Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Kalkulus

Kategóriák
  • Lineáris egyenletrendszerek
  • Mátrixok és vektorok
  • A determináns
  • Sorozatok
  • Függvényhatárérték és folytonosság
  • Elemi függvények
  • Komplex számok
  • Deriválás
  • Érintő egyenlete, L'Hospital szabály
  • Taylor polinom és Taylor sor
  • Szélsőértékfeladatok, egyszerűbb függvényvizsgálatok
  • Teljes függvényvizsgálat
  • Határozatlan integrál, primitív függvény
  • Határozott integrálás

A determináns

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Mi az a determináns?
02
 
A kifejtési tétel
03
 
A determinánsok tulajdonságai
04
 
Szinguláris és reguláris mátrixok
05
 
A Cramer szabály

Determináns 2x2-es mátrixra

Egy 2x2-es mátrix determinánsa:

\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad \det(A)=\det \begin{pmatrix} a& b \\ c &d \end{pmatrix}=a\cdot d - b\cdot c \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Determináns definíciója

Ha az $A$ egy $n \; x \; n$-es mátrix, akkor determinánsa

\( det(A)=\sum_{\forall p} (-1)^{I(p)} \cdot \prod_{i=1}^{n} a_{ip(i)} \)

ahol $p$ az oszlopindexek permutációi, $I(p)$ pedig ezen permutációk inverziószáma.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Kifejtési tétel

Ha az $A$ egy nxn-es mátrix, akkor determinánsa

\( A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}\)

\( \det(A)=\sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det(A_{ij}) \)

Itt $\det(A_{ij})$ az $a_{ij}$ elemhez tartozó aldetermináns.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Sarrus-szabály

A 3x3-as mátrixok determinánsának kiszámolására van egy szabály, ami szarrusz szabály néven ismert. A szabály lényege, hogy fogjuk a mátrixot és leírjuk saját maga mögé még egyszer, majd vesszük a főátlókat és a mellékátlókat, így

\( \det(A)=-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Determinánsok tulajdonságai

Az $A$ mátrix determinánsa nulla, ha

  • van csupa nulla sora
  • van két azonos sora
  • egyik sora a másik sor számszorosa
  • egyik sora más sorok lineáris kombinációja
  • mindez sor helyett oszlopra is elmondható

 

Determinánsok szorzási tétele:

\( \det(A\cdot B) = \det(A) \cdot \det(B) \)

\( \det(A^k) = \det(A)^k \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Reguláris mátrix

Azokat a mátrixokat nevezzük regulárisnak, amelyek determinánsa nem nulla.

Az $A$ mátrix reguláris:

  • \( \det(A) \neq 0 \)
  • Létezik $A^{-1}$ inverz mátrix
  • RANG=n
  • Az $A$ mátrix oszlopvektoraiból álló vektorrendszer lineárisan független
  • Az $A\cdot \underline{x} = \underline{b}$ egyenletrendszernek csak egy megoldása van
  • Az $A \cdot \underline{x} = \underline{0}$ homogén lineáris egyenletrendszernek csak egy megoldása van (a triviális megoldás)
Megnézem a kapcsolódó epizódot

Szinguláris mátrix

Azokat a mátrixokat nevezzük szingulárisnak, amelyek determinánsa nulla.

Az $A$ mátrix szinguláris:

  • \( \det(A) = 0 \)
  • Nem létezik $A^{-1}$ inverz mátrix
  • RANG<n
  • Az $A$ mátrix oszlopvektoraiból álló vektorrendszer lineárisan összefüggő
  • Az $A\cdot \underline{x} = \underline{b}$ egyenletrendszernek vagy végtelen sok megoldása van vagy nincs megoldása
  • Az $A \cdot \underline{x} = \underline{0}$ homogén lineáris egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van
Megnézem a kapcsolódó epizódot

Cramer szabály

A Cramer szabály szerint az $A\cdot \underline{x} = \underline{b}$ egyenletrendszer megoldásai a következőképp állnak elő:

\( x_k = \frac{ \det(A_k)}{ \det(A)} \)

ahol $\det(A_k)$ annak a mátrixnak a determinánsát jelenti, hogy az $A$ mátrix k-adik oszlopát kicseréljük a $\underline{b}$ vektorral.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsait.

a) \( A= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} \)

b) \( A= \begin{pmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 3 & 1 & 7 \\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Számítsuk ki az alábbi mátrix determinánsát.

\( A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 & 1 \\ 4 & 3 & -2 & -5 \\ -4 & -1 & 5 & 7 \\ 6 & 6 & 3 & -4 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsait.

a) \( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \\ 6 & 5 & 5 & 8 \end{pmatrix} \)

b) \( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 6 & 9 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \\ 6 & 5 & 5 & 8 \end{pmatrix} \)

c) \( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 6 & 9 & 2 \\ 2 & 6 & 4 & 2 \\ 6 & 5 & 5 & 8 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Az alábbi mátrixnak milyen $p$ paraméter esetén létezik inverze, milyen $p$ paraméterre lesz a determinánsa éppen 0, illetve milyen $p$ paraméterre lesz az $A \cdot \underline{x}=\underline{0} $ egyenletrendszernek végtelen sok megoldása.

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & p \end{pmatrix}  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a Cramer-szabály segítségével.

\( 3x_1+2x_2-x_3=4  \)

\( x_1+x_2+x_3=7 \)

\( 2x_1+x_2+2x_3=10 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Mi az a determináns?

MÁTRIXOK DETERMINÁNSA, SAJÁTÉRTÉKE ÉS SAJÁTVEKTORA

DEFINÍCIÓ: Ha az  egy -es mátrix, akkor determinánsa

ahol p az oszlopindexek permutációi, I(p) pedig ezen permutációk inverziószáma.

Ez egy igazán remek definíció, de egy kis magyarázatot igényel.

Valójában a mátrixok determinánsa sokkal egyszerűbb fogalom.

Arról van szó, hogy a mátrix minden sorából és oszlopából kiválasztunk egy és csak egy elemet, és ezeket az elemeket összeszorozzuk. Ezt az összes lehetséges módon

megtesszük, és a szorzatokat ellátjuk egy előjellel, végül az így kapott előjeles

szorzatokat összeadjuk.

 EGY 2x2-ES MÁTRIX DETERMINÁNSA

Nézzünk erre egy példát. Itt van egy mátrix:

aminek a determinánsa

A determináns tehát azt tudja, hogy minden mátrixból csinál

egyetlen számot.

Hamarosan az is kiderül, hogy mindez mire jó, de most lássuk

mi a helyzet egy 3X3-as mátrix determinánsával!

EGY 3x3-AS MÁTRIX DETERMINÁNSA

A 3X3-as mátrixok determinánsának kiszámolására van egy szabály,

ami szarrusz szabály néven ismert.

A szabály lényege, hogy fogjuk a mátrixot

és leírjuk saját maga mögé még egyszer,

majd vesszük a főátlókat és a mellékátlókat.

A főátlók elemeit összeszorozzuk és pozitív előjellel vesszük,

aztán a mellékátlók elemeit is összeszorozzuk, de azokat negatív előjellel vesszük.

Ez a mátrix determinánsa.

A módszer sajnos csak 3x3-as mátrixokra működik és nem túl kellemes.

Sokkal több értelme van megjegyezni az úgynevezett kifejtési tételt,

ami minden nxn-es mátrixra jó és most jön.

Ha az  egy -es mátrix, akkor determinánsa

Itt  a  elemhez tartozó aldetermináns.

Semmi ok az aggodalomra, a gyakorlatban mindez sokkal egyszerűbb.

Nézzünk egy példát!

Van itt ez a 3x3-as mátrix:

Ennek a determinánsát fogjuk kiszámolni, és mondjuk az első sora

szerint fejtjük ki.

Kifejthetjük a második sor szerint is, majd megnézzük azt is,

a végeredmény ugyanaz kell, hogy legyen.

Az első sor elemeit váltakozó előjellel kell venni, ez a bizonyos  

de egyszerűbb, ha az úgynevezett sakktábla-szabályt jegyezzük meg.

Az aldeterminánst majd mindjárt megnézzük!

A sakktábla-szabály miatt a második elem mínusszal van.

A harmadik megint plusszal.

Most jönnek az aldeterminánsok, amik úgy keletkeznek,

hogy az adott elem sorát és oszlopát kihúzzuk.

Végül kiszámoljuk a 2X2-es mátrixok determinánsait.

És kész is.

Nézzük meg, hogy mi történik, ha a második sor szerint fejtünk ki!

Ha a második sor szerint fejtünk ki, akkor a sakktábla-szabályban is

a második sort kell nézni.

És kifejthetjük a harmadik sor szerint is,

de ami még ennél is izgalmasabb, hogy oszlop szerint is ki lehet fejteni.

Mondjuk nézzük meg a harmadik oszlop szerint!


A kifejtési tétel

A KIFEJTÉSI TÉTEL

A kifejtési tétel lényege az, hogy bármilyen nagy -es mátrix

determinánsának meglehetősen kellemetlen kiszámolását visszavezeti

-es mátrixok determinánsára, amit már könnyen ki tudunk számolni.

Maga a tétel első ránézésre kicsit barátságtalannak tűnik,

de mindjárt nézünk rá egy konkrét példát.

Nézzük a példát!

Van itt ez a 4x4-es mátrix:

 Ennek a determinánsát fogjuk kiszámolni, és mondjuk fejtsük ki

 a második sora szerint.

 Kifejthetnénk az első sor szerint is, majd megnézzük azt is,

 a végeredmény  így is úgy is ugyanaz lesz.

 A második sor elemeit váltakozó előjellel kell venni, ez a bizonyos  

 de egyszerűbb, ha az úgynevezett sakktábla-szabályt jegyezzük meg.

A sakktábla-szabály miatt a második sor első eleme mínusszal van.

Az aldeterminánst majd mindjárt megnézzük!

A sakktábla-szabály miatt a második sor első eleme mínusszal van.

A második elem plusszal van.

Aztán a harmadik elem ismét mínusszal, mellesleg ő eleve negatív.

A negyedik elem pedig megint plusszal.

Most jöhetnek az aldeterminánsok, amik úgy keletkeznek, hogy mindig

az adott elem sorát és oszlopát kihúzzuk.

És aztán mindegyik aldeterminánst egyenként kiszámoljuk. Ez eltart egy darabig.

Próbáljuk meg érdekesebbé tenni a dolgot azzal, hogy az első sor szerint fejtünk ki.

Megint jön a sakktábla.

Itt jön aztán a következő aldetermináns kiszámolása.

Ezt  kifejthetjük mondjuk a harmadik sor szerint,

de ami még ennél is izgalmasabb, hogy oszlop szerint is ki lehet fejteni.

Mondjuk nézzük meg a harmadik oszlop szerint!

És kifejthetjük a harmadik sor szerint is,

de ami még ennél is izgalmasabb, hogy oszlop szerint is ki lehet fejteni.

Mondjuk nézzük meg a harmadik oszlop szerint!

Térjünk rá a következő 3x3-as determinánsra.

Kifejthetjük bármelyik sor szerint, vagy bármelyik oszlop szerint,

de alkalmazhatunk egy kis varázslást is.

Ez bevált, úgyhogy az utolsó megmaradt determinánst is így intézzük el.

Ezzel kész az eredeti 4x4-es mátrix determinánsa!

Kiszámolhattuk volna úgy is, hogy nem a második sor szerint fejtjük ki, hanem mondjuk a negyedik oszlop szerint. Nézzük meg ezt is!

számolunk…

És tényleg így is  0  jön ki!

AZ  MÁTRIX DETERMINÁNSA NULLA, HA

VAN CSUPA NULLA SORA

VAN KÉT AZONOS SORA

EGYIK SORA MÁSIK SOR SZÁMSZOROSA

EGYIK SORA MÁS SOROK LINEÁRIS KOMBINÁCIÓJA

MINDEZ SOR HELYETT OSZLOPRA IS ELMONDHATÓ

HA A  MÁTRIX ÚGY KELETKEZIK AZ  MÁTRIXBÓL, HOGY

EGY SORÁNAK VAGY OSZLOPÁNAK MINDEN ELEMÉT -VAL SZOROZZUK,

MINDEN SORÁNAK MINDEN ELEMÉT -VAL SZOROZZUK,

KÉT SORÁT VAGY OSZLOPÁT FÖLCSERÉLJÜK

EGY SORÁHOZ VAGY OSZLOPÁHOZ MÁS SOROK VAGY OSZLOPOK LINEÁRIS   KOMBINÁCIÓJÁT ADJUK


A determinánsok tulajdonságai

Néhány nagyon izgalmas dolog fog kiderülni a mátrixok determinánsával kapcsolatban.

Vannak olyan speciális mátrixok, amiknek a determinánsát különösebb szenvedés nélkül ki tudjuk számolni. Ilyenek például az úgynevezett alsó vagy felső háromszögmátrixok.

Ezek determinánsa a főátló elemek szorzata.

Az egységmátrix is háromszögmátrix.

Vannak aztán a determinánsoknak különböző érdekes tulajdonságaik.

Nézzük ezeket meg, egy-egy példával.

Végül itt van egy fontos tétel, a determinánsok szorzási tétele, ami szerint

Ha a tételben a  mátrix helyére is az  mátrixot írjuk

    sőt   

Ha pedig az  mátrixnak létezik inverze, akkor a szorzási tétel alapján


Szinguláris és reguláris mátrixok

SZINGULÁRIS ÉS REGULÁRIS MÁTRIXOK

Az -es mátrixokat két nagy csoportba sorolhatjuk. Vannak azok a mátrixok melyeknek a determinánsa nulla és vannak azok, amiknek nem.

Ez a kis eltérés valójában hatalmas szakadékot  jelent a kétféle csoport között.

AZ  MÁTRIX REGULÁRIS

LÉTEZIK  INVERZ MÁTRIX

RANG=n

AZ  MÁTRIX OSZLOPVEKTORAIBÓL ÁLLÓ

VEKTORRENDSZER LINEÁRISAN FÜGGETLEN

AZ  EGYENLETRENDSZERNEK

CSAK EGY MEGOLDÁSA VAN

AZ  HOMOGÉN LINEÁRIS

EGYENLETRENDSZERNEK CSAK EGY

MEGOLDÁSA VAN (A TRIVIÁLIS MEGOLDÁS)

AZ  MÁTRIX SZINGULÁRIS

NEM LÉTEZIK  INVERZ MÁTRIX

RANG<n

AZ  MÁTRIX OSZLOPVEKTORAIBÓL ÁLLÓ

VEKTORRENDSZER LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ

AZ  EGYENLETRENDSZERNEK

VAGY VÉGTELEN SOK MEGOLDÁSA VAN

VAGY NINCS MEGOLDÁSA

AZ  HOMOGÉN LINEÁRIS

EGYENLETRENDSZERNEK VÉGTELEN

SOK MEGOLDÁSA VAN

Itt van például egy mátrix.

Nézzük meg milyen  paraméter esetén létezik inverze, milyen  paraméterre lesz a determinánsa éppen 0, illetve milyen  paraméterre lesz az

egyenletrendszernek végtelen sok megoldása.

Az összes kérdésre egyszerre megkapjuk a választ, ha kiszámoljuk a mátrix determinánsát.

Akkor létezik inverz, ha a mátrix reguláris, vagyis a determinánsa nem nulla:

Akkor lesz a determináns éppen nulla, ha

És akkor lesz az  egyenletrendszernek végtelen sok megoldása, ha a mátrix szinguláris, vagyis a determinánsa nulla,


A Cramer szabály

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim