Az $f(x,y)$ függvény $x$ és $y$ szerinti deriváltjaiból álló vektort deriváltvektornak nevezzük.
A deriváltvektort szokás gradiensnek is nevezni, és az $f(x,y)$ kétváltozós függvény deriváltvektorát úgy jelöljük, hogy $ \nabla f(x,y)$.
Az $f(x,y)$ függvény deriváltvektora vagy másként gradiense az $(x_0, y_0)$ pontban:
\( \mathrm{grad}\, (f(x_0,y_0))= \nabla f(x_0,y_0) = \begin{bmatrix} f'_x(x_0,y_0) \\ f'_y(x_0,y_0) \end{bmatrix} \)
A deriváltvektor segítségével tudjuk kiszámítani az iránymenti deriváltat.
A deriváltvektor azt jelenti, hogy egy többváltozós függvény parciális deriváltjait beletesszük egy vektorba. A deriváltvektort szokás gradiensvektornak is nevezni, és az f(x,y) kétváltozós függvény gradiensvektorát úgy jelöljük, hogy grad(f(x,y)). A gradiensvektor elnevezés onnan ered, hogy éppen a gradiens vektor irányában emelkedik mindig a legjobban a kétváltozós függvény grafikonja, ami egy felület. A deriváltvektort vagy gardiensvektort egy úgynevezett nabla szimbólummal is szokás jelölni. Ez egy csúcsára állított háromszög és a nabla operátor azt csinálja, hogy egy függvény parciális deriváltjait bepakolja egy vektorba. Ezt nem csak az f(x,y) kétváltozós függvénnyel lehet megtenni, hanem az f(x,y,z) háromváltozós függvénnyel is, vagy akár általánosan egy n változós függvénnyel. A nabla operátort alkalmazva erre a függvényre egy n koordinátás vektort kapunk, aminek a koordinátái a különböző parciális deriváltak lesznek.
a) Adjuk meg az $ f(x,y)=x^4+4x^2y^3+y^2 $ függvény deriváltvektorát vagy gradiensét.
b) Számoljuk ki ennek a kétváltozós függvénynek a gradiensét vagy deriváltvektorát a $P(2,3)$ pontban:
$ f(x,y)=3x^4-y^3+x^3y^2$.
c) Van itt ez a háromváltozós függvény:
$ f(x,y,z)=x^4-y^3+z^2+x \cdot z^3$
Számoljuk ki a deriváltvektorát a $P(3,2,4)$ pontban.
