Konzervatív vektormező

A konzervatív vektormezőre több különböző definíció van forgalomban attól függően, hogy fizikusok vagy matematikusok alkották-e meg magát a definíciót.

#0 A $v(x,y,z)$ egyszeresen összefűgő tartományon értelmezett vektormező pontosan akkor konzervatív, ha bármely pontjában a rotáció nulla.

#1 A $v(x,y,z)$ vektormező konzervatív, ha létezik primitív függvénye. Ezt a függvényt potenciál-függvénynek nevezzük, és íme, itt is van:

\( F(x,y,z) \qquad v(x,y,z) = \left( \frac{\delta F}{\delta x} , \frac{\delta F}{\delta y}, \frac{ \delta F}{\delta z} \right) \)

#2 A $v(x,y,z)$ vektormező konzervatív, ha tetszőleges A és B pontjára igaz, hogy bármely A és B közti görbén ugyanakkora a vektormező integrálja:

\( \int_{ r_1(t) \\ A \rightarrow B } v(x,y) \; ds = \int_{r_2(t) \\ A \rightarrow B} v(x,y) \; ds \)

#3 A $v(x,y,z)$ vektormező konzervatív, ha bármely zárt görbén a vektormező integrálja nulla.

\( \oint_{r(t)} v(x,y) \; ds = 0 \)