- A binomiális eloszlás és a hipergeometriai eloszlás
- Determináns, sajátérték, sajátvektor, leképezések
- Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Kombinatorika
- Kétváltozós függvények
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze
- Lineáris programozás alapok
- Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
- Mátrixok, vektorok, vektorterek
- Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások
- Parciális deriválás, iránymenti derivált, érintősík
- Szállítási feladat
- Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel
- Valszám alapok, klasszikus valszám
- Várható érték és szórás
Parciális deriválás, iránymenti derivált, érintősík
Gradiensvektor
Az $f(x,y)$ függvény $x$ és $y$ szerinti deriváltjaiból álló vektort gradiensnek nevezzük.
A gradienst szokás deriváltvektornak is nevezni, és az $f(x,y)$ kétváltozós függvény gradiensvektorát úgy jelöljük, hogy $\mathrm{grad}\, (f(x,y))$.
A gradiensvektor elnevezés onnan ered, hogy éppen a gradiens vektor irányában emelkedik mindig a legjobban a kétváltozós függvény grafikonja, ami egy felület.
Az $f(x,y)$ függvény deriváltvektora vagy másként gradiense az $(x_0, y_0)$ pontban:
\( \mathrm{grad}\, (f(x_0,y_0))= \nabla f(x_0,y_0) = \begin{bmatrix} f'_x(x_0,y_0) \\ f'_y(x_0,y_0) \end{bmatrix} \)
A gradiens segítségével tudjuk kiszámítani az iránymenti deriváltat.
Deriváltvektor
Az $f(x,y)$ függvény $x$ és $y$ szerinti deriváltjaiból álló vektort deriváltvektornak nevezzük.
A deriváltvektort szokás gradiensnek is nevezni, és az $f(x,y)$ kétváltozós függvény deriváltvektorát úgy jelöljük, hogy $ \nabla f(x,y)$.
Az $f(x,y)$ függvény deriváltvektora vagy másként gradiense az $(x_0, y_0)$ pontban:
\( \mathrm{grad}\, (f(x_0,y_0))= \nabla f(x_0,y_0) = \begin{bmatrix} f'_x(x_0,y_0) \\ f'_y(x_0,y_0) \end{bmatrix} \)
A deriváltvektor segítségével tudjuk kiszámítani az iránymenti deriváltat.
Iránymenti derivált
Az iránymenti derivált azt jelenti, hogy egy általunk megadott tetszőleges $\underline{v}$ irány mentén milyen meredeken emelkedik a függvény felülete.
Az $f(x,y)$ függvény $\underline{v}$ iránymenti deriváltja a $P(x_0,y_0)$ pontban:
\( \frac{ \delta f(x_0,y_0)}{\delta \underline{e} } = \mathrm{grad}\, (f(x_0,y_0))\cdot \underline{e} \quad \text{ahol} \; \underline{e}=\frac{\underline{v}}{\mid \underline{v} \mid} \)
a) Adjuk meg az $ f(x,y)=x^5+y^6+xy^3-x^3y^4+12 $ függvény $x$ és $y$ szerinti deriváltjait.
b) Adjuk meg az $ f(x,y)=x^4+y^2+2xy^6-x^3y^4$ függvény másodrendű deriváltjait.
a) Adjuk meg az $ f(x,y)=x^4+4x^2y^3+y^2 $ függvény deriváltvektorát vagy gradiensét.
b) Számoljuk ki ennek a kétváltozós függvénynek a gradiensét vagy deriváltvektorát a $P(2,3)$ pontban:
$ f(x,y)=3x^4-y^3+x^3y^2$.
c) Van itt ez a háromváltozós függvény:
$ f(x,y,z)=x^4-y^3+z^2+x \cdot z^3$
Számoljuk ki a deriváltvektorát a $P(3,2,4)$ pontban.
a) Számoljuk ki a $\underline{v}=(3,4)$ iránymenti deriváltját a $P(2,1)$ pontban ennek a függvénynek:
$ f(x,y)=x^4+xy^3+y^5 $
b) Számoljuk ki a $\underline{v}=(2,2,1)$ iránymenti deriváltját a $P(3,5,4)$ pontban ennek a függvénynek:
$ f(x,y)=x^4+y^4+x\cdot z^2$
A DERIVÁLT-VEKTOR ÉS AZ IRÁNYMENTI DERIVÁLT
Az függvény x és y szerinti deriváltjaiból álló vektort
derivált-vektornak vagy másként gradiensnek hívjuk.
Íme a derivált-vektor:
, röviden .
A derivált-vektor segítségével tudjuk kiszámítani
az iránymenti deriváltat. Ez az iránymenti derivált
azt jelenti, hogy egy általunk megadott tetsző-
leges irány mentén milyen meredeken emelkedik
a függvény felülete.
Arról van tehát szó, hogy van egy hegymászó,
aki a P pontban áll a felületen és úgy dönt, hogy a
irányban indul el.
Az iránymenti derivált azt mondja meg, hogy milyen meredeken kell mennie.
Az iránymenti derivált kiszámolása nagyon egyszerű, a derivált-vektor és a egységnyi hosszú vektor skaláris szorzata.
Az függvény iránymenti deriváltja az pontban:
(itt egységvektor)
Lássunk erre egy példát!
Számoljuk ki az iránymenti deriváltját a irány szerint az pontban.
A képlet szerint az iránymenti derivált
Itt ez a fura jel a deriválás jele és d-nek kell mondani, de van egy kicsit barátságosabb jelölés is
az iránymenti deriváltra: .
A derivált-vektor kiszámolásához kellenek a parciális deriváltak.
A derivált-vektor tehát
Eddig jó.
Most lássuk a vektort.
A képletben szereplő vektornak egységnyi hosszúságúnak kell lenni.
Mivel azonban most nem egységnyi hosszúságú,
ezért csinálunk belőle egységnyi hosszúságú vektort.
Elosztjuk saját hosszával:
Az iránymenti derivált tehát:
Ha a hegymászó fölteszi nekünk azt a kérdést, hogy milyen irányban kell a P pontból elindulnia ahhoz, hogy a legmeredekebben másszon, nos…
erre éppen tudunk válaszolni.
A felület mindig a gradiens vektor irányában emelkedik a legmeredekebben.
Ha tehát a hegymászó a gradiens vektor
irányában indul el, akkor fog a legmeredekebben menni fölfelé.
tehát ilyen meredeken megy a hegymászó.
