- Lineáris egyenletrendszerek
- Mátrixok és vektorok
- A determináns
- Sorozatok
- Függvényhatárérték és folytonosság
- Elemi függvények
- Komplex számok
- Deriválás
- Érintő egyenlete, L'Hospital szabály
- Taylor polinom és Taylor sor
- Szélsőértékfeladatok, egyszerűbb függvényvizsgálatok
- Teljes függvényvizsgálat
- Határozatlan integrál, primitív függvény
- Határozott integrálás
Taylor polinom és Taylor sor
Taylor polinom
Legyen $f(x)$ $k$-szor differenciálható egy $I$ intervallumon, ami tartalmazza az $a$ számot. Ekkor az $f(x)$ függvény $a$ pontban felírt $k$-adfokú Taylor polinomja:
\( T(x) = \sum_{n=0}^k \frac{ f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \)
Taylor sor
Legyen $f(x)$ akárhányszor differenciálható egy $I$ intervallumon, ami tartalmazza az $a$ számot. Ekkor az $f(x)$ függvény $a$ pontban felírt Taylor sora:
\( T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \)
Nevezetes függvények Taylor sora
Az $e^x$, $\ln{x}$, $\sin{x}$ és $\cos{x}$ függvények Taylor sorai:
\( e^x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!} x^n } \quad \ln{x}=\sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{ (-1)^{n-1}}{n}(x-1)^n} \)
\( \cos{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{(-1)^n}{ (2n)!} x^{2n}} \quad \sin{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{ (-1)^n}{ (2n+1)!} x^{2n+1}} \)
Lagrange-féle maradéktag
Ha $f(x)$ egymás után $k$-szor folytonosan differenciálható az $[a,b]$ zárt intervallumon, és $k+1$-edszer differenciálható az $(a,b)$ nyílt intervallumon, akkor létezik olyan $c \in (a,b)$ amire
\( f(b) = T(b) + R(b) = \sum_{n=0}^{k} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (b-a)^n + \frac{ f^{(k+1)}(c)}{(k+1)!}(b-a)^{k+1} \)
Hatványsor
Azokat a végtelen sorokat, amelyek így néznek ki, hatványsornak nevezzük:
\( \sum{a_n (x-x_0)^n} \)
Adjuk meg az $ f(x)=\cos{x} $ függvény $a=0$ pontban felírt Taylor polinomját!
a) Írjuk fel az $ f(x)=e^x $ Taylor sorát $x=0$-nál.
b) Írjuk fel az $ f(x)=\ln{x} $ Taylor sorát $x=1$-nél.
Adjuk meg a következő függvények Taylor sorát!
a) \( f(x)=e^{x-3} \)
b) \( f(x)=\sin{(x+4)} \)
c) \( f(x)=e^{x^2-6x+13} \)
d) \( f(x)=e^{x-2} \quad x=3 \)
e) \( f(x)=\frac{1}{e^{4x-12} } \)
f) \( f(x)=\frac{1}{e^{x^2-8x} } \)
Írjuk fel a nulla körüli hatványsorukat!
a) \( f(x)=\frac{1}{4+5x^4} \)
b) \( f(x)= \frac{x^4}{3+4x^3} \)
c) \( f(x)=\frac{4}{x^2+6x+7} \)
Adjunk $e^{0,2}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=4$. Adjunk hibabecslést is.
Adjunk $\sin{0,3}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=4$. Adjunk hibabecslést is.
Adjunk $\cos{0,2}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=4$. Adjunk hibabecslést is.
Adjunk $e^{-0,1}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=3$. Adjunk hibabecslést is.
Adjunk $\cos{0,1}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=4$. Adjunk hibabecslést is.
Adjunk $e^{-0,2}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=3$. Adjunk hibabecslést is.
