Gazdasági matek 2

A mátrixok rendkívül barátságosak. Egy nXk-as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, aminek n darab sora és k darab oszlopa van.

Ha egy mátrixot egy számmal szorzunk, akkor a mátrix összes elemét meg kell szorozni a számmal.

Ha egy mátrixot osztunk egy számmal, akkor a mátrix minden elemét osztani kell a számmal.

Két mátrix összeadásakor összeadjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet összeadni, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

Két mátrix kivonásakor kivonjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet kivonni egymásból, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

Két mátrix szorzata akkor létezik, ha a bal oldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobb oldali mátrix sorainak számával. Az eredménymátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorát skalárisan szorozzuk a jobb oldali mátrix j-edik oszlopával. (Tehát az első elemet az elsővel, a másodikat a másodikkal stb. szorozzuk, majd összeadjuk)

A mátrix összeadás kommutatív és asszociatív.

A mátrixszorzás nem kommutattív, de asszociatív.

A kvadratikus mátrix négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa.

A diagonális mátrix olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák.

Az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy.

Az inverz mátrix egy olyan mátrix, hogy ha azzal szorozzuk az eredeti mátrixot, akkor egységmátrixot kapunk. Ha balról szorozva kapunk egységmátrixot, akkor bal inverz, ha jobbról szorozva, akkor jobb inverz mátrix.

A transzponált a mátrix sorainak és oszlopainak felcserélése.

Azokat a mátrixokat, melyek transzponáltjuk önmaga, szimmetrikus mátrixnak nevezzük.

Vektort egy számmal úgy szorzunk, hogy a vektor minden koordinátáját megszorozzuk a számmal.

Vektort egy számmal úgy osztunk, hogy a vektor minden koordinátáját leosztjuk a számmal.

Két vektort úgy adunk össze, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön össze adjuk.

Két vektort úgy vonunk ki egymásból, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön kivonjuk egymásból.

A skaláris szorzat két vektor közti művelet, ami csinál belőlük egy számot.

Két vektor diadikus szorzata egy mátrix. Lássuk milyen.

Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak sorait.

Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak egy oszlopában lévő elemeit.

Ha egy mátrixot megszorzunk jobbról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik oszlopát.

Ha egy mátrixot megszorzunk balról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik sorát.

A determináns úgy működik, hogy minden négyzetes mátrixból csinál egy valós számot. Hogy miért, és, hogy hogyan, az mindjárt kiderül.

Egy 2x2-es mátrix determinánsát úgy kapjuk, hogy a bal átló elemeinek szorzatából kivonjuk a jobb átló elemeinek szorzatát.

Egy nem túl jó módszer a determináns kiszámolására.

Egy túl jó módszer a determináns kiszámolására.

Példák mikor nulla egy mátrix determinánsa. Két mátrix szorzatának determinánsa.

Azokat a mátrixokat nevezzük szingulárisnak, amelyek determinánsa nulla.

Azokat a mátrixokat nevezzük regulárisnak, amelyek determinánsa nem nulla.

A Cramer szabály egy újabb módszer az egyenletrendszerek megoldására.

Mátrix adjungátlja egy egészen rettenetes dolog.

A 2x2-es mátrix adjungátlja már könnyen megadható.

Az adjungált egyik legnagyobb haszna, hogy segítségével meg tudunk alkotni egy képletet a négyzetes mátrixok inverzére.

Hogyha szeretnénk egy olyan módszert, amivel rettentő lassan és őrülten sok számolással oldhatunk meg egyenletrendszereket, akkor ez lesz az.

A Vandermonde-determináns egy speciális determináns, amit nagyon egyszerű kiszámolni.

A vektorösszeadás kommutatív, asszociatív, létezik nullelem és létezik ellentett. A skalárszoros asszociatív, disztributív a vektorokra és a skalárokra is, és létezik egységszeres.

Egy vektorrendszer akkor lineárisan független, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.

Egy vektorrendszer akkor lineárisan összefüggő, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor úgy is elő tud állni, hogy nem minden szorzótényező 0.

Vektorok generátor-rendszert alkotnak, ha minden vektortérbeli vektor elő áll az ő lineáris kombinációjuként.

Egy vektorrendszer akkor alkot független rendszert, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.

A bázis független generátorrendszer.

Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok maximális száma

W altér V-ben, ha részhalmaza és maga is vektortér a V-beli műveletekre. Nos ez remek, de nézzük meg, mit is jelet mindez.

A legfeljebb n-ed fokú polinomok vektorteret alkotnak az összeadás és a skalárral való szorzás műveletekre.

A generált altér vektorok lineáris kombinációja.

Egy vektor akkor állítható egy vektorrendszerrel, ha előáll azon vektorok lineáris kombinációjaként.

Egy egyenletrendszer együtthatómátrixa az x-ek együtthatóiból álló mátrix.

Az egyenletrendszer megoldásának egy szuper, de koránt sem a legszuperebb módja.

Az egyenletrendszerek megoldásának legszuperebb módja.

Az egyenletrendszerek megoldásának legszuperebb módja.

Ha egy egyenletrendszernek több az ismeretlene, mint ahány egyenlete van, akkor az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása.

Ha egy egyenletrendszerben két olyan egyenlet szerepel, ahol az ismeretlenek együtthatói megegyeznek, de más az eredményük, akkor az ellentmondó egyenletrendszer, aminek nincs megoldása.

A szabadságfok a szabadváltozók száma.

A Gauss-Jordan elimináció a Gauss-elimináció pro változata.

Egy mátrix oszloprangja az oszlopvektorai közül kiválasztható független vektorok maximális száma.

Egy mátrix sorrangja a sorvektorai közül kiválasztható független vektorok maximális száma.

A mátrix rangja a mátrix Gauss elimináció során keletkezett vezéregyeseinek száma, amely megegyezik a mátrix sorrangjával vagy oszlopvektorával

Egy mátrixot teljes oszloprangúnak nevezünk, hogyha az oszlopvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.

Egy mátrixot teljes sorrangúnak nevezünk, hogyha a sorvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.

Bármely mátrixot fel lehet bontani két olyan mátrix szorzatára, amelyek közül az egyik teljes oszloprangú, a másik pedig teljes sorrangú.

Lássuk hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Kezdjük az nxn-es mátrixokkal.

Lássuk hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Kezdjük az nxn-es mátrixokkal.

Most pedig olyan mátrixok inverzét próbáljuk meg kiszámolni, amelyek nem négyzetesek.

Most pedig olyan mátrixok inverzét próbáljuk meg kiszámolni, amelyek nem négyzetesek.

Ha egy egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor az optimális megoldás megadja a legjobb közelítést.

A Gauss-féle normálegyenlet egyenletrendszerek megoldásainak közelítéséhez használható módszer.

Egy $\underline{b}$ vektort nem csak merőlegesen vetíthetjük, hanem ferdén is. Viszont egyedül a merőleges vetítés rendelkezik a legjobb közelítés tulajdonságával.

Keressük az a lineáris függvényt, amely a lehető legjobban illeszkedik a mérési pontokra.

Ha egy mátrixnak nem létezik inverze, de közelíteni szeretnénk azt, akkor használható a Moore-Penrose pszeudoinverz.

A lineáris leképezés egy test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény.

A képtér egy olyan altér $V_2$-ben, amely azokból a vektorokból áll, amiket a $V_1$-beli vektorokból csinál a leképezés.

A magtér egy olyan altér $V_1$-ben, amelyek képe a leképezés során nullvektor.

A képtér és a magtér dimenzióinak összege éppen $V_1$ dimenziója.

Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal.

Egy leképezésnek akkor létezik inverze, ha a leképezés mátrixának létezik inverze.

Két leképezés kompozíciója a mátrixaik szorzata.

Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.

Ha a mátrixnak létezik diagonális alakja, akkor van sajátbázisa, ami fantasztikus dolgokra képes.

A lineáris leképezések másnéven homomorfizmusok. Ezek a homomorfizmusok és azok mátrixai maguk is egy vektorteret alkotnak, ezt a vektorteret $Hom(V_1, V_2)$-nek nevezzük.

Az A és B mátrixok hasonlók, ha létezik egy C mátrix, amivel ha jobbról szorozzuk a B-t, balról pedig a C inverzével szorozzuk, akkor ennek eredménye A.

Legyen $X$ egy részhalmaza a gráfnak, ami tartalmazza $S$-t. Ekkor az $X$ és a többi csúcs alkotta részgráf (amik nincsenek benne az $X$-ben) közötti éleket vágásnak nevezzük.

Egy vágás kapacitása a vágásban szereplő élek kapacitásainak összege.

A Ford-Fulkerson algoritmus egy olyan algoritmus, amit a maximális folyam megkeresésére használunk.

Irányított gráfban egy él kapacitása az a nem negatív valós szám, amit hozzá rendelünk az élhez.

A $(G, S, T, c)$ egy hálózat.

A hálózatban folyamnak nevezünk egy olyan függvényt, amely az élekhez rendel hozzá pozitív valós számokat és amire teljesül, hogy az egy csúcsba befolyó mennyiség megegyezik a csúcsból kifolyóval.

A folyam értékén az S-ből kifolyó és S-be befolyó mennyiségek különbségét értjük.

A Ford-Fulkerson tétel azt mondja ki, hogy egy hálózatban a maximális folyam mindig megegyezik a minimális vágással.

Mindig létezik egy olyan út, ami csak azokon a pontokon halad át, ahol a tartalékidő nulla, és az út hossza megegyezik a teljes folyamat hosszával. Ezt az utat kritikus útnak nevezzük.

Egy mátrix sajátértéke egy valós szám, amely azt mondja meg, hogy a sajátvektor hányszorosát kapjuk akkor, ha azt a mátrixszal szorozzuk.

Egy mátrix sajátvektora egy olyan nem nullvektor, ami azt tudja, hogy megszorozva a mátrixszal az eredeti vektor skalárszorosát kapjuk. Ez igazán remek, de, hogy pontosan miért, nos ez mindjárt kiderül.

A sajátértékek kiszámolásához szükséges egyenlet.

A mátrix főátló elemeiből kivonunk $\lambda$-kat, majd ennek vesszük a determinánsát.

Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.

Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix spektrálfelbontását.

Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor a mátrix diagonizálható.

A sajátfelbontás egy olyan, kizárólag diagonalizálható mátrixokkal végezhető felbontás, ami megkönnyíti a hatványozást.

A spektrálfelbontás segítségével könnyebben hatványozhatunk.

Az x tengelyre, az y tengelyre, és az y=x egyenletű egyenesre való tükrözések mátrixai.

Az alfa szögű forgatás mátrixa.

Az origóra való középpontos tükrözés mátrixa egy 180°-os fogatásnak felel meg.

Az $i$ és $j$ koordinátatengelyek síkjában történő Givens forgatás mátrixát úgy kapjuk, hogy arra a négy helyre ahol az egységmátrix $i$-edik és $j$-edik sora és oszlopa metszi egymást beírjuk szépen az $\alpha$ szögű forgatás mátrixának elemeit.

Az origón átmenő síkokra való tükrözést Householder-tükrözésnek nevezzük.

A Householder tükrözés mátrixa.

Az x és az y tengelyre való merőleges vetítés mátrixai.

Az x és az y tengelyre való merőleges vetítés mátrixai.

A $\underline{v}$ irányvektorú origón átmenő egyenesre történő merőleges vetítés mátrixa.

Az $\underline{a}$ normálvektorú origón átmenő egyenesre, síkra, vagy hipersíkra vetítés mátrixa.

A szokásos távolságképletet euklideszi-normának nevezzük.

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosít

A vektor p-normája általános alakban adja meg a vektorok lehetséges normáit.

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása, az 1-es norma ennek egyik módja.

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása, a 2-es norma ennek egyik módja.

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása, a végtelen norma ennek egyik módja.

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása és ezt mátrixokra is alkalmazhatjuk.

Az 1-es norma a mátrixok hosszának egy értelmezése, nevezzük oszlopnormának is.

Mátrixok 2-es normája a hosszúk kiszámításának egy módja, spektrálnormának is nevezzük.

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása és ezt mátrixokra is alkalmazhatjuk.

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása és ezt mátrixokra is alkalmazhatjuk. A Frobenius norma ennek egyik módja.

A spektrálnorma egy mátrixnorma.

A mátrixok kondíciószámára nagy szükség van például lineáris egyenletrendszerek megoldásának hibabecslésénél.

A vektor egy irányított szakasz.

Vektorok összeadásakor összeadjuk az x koordinátákat és összeadjuk az y koordinátákat. Kivonáskor vesszük az x koordináták különbségét és az y koordináták különbségét.

Egy vektor hosszát megkapjuk, ha vesszük a koordinátái négyzetösszegének a gyökét. Két pont távolsága az őket összekötő vektor hossza.

Két pont közti vektor a végpontba mutató helyvektor minusz a kezdőpontba mutató helyvektor.

Két vektor skaláris szorzata a vektorok hosszának szorzata a közbezárt szögük koszinuszával.

Egy vektor 90°-os elforgatásához megcseréljük a két koordinátáját és az egyik előjelét megváltoztatjuk.

Két vektor skalárisszorzatát kiszámolhatjuk a vektorok hosszának és hajlásszögének segítségével, illetve a vektorok koordinátáival is.

Két vektor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk 0.

Két vektor vektoriális szorzatát egy 3x3-as mátrix determinánsával számíthatjuk ki, ahol a mátrix első sora egységvektorok, a második és harmadik sora pedig az a és b vektorok.

Két vektor vektoriális szorzata egy olyan harmadik vektort ad, ami merőleges a két vektor által kifeszített síkra.