Matematika 1 RKK

Ha több művelet szerepel egymás mellett, akkor a műveleti sorrend szerint kell elvégeznünk őket.

A műveleti sorrendben a zárójel az első.

Ezt követik a szorzás és az osztás. Ha több szorzás és osztás van, akkor balról jobbra kell őket elvégezni.

Az utolsó szint az összeadás és kivonás, és itt is ha több is van belőlük, akkor balról jobbra kell elvégezni.

Az együttható a betűs kifejezés előtt álló szám.

Az algebrai kifejezésekben a betűket változóknak nevezzük.

A betűs kifejezéseket nevezzük algebrai kifejezéseknek.

Az önmagában álló számokat nevezzük konstansnak.

Egynemű kifejezések azok a betűs kifejezések, amik csak az együtthatójukban különböznek.

Az egynemű kifejezések mindig összevonhatóak.

A kiemelés a zárójelfelbontás megfordítása.

Egy kifejezés értelmezési tartományán azt a legbővebb halmazt értjük, ahol értelmezve van.

Törtek és algebrai törtek egyszerűsítésének módszerei.

Ha a törtekből nem lett volna elég, itt jönnek az algebrai törtek.

Ha a szorzás mindkét tényezője többtagú, akkor az első tényező első tagjával szorozzuk végig a másik tényező tagjait, majd pedig folytatjuk az első tényező második tagjával.

A helyettesítési érték azt jelenti, hogy a betűs kifejezés helyére írjuk be a behelyettesítendő értéket.

Kéttagú összegek és különbségek négyzetre emelése. Két négyzet különbségének szorzata.

Kéttagú összegek és különbségek köbre emelése.

Egy kifejezés értelmezési tartományán azt a legbővebb halmazt értjük, ahol értelmezve van.

Kéttagú összegek n-edik hatványra emelésének képlete.

Az (a+b) hatványainak általánosítására egy képlet.

A hatványozás a szám önmagával vett szorzatait rövidíti.

Ha azonos alapú hatványokat szorzunk, akkor a kitevők összeadódnak.

Ha azonos alapú hatványokat osztunk, akkor a kitevők kivonódnak.

Hatvány hatványa a kitevők szorzata.

Minden nem nulla szám nulladik hatványa 1.

Egy nem nulla szám negatív egész kitevőjű hatványát úgy számolhatjuk ki, hogy a reciprokát a kitevő ellentettjére emeljük.

Ha egy szorzat mindkét tényezője ugyanarra a hatványra van emelve, akkor a hatványt leírhatjuk csak egyszer zárójellel.

Ha egy törtnek a számlálója és nevezője is ugyanarra a hatványra van emelve, akkor a hatványt leírhatjuk csak egyszer zárójellel.

A túl nagy vagy éppen túl pici számok leírására találták ki a normálalakot.

Mikor páros, mikor páratlan vagy éppen egyik sem egy függvény.

Lássuk mik azok a polinomfüggvények, és hogyan kell őket ábrázolni.

Az A és B halmazok uniója: Azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak. Az A és B halmazok metszete: Azon elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak. Az A és B halmazok különbsége: Azon elemek halmaza, amelyek az A halmazba benne vannak, de a B halmazba nem. Az A halmaz komplementere a H alaphalmazon nézve: Az alaphalmaz azon elemeinek halmza, amelyek nincsenek benne az A-ban.

A logikai szita formula a halmazok elemszámának meghatározását segítő képlet.

Az első De Morgan azonosság azt mondja, hogy a metszet komplementere pont megegyezik a komplementrek uniójával. A második De Morgan azonosság pedig azt mondja, hogy az unió komplementere éppen megegyezik a komplementerek metszetével.

Egy halmaz összes részhalmazainak halmazát hatványhalmaznak nevezzük.

Két halmaz szimmetrikus differenciája a halmazok kétféle különbségének uniója.

A függvény értékkészlete azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban, amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.

Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.

Az univerzális kvantor egy jelölése a "minden" kifejezésnek.

Az egzisztenciális kvantor egy jelölése a "létezik" vagy "van olyan" kifejezésnek.

Egy $A$ kijelentés negációja az a kijelentés, amely akkor igaz, ha $A$ hamis és akkor hamis, ha $A$ igaz.

Az állítás (vagy kijelentés) olyan kijelentő mondat, amelyről egyértelműen eldönthetjük, hogy az igaz vagy hamis.

Két kijelentés konjunkciója pontosan akkor igaz, ha mindkét kijelentés igaz, különben hamis.

Két kijelentés diszjunkciója pontosan akkor igaz, ha legalább az egyik kijelentés igaz, különben hamis.

Az implikáció akkor hamis, ha $A$ igaz és $B$ hamis, minden más esetben igaz.

Az ekvivalencia akkor igaz, ha $A$ és $B$ logikai értéke azonos, különben hamis.

De Morgan azonosságok a konjunkció, diszjunkció, implikáció és ekvivalencia tagadásaira.

A diszjunktív normálforma, röviden DNF egy olyan alakja egy logikai formuláknak, ahol a művelet a változóinak vagy negáltjainak konjunkcióinak diszjunkciója.

Készítünk egy szuper-érthető összefoglalót a hatványazonosságokból. Megnézzük, hogyan kell a hatványazonosságokat használni. Megnézzük mi az az exponenciális függvény és hogyan kell ábrázolni.

Az exponenciális függvények meglehetősen fontosak a matematikában, sőt nem csak a matematikában. Itt jönnek az exponenciális függvények.

Itt végre szuper-érthetően kiderül, hogy mi az a logaritmus. Készítünk egy gyors kis összefoglalót a logaritmus azonosságairól. Megnézzük, hogyan kell a logaritmus azonosságokat használni. Megnézzük mi az a logaritmus függvény és hogyan kell ábrázolni.

Készítünk egy szuper-érthető összefoglalót a logaritmus azonosságokról. Megnézzük, hogyan kell az azonosságokat használni, milyen kikötéseket kell tenni a logaritmikus kifejezéseknél, hogyan néz ki a logaritmus függvény.

Mik azok az exponenciális egyenletek? Hogyan kell megoldani egy exponenciális egyenletet? Törtes exponenciális egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető exponenciális egyenletek.

Mik azok az exponenciális egyenlőtlenségek? Hogyan kell megoldani egy exponenciális egyenlőtlenséget?

Mik azok a logaritmusos egyenletek? Hogyan kell megoldani egy logaritmikus egyenletet? Milyen kikötéseket kell tenni egy logaritmusos egyenlet megoldásánál? Törtes logaritmikus egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető logaritmikus egyenletek.

Mi az egység sugarú kör? Mi az a szinusz és koszinusz? Mire jó a szinusz és a koszinusz? Mi az a radián? Mi a kapcsolat a fok és a radián között?

Trigonometriai képlet összefoglaló. Összefüggések a tangens és kotangens között. A trigonometria alapegyenlete. Szögek kétszeresének szinusza és koszinusza.

Az egységkör egy szöggel elforgatott egységvektorának végpontjának x koordinátáját nevezzük a szög koszinuszának

Az egységkör egy szöggel elforgatott egységvektorának végpontjának y koordinátáját nevezzük a szög szinuszának.

Egy szög tangense a szög szinuszának és koszinuszának hányadosával egyenlő.

Szinuszt és koszinuszt tartalmazó egyenletek megoldásának lépései.

Trigonometrikus függvényeknek vagy szögfüggvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek tartalmaznak trigonometrikus kifejezéseket, mint például szinusz, koszinusz vagy tangens. Ezek eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldala hányadosa közti összefüggéseket írja le.

Nevezetes 0-hoz tartó sorozatok.

Nevezetes végtelenhez tartó sorozatok.

Nevezetes gyökös sorozatok határértéke.

Exponenciális kifejezések határértéke.

Egy nevezetes sorozatcsalád, az e-hez tartó sorozatok.

Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük. Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük. Az ugráló sorozatokat oszcillálónak nevezzük. Lássunk néhány példát.

Ha két rendőr közrefog egy honpolgárt és a két rendőr konvergál a rendőrőrsre, akkor az általuk közrefogott honpolgárnak is szükségképpen konvergálnia kell a rendőrőrsre..

Lássuk mi a teendő gyökös sorozatok és ronda gyökös sorozatok esetén.

A végtelenbe tartó sorozatok nagyságrendi sorrendje azt mondja meg, hogy melyik sorozat milyen ütemben tart a végtelenbe. Minél nagyobb nagyságrendű egy sorozat, annál gyorsabban tart a végtelenbe

Egy sorozatnak torlódási pontja az A szám, ha bármilyen kis környezetében a sorozatnak végtelen sok tagja van.

Egy sorozat limesz inferiorja a torlódási pontjainak infinuma. A limesz szuperiorja a torlódási pontjainak szuprémuma.

A sorozatok egyik legfontosabb tulajdonsága a határértékük, ami azt jelenti, hogy mi történik a sorozattal ahogy egyre és egyre nagyobb indexű tagjait vizsgáljuk.

Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük.

Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük.

A sorozat monotonitása lehet monton nő, monoton csökkenő, szigorúan monoton nő, szigorúan monoton csökkenő.

A függvény értékkészlete azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban, amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.

Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.

A függvény monotonitása lehet növekedő, csökkenő, szigorúan monton növekedő vagy szigorúan monoton csökkenő.

Globális és lokális maximumok és minimumok.

A függvény konvexitása megmondja, hogy a függvény szomorú vagy vidám hangulatban van.

Megnézzük, hogy melyik függvény hogyan néz ki, aztán megnézzük a külső és belső függvénytranszformációkat. Eltolás az x tengely mentén, eltolás az y tengely mentén, tükrözés, nyújtás.

Mikor páros, mikor páratlan vagy éppen egyik sem egy függvény.

Lássuk mik azok a polinomfüggvények, és hogyan kell őket ábrázolni.

Ha két függvényt egymásba ágyazunk, összetett függvényt kapunk.

A függvény hozzárendelésének megfordításával kapjuk a függvény inverzfüggvényét, amennyiben a megfordított hozzárendelés is egy egyértelmű hozzárendelés.

A mértani sor képlete, példák mértani sorokra.

Egy végtelen sor akkor konvergens, ha részletösszegsorozata konvergens.

Ha egy sorozat határértéke nem 0, akkor a belőle képzett sor divergens.

Speciális sorok.

Egy másik fontos konvergenciakritérium, ami az n-edik tag n-edik gyökének segítségével dönti el a konvergenciát.

Egy fontos konvergenciakritérium, amely az n+1-edik tag és az n-edik tag hányadosával dönti el a konvergenciát.

Speciális sorok.

A sorok konvergenciájának megállapítására vonatkozó képletek.

Tört hatványának sorának konvergenciája a hatványkitevőtől függően.

Olyan sorok, amelyek valójában az első és az utolsó tagon kívül semmilyen más tagot nem tartalmaznak.

Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük, ahol $r$ a konvergenciasugár.

A hatványsorok konvergenciájának vizsgálata.

Egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak valamely pontban, ha itt a függvényérték és a határérték megegyezik. Lássuk miért is ennyire fontos ez.

Függvények szakadása négy féle lehet: megszüntethető szakadás, ugrás, nem megszüntethető, nem véges szakadás, nem megszüntethető oszcilláló szakadás.

Beszéljünk egy kicsit a trigonometrikus függvények határértékéről. Néhány nevezetes határérték, élükön a sinx/x típusúval.

Lássuk mi is az a függvényhatárérték!

Lássuk mi is az a függvényhatárérték!

Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.

A deriválás úgy működik, hogy függvények grafikonjának meredekségét vizsgálja, mégpedig azzal, hogy megnézi, milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához. Ha az érintő "fölfele megy" akkor a függvény grafikonja is "fölfele megy" vagyis a függvény növekszik. Hogyha pedig az érintő "lefele megy" akkor a függvény grafikonja is "lefele megy" tehát a függvény csökken. Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.

Konstans deriváltja, polinomok deriválási szabálya. Az exponenciális és logaritmus függvények deriválása. Trigonometrikus függvények deriváltjai.

Függvény konstansszorosának, két függvény összegének, szorzatának és hányadosának deriválási szabályai. Összetett függvények deriválási szabálya.

A lánc-szabály az összetett függvények deriválási szabálya.

A sinh és cosh hiperbolikus függvények közt fennálló azonosságok.

A cosh, sinh és tanh függvények deriváltjai.

A cosh, sinh és tanh függvények inverzfüggvényei.

Az arcosh, arsinh és artanh függvények deriváltjai.

Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.

A deriválás úgy működik, hogy függvények grafikonjának meredekségét vizsgálja, mégpedig azzal, hogy megnézi, milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához. Ha az érintő "fölfele megy" akkor a függvény grafikonja is "fölfele megy" vagyis a függvény növekszik. Hogyha pedig az érintő "lefele megy" akkor a függvény grafikonja is "lefele megy" tehát a függvény csökken. Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.

A függvény érintője egy olyan egyenes, amely egy függvényt pontosan egy pontban érint.

Egy függvény elaszticitása azt mondja meg, hogyha 1%-kal növeljük az x-et, akkor hány százalékkal változik a függvény értéke.

Az első derivált azt írja le, hogy a függvény mikor nő és mikor csökken.

A második derivált a függvény hangulatát írja le, ha pozitív, akkor a függvény vidám, ha negatív, akkor szomorkodik.

 A deriválás után megállapítjuk a derivált előjelét. Amikor a derivált nulla, olyankor stacionárius pont van.

Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.

Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...

Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...

Az $e^x$, lnx, sinx és cosx függvények Taylor sorai.

Amikor egy függvény x helyen lévő értékét szeretnénk közelíteni egy Taylor polinommal, akkor lesz egy kis hibánk, mivel a polinom nem teljesen követi a függvényt. Ennek a hibának a kifejezésére van a Lagrange-féle maradéktag. 

A határérték számítás csodafegyvere, egy szuper módszer, amivel nagyon sok bonyolult határérték gyorsan kiszámolható.

Néhány exponenciális, logaritmusos és végtelenhez, nullához tartó nevezetes sorozatok határértékei.

Az f(x) függvény primitív függvényének jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.

Polinomok integrálása. Törtfüggvény integrálása. Exponenciális függvények integrálása. Trigonometrikus függvények integrálása.

Polinomok, törtfüggvény, exponenciális függvények, trigonometrikus függvények integráljainak lineáris helyettesítései.

Integráláskor a konstans szorzó kivihető.

Összeget külön-külön is integrálhatunk.

Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.

Szorzat integrálásának egy speciális esete, amikor a függvény n-edik hatványon van és meg van szorozva a deriváltjával.

Ezzel a remek módszerrel szorzatokat tudunk integrálni úgy, hogy egy bonyolultabb integrálásból csinálunk egy egyszerűbb integrálást.

Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.

Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.

Törtek integrálásának egy speciális esete, amikor a tört számlálója a nevező deriváltja.

A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk majd megoldani a feladatot.

A racionális törtfüggvények integrálásához a függvényeket parciális törtekre kell bontani, majd a parciális törteket egyesével integrálni.

A helyettesítéses integrálás úgy működik, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.

A helyettesítéses integrálás egyik legfurcsább esete az $u = \tan{ \frac{x}{2} } $. Olyankor használjuk, ha a törtben $\sin{x}$ és $\cos{x}$ is csak első fokon szerepel.

A Newton-Leibniz formula egy egyszerűen használható képlet a határozott integrál kiszámításához. Ez a tétel az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.

Egy zárt intervallumon értelmezett függvény akkor Riemann integrálható, ha egyetlen olyan szám létezik, amely bármely alsó közelítő összegénél nagyobb egyenlő, és bármely felső közelítő összegénél kisebb egyenlő.

Végtelenbe nyúló tartományok területének kiszámolása egy fontos függvénnyel.

Forgástestek térfogatának és felszínének képletei határozott integrálással.

A deriváltvektor azt jelenti, hogy egy többváltozós függvény parciális deriváltjait beletesszük egy vektorba. A deriváltvektort szokás gradiensvektornak is nevezni, és az f(x,y) kétváltozós függvény gradiensvektorát úgy jelöljük, hogy grad(f(x,y)). A gradiensvektor elnevezés onnan ered, hogy éppen a gradiens vektor irányában emelkedik mindig a legjobban a kétváltozós függvény grafikonja, ami egy felület. A deriváltvektort vagy gardiensvektort egy úgynevezett nabla szimbólummal is szokás jelölni. Ez egy csúcsára állított háromszög és a nabla operátor azt csinálja, hogy egy függvény parciális deriváltjait bepakolja egy vektorba. Ezt nem csak az f(x,y) kétváltozós függvénnyel lehet megtenni, hanem az f(x,y,z) háromváltozós függvénnyel is, vagy akár általánosan egy n változós függvénnyel. A nabla operátort alkalmazva erre a függvényre egy n koordinátás vektort kapunk, aminek a koordinátái a különböző parciális deriváltak lesznek. 

A deriváltvektor azt jelenti, hogy egy többváltozós függvény parciális deriváltjait beletesszük egy vektorba. A deriváltvektort szokás gradiensvektornak is nevezni, és az f(x,y) kétváltozós függvény gradiensvektorát úgy jelöljük, hogy grad(f(x,y)). A gradiensvektor elnevezés onnan ered, hogy éppen a gradiens vektor irányában emelkedik mindig a legjobban a kétváltozós függvény grafikonja, ami egy felület. A deriváltvektort vagy gardiensvektort egy úgynevezett nabla szimbólummal is szokás jelölni. Ez egy csúcsára állított háromszög és a nabla operátor azt csinálja, hogy egy függvény parciális deriváltjait bepakolja egy vektorba. Ezt nem csak az f(x,y) kétváltozós függvénnyel lehet megtenni, hanem az f(x,y,z) háromváltozós függvénnyel is, vagy akár általánosan egy n változós függvénnyel. A nabla operátort alkalmazva erre a függvényre egy n koordinátás vektort kapunk, aminek a koordinátái a különböző parciális deriváltak lesznek. 

Az iránymenti derivált azt jelenti, hogyha a kétváltozós függvény grafikonjának egy pontjában áll egy hagymászó, és elindul egy v irányban, akkor ebben az irányban milyen meredeken emelkedik a felület. Az iránymenti derivált kiszámolása nagyon egyszerű. Azzal kell kezdeni, hogy a P pontban kiszámoljuk a deriváltvektort. Ezek után a v irányba mutató vektorból egységnyi hosszú vektort csinálunk úgy, hogy elosztjuk a saját hosszával. Az így keletkező e vektort skalárisan megszorozzuk a deriváltvektorral és meg is van az iránymenti derivált.

Ahogy már láttuk, az iránymenti derivált azt jelenti, hogyha a kétváltozós függvény grafikonjának egy pontjában áll egy hagymászó, és elindul egy v irányban, akkor ebben az irányban milyen meredeken emelkedik a felület. Ahogy a v irányt változtatjuk, az iránymenti derivált értéke is változik. És van egy olyan v irány, ahol az iránymenti derivált maximális. Ezt az irányt nevezzük gradiens iránynak és ez mindig megegyezik a deriváltvektor irányával. Vagyis egy P pontban a függvény iránymenti deriváltja éppen abban az irányban a legnagyobb, ami a P ponthoz tartozó deriváltvektor iránya. A dolog egy egyszerű skaláris szorzattal könnyedén kijön. És az is kiderül, hogy melyik az az irány, amely mentén az iránymenti derivált éppen nulla. Ez a gradiens irányra merőleges irány, amit szintvonal iránynak nevezünk.

Az érintősík képlete nagyon hasonlít az egyváltozós függvényeknél az érintő egyenletére, csak most x és y szerint is deriválni kell. Lépésről lépésre megoldunk néhány feladatot a kétváltozós függvények érintősíkjával kapcsolatban. Az első lépés mindig a parciális deriváltak kiszámolása, aztán ezekbe a parciális deriváltakba behelyettesítjük az érintési pont koordinátát. Ezek után még kiszámoljuk a függvényértéket is az érintési pontban és már jöhet is az érintősík egyenletének a képlete.

A függvényeket két nagy típusba sorolhatjuk, az explicit és az implicit függvények csoportjába. Az explicit függvények azok, amelyek egy konkrét képlettel vannak megadva, míg az implicit függvények valamilyen egyenlet formájában adhatók meg. 

 A függvényeket két nagy típusba sorolhatjuk, az explicit és az implicit függvények csoportjába. Az explicit függvények azok, amelyek egy konkrét képlettel vannak megadva, míg az implicit függvények valamilyen egyenlet formájában adhatók meg. Az implicit függvények deriválására egy nagyon egyszerű képletet alkothatunk a parciális deriválás segítségével.