapunk hetet...
115
124
133
142
151
214
223
232
241
313
322
331
412
421
511
Mondjuk ez így elég reménytelennek tűnik.
Szükség lenne egy módszerre, amivel az összes esetet könnyen fel lehet sorolni.
Ha ennek a módszernek a lényegét megérted, akkor az ilyen „soroljuk fel az eseteket” típusú feladatok nem foghatnak ki rajtad.
Az összes eset felsorolására egy olyan módszert fogunk használni, amivel biztosan nem hagyunk ki egyetlen esetet sem.
És az sem fordulhat elő, hogy ugyanazt az esetet kétszer írjuk föl.
A módszer lényege ugyanaz lesz, mint amikor ABC sorrendbe kell raknunk neveket.
Megnézzük, melyik név kezdődik A-val…
Azt rakjuk az elejére.
Aztán jön a B…
Utána a C…
Ja, mondjuk C- az nincs.
Akkor jön a D…
De a lényeg csak most jön…
Olyankor, amikor ugyanazzal a betűvel két név is kezdődik…
Például a Levente és a Luca…
Ilyenkor a második betűk sorrendje számít.
Az M betűvel három név is kezdődik…
És két olyan van köztük, ahol a második betűk is egyeznek…
Ezeknél a harmadik betű fog dönteni.
És most lássuk, mi köze van ennek a névsornak a kockákhoz…
A dobott pontokat itt is „ABC sorrendben” kell felsorolni.
Csak éppen az ABC most a számok: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Ez még jobb is...
Ki a fene tudja az ABC-t fejből…
Ez lesz tehát most az ABC sorrend: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
És kezdjük is.
A dolog azzal indul, amikor mindegyik „betű” 1-es…
Csak hát az a baj, hogy így nem lesz az összeg hét.
Valamelyik számot növelni kéne.
És itt jön a leg-leg-leglényegesebb rész.
Mindent pontosan úgy kell csinálni, mint az előbb a nevek felsorolásánál.
Először mindig a végén növelünk.
Ezeket nem bántjuk…
És az utolsót megnöveljük annyira, hogy az összeg 7 legyen.
Aztán a legelső marad 1-es…
A második pedig megy szépen ABC sorrendben.
Végül kitaláljuk, mi legyen az utolsó szám…
Az utolsó számot mindig úgy igazítjuk, hogy az összeg végül 7 legyen.
Hopp, ilyen eset már nem lesz…
Itt az idő, hogy az első kockán is változtassunk…
Eggyel följebb ugrik.
És megyünk megint „ABC sorrendben”.
Az „ABC sorrend” szerint ezzel kell kezdeni.
Csak így nem jön ki a hét.
Úgyhogy növelni kell, és mindig a végén kezdünk növelni.
Aztán megyünk szépen sorban.
A harmadik kockát pedig megint úgy igazítjuk, hogy az összeg 7 legyen.
És kész… Nullát már nem tudunk dobni.
Most megint hozzá kell nyúlni az első kockához…
Ismét növeljük eggyel.
Aztán jön az „ABC sorrend”…
Itt a végén egy csöppet növelni kell…
És megyünk szépen sorban.
Ez is megvan.
Megint egyet ugrik az első kocka…
De a második kocka az „ABC szerint” újra 1-gyel indul.
Hopp, ez is megvan.
Végül még eggyel följebb ugrik az első kocka…
És jön az „ABC sorrend” ahogy szokott.
Kész is.
Az első kockával 6-ot már nem dobhatunk, mert akkor az összeg legalább 6+1+1 vagyis 8 lenne.
Nézzünk meg még egy ilyet.
Rögtön folytatjuk…
Ezekből a számkártyákból négyjegyű számokat készítünk.
a) Hány eset van összesen?
b) Soroljuk föl az összes lehetőséget
Az ilyen feladatoknál legtöbbször lazán meg tudjuk mondani, hogy „hány eset van”…
És csak pokoli kínok között tudjuk felsorolni az összes esetet.
Kezdjük az egyszerűbbel.
Itt lesz a négyjegyű szám…
Az első helyre még bármelyik kártya mehet…
Aztán a második helyre már csak eggyel kevesebb…
És ilyenkor a lehetőségek szorzódnak…
Kész is… Úgy tűnik, 24 darab lehetőség van.
És most indul a rémálom…
Azt legalább már tudjuk, hogy 24 darab esetet kell felsorolnunk.
Hogyha óránként leírunk egyet, akkor éppen egy nap alatt meg is vagyunk…
Kezdjük is a jó öreg „ABC módszerrel”
Úgy kezdjük, hogy a legkisebb számot rakjuk az elejére…
Aztán szépen egymás után az egyre nagyobbakat.
Ez az „ABC sorrend” szerinti első szám, amit a kártyákkal ki tudunk rakni.
Most az első kettőt nem bántjuk és ezt növeljük…
Mindig a sorban következőre növelünk.
És az utolsó kártya, hát kizárásos alapon…
Aztán próbáljuk meg tovább növelni a 8-at…
Hopp, már tovább nem lehet.
Kénytelenek vagyunk feloldani a zárolást…
És eggyel előrébb is növelésbe kezdünk.
Aztán a 8-at megint nem tudjuk már hova növelni…
Úgyhogy akkor itt, kell a sorban következőre cserélni.
A szabály ugyanaz: mindig a sorban következőre növelünk.
Ez azt jelenti, hogy amikor növelünk, mindig a sorban következőre növelünk.
A 3-as utáni kártya a 4-es.
A megmaradt helyeket pedig mindig a legkisebbtől haladva töltjük fel.
Aztán a megmaradt helyeket mindig a legkisebbel kezdjük feltölteni.
Most ezt növeljük…
Ezt a szabály szerint 4-re kéne növelni…
De a 4-esünk már rögzítve van.
Hát jó…
Aztán megint itt növeljük a sorban következőre.
És a megmaradt helyeket mindig a legkisebbel kezdjük feltölteni.
Most újra ezt növeljük…
Aztán itt jön a sorban következő…
Hopp, ilyen már nincsen…
Ezt már nem tudjuk tovább növelni, mert a 8 a legnagyobb.
Elérkezett a pillanat, hogy itt az elején is növeljünk.
Mindig a sorban következőre…
És az őrület folytatódik…
Az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek összes olyan sorrendjét keressük, amire teljesül, hogy az utolsó számjegy páros, és az egymás melletti számjegyek különbsége nem lehet kettő.
Az utolsó számjegy vagy 2 vagy 4 lehet…
