- Komplex számok
- Hatványozás, logaritmus, exponenciális és logaritmusos egyenletek
- Trigonometria, trigonometrikus egyenletek
- Sorozatok határértéke
- Konvergencia és divergencia definíciója, küszöbindex keresése
- Monotonitás és korlátosság
- Függvények
- Összetett függvény és inverz függvény
- Trigonometrikus függvények és arkusz függvények
- Hiperbolikus függvények és inverzeik
- Sorok összege és sorok konvergenciája
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Teljes függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Taylor polinom és Taylor sor
- L’Hôpital szabály
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Mátrixok és vektorok
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
- Vektorterek, független és összefüggő vektorok
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze
- Determináns, adjungált, kvadratikus alakok
- Koordinátageometria
Matematika KGK
Itt ez a koordinátarendszer, és benne néhány pont.
Az A pontnak az x koordinátája 2, az y pedig 4.
A B pont koordinátái 1 és 2…
És ez pedig a C.
Mindhárom pont ugyanazzal a különleges képességgel rendelkezik…
Egy olyan kulcs birtokában vannak, amely képes kinyitni az univerzum titkos ajtóit.
Nem, ezzel mégsem rendelkeznek, viszont azt tudják, hogy az y koordinátájuk az x-nek a kétszerese.
Azért ez is valami…
Azok a pontok, amik azt tudják, hogy az y koordinátájuk az x-nek a kétszerese, egy egyenesen helyezkednek el.
Ezen az egyenesen itt.
És ez pedig az egyenes egyenlete:
Hogyha egy pont rajta van az egyenesen…
Akkor a koordinátáit az egyenes egyenletébe helyettesítve az teljesül.
Olyankor viszont, amikor a pont nincs rajta az egyenesen…
A koordinátáit az egyenes egyenletébe helyettesítve az nem teljesül.
Itt egy másik egyenes…
És két dolgot érdemes róla tudni.
Az egyik, hogy milyen meredeken megy…
Ezt meredekségnek hívjuk, és így jön ki:
A másik dolog, amit érdemes tudni, hogy hol metszi a függvény grafikonja az y tengelyt.
Ezt úgy hívjuk, hogy tengelymetszet, és a jele b.
És ez pedig az egyenes egyenlete.
Pontosabban az egyenes egyenletének a meredekséges alakja.
Próbáljuk is ki ezt a képletet erre az egyenesre itt.
Ezt hívjuk az egyenes egyenletének.
Azok az egyenesek, amelyeknek a meredeksége egyforma, egymással párhuzamosak.
Nézzük meg például, hogy mi lesz annak az egyenesnek az egyenlete, ami ezzel párhuzamos, és átmegy a P(3,2) ponton.
Hát, az biztos, hogy a meredeksége 2…
A P ponton pedig akkor megy át, hogyha a pont koordinátáit az egyenes egyenletébe helyettesítve az teljesül.
És most nézzük, hogyan tudjuk felírni annak az egyenesnek az egyenletét, ami átmegy ezeken a pontokon…
A meredekséggel kezdjük…
Itt jön az egyenes egyenlete:
Itt jön most egy másik egyenes:
Most pedig még el kell intéznünk, hogy menjen át az A ponton.
Sőt, a B ponton is át kéne mennie…
Hogyha a meredekség már megvan, a két pont közül elég az egyiket behelyettesíteni…
Az mindegy, hogy melyiket.
Feldobhatunk például egy érmét, és ha fej, akkor az A-t helyettesítjük be, ha írás, akkor a B-t.
De az izgalmak még csak most jönnek…
Ez itt egy egyenes…
És két dolgot érdemes róla tudni.
Az egyik, hogy milyen meredeken megy, ezt hívjuk meredekségnek…
A másik dolog, amit érdemes tudni, hogy hol metszi az y tengelyt.
Itt jön aztán egy másik egyenes…
Aminek az egyenlete:
Számoljuk ki az egyenesek metszéspontjának koordinátáit.
A metszéspontot hívjuk mondjuk P-nek.
Ennek a P pontnak van egy különleges tulajdonsága.
Egyszerre van rajta mindkét egyenesen.
Vagyis egyszerre kell teljesülnie mindkét egyenletnek.
Hát igen, ezt úgy hívják, hogy egyenletrendszer.
Meg is vannak a metszéspont koordinátái.
Nézzük meg ezeket az egyeneseket is…
Számoljuk ki a metszéspontjuk koordinátáit.
Az egyik egyenesünk meredeksége 2…
És a másik egyenes meredeksége is 2…
Ezek egyforma meredek egyenesek.
Vagyis egymással párhuzamosak.
És így nincs metszéspontjuk.
Ezt jó tudni, épp most spóroltuk meg egy egyenletrendszer megoldását…
Ha két egyenes egyenlete
ezek pontosan akkor párhuzamosak, ha
Írjuk föl annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik párhuzamos az y=4x+5 egyenletű egyenessel, és átmegy a P(3,1) ponton.
Készítsünk egy rajzot…
Ehhez a feladathoz egy ilyen rajz is bőven elég…
A keresett egyenes egyenlete:
Akkor lesz párhuzamos a másik egyenessel, ha a meredekségeik egyenlők…
És akkor megy át a P ponton, ha a koordinátáit behelyettesítve az egyenletbe, az teljesül.
Most pedig nézzük, hogy két egyenes mikor lesz egymásra merőleges…
Ezzel folytatjuk…
Itt van ez az egyenes, aminek a meredeksége 2 és az y tengelyt 1-nél metszi…
És az egyenlete…
Hogyha ezt a kis háromszöget itt elforgatjuk 90 fokkal…
Akkor a meredekség ez lesz…
Ez a két egyenes éppen egymásra merőleges.
És az összes többi is, aminek a meredeksége -1/2.
A dolog minden egyenesre igaz.
Két egyenes pontosan akkor merőleges egymásra, ha a meredekségeik szorzata -1.
De azért van még itt egy kis csalás.
Létezik ugyanis egy olyan egyenes, aminek nincs meredeksége.
A függőleges egyenesnek…
Az y tengellyel párhuzamos egyenesek egyenlete:
Az x tengellyel párhuzamos egyenesek egyenlete pedig:
Ezeknek egyébként van meredekségük…
Mégpedig a meredekség nulla.
És most lássuk, mire használhatnánk mindezt, jóra vagy rosszra…
Ez a három pont egy háromszög három csúcsa.
Írjuk föl a C csúcson átmenő magasságvonal egyenesének egyenletét.
Hogyha ránk törnek a régi emlékek…
Hogy mi is volt egy háromszögben a magasságvonal…
A C csúcson átmenő magasságvonal az AB oldal egyenesére bocsájtott merőleges.
Ez itt az AB oldal egyenese…
És ez pedig a C-n átmenő merőleges.
Kezdjük azzal, hogy írjuk föl az AB oldal egyenes egyenletét.
Nézzük, mekkora a meredekség:
A b-t úgy kapjuk meg, hogy veszünk egy olyan pontot, ami rajta van az egyenesen…
És a koordinátáit behelyettesítjük az egyenes egyenletébe.
Itt van, mondjuk ez a pont.
A magasságvonal erre merőleges lesz…
Így hát a meredekségek szorzata:
Itt jön a magasságvonal egyenlete:
Ez akkor fog átmenni a C csúcson, ha behelyettesítve a C csúcs koordinátáit az egyenlet teljesül.
Egy kör középpontja a pont, és a kör átmegy a ponton. Mekkora a kör sugara? Írjuk fel a kör egyenletét, és döntsük el, hogy a pont rajta van-e a körön.
A kör sugara éppen ekkora…
A K pontnak és a P pontnak a távolsága.
Itt is jön a távolságképlet:
Itt van ez az egyenes, aminek a meredeksége 2 és az y tengelyt 1-nél metszi…
És most jöhet a kör egyenlete:
Nézzük aztán, mi a helyzet a Q ponttal…
Hát, ez valahol itt van…
Így ránézésre rajta van a körön.
Egy kissé precízebben, akkor van rajta a Q pont a körön, ha a koordinátáit a kör egyenletébe helyettesítve az teljesül.
A Q pont tehát rajta van a körön.
Egy derékszögű háromszög három csúcsa:
A derékszög a C csúcsnál van.
Írjuk föl a C csúcson átmenő súlyvonal egyenletét
Írjuk föl a háromszög köré írható körének egyenletét.
Íme, a háromszög…
És ez pedig a súlyvonal.
Hogyha egy hipnózis segítségével felidézzük az általános iskolás emlékeinket…
Különösen azokat a részeket, amik a súlyvonalakkal kapcsolatosak…
Akkor talán bevillan egy kép, hogy a súlyvonal a háromszög egyik csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz.
Ez tehát egy felezőpont.
És a szakasz felezőpontjának koordinátái:
A súlyvonal egyenlete innen már sima ügy.
Egy olyan egyenes egyenletét keressük, ami átmegy a C és a D ponton.
A b-t úgy kapjuk meg, hogy a C vagy a D pont koordinátáit behelyettesítjük.
Az mindegy, hogy melyiket.
Legyen mondjuk a C.
Meg is van a súlyvonal egyenlete.
És most nézzük a háromszög köré írható kör egyenletét.
Egy újabb hipnózis…
Ezúttal Thalész…
A derékszögű háromszögek köré írható köre a Thalész-kör.
Aminek a középpontja az átfogó felezőpontja.
A kör sugara pedig…
Az A és D pontok távolsága.
Vagy épp a B és D pontok távolsága.
Vagy a C és D pontok távolsága.
Mindegyik ugyanakkora.
És itt jön a kör egyenlete:
A kör egyenleténél tartottunk…
Írjuk fel például ennek a körnek az egyenletét.
Ez itt a kör középpontja:
És ugyanezt megnéztük fordítva is…
Ábrázoljuk azt a kört, aminek ez az egyenlete:
Az egyetlen izgalmat az okozza, amikor a kör középpontjának valamelyik koordinátája negatív…
Itt van például ez:
A kör egyenletében itt kivonásnak kell lennie…
És tessék, az is van.
Most pedig lássuk, hogyan tehetnénk mindezt még izgalmasabbá…
Nézzük meg, hogyan néz ki az a kör, aminek az egyenlete ez:
A mátrixok teljesen ártalmatlan teremtményei a matematikának.
Egy -as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, ami n darab sorból és k darab oszlopból áll.
A mátrixokat az ABC nagy betűivel jelöljük. Itt van például ez:
Ez egy (2X3)-as mátrix.
A mátrixok elemeit kettős indexezéssel látjuk el. Az elemeknek van egy sorindexük,
és egy oszlopindexük.
A mátrixok elemeit kettős indexezéssel látjuk el. Az elemeknek van egy sorindexük,
és egy oszlopindexük.
Egy -as mátrix, ami n darab sorból és k darab oszlopból áll,
tehát valahogy így néz ki:
A mátrixok marhára hasznosak számunkra, erről fog szólni lényegében az egész lineáris algebra témakör.
Mielőtt azonban hasznosságukról személyesen is megbizonyosodhatnánk, előbb nézzük meg milyen műveleteket végezhetünk velük.
1.SKALÁRSZOROS
A skalár nem egy betegség, azt jelenti, hogy valamilyen szám, legtöbbször valós szám.
2.ÖSSZEADÁS
Egy -as mátrixhoz csak egy másik -as mátrixot adhatunk hozzá.
3.SZORZÁS
Na ez a legizgalmasabb.
Egy -as mátrixszal csak egy -es mátrixot szorozhatunk.
A szorzat mátrixnak annyi sora lesz, mint A-nak és annyi oszlopa, mint B-nek, elemei pedig úgy keletkeznek, hogy az A egyik sorát szorozzuk B-nek egy oszlopával
Jön a trükk, tudományos nevén Falk-séma. Ennek az a lényege, hogy a mátrixokat sarkosan helyezzük el, valahogy így:
Kész a szorzat!
A mátrixok szorzásának egyik érdekes tulajdonsága,
hogy nem kommutatív.
Ha például megpróbáljuk ezt a szorzást fordítva elvégezni,
kiderül, hogy nem is lehet.
Ismerkedjünk meg néhány speciális mátrixfajtával.
KVADRATIKUS MÁTRIX
négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa
példa:
DIAGONÁLIS MÁTRIX
olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák
példa:
A diagonális mátrixoknak tehát csak a főátlója érdekes, mivel az összes többi elem nulla.
Ezért aztán vannak akik csak a főátló elemeket írják le. Ez a fura jel
valójában egy diagonális mátrix
EGYSÉGMÁTRIX
olyan mátrix, ami azt tudja, hogy bármely mátrixra
az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy
INVERZ MÁTRIX
jele , és ez egy olyan mátrix, ami azt tudja, hogy
(jobb inverz) (bal inverz)
Később látni fogjuk, hogy nem is olyan egyszerű elővarázsolni egy mátrix inverzét.
Ez az inverz dolog valós számoknál sokkal könnyebb, ott ugyanis
inverze mert ugye
inverze mert ugye
TRANSZPONÁLT
a mátrix sorainak és oszlopainak a felcserélése, jele vagy
SOR OSZLOP OSZLOP SOR
példa:
vagy
Azokat a mátrixokat, amelyek transzponáltja önmaga szimmetrikus mátrixnak nevezzük.
Itt van például egy szimmetrikus mátrix:
Mindezek jelenleg nem tűnnek túl izgalmasnak, de hamarosan majd elérkezik az idő, amikor kelleni fognak.
Most viszont jöjjenek a vektorok!
Azokat a mátrixokat, amiknek csak egyetlen oszlopuk van, vektoroknak nevezzük.
A vektorokat az abc kis betűivel jelöljük és aláhúzzuk őket.
Itt van például két vektor:
Az vektor -es vektor, a pedig -es, de a megemlítése teljesen felesleges, hiszen éppen azért nevezzük őket vektoroknak, mert csak egyetlen oszlopuk van.
Bőven elegendő tehát csak arról említést tenni, hogy hány darab számot tartalmaz maga a vektor. Ezeket a számokat a vektor koordinátáinak nevezzük.
Megnyugtató, hogy amit a geometriában vektornak tekintünk,
és amit az imént vektorként definiáltunk megfeleltethetők egymásnak.
Ha ugyanis veszünk mondjuk a térben három egyenest úgy,
hogy egymásra merőlegesek legyenek majd pedig
ellátjuk őket egy skálázással, akkor a geometriai vektorok
egyértelműen megfeleltethetők számhármasoknak.
Vagyis amikor vektorokról beszélünk, egyszerre gondolhatunk
-es mátrixokra és geometriai alakzatokra.
Lássuk milyen műveleteket tudunk vektorokkal végezni.
MŰVELETEK VEKTOROKKAL
1. SKALÁRSZOROS
példa:
2. ÖSSZEADÁS
példa:
TULAJDONSÁGOK:
kommutatív:
asszociatív:
3. SZORZÁS
skaláris szorzat: diadikus szorzat:
TULAJDONSÁGOK:
kommutatív:
nem asszociatív:
és
és
a skaláris szorzat:
diadikus szorzat:
TULAJDONSÁGOK:
nem kommutatív
nem asszociatív
példa:
és
a diadikus szorzat:
A kétféle szorzás közül a skaláris szorzat
nekünk sokkal hasznosabb lesz, így hát
elbúcsúzunk a diadikus szorzattól.
A skaláris szorzatra pedig bevezetünk
egy egyszerű jelölést.
Ezzel megspóroltunk néhány *-ot.
De lássuk mire jó még a skaláris szorzat.
Van itt néhány mátrix és vektor és el kéne végezni velük pár műveletet.
Hát menjünk szépen sorban.
Ezzel van egy kis probléma. nem elvégezhető.
Mátrixok hatványozására sajnos nincsen semmilyen trükk, tehát ha ki kell számolnunk ennek a mátrixnak a négyzetét, akkor négyzetre emelést úgy tudjuk elvégezni, hogy megszorozzuk önmagával.
Ha mondjuk a negyedik hatványára lenne szükség, akkor az bizony elég sokáig tart.
De szerencsére csak a négyzete kell.
Már csak van hátra. Ezzel marhanagy mázlink van, ugyanis egy diagonális mátrix.
A diagonális mátrixokat pedig könnyű hatványozni, egyszerűen a főátló elemeit külön-külön hatványozzuk.
Ez a módszer sajnos csak diagonális mátrixokra működik, de ott szuperül.
Ha négyszer egymás után összeszoroznánk, persze akkor is ugyanez jönne ki,
csak kicsit lassabban, akinek van kedve próbálja ki és nézze meg.
A vektorok skaláris szorzása azon kívül, hogy remek szórakozás, arra is jó, hogy kiszámoljuk, két vektor mekkora szöget zár be egymással.
Van ugyanis a skaláris szorzásnak egy másik képlete is:
ahol a két vektor által bezárt szög,
vagyis az vektor hossza
vagyis a vektor hossza
A vektorok közti szöget úgy tudjuk kiszámolni, ha mindkét módon felírjuk a skaláris szorzatukat.
Itt van például
A skaláris szorzat a korábbi képlettel:
A skaláris szorzat az új képlettel:
VEKTORTEREK
Elérkezett az idő, hogy tisztázzunk néhány fontos fogalmat.
Az első és legfontosabb fogalom a vektortér fogalma, ami tulajdonképpen vektoroknak egy olyan halmaza, amely teljesít néhány speciális tulajdonságot.
Kétféle műveletet értelmezünk, egy összeadást és egy számmal való szorzást.
Az összeadás művelet szereplői vektorok, míg a számmal való szorzásnál egy vektort szorzunk meg egy számmal.
Ezek a bizonyos számok lehetnek valós számok, ilyenkor a vektorteret valós számok feletti vektortérnek nevezzük, de lehetnek például komplex számok is, és akkor a vektortér komplex feletti.
A kétféle műveleten kívül a vektortérben egyéb művelet nincsen, tehát nem értelmezzük a vektorok egymással való összeszorzását, sem a skaláris szorzatot sem pedig a diadikus szorzatot.
A kétféle művelettel kapcsolatban teljesülnie kell további tulajdonságoknak, amiket vektortér-axiómáknak nevezünk. Ezek jönnek most.
A nem üres halmazt vektortérnek nevezzük a valós számok felett, ha
a halmazon értelmezve van egy összeadás nevű művelet, úgy, hogy minden -beli és vektorhoz hozzárendelünk egy vektort, ami szintén eleme -nek.
1. Az összeadás kommutatív: bármely ; -beli vektorra
2. Az összeadás asszociatív: bármely ; ; -beli vektorra
3. Létezik nullelem: van olyan -beli vektor, hogy bármely -beli vektorra
4. Létezik ellentett: bármely -beli vektorra létezik olyan -bel vektor, hogy
és értelmezve van egy skalárral való szorzás nevű művelet, úgy, hogy minden -beli vektorhoz és bármely valós számhoz hozzárendelünk egy vektort, ami szintén -beli.
5. A skalárszoros asszociatív: bármely -beli vektorra és ; skalárra
6. A skalárszoros disztributív a vektorokra: bármely ; -beli vektorra és skalárra
7. A skalárszoros disztributív a skalárokra bármely -beli vektorra és ; skalárra
8. Egységszeres: bármely -beli vektorra és az 1 valós számra
A valós számok feletti vektorteret -el szokás jelölni, ahol ez a bizonyos n a vektorok koordinátáinak a számára utal.
Egy síkban elhelyezkedő vektorok két koordinátával is megadhatók, ezért minden sík egy vektortér.
A térbeli vektoroknak már három koordinátájuk van, így a tér .
Vannak persze háromnál több koordinátával rendelkező vektorok is, ezek geometriai megfelelői azonban a mi kis háromdimenziós világunkban nehezen elképzelhetők.
Érdemes azonban elgondolkodni azon, hogy egy sík vektorainak nem szükségszerűen csak két koordinátájuk lehet.
Megadhatjuk őket három vagy akár négy koordinátával is legfeljebb bizonyos koordináták nullák. A koordináták száma tehát csak a lehetőséget teremti meg az új irányok számára.
Ez elvezet bennünket két nagyon fontos fogalomhoz is, az egyik a dimenzió a másik az altér.
Az altér arról szól, hogy nem használjuk ki a vektorok összes koordinátáját, míg a dimenzió éppen a maximálisan kihasználható koordináták száma.
Például azok a vektorok -ban, amelyek harmadik koordinátája nulla egy altér, ráadásul kétdimenziós altér, mert két koordinátát használunk.
Mindezt jóval precízebben és matematikailag
megfogható módon is képesek leszünk meg-
fogalmazni, de ehhez előbb szükségünk
van néhány alapvető fontosságú
fogalom tisztázására.
Ezek jönnek most.
LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK
Kezdjük két izgalmas definícióval. Először lássuk mit is akarnak ezek pontosan, aztán rögtön nézünk is rájuk példákat, hogy mindez érthető is legyen.
A vektorok lineárisan függetlenek, ha
csak úgy teljesül, ha minden
A vektorok lineárisan összefüggők, ha
úgy is teljesül, hogy van olyan
Nézzünk ezekre példákat! Itt vannak mondjuk ezek a vektorok:
Nézzük meg, hogy ezek a vektorok melyik típusba tartoznak, vagyis hogyan lesz
Ha mindegyik akkor persze a nullvektort kapjuk.
Az már érdekesebb, hogy ha akkor
nos akkor is a nullvektort kapjuk.
Tehát úgy is ki tud jönni a nullvektor, ha nem minden , sőt most éppen egyik se. Ilyenkor azt mondjuk, hogy ezek a vektorok lineárisan összefüggők.
Ennek az a nagyon egyszerű magyarázata, hogy a harmadik vektor az első kettő összege.
Vagyis a harmadik vektor a másik két vektor segítségével előállítható, összefügg velük.
Ezt a tényt nevezzük úgy, hogy a vektorok lineárisan összefüggők és ezért kaphatunk nullvektort úgy, hogy nem mindegyik .
Vannak aztán olyan vektorok is, amik nem függnek össze.
Nézzük meg, mi a helyzet ezekkel:
Az, hogy ha mindegyik vektorból nullát veszünk, most is nullvektort kapunk nem túl meglepő.
Ami érdekesebb, hogy ezúttal semmilyen más esetben nem kaphatunk nullvektort.
Ha például az első vektorból nem nullát veszünk, biztosan nem kaphatunk nullvektort.
Nézzük meg! Vegyünk belőle mondjuk 6-ot.
A második és harmadik vektor első koordinátája nulla, ők tehát nincsenek hatással az első koordináta alakulására. A második és harmadik vektorból így vehetünk bármennyit, az első koordináta így is úgy is az lesz, hogy 6.
Ha tehát nullvektort szeretnénk, az első vektorból mindenképpen nullát kell vennünk.
Aztán jön a második vektor. Ha nem nullát veszünk belőle, akkor a második koordinátával adódnak problémák.
Az első és harmadik vektorok ugyanis nincsenek hatással a második koordináta alakulására.
És hasonló a helyzet a harmadik vektorral is. Ezek a vektorok tehát lineárisan függetlenek.
Csak úgy kaphatunk nullvektort, ha mindegyikből nullát veszünk.
Megkérdezhetjük persze, hogy tulajdonképpen miért ennyire fontos ez, hogy mindenféle vektorokból miként állítható elő a nullvektor. A válasz hamarosan kiderül. Nézzük meg a következő képsort!
Egy V vektortérben a vektorok generátor-rendszert alkotnak,ha minden
vektor a V vektortérben előáll alakban.
Vegyük például az vektorteret, vagyis a hétköznapi értelemben vett teret.
Ebben a vektortérben generátor-rendszert alkot a
mert segítségükkel minden vektor előáll.
Nézzük meg! Van itt mondjuk egy vektor
ami valóban előállítható a vektorokkal.
Bármilyen vektor előállítható. Ha mondjuk
Akkor íme, már meg is van:
Ha ezekhez a vektorokhoz egy újabb vektort hozzáveszünk, akkor ugyanúgy generátor-rendszert kapunk.
Vegyük hozzá mondjuk ezt:
Ha a vektort eddig elő tudtuk előállítani, akkor ezután is elő tudjuk:
Egyszerűen nullát veszünk az új vektorból, így olyan,mintha az új vektor ott se volna.
Ha viszont az eredeti generátorrendszerből egy vektort elveszünk, akkor az már nem generátor-rendszer.
Próbáljuk csak meg a vektort a megmaradt két vektorból előállítani. Nem fog menni.
Érdemes tehát megjegyezni, hogy egy generátor-rendszerhez újabb vektorokat hozzávéve ismét generátor-rendszert kapunk, ha viszont elveszünk belőle vektorokat, akkor már nem biztos.
A kérdés az, hogy -ban hány darab vektor lehet független és hány darab vektor lehet generátor-rendszer. Erről szól a következő remek táblázat.
vektorok
száma
megadható-e ennyi vektor úgy, hogy független legyen
-ban
megadható-e ennyi vektor úgy, hogy generátor-rendszer legyen -ban
1
2
3
4
5
Egy darab vektor biztosan megadható úgy, hogy független legyen, viszont nem elegendő ahhoz, hogy generáljon.
Ő egymaga, csak egy egyenest képes előállítani.
Két vektor is megadható úgy, hogy független legyen,viszont ezek sem generátor-rendszer.
Ezek ketten egy síkot feszítenek ki.
Vagyis a sík minden vektorát előállítják, de mást nem.
Három vektor még mindig megadható úgy, hogy független legyen, és ahogyan ezt már az előbb láttuk generátor-rendszer is lesz.
Ez a három vektor kifeszíti a teret.
Most vegyünk egy negyedik vektort is.
Mivel az eddigi három vektor generátor-rendszer, így bármi is ez a negyedik vektor, azt ők képesek előállítani.
Vagyis ezek négyen már nem függetlenek, de továbbra is generátor-rendszer.
Ugyanez a helyzet,ha hozzáveszünk még egy ötödik vektort is.
-ban pontosan három vektor adható meg úgy, hogy azok még éppen függetlenek legyenek,de már generáljanak.
A független generátor-rendszert nevezzük bázisnak.
Egy vektortér dimenziója a bázis elemszáma. Így jutunk el tudományosan arra az álláspontra, hogy a tér dimenziója éppen három.
Ha egy független rendszerből egy vagy több vektort elhagyunk,
független rendszert kapunk
(ha hozzáveszünk vektorokat, ki tudja, mi történik)
Ha egy generátor-rendszerhez egy vagy több vektort hozzáveszünk,
generátor-rendszert kapunk
(ha elveszünk vektorokat, ki tudja, mi történik)
Ha -ben van n darab független vektor, akkor az generátor-rendszer is
(mert bázis)
Ha -ben van n darab vektorból álló generátor-rendszer,
akkor ezek a vektorok függetlenek is
(mert bázis)
A bázis minden vektort egyértelműen állít elő, míg -ben azok a
generátor-rendszerek pedig, amelyek n-nél több vektorból állnak,
minden vektort végtelensokféleképpen
Az előzőekben megnéztük mit jelent az, hogy egy vektorrendszer független, mit jelent
az, hogy összefüggő.
Aztán megnéztük mi az a generátor-rendszer.
Kiderült, hogy ha egy generátor-rendszerhez egy vagy több vektort hozzáveszünk, szintén generátor-rendszert kapunk. Ha viszont elveszünk belőle vektorokat, akkor előbb utóbb már nem lesz generátor-rendszer.
Az is kiderült, hogy ha egy független rendszerből egy vagy több vektort elhagyunk, akkor továbbra is független rendszert kapunk, de ha újabb vektorokat veszünk hozzá, akkor előbb utóbb a vektorok már összefüggők lesznek.
Mindezt jól szemléltethetjük mondjuk az vektortérben,
vagyis a hétköznapi értelemben vett térben.
Ha egy független rendszerhez elkezdünk újabb vektorokat hozzávenni, az előbb utóbb összefüggő lesz.
Ha egy generátor-rendszerből elkezdünk vektorokat elhagyni, az előbb utóbb már nem lesz generátor-rendszer.
És van egy mágikus pont amikor már éppen elég vektorunk van ahhoz, hogy generáljanak, de még nincsenek túl sokan ezért függetlenek.
Ezt a független generátor-rendszert nevezzük bázisnak.
A bázis elemszámát pedig a vektortér dimenziójának.
Itt jön még egy fontos definíció, amit rangnak nevezünk.
Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok
maximális száma.
-ban a rang például maximum három lehet.
A rang kiszámolására később remek módszereink lesznek majd, jelenleg csak kevésbé megnyugtató módon, ránézésre tudjuk megállapítani.
Van itt például ez a vektorrendszer:
A negyedik vektor az első kétszerese,
így legjobb esetben is három független
vektorunk van.
A harmadik vektor pedig az első kettő
összege, így már csak két független
vektor maradt.
Ezek már függetlenek, tehát a rang 2,
de később lesz egy igazán remek
technológiánk a rang kiszámolására.
Egy vektorrendszer rangja Itt jön még egy fontos definíció, amit rangnak nevezünk.
Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok
maximális száma.
BÁZIS=FÜGGETLEN
GENERÁTOR-RENDSZER
A vektorok lineárisan függetlenek, ha
csak úgy teljesül, ha minden
A vektorok lineárisan összefüggők, ha
úgy is teljesül, hogy van olyan
Egy V vektortérben a vektorok
generátor-rendszer, ha minden vektor előáll
alakban.
Legyen vektorok.
Az alábbi állítások közül melyik igaz?
Ha lineárisan független, akkor
is lineárisan független.
Nézzük meg, hogy függetlenek-e.
Vegyük egy lineáris kombinációjukat:
Ha ez csak úgy teljesül, hogy mind nulla,
akkor függetlenek, ha úgy is lehetséges, hogy nem
mindegyik nulla, akkor összefüggők.
Vagyis az a kérdés, hogy mennyi .
Felbontjuk a zárójeleket :
Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab
és hány darab vektor van.
Mivel az vektorok lineárisan függetlenek,
itt egészen biztos, hogy minden együttható nulla, vagyis
[*]
Úgy tűnik mindegyike nulla, vagyis lineárisan függetlenek.
Ha generátor-rendszer,
akkor is az.
Az vektorok akkor generátor-rendszer,
ha minden vektort előállítanak:
A kérdés az, hogy ugyanez a előáll-e az
vektorokból is. Nézzük meg!
Felbontjuk a zárójeleket :
Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab
és hány darab vektor van.
A jelek szerint előáll.
Ha lineárisan független, akkor
is lineárisan független.
Ez egészen biztosan nem igaz, mert
Vagyis van olyan lineáris kombinációjuk,
ami a nullvektort adja, pedig egyik vektorból
sem nulla darabot vettünk.
Ha lineárisan független, akkor
is lineárisan független.
Nézzük meg, hogy függetlenek-e.
Ehhez vegyük egy lineáris kombinációjukat:
Ha ez csak úgy teljesül, hogy mindketten nulla,
akkor függetlenek, ha úgy is lehetséges,
hogy az egyik nem nulla, akkor összefüggők.
Vagyis az a kérdés, hogy mennyi .
Felbontjuk a zárójeleket :
Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab
és hány darab vektor van.
Mivel az vektorok lineárisan függetlenek,
itt egészen biztos, hogy minden együttható nulla,
vagyis és ami azt jelenti,
hogy is független.
Ha lineárisan független,
akkor is lineárisan független.
Ezúttal a
lineáris kombinációból indulunk ki.
Ezt kéne valahogy visszavezetni az
vektorok lineáris kombinációjára.
De néha nem árt kicsit gondolkodni.
Vegyük ugyanis például azt az esetet, amikor nullvektor.
Ekkor és ezek a vektorok függetlenek, de egészen biztosan összefüggő, mert köztük van a nullvektor.
Érdemes megjegyezni, hogy ha egy vektorrendszerben benne van a nullvektor, akkor az mindenképpen lineárisan összefüggő.
Ha generátor-rendszer,
akkor is az.
Nos az, hogy generátor-rendszer,
azt jelenti, hogy ők minden vektort előállítanak.
Mivel vektorokból viszont és
előáll, biztos, hogy generátor rendszer.
Az vektorokból először legyártjuk
és vektorokat, akik pedig, mivel generátor-
rendszer, már mindenki mást előállítanak.
Vagyis jegyezzük meg, hogy ha egy vektorrendszer vektoraiból elő tudunk állítani generátor-rendszert, akkor maguk a vektorok is generátor-rendszer.
ALTEREK
A vektortérnek altere, ha és maga is vektortér a -beli műveletekre.
Az altér tehát egy olyan részhalmaza a vektortérnek, ami a vektortér összes tulajdonságát átörökíti. Teljesülnek benne a vektortér-axiómák és a műveletek.
Van egy érdekes tétel ami megkönnyíti annak eldöntését, hogy egy részhalmaz valóban altér-e. A tétel azt mondja, hogy elegendő csak a műveleteket ellenőrizni és ha azok működnek, vagyis nem vezetnek ki a részhalmazból, akkor ennyi elég is, ahhoz, hogy altér legyen.
A vektortérnek altere, ha -beli műveletek nem vezetnek ki -ből.
Ennek az a magyarázata, hogy ha a műveletek nem vezetnek ki, vagyis és is benne van -ben akkor a vektortér-axiómák automatikusan teljesülnek.
nézzük meg!
A kommutativitás, asszociativitás és disztributivitás a vektortér minden elemére, tehát a -beli elemekre is teljesül. A többi axióma pedig, lássuk csak:
Létezik nullelem -ben.
Hát persze, hogy létezik, mert benne van -ben és
Létezik ellentett -ben.
Ez is létezik, mert benne van -ben és
Végül pedig teljesül -ben,
mert ez ugye az egész vektortér minden elemére igaz.
Ezzel kiderült, hogy valóban elegendő csak annyit megvizsgálni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.
Nézzünk is meg egy ilyet!
Vizsgáljuk meg, hogy altere-e -nak, ha igen, adjunk meg egy bázist -ben.
Az előző tétel miatt elegendő annyit ellenőrizni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.
Kezdjük az összeadással.
Azt nézzük meg, hogy két ilyen típusú vektor összege is ilyen típusú-e.
Hát ez probléma! Az összeadás úgy tűnik kivezet -ből.
A jelek szerint tehát nem altér.
Nézzünk meg egy másikat is!
Vizsgáljuk meg, hogy altere-e -nek, ha igen, adjunk meg egy bázist -ben.
Elegendő most is annyit ellenőrizni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.
Kezdjük az összeadással.
Azt nézzük meg, hogy két ilyen típusú vektor összege is ilyen típusú-e.
itt
az összegük:
Mivel a két vektor összegére is teljesül a koordináták közti összefüggés, az összeadás nem vezet ki.
Lássuk mi a helyzet a -szorossal!
Úgy tűnik ez is stimmel, tehát altér.
A dimenzió a szabadon megadható paraméterek száma.
Két szabadon megadható paraméter van, az egyik az és akkor miatt már nem szabad, a másik pedig és akkor miatt már nem szabad.
A dimenzió tehát kettő, bázist pedig úgy kapunk, hogy a szabad paraméterek közül egyet egynek, a többit nullának vesszük és ezt végigjátsszuk az összes lehetséges módon.
A bázis tehát:
Vizsgáljuk meg, hogy a halmaz altér-e -ben. Ha igen, adjuk meg a dimenzióját és egy bázisát.
Elegendő annyit ellenőrizni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.
Kezdjük az összeadással.
Azt kell megnéznünk, hogy két ilyen típusú vektor összege is ilyen típusú-e.
Mivel a két vektor összegére is teljesül a koordináták közti összefüggés, az összeadás nem vezet ki.
Lássuk mi a helyzet a -szorossal!
Úgy tűnik ez is stimmel, tehát altér.
A dimenzió annyi, ahány szabadon megadható paraméter van.
Most éppen két szabad paraméter van, és
A dimenzió tehát kettő, bázist pedig úgy kapunk, hogy a szabad paraméterek közül egyet egynek, a többit nullának vesszük és ezt végigjátsszuk az összes lehetséges módon.
A bázis tehát:
Legyen -beli vektor. Mely állítások igazak?
a) Ha lineárisan független, akkor is lineárisan független.
b) Ha lineárisan összefüggő, akkor is lineárisan összefüggő.
c) Ha generátor-rendszer, akkor is az.
d) Ha lineárisan független, akkor is az
a) Ha lineárisan független,
akkor is lineárisan független.
Vegyük egy lineáris kombinációjukat:
Ha ez csak úgy teljesül, hogy mind nulla,
akkor függetlenek, ha úgy is lehetséges, hogy nem
mindegyik nulla, akkor összefüggők.
Vagyis az a kérdés, hogy mennyi .
Felbontjuk a zárójeleket :
Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab
és hány darab vektor van.
Mivel az vektorok lineárisan függetlenek,
itt egészen biztos, hogy minden együttható nulla, vagyis
Úgy néz ki mind nulla, tehát a vektoraink függetlenek.
b) Ha lineárisan összefüggő,
akkor is lineárisan összefüggő.
Nézzük meg elsőként, hogy függetlenek-e.
Vegyük egy lineáris kombinációjukat:
Ha ez csak úgy teljesül, hogy mind nulla,
akkor függetlenek, ha úgy is lehetséges, hogy nem
mindegyik nulla, akkor összefüggők.
Vagyis az a kérdés, hogy mennyi .
Felbontjuk a zárójeleket :
Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab
és hány darab vektor van.
Mivel az vektorok lineárisan függetlenek,
itt egészen biztos, hogy minden együttható nulla, vagyis
Nézzük meg elsőként, hogy függetlenek-e.
Vegyük egy lineáris kombinációjukat:
Ha ez csak úgy teljesül, hogy mind nulla,
akkor függetlenek, ha úgy is lehetséges, hogy nem
mindegyik nulla, akkor összefüggők.
Vagyis az a kérdés, hogy mennyi .
Felbontjuk a zárójeleket :
Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab
és hány darab vektor van.
Mivel az vektorok lineárisan függetlenek,
itt egészen biztos, hogy minden együttható nulla, vagyis
Itt jön egy egyenletrendszer.
Érdemes generáló elemet úgy választani, hogy a sorában és oszlopában jó sok nulla legyen.
Ennek előnyeit pillanatokon belül élvezhetjük.
Legyen mondjuk ez.
Hát ugye az nincs
az nincs és sincs
Érdemes generáló elemet úgy választani, hogy a sorában és oszlopában jó sok nulla legyen.
Ennek előnyeit pillanatokon belül élvezhetjük.
Legyen mondjuk ez.
A nulla miatt ebben az oszlopban minden elemből nullát vonunk ki,
tehát az egész oszlop marad.
Ezért érdemes úgy választani generáló elemet, hogy a sorában
és oszlopában jó sok nulla legyen.
Hát ezért éri meg így választani.
A nullák megkönnyítik az életünket.
Kiszámolni csak ezeket kell.
A nulla miatt ebben az oszlopban mindenki marad
Sőt, ebben a sorban is mindenki marad.
És ebben a sorban is.
Alig kell valamit számolni.
Ezt az egyet kell kiszámolni:
Nézzünk meg két nagyon izgalmas egyenletrendszert!
Ebben az egyenletrendszerben valójában
csak két egyenlet van.
A harmadik egyenlet ugyanis az első kettő összege.
Ilyen alapon lehetne még egy negyedik, ötödik,
sőt hatodik egyenlet is.
Valójában tehát csak két egyenlet van, vagyis több
az ismeretlen, mint ahány egyenlet, és ilyenkor
az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása.
Na ennyi elég
Ebben az egyenletrendszerben a harmadik egyenlet
szintén az első kettő összege, de van egy kis gond.
A jobb oldal ugyanis nem stimmel, mert 5 helyett 6 van.
Ilyenkor ugye nem tud egyszerre mindegyik egyenlet
teljesülni, vagyis az egyenletek ellentmondanak,
és ezért az egyenletrendszernek nincs megoldása.
Van tehát két egyenletrendszerünk, és mi előre tudjuk, hogy az egyiknek végtelen sok megoldása lesz, a másiknak pedig nem lesz megoldása.
Nézzük meg, hogy ha elkezdjük megoldani ezeket az egyenletrendszereket a jól bevált elemi bázistranszformációval, akkor vajon hogyan fog kiderülni, hogy az egyiknek
végtelen sok megoldása van, a másiknak pedig nincs megoldása.
Itt kezdődnek a problémák.
-at ugyanis nem tudjuk lehozni, mert 0-t nem választhatunk generáló elemnek.
A bázistranszformáció tehát úgy ér véget, hogy marad egy –s sor.
HA MARADNAK -S SOROK, AHOL MÁR NEM TUDUNK GENERÁLÓ ELEMET VÁLASZTANI, OLYANKOR MINDIG VÉGTELEN SOK MEGOLDÁS VAN, VAGY NINCS MEGOLDÁS.
HA A MEGMARADT -S SOR ILYEN,
AKKOR VÉGTELEN SOK MEGOLDÁS VAN
x-es oszlop
0
0
HA A MEGMARADT -S SOR ILYEN,
AKKOR NINCS MEGOLDÁS
x-es oszlop
0
NEM 0
A MEGOLDÁS LEOLVASÁSA A TÁBLÁZATBÓL
A fent maradt változók úgynevezett szabad változók, ők t, s és egyéb néven szerepelnek tovább a történetben.
A MEGOLDÁS:
ÁLTALÁNOS MEGOLDÁS:
SZABADSÁGFOK=ahány fönt marad
(most a szabadságfok 1)
RANG=ahány levihető
(most a rang 2)
A MEGOLDÁS LEOLVASÁSA A TÁBLÁZATBÓL
Itt már nincs további teendő
Az és paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek?
Elkezdjük megoldani a bázistranszformációval.
Olyan sorban és oszlopban, ahol paraméter van, nem ajánlatos generáló elemet választani.
Ezeket tehát kerüljük el!
Van itt ez a marhajó 1-es, válasszuk ezt.
Elkerüljük a paramétereket, amíg lehet.
Most elkezdünk egy kicsit gondolkodni.
1.ESET és
végtelen sok megoldás
2.ESET és
nincs megoldás
3.ESET és
levihető és egy megoldás
Na ennyi gondolkodás elég is volt.
Az , és paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek?
Amíg lehet ne válasszunk generáló elemet olyan sorban vagy oszlopban,
amiben paraméter van.
van itt ez a remek 1-e, válaszzuk ezt!
Aztán ezt a másik 1-est választjuk. Marha nagy szerencsénk van a nullákkal.
A nulla miatt ebben a sorban minden elemből nullát vonunk ki,
tehát az egész sor marad ahogy van,
meg itt is,
sőt itt is.
Ezért érdemes úgy választani generáló elemet, hogy a sorában
és oszlopában jó sok nulla legyen. A nullák megkönnyítik az életünket.
A bázistranszformáció itt elakad, a legalsó sorban ugyanis csupa nulla van, a felette
lévőben pedig paraméter.
Kezdjünk el kicsit gondolkodni!
1.ESET
nincs megoldás és bármi lehet.
2.ESET
nincs megoldás, és bármi lehet.
3.ESET és
ekkor levihető, végtelen sok megoldás, a szabadságfok egy
Van itt még valami.
Itt ugye, ha nem nulla van, akkor nincs megoldás.
De itt mindegy mi van, ha például ,
ennek akkor is van megoldása.
Ne felejtsük el ugyanis, hogy ezek
a feltételek csak -s sorokra vonatkoznak.
Ez -s sor, tehát itt
tényleg nincs megoldás.
Ebben a sorban viszont már x van,
így semmilyen szabálynak nem kell teljesülnie.
Számítsuk ki a
vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az és vektor.
illetve
Akkor állítható elő az vektor, ha léteznek olyan számok, hogy
illetve
Ez tulajdonképpen két egyenletrendszer:
Ezeket kell megoldanunk. Ha van megoldás, akkor az adott vektor előállítható, ha nincs megoldás, akkor nem állítható elő.
megoldjuk:
van megoldás,
így az vektor előállítható
Például
Jön a szokásos, és persze nagyon izgalmas bázistranszformáció.
nincs megoldás,
ezért a vektor sajna nem állítható elő
A bázistranszformáció itt sajnos elakad, mert az -s sorokban már csak nullák vannak.
Ilyenkor vagy végtelen sok megoldás van vagy nincs megoldás.
Lássuk, hogyan áll elő az vektor!
Az egyenletrendszer megoldását a
szokásos módon olvassuk le.
és tetszőleges
Ha mondjuk és nulla, akkor
A vektorrendszer rangja annyi, ahány x-et lehoztunk, vagyis most éppen kettő.
A Gauss-elimináció pro változatát Gauss-Jordan eliminációnak nevezzük.
A lényege az, hogy nem csak a vezéregyesek alatt nullázunk ki, hanem felettük is.
Éppen itt is jön ez az egyenletrendszer.
Oldjuk meg, és nézzük meg, hogyan működik a Gauss-Jordan elimináció.
Ebben a mátrixban két független oszlopvektor van.
A harmadik oszlop ugyanis az első kettő összege…
A negyedik pedig a második kétszerese.
1 4 5 8
3 1 4 2
2 1 3 2
Egy mátrix oszloprangja az oszlopvektorai közül kiválasztható független vektorok maximális száma.
Most maximum két független oszlopvektor választható ki…
Így hát ennek a mátrixnak az oszloprangja kettő.
Független sorvektora persze lehetne akár három is…
De nincs.
Egy Gauss-Jordan eliminációval mindjárt az is kiderül, hogy miért nincs.
Mivel a harmadik sort ki tudtuk nullázni…
Ez azt jelenti, hogy az első két sornak a lineáris kombinációja.
Egy mátrix oszloprangja és sorrangja mindig megegyezik a vezéregyesek számával.
Most éppen két vezéregyes van, így ennek a mátrixnak az oszloprangja és a sorrangja is kettő.
Ezt hívjuk a mátrix rangjának, és a szokásos módon jelöljük:
Egy mátrixot teljes oszloprangúnak nevezünk, hogyha az oszlopvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.
Ez a mátrix nem teljes oszloprangú…
Az oszloprang ugyanis csak 2 és a mátrixnak négy oszlopa van.
Egy mátrixot
Ebben a mátrixban két független oszlopvektor van.
A harmadik oszlop ugyanis az első kettő összege…
A negyedik pedig a második kétszerese.
1 4 5 8
3 1 4 2
2 1 3 2
Egy mátrix oszloprangja az oszlopvektorai közül kiválasztható független vektorok maximális száma.
Most maximum két független oszlopvektor választható ki…
Így hát ennek a mátrixnak az oszloprangja kettő.
Független sorvektora persze lehetne akár három is…
De nincs.
Egy Gauss-Jordan eliminációval mindjárt az is kiderül, hogy miért nincs.
Mivel a harmadik sort ki tudtuk nullázni…
Ez azt jelenti, hogy az első két sornak a lineáris kombinációja.
Egy mátrix oszloprangja és sorrangja mindig megegyezik a vezéregyesek számával.
Most éppen két vezéregyes van, így ennek a mátrixnak az oszloprangja és a sorrangja is kettő.
Ezt hívjuk a mátrix rangjának, és a szokásos módon jelöljük:
Egy mátrixot teljes oszloprangúnak nevezünk, hogyha az oszlopvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.
Ez a mátrix nem teljes oszloprangú…
Az oszloprang ugyanis csak 2 és a mátrixnak négy oszlopa van.
Egy mátrixot teljes sorrangúnak nevezünk, hogyha a sorvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.
Ez a mátrix nem is teljes sorragú…
A rang ugyanis még mindig 2, sor viszont három van.
Itt van aztán ez a másik mátrix. Számoljuk ki a rangját, és döntsük el, hogy teljes oszloprangú vagy teljes sorrangú-e.
Hát, túl nagy izgalmakra azért ne számítsunk.
Megint jön a Gauss-elimináció.
Három darab vezéregyes van, így hát a mátrix rangja 3.
Az oszlopok száma és a rang most ugyanannyi, mindkettő 3…
Ez a mátrix tehát teljes oszloprangú.
Sorokból viszont egy kicsit több van mint 3…
Tehát a mátrix nem teljes sorrangú.
A bázisfelbontás szemléletes jelentése egészen izgalmas...
Az eredeti A mátrix rangja most 2…
Tehát az oszlopvektorai közül két független vektort tudunk kiválasztani.
Mondjuk ezt a kettőt itt.
Ez a két vektor az A mátrix oszlop-vektorterének egy bázisa.
A bázisfelbontásban szereplő második mátrix azt írja le…
Hogy a két bázisvektor miként állatja elő az eredeti mátrix oszlopvektorait.
Ez a második mátrix tehát az eredeti A mátrix oszlopvektorainak a koordinátáit adja meg a bázisban.
Számoljuk ki az A mátrix rangját, keressük meg az oszlopvektorainak egy bázisát, és adjuk meg ebben a bázisban az A mátrix oszlopvektorainak koordinátáit.
Az független vektorok, és
Mekkora a vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a vektor?
A vektor akkor állítható elő, ha van olyan amire
A jobb oldalt átrendezzük úgy, hogy lássuk mennyi van az vektorokból
Mivel független vektorok, ha például a bal oldalon egy darab van,
akkor a jobb oldalon is egy darab kell, hogy legyen,
vagy ha a bal oldalon két van, akkor jobb oldalon is.
Érdemes megfigyelni, hogy ezt a táblázatot
rögtön a feladatból is felírhatjuk.
Nincs más dolgunk, mint összeszámolni, hány darab van,
aztán azt, hogy hány darab és végül hány .
A megoldás:
A vektor előáll:
A vektorrendszer rangja pedig, mivel mindhárom x-et lehoztuk,
így a jelek szerint három.
Most egy nagyon izgalmas dologgal, a mátrixok inverzével fogunk foglalkozni.
Az -es mátrix inverze egy olyan mátrix, ami azt tudja, hogy
A mátrixok szorzása nem kommutatív, tehát ha a szereplőket megcseréljük,
akkor lehet, hogy valami egészen más mátrixszal kell az -t szorozni ahhoz, hogy az egységmátrixot kapjuk.
Mindkét mátrixot inverznek nevezzük
ilyenkor jobb oldali inverz
ilyenkor bal oldali inverz
Az -es mátrixoknak azonban megvan az a remek tulajdonsága,
hogy a szorzás sorrendje az inverznél mindegy, vagyis
Tehát a jobb és bal inverz ilyenkor megegyezik.
Mi most ilyen -es mátrixok inverzét fogjuk kiszámolni,
és maradjunk ennél a sorrendnél.
Itt van például egy mátrix:
Próbáljuk meg kiszámolni az inverzét.
Egy olyan mátrixot kell találnunk, hogy az eredeti mátrixszal megszorozva az egységmátrixot kapjuk.
A kérdőjelek nem igazán segítenek a válasz megtalálásában.
Írhatnánk helyette betűket, hogy a, b, c, meg ilyenek.
Vagy hívhatnánk az elemeit a szokásos jelöléssel úgy, hogy meg meg stb.
De inkább egy másfajta jelölést fogunk használni, és hamarosan az is kiderül majd, hogy
miért.
A kettős indexezés túl bonyolult, ezért legyen csak , és .
Az oszlopokat pedig színekkel különböztessük meg.
Ez volna tehát az inverz mátrix. Már csak azt kell kiszámolni, hogy mennyi , és
Ehhez végezzük el a szorzást!
A dolog picit bonyolultnak tűnik, de csak első ránézésre.
Bármi legyen is az inverz mátrix, az elemeire teljesülnie kell ennek a három egyenletrendszernek.
Oldjuk őket meg! Ehhez elvileg három külön táblázatra van szükségünk.
Valójában elég egyetlen táblázat.
A három egyenletrendszert tehát egyszerre oldjuk meg, a szokásos bázistranszformációval.
A bázistranszformáció lépéseit most nem részletezzük, minden pontosan úgy megy, ahogyan eddig. Aki esetleg úgy érzi, hogy elhomályosultak az emlékei ezzel kapcsolatban, az nézze meg a bázistranszformációról szóló részt.
A kapott megoldás éppen az inverz.
Csak annyi dolgunk van, hogy
sorba rakjuk a sorokat:
Az inverz kiszámolása valójában tehát rettentő egyszerű. Itt van mondjuk ez a mátrix:
Mindössze annyit kell tennünk, hogy felírjuk a mátrixot, a szokásos táblázatba,
és mellé írjuk az egységmátrixot.
Ezek után jön a bázistranszformáció. Ha nem tudjuk mindegyik x-et levinni, akkor nincs inverz. Ha mindet le tudjuk vinni, akkor van.
Elérkezett az idő, hogy olyan mátrixok inverzét is kiszámoljuk, amelyek nem -esek.
Ilyenkor a jobb oldali inverz és a bal oldali inverz nem egyezik meg.
ilyenkor jobb oldali inverz
ilyenkor bal oldali inverz
Itt van például egy mátrix
A bal oldali inverz 3x2-es lesz
A jobb oldali inverz szintén 3x2-es lesz
Mindkettőt bázistranszformációval számoljuk ki
Itt sajnos van egy kis gond.
bal oldali inverz
most nincs
jobb oldali inverz
most épp van
Maradt egy -s sor, amiben nem
mindenki nulla, tehát nincs megoldás.
Itt viszont van megoldás,
a fönt maradt legyen mondjuk .
MÁTRIXOK DETERMINÁNSA, SAJÁTÉRTÉKE ÉS SAJÁTVEKTORA
DEFINÍCIÓ: Ha az egy -es mátrix, akkor determinánsa
ahol p az oszlopindexek permutációi, I(p) pedig ezen permutációk inverziószáma.
Ez egy igazán remek definíció, de egy kis magyarázatot igényel.
Valójában a mátrixok determinánsa sokkal egyszerűbb fogalom.
Arról van szó, hogy a mátrix minden sorából és oszlopából kiválasztunk egy és csak egy elemet, és ezeket az elemeket összeszorozzuk. Ezt az összes lehetséges módon
megtesszük, és a szorzatokat ellátjuk egy előjellel, végül az így kapott előjeles
szorzatokat összeadjuk.
EGY 2x2-ES MÁTRIX DETERMINÁNSA
Nézzünk erre egy példát. Itt van egy mátrix:
aminek a determinánsa
A determináns tehát azt tudja, hogy minden mátrixból csinál
egyetlen számot.
Hamarosan az is kiderül, hogy mindez mire jó, de most lássuk
mi a helyzet egy 3X3-as mátrix determinánsával!
EGY 3x3-AS MÁTRIX DETERMINÁNSA
A 3X3-as mátrixok determinánsának kiszámolására van egy szabály,
ami szarrusz szabály néven ismert.
A szabály lényege, hogy fogjuk a mátrixot
és leírjuk saját maga mögé még egyszer,
majd vesszük a főátlókat és a mellékátlókat.
A főátlók elemeit összeszorozzuk és pozitív előjellel vesszük,
aztán a mellékátlók elemeit is összeszorozzuk, de azokat negatív előjellel vesszük.
Ez a mátrix determinánsa.
A módszer sajnos csak 3x3-as mátrixokra működik és nem túl kellemes.
Sokkal több értelme van megjegyezni az úgynevezett kifejtési tételt,
ami minden nxn-es mátrixra jó és most jön.
Ha az egy -es mátrix, akkor determinánsa
Itt a elemhez tartozó aldetermináns.
Semmi ok az aggodalomra, a gyakorlatban mindez sokkal egyszerűbb.
Nézzünk egy példát!
Van itt ez a 3x3-as mátrix:
Ennek a determinánsát fogjuk kiszámolni, és mondjuk az első sora
szerint fejtjük ki.
Kifejthetjük a második sor szerint is, majd megnézzük azt is,
a végeredmény ugyanaz kell, hogy legyen.
Az első sor elemeit váltakozó előjellel kell venni, ez a bizonyos
de egyszerűbb, ha az úgynevezett sakktábla-szabályt jegyezzük meg.
Az aldeterminánst majd mindjárt megnézzük!
A sakktábla-szabály miatt a második elem mínusszal van.
A harmadik megint plusszal.
Most jönnek az aldeterminánsok, amik úgy keletkeznek,
hogy az adott elem sorát és oszlopát kihúzzuk.
Végül kiszámoljuk a 2X2-es mátrixok determinánsait.
És kész is.
Nézzük meg, hogy mi történik, ha a második sor szerint fejtünk ki!
Ha a második sor szerint fejtünk ki, akkor a sakktábla-szabályban is
a második sort kell nézni.
És kifejthetjük a harmadik sor szerint is,
de ami még ennél is izgalmasabb, hogy oszlop szerint is ki lehet fejteni.
Mondjuk nézzük meg a harmadik oszlop szerint!
A KIFEJTÉSI TÉTEL
A kifejtési tétel lényege az, hogy bármilyen nagy -es mátrix
determinánsának meglehetősen kellemetlen kiszámolását visszavezeti
-es mátrixok determinánsára, amit már könnyen ki tudunk számolni.
Maga a tétel első ránézésre kicsit barátságtalannak tűnik,
de mindjárt nézünk rá egy konkrét példát.
Nézzük a példát!
Van itt ez a 4x4-es mátrix:
Ennek a determinánsát fogjuk kiszámolni, és mondjuk fejtsük ki
a második sora szerint.
Kifejthetnénk az első sor szerint is, majd megnézzük azt is,
a végeredmény így is úgy is ugyanaz lesz.
A második sor elemeit váltakozó előjellel kell venni, ez a bizonyos
de egyszerűbb, ha az úgynevezett sakktábla-szabályt jegyezzük meg.
A sakktábla-szabály miatt a második sor első eleme mínusszal van.
Az aldeterminánst majd mindjárt megnézzük!
A sakktábla-szabály miatt a második sor első eleme mínusszal van.
A második elem plusszal van.
Aztán a harmadik elem ismét mínusszal, mellesleg ő eleve negatív.
A negyedik elem pedig megint plusszal.
Most jöhetnek az aldeterminánsok, amik úgy keletkeznek, hogy mindig
az adott elem sorát és oszlopát kihúzzuk.
És aztán mindegyik aldeterminánst egyenként kiszámoljuk. Ez eltart egy darabig.
Próbáljuk meg érdekesebbé tenni a dolgot azzal, hogy az első sor szerint fejtünk ki.
Megint jön a sakktábla.
Itt jön aztán a következő aldetermináns kiszámolása.
Ezt kifejthetjük mondjuk a harmadik sor szerint,
de ami még ennél is izgalmasabb, hogy oszlop szerint is ki lehet fejteni.
Mondjuk nézzük meg a harmadik oszlop szerint!
És kifejthetjük a harmadik sor szerint is,
de ami még ennél is izgalmasabb, hogy oszlop szerint is ki lehet fejteni.
Mondjuk nézzük meg a harmadik oszlop szerint!
Térjünk rá a következő 3x3-as determinánsra.
Kifejthetjük bármelyik sor szerint, vagy bármelyik oszlop szerint,
de alkalmazhatunk egy kis varázslást is.
Ez bevált, úgyhogy az utolsó megmaradt determinánst is így intézzük el.
Ezzel kész az eredeti 4x4-es mátrix determinánsa!
Kiszámolhattuk volna úgy is, hogy nem a második sor szerint fejtjük ki, hanem mondjuk a negyedik oszlop szerint. Nézzük meg ezt is!
számolunk…
És tényleg így is 0 jön ki!
AZ MÁTRIX DETERMINÁNSA NULLA, HA
VAN CSUPA NULLA SORA
VAN KÉT AZONOS SORA
EGYIK SORA MÁSIK SOR SZÁMSZOROSA
EGYIK SORA MÁS SOROK LINEÁRIS KOMBINÁCIÓJA
MINDEZ SOR HELYETT OSZLOPRA IS ELMONDHATÓ
HA A MÁTRIX ÚGY KELETKEZIK AZ MÁTRIXBÓL, HOGY
EGY SORÁNAK VAGY OSZLOPÁNAK MINDEN ELEMÉT -VAL SZOROZZUK,
MINDEN SORÁNAK MINDEN ELEMÉT -VAL SZOROZZUK,
KÉT SORÁT VAGY OSZLOPÁT FÖLCSERÉLJÜK
EGY SORÁHOZ VAGY OSZLOPÁHOZ MÁS SOROK VAGY OSZLOPOK LINEÁRIS KOMBINÁCIÓJÁT ADJUK
Néhány nagyon izgalmas dolog fog kiderülni a mátrixok determinánsával kapcsolatban.
Vannak olyan speciális mátrixok, amiknek a determinánsát különösebb szenvedés nélkül ki tudjuk számolni. Ilyenek például az úgynevezett alsó vagy felső háromszögmátrixok.
Ezek determinánsa a főátló elemek szorzata.
Az egységmátrix is háromszögmátrix.
Vannak aztán a determinánsoknak különböző érdekes tulajdonságaik.
Nézzük ezeket meg, egy-egy példával.
Végül itt van egy fontos tétel, a determinánsok szorzási tétele, ami szerint
Ha a tételben a mátrix helyére is az mátrixot írjuk
sőt
Ha pedig az mátrixnak létezik inverze, akkor a szorzási tétel alapján
SZINGULÁRIS ÉS REGULÁRIS MÁTRIXOK
Az -es mátrixokat két nagy csoportba sorolhatjuk. Vannak azok a mátrixok melyeknek a determinánsa nulla és vannak azok, amiknek nem.
Ez a kis eltérés valójában hatalmas szakadékot jelent a kétféle csoport között.
AZ MÁTRIX REGULÁRIS
LÉTEZIK INVERZ MÁTRIX
RANG=n
AZ MÁTRIX OSZLOPVEKTORAIBÓL ÁLLÓ
VEKTORRENDSZER LINEÁRISAN FÜGGETLEN
AZ EGYENLETRENDSZERNEK
CSAK EGY MEGOLDÁSA VAN
AZ HOMOGÉN LINEÁRIS
EGYENLETRENDSZERNEK CSAK EGY
MEGOLDÁSA VAN (A TRIVIÁLIS MEGOLDÁS)
AZ MÁTRIX SZINGULÁRIS
NEM LÉTEZIK INVERZ MÁTRIX
RANG<n
AZ MÁTRIX OSZLOPVEKTORAIBÓL ÁLLÓ
VEKTORRENDSZER LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ
AZ EGYENLETRENDSZERNEK
VAGY VÉGTELEN SOK MEGOLDÁSA VAN
VAGY NINCS MEGOLDÁSA
AZ HOMOGÉN LINEÁRIS
EGYENLETRENDSZERNEK VÉGTELEN
SOK MEGOLDÁSA VAN
Itt van például egy mátrix.
Nézzük meg milyen paraméter esetén létezik inverze, milyen paraméterre lesz a determinánsa éppen 0, illetve milyen paraméterre lesz az
egyenletrendszernek végtelen sok megoldása.
Az összes kérdésre egyszerre megkapjuk a választ, ha kiszámoljuk a mátrix determinánsát.
Akkor létezik inverz, ha a mátrix reguláris, vagyis a determinánsa nem nulla:
Akkor lesz a determináns éppen nulla, ha
És akkor lesz az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása, ha a mátrix szinguláris, vagyis a determinánsa nulla,
Néhány nagyon vicc es mátrixokkal kapcsolatos fogalommal fogunk megismerkedni.
Az első ilyen fogalom a sarokdetermináns vagy másnéven sarokfőminor.
Van itt egy mátrix:
Ennek a mátrixnak az első sarokfőminora ez a 2-es
A második sarokfőminor a
bal felső -es determináns
A harmadik sarokfőminor a
bal felső -as determináns
Ennek kiszámolása elég unalmas, de a kifejtési tétellel az jön ki, hogy
A negyedik sarokfőminor pedig
az egész mátrix determinánsa
Amit még az előzőnél is unalmasabb kiszámolni, de a kifejtési tétel szerint
A másik nagyon vicces fogalom a mátrixok definitsége lesz.
A definitség megállapításához pedig éppen ezek a főminorok fognak nekünk kelleni, pontosabban az, hogy milyen előjelűek.
Most éppen az első sarokfőminor pozitív, a második szintén pozitív,
a harmadik és negyedik pedig negatív.
Lássuk a definitséget.
Az -es mátrix
pozitív definit,
ha
negatív definit,
ha
pozitív szemidefinit,
ha
negatív szemidefinit,
ha
indefinit,
ha
minden sajátérték:
minden sajátérték:
minden sajátérték:
minden sajátérték:
van és sajátérték
és
-es mátrixoknál a definitség a sarokfőminorok alapján is eldönthető:
mindkét sarokfőminor
pozitív
az első negatív, a
második pozitív
az első pozitív, a
második nulla
az első negatív, a
második nulla
a többi esetben
-es mátrixoknál a definitség már nehezebben dönthető el a sarokfőminorok alapján:
minden sarokfőminor
pozitív
váltakozva - + - +
de mínusszal indul
Ha és nem az előző két esettel van dolgunk,
akkor biztosan indefinit.
Ha akkor nem tudni, ilyenkor csak
a sajátértékek kiszámolásával dönthető el.
Lássunk néhány mátrixot és állapítsuk meg a definitségüket.
Vannak itt ezek a mátrixok, döntsük el, hogy milyen definitek.
A sajátértékeket csak a legvégső esetben számoljuk ki, ha a sarokfőminorokkal szerencsétlenül járunk. Kezdjük az -val.
első sarokfőminor:
második sarokfőminor:
harmadik sarokfőminor:
Az mátrixnak minden sarokfőminora pozitív, tehát pozitív definit.
Nézzük mi van a mátrixszal.
első sarokfőminor:
második sarokfőminor:
harmadik sarokfőminor:
Itt is jön a kifejtési tétel, de nem szeretnék senkit untatni vele, az eredmény -15
A mátrix sarokfőminorai váltakozó előjellel - + - + - … ezért negatív definit.
Jöhet a .
első sarokfőminor:
második sarokfőminor:
harmadik sarokfőminor:
Már megint a kifejtési tétel, de ne húzzuk az időt, az eredmény 1
A sarokfőminorok itt is váltakozó előjelűek, de most + - +
Negatív definit csak olyankor van, ha a váltakozás mínusszal indul, tehát ez most nem lehet negatív definit.
Pozitív definit sem, mert akkor minden sarokfőminor pozitív, tehát marad a két szemidefinit és az indefinit.
A szemidefiniteknél viszont a mátrix determinánsa nulla.
Most ami nem éppen nulla, tehát indefinit.
A mátrix sarokfőminorai alapján nem lehet pozitív vagy negatív definit,
viszont miatt szemidefinit sem lehet ezért indefinit.
Végül lássuk mi van -vel.
első sarokfőminor:
második sarokfőminor:
harmadik sarokfőminor:
Hát ennél rosszabb nem is történhetett volna.
Ha a mátrix determinánsa nulla, akkor vagy valamelyik
szemidefinit vagy indefinit, de csak úgy tudjuk eldönteni,
ha kiszámoljuk a sajátértékeit.
Lássuk tehát a sajátértékeket.
A determinánst a legalsó sor szerint fejtjük ki
Ez az egész nulla, úgyhogy talán hagyjuk is.
Nem tudunk semmit kiemelni, így hát felbontjuk a zárójeleket.
és összevonunk
végül kiemelünk
A sajátértékek:
Kiemelünk 3-at
Mindhárom sajátértékre teljesül, hogy
a mátrix tehát pozitív szemidefinit.
Itt is van három különböző sajátérték, mivel pedig
különböző sajátértékekhez mindig különböző saját-
vektorok tartoznak, van három független sajátvektor.
Így hát is diagonalizálható.
Lássuk a hasonló mátrixokat!
így hát három mátrix van, amelyek ugyanannak a leképezésnek a mátrixai,
csak más-más bázisban felírva, a negyedik mátrix viszont eltérő.
Ha szimmetrikus mátrix és egy vektor -ben, akkor a
kifejezést kvadratikus alaknak nevezzük.
Ezek a kvadratikus alakok nagyon barátságosak, nézzünk is meg egy példát.
Legyen mondjuk
és
A hozzájuk tartozó kvadratikus alak
Számoljuk ki. A szorzásokat kell hozzá elvégezni, kezdjük hátulról.
Aztán még ezeket is összeszorozzuk.
És felbontjuk a zárójeleket.
Íme itt a kvadratikus alak.
Azért hívják kvadratikusnak vagyis négyzetesnek, mert ez mindig egy homogén másodfokú kifejezés. Ez azt jelenti, hogy az x-ek vagy négyzeten vannak benne,
vagy elsőfokúak, de akkor meg vannak szorozva egy másik elsőfokúval és így az is négyzetesnek számít.
Nézzünk meg egy másik kvadratikus alakot is.
és
Most az mátrix -as, így az vektornak is 3 koordinátája van.
Rettenetes lenne viszont megint elvégezni a szorzásokat, főleg, hogy most -as.
Szerencsére van itt egy trükk. Nem is olyan nagy trükk.
A kvadratikus alak valahogy úgy fog kinézni, hogy lesz benne aztán lesz és , meg lesznek vegyes tagok.
A kérdés csak az, hogy hány darab lesz ezekből. A válasz pedig éppen az mátrix.
Hát ez kész.
A dolog fordítva is működik, tehát ha van egy kvadratikus alak, akkor abból fel tudjuk írni a mátrixát.
ez például jó is:
Van itt egy kvadratikus alak:
A feladatunk az, hogy találjunk két vektort,
egy olyan vektort amire
és egy olyan vektort amire
Olyan vektort könnyű találni,
amire a kvadratikus alak pozitív.
Olyat már nehezebb, amire negatív,
de azért ilyen is van.
Aztán van itt egy másik kvadratikus alak is:
A feladatunk az, hogy találjunk két vektort,
egy olyan vektort amire
és egy olyan vektort amire
Olyat most is könnyű találni,
amire a kvadratikus alak pozitív.
próbáljuk ki ezt:
Olyat viszont nehezebb, amire negatív.
Sőt, nemhogy nehezebb, hanem lehetetlen.
Ez a kvadratikus alak tehát
tud pozitív és negatív is lenni.
Ez a kvadratikus alak viszont
csak pozitív tud lenni
A kvadratikus alakoknak ezekkel az érdekes szokásaival fogunk most foglalkozni.
A kvadratikus alak
pozitív definit, ha minden
vektorra
negatív definit, ha minden
vektorra
pozitív szemidefinit, ha minden
vektorra
negatív szemidefinit, ha minden
vektorra
indefinit, ha van olyan és ,
hogy és
A definitség eldöntésében a kvadratikus alak mátrixa segít minket.
ha a kvadratikus alak mátrixa
pozitív definit
ha a kvadratikus alak mátrixa
negatív definit
ha a kvadratikus alak mátrixa
pozitív szemidefinit
ha a kvadratikus alak mátrixa
negatív szemidefinit
ha a kvadratikus alak mátrixa
indefinit
Van itt egy kvadratikus alak, a feladatunk az, hogy döntsük el a definitségét.
Lássuk a mátrixot!
Már csak annyi dolgunk van, hogy eldöntsük, a kvadratikus alak mátrixának definitségét.
Ehhez lássuk a sarokfőminorokat.
első sarokfőminor:
3
második sarokfőminor:
harmadik sarokfőminor:
ez tutira 13
Hát úgy tűnik ez egy pozitív definit mátrix, tehát a kvadratikus alak is pozitív definit.
Nézzünk meg egy másikat is.
Van itt egy másik kvadratikus alak is, döntsük el ennek is a definitségét.
Már csak annyi dolgunk van, hogy eldöntsük, a kvadratikus alak mátrixának definitségét.
Ehhez jönnek a sarokfőminorok.
első sarokfőminor:
-5
második sarokfőminor:
harmadik sarokfőminor:
Hát úgy tűnik ez egy negatív definit mátrix, tehát a kvadratikus alak is negatív definit.
Van itt egy függvény.
Ha néhány pontjában érintőt húzunk a függvényhez,
akkor az látszik, hogy ahol az érintő fölfelé megy, ott a függvény növekszik,
ahol az érintő lefelé megy, ott a függvény csökken.
Ott pedig, ahol az érintő vízszintesen megy, a függvénynek minimuma van,
de tulajdonképpen lehet maximuma is.
Mi az a deriválás, Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.
Az érintő tehát valahogy együtt mozog a függvénnyel, így ha ki tudjuk számolni a függvény érintőinek a meredekségét, akkor meg tudjuk mondani, hogy mit csinál
maga a függvény.
Számoljuk ki mondjuk ennek az érintőnek a meredekségét.
A meredekség azt jelenti, hogy ha egyet lépünk előre, akkor mennyit lépünk fölfelé.
A meredekség kiszámolásához segítségül hívunk egy másik pontot.
Először annak az egyenesnek számoljuk ki a meredekségét,
ami ezen a két ponton megy át.
Lássuk mekkora ennek az egyenesnek a meredeksége!
amennyit fölfele megy
amennyit előre megy
Ezt a meredekséget differencia hányadosnak nevezzük.
A szelő meredeksége a
differenciahányados:
Ez igazán remek, de eredetileg az érintő meredekségének kiszámolása volt a cél.
Nos úgy lesz ebből érintő, hogy -et elkezdjük közelíteni felé, és így a szelők egyre jobban közelítenek az érintőhöz.
Az érintő meredeksége tehát a szelők meredekségének a határértéke.
Ezt differenciál hányadosnak nevezzük, ez a derivált.
Az érintő meredeksége
a differenciál hányados:
az pontban a derivált
Egy függvény deriváltja tehát azt mondja meg, hogy milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához.
Az függvény deriváltjának jelölésére az van forgalomban.
Lássuk melyik függvénynek mi a deriváltja!
A konstans függvények deriváltja nulla.
Például egy konstans függvény és
A hatványfüggvények deriváltja
például deriváltja
Ha úgy adódik, hogy ilyen gyökös izéket kell deriválni, azt ugyanígy kell:
és a derivált
Az egy biztos pont az életünkben, ugyanis deriváltja önmaga:
Az deriváltja kicsit rondább:
Itt van például ez, hogy
nos ennek a deriváltja nem mert itt x a kitevőben van.
és ez a bizonyos egy konkrét szám, nevezetesen e alapú logaritmus 5, de aggodalomra semmi ok, a számológéppel ki tudjuk számolni:
Ez igazán remek, de maradjunk inkább annál, hogy .
Aztán itt van az emlegetett deriváltja:
Az egyéb logaritmusok deriváltja pedig
például 10-es alapú logaritmus, így hát a=10 és a derivált:
Aztán itt jönnek a trigonometrikus függvények.
A szinusz deriváltja koszinusz, a koszinusz deriváltja mínusz szinusz.
A tangens deriváltja
na az már jóval barátságtalanabb, a többiről nem is beszélve.
Most pedig jöjjenek a deriválási szabályok!
És itt jön a legviccesebb, az összetett függvény deriválási szabálya.
Van itt egy függvény, ez még nem összetett.
Akkor válik összetett függvénnyé, ha x helyett mondjuk az van, hogy
Na ez már összetett függvény, és a szabály szerint úgy kell deriválni, hogy először deriváljuk a külső függvényt, ami az, hogy
aztán megszorozzuk a belső függvény deriváltjával.
Vagy itt van egy másik.
Ez nem összetett függvén, hanem egy ártatlan kis összeg.
De ha ez az egész a negyediken van,
na akkor már összetett függvény.
A külső függvény itt az, hogy
aminek a deriváltja, ahogyan lenni szokott
aztán itt is szorozni kell még a belső függvény deriváltjával.
És itt van például ez.
A külső függvény deriváltja
Most pedig elérkezett az idő, hogy szerencsét próbáljunk
a deriválás feladatokkal.
Van itt egy függvény.
Ha néhány pontjában érintőt húzunk a függvényhez,
akkor az látszik, hogy ahol az érintő fölfelé megy, ott a függvény növekszik,
ahol az érintő lefelé megy, ott a függvény csökken.
Ott pedig, ahol az érintő vízszintesen megy, a függvénynek minimuma van,
de tulajdonképpen lehet maximuma is.
Mi az a deriválás, Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.
Az érintő tehát valahogy együtt mozog a függvénnyel, így ha ki tudjuk számolni a függvény érintőinek a meredekségét, akkor meg tudjuk mondani, hogy mit csinál
maga a függvény.
Számoljuk ki mondjuk ennek az érintőnek a meredekségét.
A meredekség azt jelenti, hogy ha egyet lépünk előre, akkor mennyit lépünk fölfelé.
A meredekség kiszámolásához segítségül hívunk egy másik pontot.
Először annak az egyenesnek számoljuk ki a meredekségét,
ami ezen a két ponton megy át.
Lássuk mekkora ennek az egyenesnek a meredeksége!
amennyit fölfele megy
amennyit előre megy
Ezt a meredekséget differencia hányadosnak nevezzük.
A szelő meredeksége a
differenciahányados:
Ez igazán remek, de eredetileg az érintő meredekségének kiszámolása volt a cél.
Nos úgy lesz ebből érintő, hogy -et elkezdjük közelíteni felé, és így a szelők egyre jobban közelítenek az érintőhöz.
Az érintő meredeksége tehát a szelők meredekségének a határértéke.
Ezt differenciál hányadosnak nevezzük, ez a derivált.
Az érintő meredeksége
a differenciál hányados:
az pontban a derivált
Egy függvény deriváltja tehát azt mondja meg, hogy milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához.
Az függvény deriváltjának jelölésére az van forgalomban.
Lássuk melyik függvénynek mi a deriváltja!
A konstans függvények deriváltja nulla.
Például egy konstans függvény és
A hatványfüggvények deriváltja
például deriváltja
Ha úgy adódik, hogy ilyen gyökös izéket kell deriválni, azt ugyanígy kell:
és a derivált
Az egy biztos pont az életünkben, ugyanis deriváltja önmaga:
Az deriváltja kicsit rondább:
Itt van például ez, hogy
nos ennek a deriváltja nem mert itt x a kitevőben van.
és ez a bizonyos egy konkrét szám, nevezetesen e alapú logaritmus 5, de aggodalomra semmi ok, a számológéppel ki tudjuk számolni:
Ez igazán remek, de maradjunk inkább annál, hogy .
Aztán itt van az emlegetett deriváltja:
Az egyéb logaritmusok deriváltja pedig
például 10-es alapú logaritmus, így hát a=10 és a derivált:
Aztán itt jönnek a trigonometrikus függvények.
A szinusz deriváltja koszinusz, a koszinusz deriváltja mínusz szinusz.
A tangens deriváltja
na az már jóval barátságtalanabb, a többiről nem is beszélve.
Most pedig jöjjenek a deriválási szabályok!
És itt jön a legviccesebb, az összetett függvény deriválási szabálya.
Van itt egy függvény, ez még nem összetett.
Akkor válik összetett függvénnyé, ha x helyett mondjuk az van, hogy
Na ez már összetett függvény, és a szabály szerint úgy kell deriválni, hogy először deriváljuk a külső függvényt, ami az, hogy
aztán megszorozzuk a belső függvény deriváltjával.
Vagy itt van egy másik.
Ez nem összetett függvén, hanem egy ártatlan kis összeg.
De ha ez az egész a negyediken van,
na akkor már összetett függvény.
A külső függvény itt az, hogy
aminek a deriváltja, ahogyan lenni szokott
aztán itt is szorozni kell még a belső függvény deriváltjával.
És itt van például ez.
A külső függvény deriváltja
Most pedig elérkezett az idő, hogy szerencsét próbáljunk
a deriválás feladatokkal.
Van itt ez a két halmaz…
Hogyha az egyik halmaz elemeihez hozzárendeljük a másik halmaz elemeit…
Akkor kiderül, hogy milyen idő lesz a héten.
Az is megeshet, hogy több nap is ugyanolyan lesz az idő…
Ezzel nincsen semmi baj.
De ha szombathoz például két különböző elemet is rendelünk…
Na, akkor most esernyőt vigyünk vagy fürdőruhát?
Hát igen, ez így nem túl egyértelmű…
Egy hozzárendelést egyértelműnek nevezünk, ha minden elemhez pontosan egy másik elemet rendel hozzá.
Teljesen mindegy, hogy melyiket…
egyedül az a fontos, hogy csak egyet.
Ez a hozzárendelés most egyértelmű.
Az egyértelmű hozzárendeléseket úgy hívjuk, hogy függvény.
Az ilyen egyértelmű hozzárendeléseknek az a neve, hogy függvény.
Adott az és nem üres halmaz.
Ha az A halmaz bizonyos elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a B halmaz bizonyos elemeit, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.
Simán előfordulhat, hogy az A halmaznak csak néhány eleméhez rendeljük hozzá…
a B halmaznak néhány elemét.
És az sem okoz problémát, ha több elemhez is ugyanazt rendeljük.
Egyedül az lenne baj, ha egy elemhez rendelnénk hozzá több elemet.
ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
ÉRTÉKKÉSZLET
Az értelmezési tartomány azoknak az elemeknek a halmaza az A halmazban… amikhez a függvény hozzárendel B halmazbeli elemeket.
Az értékkészlet pedig azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban…
amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.
Az értelmezési tartományt a domain szó alapján, ami egyébként azt jelenti, hogy tartomány így jelöljük:
De a gyengébb idegzetűek kedvéért szokás úgy is jelölni, hogy É.T.
Az értékkészlet jele pedig a range szó alapján, ami azt jelenti, hogy kiterjedés:
Ennek is van egy akadálymentesített jelölése, ami így szól, hogy É.K.
Egy hozzárendelést kölcsönösen egyértelműnek nevezünk, hogyha nem csak az egyik irányba egyértelmű…
hanem a másik irányba is.
Esetünkben ez most nem mondható el.
Az eső ugyanis pénteken és szombaton is esik.
Így aztán a visszafelé irányban az esőhöz a pénteket és a szombatot is hozzárendeljük.
Talán, ha pénteken sütne egy kicsit a nap…
az minden problémát megoldana.
Ez most egy kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés.
És most lássuk, mire is használhatnánk ezeket a függvényeket, jóra vagy rosszra…
Az függvény kölcsönösen egyértelmű, ha akkor .
Vagyis különbözö x-ekhez mindig különböző y-okat rendel.
A kölcsönösen egyértelmű függvények az injektív függvények.
Itt jön aztán egy másik izgalmas tulajdonság is.
Egy függvény szürjektív, hogyha az egész B halmaz előáll képként, vagyis B minden eleme hozzá van rendelva valamelyik A-beli elemhez.
Hát ez most éppen nem mondható el, a napsütés ugyanis kimarad…
Hogyha mondjuk csütörtökön sütne egy kicsit a nap…
Na, az segítene a dolgon.
Ez a függvény így már szürjektív.
És így is szürjektív.
Hogyha ráadásul még injektív is lenne…
Ehhez egy kicsit változatosabb időjárásra lesz szükség…
Akkor ez egy injektív és szürjektív függvény, amit úgy hívunk, hogy bijektív.
Az x2 függvény grafikonja egy parabola.
A parabola csúcsa az origóban van.
Nézzük, mi történik akkor…
ha itt a zárójelen belül levonunk 3-at.
Ennek hatására a parabola eltolódik 3-mal...
A parabola csúcsa mindig oda tolódik,
ahol ez nulla.
Ez pedig akkor nulla, ha x=3.
Ebből tehát látjuk, hogy 3-mal tolódik el…
és azt is látjuk, hogy az x tengelyen.
Olyankor, amikor a 3-at így vonjuk le…
egészen más dolog történik.
Ilyenkor az y tengelyen tolódik 3-mal lefelé.
Az izgalmak növelése érdekében most nézzük, mi van akkor, ha ezt a két dolgot egyszerre csináljuk…
Kezdjük ezzel a résszel itt…
Aztán itt van még ez is.
Ezt úgy hívjuk, hogy belső függvény-transzformáció.
És úgy működik, hogy az x tengely mentén tolja el a függvény grafikonját.
A külső függvény-transzformáció a zárójelen kívül van itt.
Ez pedig az y tengelyen tolja el a függvényt.
Hogyha itt van például ez a függvény:
A belső transzformáció miatt az x tengely mentén eltolódik…
Egészen pontosan ide.
Az y tengely mentén pedig ide.
Most nézzük, mi a helyzet ezzel:
Ez pontosan ugyanúgy néz ki, mint az x2, csak éppen a kétszeresére nyújtva.
Az is megeshet, hogy a háromszorosára nyújtjuk…
Vagy éppen a mínusz kétszeresére.
És az is előfordulhat, hogy egyetlen függvényben minden eddigi rémség egyszerre van benne.
Végül itt jön még ez is:
De szenvedéseink tovább folytatódnak…
Néhány izgalmas kísérletet fogunk elvégezni a függvény segítségével.
Ha a elé írunk egy mínusz jelet, akkor ezzel a függvény grafikonját az x tengelyre tükrözzük.
Hogyha pedig belülre rakjuk a mínuszjelet, akkor az y tengelyre tükrözzük.
És ha kedvünk van, tükrözhetjük a függvényt
mindkét tengelyre is.
Lássuk, hogyan néz ki például ez…
A gyökjel előtt nincsen mínuszjel…
Itt belül az x előtt viszont igen.
Na persze még el is van tolva…
Megnézzük, hogy ez itt belül mikor nulla…
Úgy néz ki, hogy 4-gyel tolódik el az x tengelyen.
2-vel pedig fölfelé.
És talán még egy utolsó nem árthat meg:
A parabolát is pontosan ugyanígy tudjuk tükrözni a tengelyekre.
Hogyha az x2 elé írjuk a mínusz jelet, akkor a függvény grafikonját az x tengelyre tükrözzük.
Hogyha pedig a zárójelen belülre rakjuk a mínuszjelet, akkor az y tengelyre tükrözzük.
Csak sajnos ez nem igazán látszik…
mert a parabola az y tengelyre szimmetrikus.
Ezért is végeztük az iménti kísérleteinket a függvényen.
De azért így a végén még nézzük meg ezt:
Hát így kezdetnek ennyit a függvény-transzformációkról.
Ha az x különböző hatványait összeadjuk, akkor polinomokat kapunk.
Ez itt például az x5.
És, ha kivonjuk belőle azt, hogy x3…
akkor egy ilyen kanyargós polinomfüggvényt kapunk.
Íme, itt a polinomfüggvények általános alakja.
A polinomfüggvények viselkedése
A legmagasabb fokú tag együtthatóját hívjuk főegyütthatónak.
És a legmagasabb fokú tag határozza meg a polinomfüggvény viselkedését.
Ha a legmagasabb fokú tag kitevője páros és a főegyüttható pozitív, akkor így néz ki a polinomfüggvény.
Vagy így.
Ha a főegyüttható negatív, akkor ilyen.
A páratlan fokú polinomfüggvények egészen máshogy néznek ki.
Ha a főegyüttható pozitív, akkor innen lentről mennek fölfelé…
Ha negatív, akkor pedig fentről mennek lefelé.
Egy páros fokú polinomfüggvény megteheti, hogy sohasem metszi az x tengelyt.
De egy páratlan fokúnak legalább egyszer biztosan metszenie kell.
Ezért van az, hogy egy páratlan fokú polinomfüggvénynek mindig van zérushelye.
Most pedig néhány művészi rajzot fogunk készíteni.
Kezdjük egy olyan harmadfokú polinomfüggvénnyel, aminek pontosan két zérushelye van.
Egy harmadfokú polinomfüggvénynek legalább egy zérushelye biztosan van.
És maximum három tud lenni.
De egy kis trükk segítségével azért megoldható a kettő is.
Művészi pályafutásunk következő darabja egy olyan negyedfokú polinomfüggvény, aminek három zérushelye van.
Egy negyedfokú polinomfüggvénynek lehet nulla zérushelye…
aztán lehet egy is.
És kettő is.
Sőt lehet négy is.
De négynél több már nem.
Egy n-edfokú polinomfüggvénynek mindig legfeljebb n darab zérushelye tud lenni.
Ha a fokszám páratlan, akkor 1-től n-ig bármennyi lehet.
Ha a fokszám páros, akkor pedig 0-tól n-ig bármennyi.
Most éppen azt szeretnénk, hogy három zérushely legyen.
És íme, itt is van.
Próbáljuk meg kideríteni, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.
Az első grafikon ez a típus.
Egy páratlan fokú polinomfüggvény.
A mi kis függvényünk viszont negyedfokú.
A másik kettő már jobbnak tűnik.
Az ilyen extra kanyarokhoz viszont…
itt még lennie kéne valaminek.
Vagy x3-nek,
vagy x2-nek,
vagy mindkettőnek.
De egyik sincs.
Így hát a nyertes a középső.
Nézzünk meg még egyet.
Döntsük el, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.
Az első grafikon egy páros fokú polinomfüggvényé.
Úgyhogy pápá első grafikon.
A másik kettő páratlan fokú.
Ha lenne itt még egy x…
akkor lehetne itt egy extra kanyar.
De nincs.
Beszéljünk a határértékekről.
Van itt egy ártalmatlan függvény
amit kicsit izgalmasabbá teszünk ezzel a feltétellel.
Amikor a függvény még az unalmas volt, a 3-hoz azt rendelte hozzá, hogy 6.
De amióta izgalmasabbá tettük, nos azóta már 8-at.
Ezt a tényt így jelöljük, hogy
és úgy mondjuk, hogy a függvény a 3-ban 8-at vesz föl.
Ezt nevezzük függvényértéknek.
Ugyanakkor, ha az x-ekkel közelítünk a 3-hoz,
akkor a függvényértékek közelítenek a 6-hoz.
A másik oldalról is.
Ezt a tényt, hogy ha akkor úgy mondjuk, hogy a 3-ban a függvény határértéke 6 és így jelöljük:
Lássuk, mi van akkor, ha mondjuk .
A függvényérték
A határérték kiszámolásához föl kell tennünk magunknak azt a kérdést, hogy ha ,
akkor hova tart .
Nos a jelek szerint
és a határérték tehát
Vannak tehát olyan x-ek a függvény életében, ahol a határérték és a függvényérték nem egyezik meg és vannak olyanok, ahol megegyezik.
A mi függvényünk esetében egyetlen olyan x van, ahol a határérték és a függvényérték eltér.
Ez éppen x = 3, ahol a függvénnyel ez a kis kellemetlenség történik.
Itt a függvény ugrik egyet, mindenhol máshol teljesen normálisan viselkedik.
Ezt a normális viselkedést úgy fogjuk nevezni, hogy a függvény folytonos.
Folytonosnak nevezzük a függvényt azokban az x-ekben ahol a határértéke és a függvényértéke megegyezik.
A folytonosság kimutatásra pedig éppen ez lesz a módszerünk:
Kiszámoljuk a határértéket, aztán kiszámoljuk a függvényértéket, végül pedig föltesszük magunknak azt a kérdést, hogy az így kapott két szám megegyezik-e vagy sem.
Nézzünk meg néhány határértéket.
Itt van például az függvény.
Lássuk mennyi ez a határérték:
Nos ez egy folytonos függvény, ha a 2-t behelyettesítjük az jön ki, hogy
Hasonlóan nagy erőfeszítésekkel jár kiszámolni ezt is:
Mielőtt azonban túlzottan elbíznánk magunkat, nézzük meg ezt:
Ha itt x helyére 2-t írunk az jön ki, hogy
Ezzel pedig vannak bizonyos problémák. Aki nem hiszi, írja be a számológépbe és meglátja.
Szerencsére itt jön egy trükk.
Szorzattá alakítjuk a számlálót:
Aztán egyszerűsítünk.
És ebbe már be lehet helyettesíteni a 2-t.
Ha tehát itt van egy ilyen kellemetlenebb ügy, mint például ez:
Akkor a legfontosabb, hogy őrizzük meg a nyugalmunkat,
aztán próbáljunk meg szorzattá alakítani.
Utána egyszerűsítünk,
és így már be lehet helyettesíteni.
A következő képsorból kiderül, hogy ez az egész egyszerűbb, mint azt valaha is gondoltuk volna.
Hogyan tudjuk kiszámolni ezt a határértéket?
Az első lépés, hogy helyettesítsük be a függvénybe az -t.
Nézzük meg mit kapunk.
Ha amit kapunk értelmezhető, akkor kész is vagyunk.
Az így kapott szám a határérték.
Ha amit kapunk nem értelmezhető,
na akkor baj van.
Ilyenkor általában ez a két eset szokott lenni,
néha van egy harmadik.
Lássuk mi a teendő az első két esetben.
Ilyenkor a számlálót is és a nevezőt is szorzattá alakítjuk.
Ilyenkor csak a nevezőt alakítjuk szorzattá.
Ilyenkor is történik majd valami.
Vagyis mindig azt kell szorzattá alakítani, aki nulla.
Ha mindkettő nulla, akkor mindkettőt,
ha csak a nevező nulla, akkor csak a nevezőt.
Lássuk hogyan.
Nos így.
Itt ez a bizonyos ugye az a szám, ahova x tart.
Ha éppen akkor tehát 4.
Már csak annyi dolgunk van, hogy kitaláljuk ezeket.
Erre másodfokú esetben van egy trükk.
Ez most pont másodfokú, úgyhogy nézzük meg.
Föl kell tennünk magunknak néhány kérdést.
Az első kérdés: mit írjunk ide,
hogy kijöjjön az x2?
Az x jó ötletnek tűnik.
Eddig minden OK.
Most nézzük ezeket.
Na őket nem kell nézni.
Csak arra jók, hogy összezavarjanak minket, úgyhogy vegyük is őket halványabbra.
Amit nézni kell az ez.
És válaszolnunk kell arra a kérdésre, hogy a mínusz 4-et menyivel kell szoroznunk ahhoz, hogy 20-at kapjunk.
Ugyanez a trükk van alul is.
Nézzünk meg még egyet.
Azzal kezdjük, hogy behelyettesítjük a 2-t.
Ha ugyanis az jön ki, hogy 42, akkor kész is, nem kell csinálnunk semmit.
De nincs szerencsénk.
Így aztán megint jön a szorzattá alakítás.
Lássuk hogyan lesz 4x2.
Hasonló izgalmak várhatók alul is.
Most pedig lássuk ezeket.
Ez a másik eset kicsit kellemetlenebb lesz.
Itt ugyanis csak a nevezőt alakítjuk szorzattá,
és emiatt nem tudunk egyszerűsíteni.
De nézzünk egy konkrét példát.
Most is azzal kezdünk, hogy behelyettesítjük a 2-t, mert hátha szerencsénk lesz és kapunk egy konkrét számot.
Nincs szerencsénk.
Így aztán szorzattá alakítunk alul.
Felül ebben az esetben nincs értelme szorzattá alakítani,
de egyébként az -et nem is lehet.
Az tehát marad.
Alul a szokásos bűvészkedés következik.
És most jön ez a rész.
Ide már be lehet helyettesíteni a 2-t,
ezzel a résszel meg nagyon vicces dolgok fognak történni.
Vessünk egy pillantást erre a függvényre.
Ha akkor .
De csak balról.
Ha ugyanis jobbról
akkor
Ez nagyon érdekes és a következő jelölés van rá forgalomban:
Ilyenkor, amikor a jobb és bal oldali határérték nem egyezik meg, azt mondjuk, hogy nem létezik határérték.
És még egy dolog.
Már az általános iskolában is tudtuk, hogy nullával nem lehet osztani. Ennek tehát nincs értelme:
Ezeknek viszont van.
Ha a nevező negatív számokon keresztül tart nullához, akkor a tört negatív végtelenbe tart.
Ha a pozitív számokon keresztül, akkor pedig plusz végtelenbe.
Mindez azért érdekes, mert így rajz nélkül is meg tudjuk oldani az előző feladatot.
Itt kezdtünk el rajzolgatni.
Most rajz helyett behelyettesítünk.
Ez így nem értelmezhető, de…
Meg kell nézni külön balról és jobbról.
Ha akkor és negatív.
Ha viszont akkor és pozitív.
Az eredmény így is ugyanaz: nincs határérték.
Lássunk néhány határértéket.
Most pedig az előző képsorban bemutatott bűvészmutatványok következnek.
A számláló marad, a nevezőben megint jönnek a bűvészmutatványok.
Aztán a szétválasztás.
Ebbe a részbe már be is lehet helyettesíteni.
A bal oldali és a jobb oldali határérték nem egyezik meg, így nincs határérték.
Ezekben a szám/nulla esetekben általában ez szokott lenni.
De azért nem mindig.
Ha a nevező valami a négyzeten, akkor az tuti pozitív.
Ilyenkor létezik határérték és az plusz végtelen.
Vagy mínusz végtelen.
Ha a nevező valami a köbön, akkor az lehet ilyen is olyan is.
Ha a kitevő páros, akkor van határérték.
Ha a kitevő páratlan, akkor nincs.
Itt jön aztán néhány izgalmasabb ügy.
Lássuk mit kapunk, ha behelyettesítjük a 4-et.
Nos ez azt jelenti, hogy a számlálót is és a nevezőt is szorzattá kéne alakítani.
A számlálóban kiemelünk x-et és meg is van a szorzattá alakítás.
De sajnos a nevezőben található gyökjel kisebb problémákat okoz.
Valahogyan ott is elő kéne varázsolnunk -et, de ehhez egy trükkre van szükség.
Gyökteleníteni fogjuk a nevezőt.
Itt jön néhány eset, amikor magasabb fokú kifejezések vannak a határértékekben.
Ezekben az esetekben általában érdemes kiemeléssel kísérletezni.
Ez legtöbbször sikerül is. Néha nem, ilyenkor az erősebb idegzetűek próbálkozhatnak polinom osztással, a gyengébb idegzetűeknek pedig érdemes kétségbe esni.
Lássuk mit lehetne kiemelni.
Aztán alul szorzattá alakítunk.
És egyszerűsítünk.
Itt is először kiemelünk,
aztán szorzattá alakítunk.
Kis izgalmak azért adódnak az egyszerűsítésnél.
Szükség lehet néhány újabb azonosságra is. Nos itt volnának:
Lássuk mihez kezdhetnénk velük.
Most pedig jöjjön egy igazán vicces ügy.
Behelyettesítjük a 3-at,
kiderül, hogy 0/0 típus.
Így aztán a számlálót és a nevezőt is szorzattá kell alakítanunk.
Felül ki lehet emelni x3-öt.
Sajnos azonban van egy kis probléma, ugyanis a számláló és a nevező is negyedfokú.
Felül mondjuk x3 kiemelhető,
de az izé kitalálásához rettenetes polinomosztásra lesz szükség.
A valami és az izé kitalálásához ezért rettenetes polinomosztásra lesz szükség.
Lássunk néhány határértéket.
Most pedig az előző képsorban bemutatott bűvészmutatványok következnek.
A számláló marad, a nevezőben megint jönnek a bűvészmutatványok.
Aztán a szétválasztás.
Ebbe a részbe már be is lehet helyettesíteni.
A bal oldali és a jobb oldali határérték nem egyezik meg, így nincs határérték.
Ezekben a szám/nulla esetekben általában ez szokott lenni.
De azért nem mindig.
Ha a nevező valami a négyzeten, akkor az tuti pozitív.
Ilyenkor létezik határérték és az plusz végtelen.
Vagy mínusz végtelen.
Ha a nevező valami a köbön, akkor az lehet ilyen is olyan is.
Ha a kitevő páros, akkor van határérték.
Ha a kitevő páratlan, akkor nincs.
Itt jön aztán néhány izgalmasabb ügy.
Lássuk mit kapunk, ha behelyettesítjük a 4-et.
Nos ez azt jelenti, hogy a számlálót is és a nevezőt is szorzattá kéne alakítani.
A számlálóban kiemelünk x-et és meg is van a szorzattá alakítás.
De sajnos a nevezőben található gyökjel kisebb problémákat okoz.
Valahogyan ott is elő kéne varázsolnunk -et, de ehhez egy trükkre van szükség.
Gyökteleníteni fogjuk a nevezőt.
Itt jön néhány eset, amikor magasabb fokú kifejezések vannak a határértékekben.
Ezekben az esetekben általában érdemes kiemeléssel kísérletezni.
Ez legtöbbször sikerül is. Néha nem, ilyenkor az erősebb idegzetűek próbálkozhatnak polinom osztással, a gyengébb idegzetűeknek pedig érdemes kétségbe esni.
Lássuk mit lehetne kiemelni.
Aztán alul szorzattá alakítunk.
És egyszerűsítünk.
Itt is először kiemelünk,
aztán szorzattá alakítunk.
Kis izgalmak azért adódnak az egyszerűsítésnél.
Szükség lehet néhány újabb azonosságra is. Nos itt volnának:
Lássuk mihez kezdhetnénk velük.
Most pedig jöjjön egy igazán vicces ügy.
Behelyettesítjük a 3-at,
kiderül, hogy 0/0 típus.
Így aztán a számlálót és a nevezőt is szorzattá kell alakítanunk.
Felül ki lehet emelni x3-öt.
Sajnos azonban van egy kis probléma, ugyanis a számláló és a nevező is negyedfokú.
Felül mondjuk x3 kiemelhető,
de az izé kitalálásához rettenetes polinomosztásra lesz szükség.
A valami és az izé kitalálásához ezért rettenetes polinomosztásra lesz szükség.
Az függvény folytonos az -ban, ha értelmezve van az -ban, létezik és véges a határértéke az -ban és ami a lényeg:
Lássunk egy példát.
Folytonos-e a következő függvény a 3-ban?
Nos akinek látnoki képességei vannak az egyből tudja, hogy nem,
mert ez a függvény a 3-ban ugrik egyet, az ugrálás márpedig nem tesz jót a függvény folytonosságának.
Kiszámoljuk a határértéket,
aztán a függvényértéket
és ha egyenlők akkor folytonos, ha nem egyenlők akkor nem folytonos.
Nem egyenlők, tehát a függvény nem folytonos a 3-ban.
Nem folytonos a 3-ban, de folytonossá tehető.
Mindössze annyit kell tennünk, hogy átírjuk ezt.
És tessék, így már folytonos.
Nem ilyen egyszerű az ügy a 4-ben.
Itt meglehetősen nehéz lenne folytonossá varázsolni a függvényt.
Egészen pontosan lehetetlen.
Az függvény folytonossá tehető az -ban, ha értelmezve van az -ban
és létezik véges a határértéke az -ban.
Itt jön egy másik függvény, a feladat pedig az, hogy adjuk meg az és paramétereket úgy, hogy a függvény folytonos legyen 2-ben és 3-ban.
A rajz most is csak fekete mágia.
Lássuk a határértékeket. A 2-vel kezdjük.
Aztán nézzük mi van a 3-ban.
Ezt az előbb már sikeresen szorzattá alakítottuk.
Sőt már egyszerűsítettünk is.
nem adható meg úgy, hogy a függvény folytonos legyen a 3-ban.
Ez a függvény tehát folytonossá tehető a 2-ben, úgy, ha A=4 de nem tehető folytonossá a 3-ban.
Végül nézzünk meg egy harmadik függvényt is.
Derítsük ki, hogy folytonossá tehető-e az x=1 és az x=3 helyen.
Ha vetünk egy pillantást a rajzra, akkor látszik, hogy 1-ben a határérték véges, 3-ban pedig nem.
Így aztán 1-ben a függvény folytonossá tehető 3-ban nem.
Nézzük hogyan jön ez ki a rajz nélkül is.
A határérték véges, ezért a függvény folytonossá tehető.
Nem létezik határérték, így sajna 3-ban nem tehető folytonossá.
A FÜGGVÉNYEK ÉLETÉBEN FELMERÜLŐ PROBLÉMÁK.
Ha létezik véges határérték az a-ban és ez megegyezik a függvényértékkel, nos akkor a függvény folytonos.
Ha létezik véges határérték, az a-ban, de ez nem egyezik meg a függvényértékkel, akkor megszüntethető szakadás van.
Ha a bal oldali és a jobb oldali határérték két különböző szám az a-ban, akkor a szakadás nem megszüntethető és ugrásnak hívjuk.
Ha a bal és jobb oldali határérték nem is véges az a-ban, akkor pláne nem tehető folytonossá a függvény.
Végül meglehetősen patologikus esetek is vannak, amikor még csak jobb vagy bal oldali határérték sem létezik.
oscillating discontinuity
removable
jump discontinuity
Itt jön egy érdekes függvény:
A kérdés, hogy folytonos-e ez a függvény az x=2 helyen.
Nos akinek látnoki képességei vannak az egyből tudja, hogy nem.
Lássuk hogyan derül ez ki rajz nélkül is.
4.16. Megadható-e az A szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen
az x=1 helyen?
És most beszéljünk a trigonometrikus függvények határértékéről.
Itt jön néhány izgalmas ügy.
Nos ez egy 0/0 típusú határérték és jegyezzük meg, hogy
Van itt egy másik nagyon remek 0/0 típusú eset is,
jegyezzük meg ezt is.
Sőt vannak ezeknek ilyen mutáns változataik is.
Ha tehát ki kell számolnunk ezt a határértéket:
Akkor megállapíthatjuk, hogy
és mivel ezért , tehát a mutáns változat szerint az eredmény 1.
Ez nagyszerű, most pedig nézzünk néhány feladatot.
Ha a szinuszban 2x van, de a nevezőben csak x, akkor cselhez kell folyamodni.
Itt először a számlálót és nevezőt is leosztjuk* x-el,
aztán tömegesen alkalmazzuk az előző cselt.
*tudományosabban fogalmazva egyszerűsítünk x-el
Nos ez egy elég unalmas feladat, de ha már itt van megoldjuk ezt is.
Most pedig jönnek az izgalmak.
A hangok azt súgják, hogy itt x2-tel kéne osztani.
Mármint egyszerűsíteni.
Ezeknek pedig jót tenne, ha nem külön-külön osztanánk x2-tel,
hanem egyben.
Itt jön egy még izgalmasabb eset.
Végül a legizgalmasabb.
Van egy ilyen, hogy
Alul is kiemelünk –et.
A számlálót és a nevezőt is beszorozzuk -el.
Most pedig jön egy trükk.
Meg egy másik trükk.
Itt jön egy érdekes függvény:
A kérdés, hogy folytonos-e ez a függvény az x=2 helyen.
Nos akinek látnoki képességei vannak az egyből tudja, hogy nem.
Lássuk hogyan derül ez ki rajz nélkül is.
4.16. Megadható-e az A szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen
az x=1 helyen?
Itt az ideje, hogy megismerkedjünk az integrálással. Rögtön kétfélével is, a határozott és a határozatlan integrálással.
A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.
Van itt egy függvény
aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.
A határozatlan integrálás egészen máshogy működik.
Azért nevezzük határozatlannak, mert itt nincsenek a és b határai az integrálásnak, csak úgy egyszerűen integrálgatunk:
f(x) határozatlan integrálja egy függvény, amit primitív függvénynek neveztek el.
A primitív függvény jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et.
Ez a határozatlan integrálás tulajdonképpen nem más, mint a deriválás megfordítása.
Emiatt úgy is szokás emlegetni, mint antideriválás.
Lássunk néhány példát.
Itt van mondjuk ez:
Egy olyan függvényre van szükségünk, aminek a deriváltja 2x.
Ilyen függvény van, mégpedig az
Itt jön egy másik:
Olyan függvény is van, aminek deriváltja
Ha még emlékszünk rá
Ha valaki tudja, hogy mi az az abszolútérték, akkor nem fogja nagyon felzaklatni a hír, hogy az még kell ide. Ez amiatt van, mert az
függvényt negatív x-ekre is szeretnénk integrálni.
lnx viszont csak a pozitív x-eket szereti és ezt a kis problémát oldja meg az abszolútérték,
de elég annyit megjegyezni, hogy
Végül lássunk még egyet:
Mit kell deriválni vajon, hogy x2-et kapjunk?
Ez majdnem jó, csak el kell osztani 3-mal.
És még egy dolog. Ha deriváljuk az x2-et az persze 2x, de
Vagyis x2 után állhat tetszőleges konstans.
Sőt itt is, meg itt is.
Most pedig lássuk, mi a kapcsolat a határozott és a határozatlan integrálás között.
A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele.
Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.
Ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon, akkor
ez itt azt jelenti, hogy a primitív függvény megváltozása, vagyis először be kell helyettesíteni a b-t, aztán pedig kivonni belőle, hogy behelyettesítjük az a-t
Próbáljuk is ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.
Itt jön a primitív függvény, aminek vennünk kell a megváltozását 0-tól 1-ig.
Probléma akkor van, ha nem jut eszünkbe a primitív függvény.
Számoljuk ki például az
görbe alatti területét 0 és 1 között.
Addig semmi gond, hogy felírjuk mit kéne integrálni.
Az viszont már baj, hogy fogalmunk sincs, mi lehet a primitív függvény.
A problémát tehát a primitív függvények keresése vagyis a határozatlan integrálás fogja okozni.
Vagyis itt az ideje, hogy fejlesszük ezt a képességünket.
Az igény ugyanakkor egyre nagyobb volt arra, hogy a bonyolult fizikai folyamatokat képesek legyenek leírni, csak éppen az nem volt világos, hogyan. Az 1700-as évek elejéig kellett várni erre, amikor nyilvánosan is megjelent egy angol fizikus-matematikus fluxió elmélete, amely alapjaiban változtatta meg a fizika és a matematika működését. Az illetőt Isaac Newtonnak hívták és elméletét már az 1660-as években kidolgozta, de akkor még nem érezte teljesen késznek a megjelentetésre, ugyanis voltak benne bizonyos definiálásból eredő pontatlanságok. Nos, ezeket a kisebb pontatlanságokat csak 100 évvel később, az 1800-as évek elejére sikerült kiiktatnia Augustin Louis Cauchy francia mérnök-matematikusnak, így aztán utólag megállapíthatjuk, Newton akár azon nyomban is előállhatott volna elméletével, ezzel megkímélve magát egy felesleges hiúsági versenytől, amelyet a kor másik hatalmas gondolkodójával Gottfried Wilhelm Leibniz-cel vívott.
A dolog ugyanis úgy áll, hogy Newton és Leibniz lényegében egyszerre jött rá egymástól függetlenül és más-más okok által motiválva ugyanarra a dologra. Míg Newtont a fizikai világ matematikai leírása vezérelte, addig Leibniz – aki inkább volt filozófus, mint matematikus – egészen más irányból közelített a problémához. Newton egy módszert fejlesztett ki, amely képessé tette az emberiséget arra, hogy leírhassa a minket körülvevő világ fizikai folyamatait. Leírhassa, hogy ezáltal lehetőség nyíljon a problémák megoldására. Amint az később számos alkalommal kiderült, a probléma leírását egyáltalán nem követi azonnal a megoldás megtalálása, de ha leírni sem vagyunk képesek a problémát, akkor egészen biztosan nem tudjuk megoldani. Ezzel szemben Leibniz arra érzett rá, hogy az 1600-as évek matematikusai rátaláltak valamire, de „mintha bekötött szemmel jártak volna” nem voltak képesek ezt egy kerek egységes elméletté kidolgozni. Leibniz megtette azt a sorsdöntő lépést, hogy egységes és nagyon okos jelölést vezetett be és ezen jelölésének köszönhetően képes volt olyan új összefüggéseket is meglátni, melyeket maga Newton sem látott.
A Newton és Leibniz közötti prioritási vita voltaképpen azért volt igazán tragikus, mert ha nem egymással szemben, hanem egymás mellett dolgoztak volna, közösen talán képesek lettek volna betömni azokat a réseket, amelyeknek a betömésére még több mint 100 évet kellett várni.
A primitív függvények keresését úgy fogjuk kezdeni, hogy visszaemlékszünk néhány fontosabb függvény deriváltjára.
Itt van mindjárt az xn
Ha deriválunk, akkor a kitevő 1-el csökken. Ha integrálunk, akkor 1-el nő.
Kis probléma van ugyan, ha
De éppen itt jön a megoldás.
Aztán végre egy biztos pont az életünkben.
A lista elég hosszú lesz.
És ez még csak a kezdet. Most viszont tisztáznunk kell néhány nagyon fontos dolgot.
Itt az egyik:
de
És itt a másik:
Próbáljuk meg kitalálni, hogy mi lehet vajon
Logikusnak tűnik, hogy
De sajnos van egy kis gond:
Az integrálás a deriválás fordítottja, tehát ha egy függvényt integrálunk majd deriválunk, akkor pontosan vissza kell kapnunk az eredeti függvényt. Most viszont ez nem mondható el.
Nem kapjuk vissza az eredeti függvényt, mert a deriválásnál bejön ide ez a 3-as szorzó.
Mondjuk ezen lehet segíteni.
Ha a kitevőben valami ax+b típusú kifejezés szerepel
akkor az integrálásnál szorozni kell -val
Vegyük például ezt:
Most nem a kitevőben, hanem a nevezőben van egy ax+b típusú kifejezés.
Ez a módszer gyakran fog kelleni így hát valami közeli helyen raktározzuk el a fejünkben.
Most pedig jöjjenek az izgalmak!
Integrálni sokkal viccesebb elfoglaltság lesz, mint deriválni.
Itt van például egy szorzat.
Deriválni nagyon egyszerű, egyetlen szabályt kell csak megjegyeznünk és aztán bármilyen szorzatra használhatjuk.
Ha viszont integrálni kell, nos akkor a helyzet sokkal izgalmasabb.
Lesz legalább öt különböző szabály és ki kell tudnunk találni, hogy épp melyik módszerrel kell majd integrálni.
Egy apró változás és máris másik módszer kell.
Vagyis nem fogunk unatkozni.
Ahhoz, hogy sikerüljön felülkerekednünk ezeken a kis nehézségeken, az integrálási szabályokat úgy fogjuk csoportosítani, hogy a legegyszerűbbtől indulunk el és haladunk az egyre bonyolultabbak felé.
Lássuk a szabályokat.
INTEGRÁLÁSI SZABÁLYOK
A legelső szabály pont olyan, mint a deriválásnál. A konstans szorzó kivihető.
A második szabály az összegek integrálására vonatkozik. Még ez is olyan, mint a deriválásnál: összeget külön-külön integrálunk.
A szorzatokra vonatkozó szabály már izgalmasabb. Nincs ugyanis ilyen szabály.
Ha egy szorzatot kell integrálni, akkor több különböző módszert is választhatunk. Pontosan ötöt.
De azt is el kell majd tudnunk dönteni, hogy mikor melyik szabályra lesz szükség és ezt nem javasolt pénzfeldobással.
Szerencsére mindegyik módszerről lesz egy külön képsor, amiből kiderül róla hogyan kell használni, sőt az is kiderül majd, hogy mikor kell használni.
Aztán ugyanez a helyzet a törtekkel. Törtek integrálására is lesz néhány módszer. Lássuk csak, úgy kábé három.
És összetett függvényekre is van minimum kettő.
Úgyhogy vágjunk is bele.
Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk
Hát nem ez volt életünk legnehezebb integrálása.
És valószínűleg ez sem az lesz:
Itt az ideje, hogy lássunk valami érdekesebbet.
Jöhet a következő integrálási szabály.
Lássunk erre egy példát.
Itt jön egy másik.
És egy harmadik.
Néha bele kell fektetnünk egy kis energiát, hogy minden stimmeljen.
Itt van például ez:
Megkezdjük az azonosítást.
A jelek szerint kéne ide egy 6-os szorzó.
Így hát az integráláson belül szorzunk 6-tal, az integráljel előtt pedig osztunk.
Nézzük mi jöhet még.
Ezen még javítanunk kell egy kicsit, aztán hopp, kész is.
Itt jön aztán ez.
Vannak egészen trükkös esetek is.
Ilyenkor az fα a nevezőben van így először meg kell kérni, hogy jöjjön föl onnan,
és utána használhatjuk a képletet.
Itt van még egy.
És itt jön még egy.
Végül pedig nézzünk meg néhány bűvészmutatványt.
Nos ez az integrálási szabály ennyit tud. De van még bőven sok másik integrálási módszer is. Éppen itt jön a következő, ami az egyik legizgalmasabb.
A parciális integrálást szorzatok integrálására fejlesztették ki.
Az elnevezés onnan ered, hogy a szorzatot részenként fogjuk integrálni.
Nézzük meg hogyan.
Szükségünk van egy szereposztásra.
A szorzatban az egyik tényező lesz az f a másik pedig a g’.
Nem javasolt azonban ezt pénzfeldobással eldönteni.
Vagyis hasznos lenne egy jó ötlet ami alapján dönthetünk.
Próbáljuk meg először így.
A parciális integrálás célja, hogy egy bonyolultabb integrálásból egy egyszerűbb integrálást csináljon.
A szereposztás akkor jó, ha sikerül elérni ezt a célt.
Most nem sikerült.
Ez az integrálás ugyanis bonyolultabb mint az eredeti, mert x helyett x2 van benne.
Mit rontottunk el?
Nos a helyzet az, hogy a szereposztásnál van egy f és egy g’.
Menet közben az f-et deriváljuk, a g’-t integráljuk és ezek jelennek meg majd az új integrálásban.
Ha az x-et nevezzük g’-nek, akkor őt fogjuk integrálni, ezáltal a kitevőjét növeljük.
Ha az x-et nevezzük f-nek, akkor deriválni fogjuk és így a kitevője csökken.
Nekünk az a jó ha csökken.
Fordítva kell tehát elnevezni.
ezért fordítva kell elnevezni.
Ezzel a szereposztással az x-et deriváljuk és 1 lesz belőle.
Az ex-nek meg tökmindegy, belőle ugyanúgy ex lesz, mint az előbb.
És íme elértük célunkat, ez a második integrálás már valóban egyszerűbb.
Nézzünk meg még egyet.
Az eddigiek alapján úgy tűnik f=x2 lesz a nyerő választás.
A célunkat elértük, egy bonyolultabb integrálásból egy egyszerűbb integrálást csináltunk.
De még nem elég egyszerűt, ezért újra parciálisan integrálunk.
Az eddigiekből az derült ki, hogy mindig a szorzatban szereplő x hatványt érdemes f-nek nevezni.
Írjunk erről magunknak egy kis emlékeztetőt.
SZEREPOSZTÁS:
De túl szép lenne, ha nem lennének bosszantó kivételek.
Itt van például ez.
A feljegyzéseink alapján így kéne elnevezni.
Csak sajnos így nem jön ki semmi. Aki nem hiszi, próbálja ki és meglátja.
Éppen ezért fordítva nevezünk el.
Bővítjük a listánkat.
esetek,amikor fordítva kell elnevezni:
És még egy dolog.
Vannak itt ezek a függvények azokból az esetekből amikor fordítva kell elnevezni.
Nos próbáljuk meg őket integrálni.
Szükségünk lesz egy kis trükkre.
Parciálisan fogunk integrálni, a listánk alapján őket nevezzük f-nek és most jön a trükk: g’=1
Lássunk egy másikat is.
A parciális integrálás célja, hogy egy bonyolultabb integrálásból egy egyszerűbb integrálást csináljon.
Az előző képsorból kiderült hogyan működik a parciális integrálás, most pedig megoldunk még néhány igazán remek feladatot.
Itt jön például ez:
=f · g- f f’·g
Nézzünk meg még egyet.
f f·g’ =f·g- f f’·g
Parciálisan integrálunk, kiosztjuk a szerepeket:
=f · g - f f’·g
Itt jön még egy.
Nos van egy ilyen, hogy
Vigyázni kell ezzel a parciális integrálással, nagy mennyiségben ugyanis ártalmas lehet.
De talán még egy nem árthat meg.
Nos van egy ilyen is, hogy
Sőt egy ilyen is
=f · g - f f’·g
A parciális integrálás lényege tehát az, hogy bonyolultabb integrálásokból csinál egyszerűbb integrálásokat.
Azt a folyamatot, amikor egy bonyolultabb integrálás átalakul egy egyszerűbb integrálásra redukciónak nevezzük.
Itt jön néhány redukciós formula. Ezeket tulajdonképpen semmi értelme megjegyezni, mert bármikor ki tudjuk számolni.
Arra tudjuk őket használni, hogy elintézhessünk néhány kellemetlenebb integrálást.
Nos ez a csodálatos parciális integrálás ennyit tud. Szorzatokat lehet integrálni parciálisan, de nem akármilyen szorzatokat csak bizonyosakat. Mielőtt integrálunk, tehát meg kell győződnünk arról, hogy ez a szorzat parciálisan integrálható vagy valamilyen más integrálási módszerrel.
A parciális integrálást szorzatok integrálására fejlesztették ki.
Az elnevezés onnan ered, hogy a szorzatot részenként fogjuk integrálni.
Nézzük meg hogyan.
Szükségünk van egy szereposztásra.
A szorzatban az egyik tényező lesz az f a másik pedig a g’.
Nem javasolt azonban ezt pénzfeldobással eldönteni.
Vagyis hasznos lenne egy jó ötlet ami alapján dönthetünk.
Próbáljuk meg először így.
A parciális integrálás célja, hogy egy bonyolultabb integrálásból egy egyszerűbb integrálást csináljon.
A szereposztás akkor jó, ha sikerül elérni ezt a célt.
Most nem sikerült.
Ez az integrálás ugyanis bonyolultabb mint az eredeti, mert x helyett x2 van benne.
Mit rontottunk el?
Nos a helyzet az, hogy a szereposztásnál van egy f és egy g’.
Menet közben az f-et deriváljuk, a g’-t integráljuk és ezek jelennek meg majd az új integrálásban.
Ha az x-et nevezzük g’-nek, akkor őt fogjuk integrálni, ezáltal a kitevőjét növeljük.
Ha az x-et nevezzük f-nek, akkor deriválni fogjuk és így a kitevője csökken.
Nekünk az a jó ha csökken.
Fordítva kell tehát elnevezni.
ezért fordítva kell elnevezni.
Ezzel a szereposztással az x-et deriváljuk és 1 lesz belőle.
Az ex-nek meg tökmindegy, belőle ugyanúgy ex lesz, mint az előbb.
És íme elértük célunkat, ez a második integrálás már valóban egyszerűbb.
Nézzünk meg még egyet.
Az eddigiek alapján úgy tűnik f=x2 lesz a nyerő választás.
A célunkat elértük, egy bonyolultabb integrálásból egy egyszerűbb integrálást csináltunk.
De még nem elég egyszerűt, ezért újra parciálisan integrálunk.
Az eddigiekből az derült ki, hogy mindig a szorzatban szereplő x hatványt érdemes f-nek nevezni.
Írjunk erről magunknak egy kis emlékeztetőt.
SZEREPOSZTÁS:
De túl szép lenne, ha nem lennének bosszantó kivételek.
Itt van például ez.
A feljegyzéseink alapján így kéne elnevezni.
Csak sajnos így nem jön ki semmi. Aki nem hiszi, próbálja ki és meglátja.
Éppen ezért fordítva nevezünk el.
Bővítjük a listánkat.
esetek,amikor fordítva kell elnevezni:
És még egy dolog.
Vannak itt ezek a függvények azokból az esetekből amikor fordítva kell elnevezni.
Nos próbáljuk meg őket integrálni.
Szükségünk lesz egy kis trükkre.
Parciálisan fogunk integrálni, a listánk alapján őket nevezzük f-nek és most jön a trükk: g’=1
Lássunk egy másikat is.
A parciális integrálás célja, hogy egy bonyolultabb integrálásból egy egyszerűbb integrálást csináljon.
Az előző képsorból kiderült hogyan működik a parciális integrálás, most pedig megoldunk még néhány igazán remek feladatot.
Itt jön például ez:
=f · g- f f’·g
Nézzünk meg még egyet.
f f·g’ =f·g- f f’·g
Parciálisan integrálunk, kiosztjuk a szerepeket:
=f · g - f f’·g
Itt jön még egy.
Nos van egy ilyen, hogy
Vigyázni kell ezzel a parciális integrálással, nagy mennyiségben ugyanis ártalmas lehet.
De talán még egy nem árthat meg.
Nos van egy ilyen is, hogy
Sőt egy ilyen is
=f · g - f f’·g
A parciális integrálás lényege tehát az, hogy bonyolultabb integrálásokból csinál egyszerűbb integrálásokat.
Azt a folyamatot, amikor egy bonyolultabb integrálás átalakul egy egyszerűbb integrálásra redukciónak nevezzük.
Itt jön néhány redukciós formula. Ezeket tulajdonképpen semmi értelme megjegyezni, mert bármikor ki tudjuk számolni.
Arra tudjuk őket használni, hogy elintézhessünk néhány kellemetlenebb integrálást.
Nos ez a csodálatos parciális integrálás ennyit tud. Szorzatokat lehet integrálni parciálisan, de nem akármilyen szorzatokat csak bizonyosakat. Mielőtt integrálunk, tehát meg kell győződnünk arról, hogy ez a szorzat parciálisan integrálható vagy valamilyen más integrálási módszerrel.
TRIGONOMETRIKUS KIFEJEZÉSEK INTEGRÁLÁSA
A trigonometrikus kifejezések integrálása nem könnyű. Néhány egyszerűbb trükköt és a legfontosabb módszereket nézzük most meg. Kezdjük rögtön az egyik legizgalmasabbal.
A helyettesítéses integrálás egyik legfurább esete az u= tan(x/2)
Olyankor használjuk, ha a törtben sinx és cosx is csak első fokon szerepel.
A helyettesítés lényege a következő három azonosság:
Most pedig bűvészmutatványok következnek.
Aki nem annyira rajong a bűvészetért, ezt a részt átugorhatja.
Egy kisebb trükkel kezdünk:
Aztán egy közepes trükkel folytatjuk.
Végül egy záró trükk következik.
A bűvészkedésnek vége, és azt kaptuk, hogy
Végül még egy dolog.
A helyettesítésnél szükségünk van a kifejezett x deriváltjára is.
Nos ehhez először kifejezzük x-et.
Van egy ilyen, hogy
Így aztán pápá tangens, megvan az x.
És megvan a derivált is. Ugyebár
Jó hír, hogy az iménti a megpróbáltatásokat csak most az egyszer kellett elszenvednünk.
Innentől annyi dolgunk van, hogy följegyezzük ezeket és ha szükség lesz rá, csak megnézzük.
Itt jön egy feladat.
A módszer bonyolultabb esetekben is beválik:
Kicsit darabolgatunk
és aztán kész is.
A tangens x feles helyettesítés olyan esetekben használható amikor szinusz és koszinusz is első fokon szerepel. Más esetekben ez a tangens x feles helyettesítés nem igazán nyerő, ilyenkor másfajta helyettesítéseket érdemes alkalmazni
Hát ennyit erről.
Ez a tétel tulajdonképpen az összetett függvények integrálásáról szól. Csak sajnos az a gond az összetett függvényekkel, hogy az integrálásuk általában elég reménytelen vállalkozás.
Nem rendelkezik elemi primitívfüggvénnyel ezek közül a függvények közül egyik sem:
Ezeket az integrálokat tehát sajna nem tudjuk kiszámolni. Úgy értem nem ma, hanem egyáltalán. A helyzetünk akkor válik reménytelivé, ha ezek a függvények meg vannak szorozva a belső függvényeik deriváltjával.
néhány speciális esetet érdemes megjegyeznünk
Íme itt van hozzájuk pár feladat.
Vannak aztán olyan esetek is, amikor bele kell fektetnünk egy kis energiát, hogy minden stimmeljen.
alak eléréséhez.
Általában két lehetőség van.
A könnyebbik, amikor csak konstansban tér el az integrálandó függvény a reményteli állapottól, a másik, amikor már x-et tartalmazó tényezők is eltérnek.
Ha csak konstansbeli eltérés mutatkozik, az könnyen megoldható:
PÉLDÁK:
A másik lehetőség, már jóval kellemetlenebb. Nézzünk rá egy példát!
Első ránézésre ez egy
típusú esetnek tűnik, csakhogy van egy kis gond.
Itt ugyanis a kitevő deriváltjának kéne lennie, de az x2 deriváltja 2x.
Innen jön az ötlet, hogy ha ott 2x-nek kellene lennie, hát akkor írjunk oda 2x-et.
Persze így megváltoztatjuk a feladatot. Ahhoz, hogy ne változzon meg, ha beszorzunk 2x-el akkor el is kell vele osztani.
Be is szoroztunk 2x-el és el is osztottunk 2x-el, így az eredeti feladat nem változott meg.
Viszont itt megjelent a kitevő deriváltja, tehát most már tudjuk integrálni.
Az egetlen kérdés, hogy mihez kezdünk ezzel a résszel.
Parciálisan fogunk integrálni.
Itt még egy kicsit integrálunk, aztán kész is.
Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.
Ez a földarabolásos módszer általában akkor hasznos, ha a nevező egyetlen tagból áll, vagyis ha nincs a nevezőben összeadás.
De néha előfordulhat, hogy akkor is működik, ha van.
Vannak aztán egészen trükkös esetek is.
Na ennyit a feldarabolásról.
T2
Lássunk erre egy példát
deriváljuk
Itt jön egy másik:
Megeshet, hogy a számláló nem a nevező deriváltja, de majdnem.
Ilyen esetekben, hogy ihletet merítsünk, deriváljuk a nevezőt, és hasonlítsuk össze a számlálóval, hogy kiderüljön, mit kell tennünk a siker érdekében.
A számlálóban sajna csak x van, de nekünk 4x kéne.
A számlálót szorozzuk 4-gyel, cserébe pedig az integráljel előtt osztunk 4-gyel.
Nem csak az lehet baj, ha kevesebb x van a számlálóban, hanem az is, ha több.
A nevező deriváltja , de a számlálóban van, ami több, mint kéne, ezért kihozunk onnan egy 3-as szorzót.
Végül vannak egészen furmányos esetek is.
Vannak aztán trükkösebb esetek is.
HELYETTESÍTÉSES INTEGRÁLÁS
A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést u-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.
Nézzünk erre egy példát!
Az ilyen esetekben mindig az egész gyökös kifejezést érdemes elnevezni u-nak.
HASZNOS HELYETTESÍTÉSEK
Eddig jó, most pedig kifejezzük x-et.
Amit aztán feltehetően majd be fogunk helyettesíteni ide.
De sajna van itt még egy dolog.
Nos az, hogy a dx-et is le kell cserélni, mégpedig a következőképpen.
A kifejezett x-et deriváljuk u szerint.
Akit esetleg meglep amit lát, nos mindent meg tudok magyarázni.
A dolog úgy áll, hogy réges-régen az emberek még nem a jól ismert f’ jelölést használták a deriválásra, hanem azt, hogy
Vannak akik még ma is ezt használják.
Később aztán egyszerűsítették a jelöléseket, de valamilyen rejtélyes okból itt a
helyettesítéses integrálásnál mégis megmaradt az ősi módszer.
Szóval törődjünk bele, hogy a kifejezett x-nek a deriváltja nem a szokásos
hanem
Remélhetőleg azért senkinek nem lesznek álmatlan éjszakái emiatt.
Most pedig jön a helyettesítés.
Nos ez megvolna.
Nézzünk meg még egy ilyet.
A helyettesítéses integrálást érdemes használni akkor is, ha ronda összetett függvényekkel van dolgunk.
Ilyenkor általában a belső függvényt nevezzük el u-nak.
Most pedig parciálisan integrálunk.
Lássunk még egy ilyet.
Ebből ki kell fejeznünk x-et
egy kis trükk segítségével.
Van egy ilyen, hogy
úgyhogy ezzel megvolnánk.
Már csak deriválni kell u szerint.
És jöhet a helyettesítés.
Most pedig integrálunk. A nevező deriváltja
éppen a számláló.
Vannak aztán ezeknél izgalmasabb helyettesítések is.
Már jönnek is a következő képsorban. Persze csak azoknak akik kedvelik az izgalmakat.
A helyettesítéses integrálás úgy működik, hogy egy kifejezést u-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.
Eddig voltak a könnyebb helyettesítéses integrálások most pedig jöhetnek a nehezebbek. Kezdjük például a gyökös esetekkel.
Ha a gyök alatti kifejezés lineáris, az a kellemesebb ügy, ilyenkor mindig az egész gyökös kifejezést érdemes helyettesíteni.
Ha viszont a gyök alatti kifejezés nem lineáris, nos akkor egészen más a helyzet.
Ilyenkor nem is mindig helyettesítéssel érdemes próbálkozni.
Gyanakvásra ad okot, hogy a gyök alatti 1 – x4 deriváltja majdnem a számláló.
Így aztán nem helyettesítünk, hanem
az S2 névre keresztelt módszert használjuk.
De ha bosszantó módon a számlálóban nem x3 van hanem x2,
akkor az előző módszer nem működik.
Így hát elkeseredésünkben a helyettesítéses integrálást választjuk.
Íme a menü.
Most éppen erre lesz szükség.
Lássuk mi lesz ebből.
Most jön az, hogy deriváljuk x-et.
Először a külső függvényt deriváljuk,
aztán a belsőt.
Hát ez eddig nem tűnik túl bíztatónak. De nézzük a helyettesítést.
És most jön a lényeg.
Az egész helyettesítést azért csináljuk, mert
és így megszabadulunk a gyökjeltől.
Az már csak külön mázli, hogy egyszerűsíteni is tudunk.
Végül pedig kiderül, hogy ez életünk legkönnyebb integrálása.
Már csak annyi dolgunk van, hogy u helyére visszaírjuk, hogy mit is neveztünk u-nak.
Tényleg mit is neveztünk u-nak?
Most pedig mindkét oldalnak vesszük az arkusz szinuszát.
Ez a szinusz inverze, és így
Nézzünk meg még egy izgalmas esetet.
Most jön az, hogy megszabadulunk a gyökjeltől.
És most pedig jó lenne integrálni egyet.
Ehhez egy kis trükkre van szükség.
Már megint
Aztán pedig darabolunk (T1)
Végül u helyére visszaírjuk, hogy mit is neveztünk u-nak.
A következő történet a trigonometrikus függvények helyettesítéséről fog szólni.
Nézzünk meg egy gyökös esetet is ebben a j(t) belső függvényes verzióban.
Ilyenkor a nevezőben lévő gyökös kifejezést érdemes elnevezni t-nek,
tehát így és .
Ez utóbb lesz a j(t) függvény,
vagyis és .
A helyettesítést elvégezve feladatunk a következőképpen alakul:
Itt még t helyére vissza kell helyettesíteni és kész is.
HELYETTESÍTÉSES INTEGRÁLÁS
A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést u-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.
Nézzünk erre egy példát!
Az ilyen esetekben mindig az egész gyökös kifejezést érdemes elnevezni u-nak.
HASZNOS HELYETTESÍTÉSEK
Eddig jó, most pedig kifejezzük x-et.
Amit aztán feltehetően majd be fogunk helyettesíteni ide.
De sajna van itt még egy dolog.
Nos az, hogy a dx-et is le kell cserélni, mégpedig a következőképpen.
A kifejezett x-et deriváljuk u szerint.
Akit esetleg meglep amit lát, nos mindent meg tudok magyarázni.
A dolog úgy áll, hogy réges-régen az emberek még nem a jól ismert f’ jelölést használták a deriválásra, hanem azt, hogy
Vannak akik még ma is ezt használják.
Később aztán egyszerűsítették a jelöléseket, de valamilyen rejtélyes okból itt a
helyettesítéses integrálásnál mégis megmaradt az ősi módszer.
Szóval törődjünk bele, hogy a kifejezett x-nek a deriváltja nem a szokásos
hanem
Remélhetőleg azért senkinek nem lesznek álmatlan éjszakái emiatt.
Most pedig jön a helyettesítés.
Nos ez megvolna.
Nézzünk meg még egy ilyet.
A helyettesítéses integrálást érdemes használni akkor is, ha ronda összetett függvényekkel van dolgunk.
Ilyenkor általában a belső függvényt nevezzük el u-nak.
Most pedig parciálisan integrálunk.
Lássunk még egy ilyet.
Ebből ki kell fejeznünk x-et
egy kis trükk segítségével.
Van egy ilyen, hogy
úgyhogy ezzel megvolnánk.
Már csak deriválni kell u szerint.
És jöhet a helyettesítés.
Most pedig integrálunk. A nevező deriváltja
éppen a számláló.
Vannak aztán ezeknél izgalmasabb helyettesítések is.
Már jönnek is a következő képsorban. Persze csak azoknak akik kedvelik az izgalmakat.
A helyettesítéses integrálás úgy működik, hogy egy kifejezést u-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.
Eddig voltak a könnyebb helyettesítéses integrálások most pedig jöhetnek a nehezebbek. Kezdjük például a gyökös esetekkel.
Ha a gyök alatti kifejezés lineáris, az a kellemesebb ügy, ilyenkor mindig az egész gyökös kifejezést érdemes helyettesíteni.
Ha viszont a gyök alatti kifejezés nem lineáris, nos akkor egészen más a helyzet.
Ilyenkor nem is mindig helyettesítéssel érdemes próbálkozni.
Gyanakvásra ad okot, hogy a gyök alatti 1 – x4 deriváltja majdnem a számláló.
Így aztán nem helyettesítünk, hanem
az S2 névre keresztelt módszert használjuk.
De ha bosszantó módon a számlálóban nem x3 van hanem x2,
akkor az előző módszer nem működik.
Így hát elkeseredésünkben a helyettesítéses integrálást választjuk.
Íme a menü.
Most éppen erre lesz szükség.
Lássuk mi lesz ebből.
Most jön az, hogy deriváljuk x-et.
Először a külső függvényt deriváljuk,
aztán a belsőt.
Hát ez eddig nem tűnik túl bíztatónak. De nézzük a helyettesítést.
És most jön a lényeg.
Az egész helyettesítést azért csináljuk, mert
és így megszabadulunk a gyökjeltől.
Az már csak külön mázli, hogy egyszerűsíteni is tudunk.
Végül pedig kiderül, hogy ez életünk legkönnyebb integrálása.
Már csak annyi dolgunk van, hogy u helyére visszaírjuk, hogy mit is neveztünk u-nak.
Tényleg mit is neveztünk u-nak?
Most pedig mindkét oldalnak vesszük az arkusz szinuszát.
Ez a szinusz inverze, és így
Nézzünk meg még egy izgalmas esetet.
Most jön az, hogy megszabadulunk a gyökjeltől.
És most pedig jó lenne integrálni egyet.
Ehhez egy kis trükkre van szükség.
Már megint
Aztán pedig darabolunk (T1)
Végül u helyére visszaírjuk, hogy mit is neveztünk u-nak.
A következő történet a trigonometrikus függvények helyettesítéséről fog szólni.
Nézzünk meg egy gyökös esetet is ebben a j(t) belső függvényes verzióban.
Ilyenkor a nevezőben lévő gyökös kifejezést érdemes elnevezni t-nek,
tehát így és .
Ez utóbb lesz a j(t) függvény,
vagyis és .
A helyettesítést elvégezve feladatunk a következőképpen alakul:
Itt még t helyére vissza kell helyettesíteni és kész is.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA
A racionális törtfüggvények integrálása roppant szórakoztató dolog.
A történet azzal fog kezdődni, hogy kifejlesztjük magunkban az úgynevezett elemi törtek integrálásának képességét.
Kétféle elemi tört létezik:
I. II.
Az első típusú elemi tört nevezője elsőfokú, számlálója pedig egy konstans.
A második típusú elemi tört nevezője másodfokú, ami nem alakítható elsőfokú tényezők szorzatára, a számlálója pedig elsőfokú.
Lássuk, hogyan kell integrálni az elemi törteket.
Aztán an egy ilyen, hogy
A számlálót egy kicsit átalakítjuk, hogy megjelenjen benne a nevező deriváltja.
Ez még ide kéne, ezért hozzá is adjuk meg le is vonjuk.
És íme, megjelent a nevező deriváltja a számlálóban.
Valami konstans tag társaságában.
Most pedig felbontjuk a törtet két tört összegére:
Ez első integrálás kész is:
A másodikkal még szenvedünk egy kicsit.
A nevezőben teljes négyzetet alakítunk ki.
Itt a nevezőben megjelenik a teljes négyzet. A mögötte létrejövő tagot az egyszerűség kedvéért elnevezzük D-nek.
Őket itt elnevezzük D-nek és aztán hopp:
Most pedig oldjunk meg egy feladatot.
Bármilyen racionális törtfüggvényt nagyon egyszerűen tudunk integrálni. Mindössze annyit kell tennünk, hogy fölbontjuk elemi törtekre és az elemi törteket az előbbi módszereinkkel integráljuk.
Éppen itt is van egy feladat:
Elsőként ellenőrizzük, hogy a számláló foka kisebb-e mint a nevezőé. Ha ugyanis ez nem teljesül, akkor polinomosztásra van szükség.
A polinomosztás egy marhajó dolog, majd később megnézzük, most azonban szerencsére nincs rá szükség.
A számláló ugyanis másodfokú, a nevező meg harmadfokú.
Megkezdjük az elemi törtekre bontást. Ehhez a nevezőt elsőfokú és tovább nem bontható másodfokú tényezők szorzatára kell bontanunk.
x-et ki tudunk emelni, ez pedig már nem bontható tovább, mert negatív a diszkriminánsa.
Kész van tehát a szorzattá alakítás.
Ezek lesznek a parciális törtek nevezői.
Most ki kell találnunk a számlálókat. Egyelőre nem a konkrét számlálókat, hanem a paraméteres alakjukat. Lássuk mit is jelent ez.
Feltett szándékunk az elemi törtekre való bontás. Elemi törtből márpedig kétféle van.
Az I. típusú elemi tört olyan, hogy nevezője elsőfokú.
A II. típusú elemi tört olyan, hogy a nevezője másodfokú, és nem bontható szorzattá.
A felbontás során mindig a nevezőkből indulunk ki. Az első tört nevezője szemmel láthatóan elsőfokú, így ez minden bizonnyal csak egy I. típusú elemi tört lehet. A számláló tehát valami A.
A második tört nevezője viszont egy másodfokú kifejezés, így hát ez a tört szükségképpen II. típusú, ekként számlálója AX+B alakú.
Nos A már foglalt, tehát mondjuk Bx+C lesz a számláló.
Most pedig kiszámoljuk, hogy mennyi vajon A, B és C.
Ehhez őket kell egy kicsit nézegetnünk.
Beszorzunk a nevezőkkel,
és felbontjuk a zárójeleket
Aztán pedig megnézzük, hogy jobb oldalon hány x2 van, hány x van és mennyi a konstans tag.
Mert pontosan ugyanennyi van bal oldalon is.
Megoldjuk az egyenletrendszert.
Az első tört kész is, a második egy kicsit tovább fog tartani.
Először kialakítjuk a nevező deriváltját, majd
Racionális törtfüggvényeket tehát úgy integrálunk, hogy először parciális törtekre bontjuk, majd ezeket a parciális törteket integráljuk. Maga a parciális törtekre bontás nem nehéz és a parciális törtek integrálása sem igényel különösebb szaktudást. Ez remek.
Bármilyen racionális törtfüggvényt nagyon egyszerűen tudunk integrálni. Mindössze annyit kell tennünk, hogy fölbontjuk elemi törtekre és az elemi törteket az előbbi módszereinkkel integráljuk.
Éppen itt is van egy feladat:
Elsőként ellenőrizzük, hogy a számláló foka kisebb-e mint a nevezőé. Ha ugyanis ez nem teljesül, akkor polinomosztásra van szükség.
A polinomosztás egy marhajó dolog, majd később megnézzük, most azonban szerencsére nincs rá szükség.
A nevezőt szorzattá alakítjuk. Emeljünk ki x-et.
Aztán nézzük meg, hogy a másodfokú tényező tovább bontható-e.
Úgy tűnik igen. Ha valaki nem érzi magában az erőt, hogy ilyen szorzattá alakítást megcsináljon, nos neki itt van ez a remek kis képlet:
ahol
Kész a szorzattá alakítás. Ezek lesznek a parciális törtek nevezői.
A számlálókat mindig a nevezőkből következtetjük ki.
Mivel mindhárom nevező elsőfokú, mindhárom tört I. típusú elemi tört, így a számlálók A, B és C.
Most pedig kiszámoljuk, hogy mennyi vajon A, B és C.
Ehhez őket kell egy kicsit nézegetnünk.
Beszorzunk a nevezőkkel,
aztán pedig jön egy trükk.
Nézzük meg mi történik, ha x helyére nullát írunk.
Most próbáljuk meg kiszámolni, hogy mennyi lehet B.
Ehhez ezeket kéne kinullázni.
Végül pedig C kiszámolásához ezeket fogjuk kinullázni.
Ha esetleg nem tetszett a trükk, megtehetjük azt is, hogy felbontjuk a zárójeleket:
Aztán pedig megnézzük, hogy jobb oldalon hány x2 van, hány x van és mennyi a konstans tag.
Mert pontosan ugyanennyi van bal oldalon is.
Megoldjuk az egyenletrendszert.
Itt egy újabb racionális törtfüggvény:
A nevezőt most is elsőfokú és tovább nem bontható másodfokú tényezők szorzatára kell bontani.
Lássuk csak felbontható-e ez.
Nos úgy tűnik igen.
Most jön az elemi törtekre bontás. Mint látjuk, a nevezőben az egyik elsőfokú tényező kétszer is szerepel. Ilyenkor az elemi törtekre bontásnál van egy kis trükk.
Az egyik elemi tört nevezője (2x+1) a másiké pedig (2x+1)2.
A számlálókat most is a nevezőkből következtetjük ki.
Mivel mindhárom nevező elsőfokú, vagy elsőfokú tag hatványa, ezért mindhárom tört I. típusú elemi tört, így a számlálók A, B és C.
Most pedig lássuk mennyi A, B, és C.
Az előző képsorban látott trükkös módszert fogjuk használni.
Először ezeket nullázzuk ki:
Ezeket nem tudjuk egyszerre kinullázni, úgyhogy az A kicsit nehezebben jön ki.
Nos írjunk mondjuk x helyére 0-t.
Írhatnánk 666-ot is, de akkor nehezebb lenne számolni.
Ezeket már könnyű integrálni.
Bármilyen racionális törtfüggvényt nagyon egyszerűen tudunk integrálni. Mindössze annyit kell tennünk, hogy fölbontjuk elemi törtekre és az elemi törteket az előbbi módszereinkkel integráljuk.
Éppen itt is van egy feladat:
Elsőként ellenőrizzük, hogy a számláló foka kisebb-e mint a nevezőé. Ha ugyanis ez nem teljesül, akkor polinomosztásra van szükség.
A polinomosztás egy marhajó dolog, majd később megnézzük, most azonban szerencsére nincs rá szükség.
A nevezőt szorzattá alakítjuk. Emeljünk ki x-et.
Aztán nézzük meg, hogy a másodfokú tényező tovább bontható-e.
Úgy tűnik igen. Ha valaki nem érzi magában az erőt, hogy ilyen szorzattá alakítást megcsináljon, nos neki itt van ez a remek kis képlet:
ahol
Kész a szorzattá alakítás. Ezek lesznek a parciális törtek nevezői.
A számlálókat mindig a nevezőkből következtetjük ki.
Mivel mindhárom nevező elsőfokú, mindhárom tört I. típusú elemi tört, így a számlálók A, B és C.
Most pedig kiszámoljuk, hogy mennyi vajon A, B és C.
Ehhez őket kell egy kicsit nézegetnünk.
Beszorzunk a nevezőkkel,
aztán pedig jön egy trükk.
Nézzük meg mi történik, ha x helyére nullát írunk.
Most próbáljuk meg kiszámolni, hogy mennyi lehet B.
Ehhez ezeket kéne kinullázni.
Végül pedig C kiszámolásához ezeket fogjuk kinullázni.
Ha esetleg nem tetszett a trükk, megtehetjük azt is, hogy felbontjuk a zárójeleket:
Aztán pedig megnézzük, hogy jobb oldalon hány x2 van, hány x van és mennyi a konstans tag.
Mert pontosan ugyanennyi van bal oldalon is.
Megoldjuk az egyenletrendszert.
Itt egy újabb racionális törtfüggvény:
A nevezőt most is elsőfokú és tovább nem bontható másodfokú tényezők szorzatára kell bontani.
Lássuk csak felbontható-e ez.
Nos úgy tűnik igen.
Most jön az elemi törtekre bontás. Mint látjuk, a nevezőben az egyik elsőfokú tényező kétszer is szerepel. Ilyenkor az elemi törtekre bontásnál van egy kis trükk.
Az egyik elemi tört nevezője (2x+1) a másiké pedig (2x+1)2.
A számlálókat most is a nevezőkből következtetjük ki.
Mivel mindhárom nevező elsőfokú, vagy elsőfokú tag hatványa, ezért mindhárom tört I. típusú elemi tört, így a számlálók A, B és C.
Most pedig lássuk mennyi A, B, és C.
Az előző képsorban látott trükkös módszert fogjuk használni.
Először ezeket nullázzuk ki:
Ezeket nem tudjuk egyszerre kinullázni, úgyhogy az A kicsit nehezebben jön ki.
Nos írjunk mondjuk x helyére 0-t.
Írhatnánk 666-ot is, de akkor nehezebb lenne számolni.
Ezeket már könnyű integrálni.
Íme itt egy összefoglaló példa, amin minden fontos lépést megnézhetünk.
Rossz hír. Elsőként polinomosztásra lesz szükség, mivel a számlálónak kisebb fokúnak kell lennie, mint a nevezőnek.
Ez a polinomosztás pont olyan, mint az a fajta osztás amit az általános iskolában tanultunk.
Például 25:7=3 és a maradék 4
Vagyis
Na éppen ez lesz a polinomosztásnál is.
eredmény maradék
Itt jön a polinomosztás:
Eddig minden O.K.
De itt még nincs ám vége.
A kapott eredményt visszaszorozzuk az osztóval,
és levonjuk az osztandóból.
Aztán megint osztunk és ezt addig ismételgetjük, míg az osztandó fokszáma végül alacsonyabb lesz, mint az osztóé.
Hopp, most alacsonyabb lett, úgyhogy kész.
Az első két tagot integráljuk, aztán rátérünk a törtre, ahol a számláló már kisebb fokú, mint a nevező.
A nevezőt ezúttal is elsőfokú és tovább nem bontható másodfokú tényezők szorzatára kell bontani. Először kiemelünk x2-et.
Aztán megnézzük, hogy a maradék másodfokú rész szorzattá alakítható-e. Kiderül, hogy nem. Azért nem, mert nincs valós megoldása az egyenletnek.
Az x2 viszont szorzattá alakítható.
Most jön az elemi törtekre bontás.
Ha a nevezőben valami ax+b elsőfokú kifejezés négyzete szerepel úgy bontunk elemi törtekre,
hogy az egyik elemi tört nevezője ax+b,
a másiké (ax+b)2.
Most ki kell találnunk a számlálókat. Az első tört nevezője úgy tűnik elsőfokú, így a számláló valami A.
A második tört nevezője elsőfokú kifejezés négyzete ezért itt a számláló szintén valami A, de mivel A már foglalt, legyen B.
Végül a harmadik törtünk nevezője egy másodfokú kifejezés, így hát ennek a számlálója valami Ax+B alakú kell, hogy legyen, ám A és B már foglalt, tehát legjobb lesz a Cx+D.
Most pedig kiszámoljuk, hogy mennyi A, B, C és D.
Beszorzunk a nevezőkkel.
Aztán fölbontjuk a zárójeleket.
És megnézzük, hogy jobb oldalon hány x3 van, hány x2 van, hány x van és mennyi a konstans tag.
Mert pontosan ugyanennyi van bal oldalon is.
Az első két tagot nagyon könnyű integrálni.
A harmadik tagból meg ez lesz:
Az első tag célunknak megfelelően f’/f, míg a második tag arcustangensre vezet.
Hát ez kész.
Végezetül még egy példa:
Mindenekelőtt a nevezőt elsőfokú vagy tovább már nem bontható másodfokú tényezők szorzatára kell bontani. A felbontás egyáltalán nem triviális, ugyanis a nevezőnek valós gyöke nincsen. A szorzat alak:
Ekkor:
A nevezőben lévő tényezők lesznek a parciális törtek nevezői. Mivel mindkét tényező tovább nem bontható másodfokú kifejezés, a jelek szerint két II. típusú elemi tört összegét kapjuk:
Rátérünk A, B, C, D meghatározására.
Beszorzunk:
majd átalakítunk
végül jön a szokásos egyenletrendszer:
A megoldások: , így
A két törtet külön-külön fogjuk integrálni.
Az első tört:
Ebből arctgx-nek egy lineáris helyettesítése lesz:
A második tört szimmetriai okok miatt:
A feladat megoldása az előbbiekben kapott kifejezések összege:
Ne feledjük azonban, a racionális törtfüggvények integrálásának módszerét csak akkor érdemes alkalmazni, ha már semmilyen más módszer nem bizonyul használhatónak. Ezt az iménti feladatot némileg gyorsabban S4 segítségével már korában megoldottuk!
TRIGONOMETRIKUS KIFEJEZÉSEK INTEGRÁLÁSA
A trigonometrikus kifejezések integrálása nem könnyű. Néhány egyszerűbb trükköt és a legfontosabb módszereket nézzük most meg. Kezdjük rögtön az egyik legizgalmasabbal.
A helyettesítéses integrálás egyik legfurább esete az u= tan(x/2)
Olyankor használjuk, ha a törtben sinx és cosx is csak első fokon szerepel.
A helyettesítés lényege a következő három azonosság:
Most pedig bűvészmutatványok következnek.
Aki nem annyira rajong a bűvészetért, ezt a részt átugorhatja.
Egy kisebb trükkel kezdünk:
Aztán egy közepes trükkel folytatjuk.
Végül egy záró trükk következik.
A bűvészkedésnek vége, és azt kaptuk, hogy
Végül még egy dolog.
A helyettesítésnél szükségünk van a kifejezett x deriváltjára is.
Nos ehhez először kifejezzük x-et.
Van egy ilyen, hogy
Így aztán pápá tangens, megvan az x.
És megvan a derivált is. Ugyebár
Jó hír, hogy az iménti a megpróbáltatásokat csak most az egyszer kellett elszenvednünk.
Innentől annyi dolgunk van, hogy följegyezzük ezeket és ha szükség lesz rá, csak megnézzük.
Itt jön egy feladat.
A módszer bonyolultabb esetekben is beválik:
Kicsit darabolgatunk
és aztán kész is.
A tangens x feles helyettesítés olyan esetekben használható amikor szinusz és koszinusz is első fokon szerepel. Más esetekben ez a tangens x feles helyettesítés nem igazán nyerő, ilyenkor másfajta helyettesítéseket érdemes alkalmazni
Hát ennyit erről.
Ha α és β közül valamelyik páratlan, akkor nyert ügyünk van.
Nézzünk meg egy konkrét példát.
A páratlan kitevős tényezőt fogjuk felbontani másodfokú, és egy darab elsőfokú tényezők szorzatára.
Aztán jön egy kis trükk.
Végül beszorzunk és megjelenik egy régi ismerős:
Ha cosx kitevője magasabb fokú, az sem jelent problémát.
Megint a páratlan kitevős tényezőt fogjuk felbontani néhány másodfokú, és egy darab elsőfokú tényező szorzatára.
Aztán szükségünk lesz erre a köbös azonosságra:
Végül megint jön ez:
Ha α és β közül mindkettő páros, akkor ez a módszer nem működik.
Ilyenkor úgynevezett linearizáló azonosságokat fogunk használni.
Lássunk egy ilyet is.
Ha még emlékszünk rá, volt egy ilyen, hogy
Na ezt fogjuk most használni.
A saját farkába harapó kígyó esete
Ezekben az esetekben parciálisan integrálunk és aztán kicsit bűvészkedünk.
Nézzük meg, mondjuk ezt:
Itt a szereposztás teljesen mindegy, bárhogy nevezünk, el ugyanaz jön ki.
Újra parciálisan integrálunk.
És ezzel éppen visszakaptuk az eredeti feladatot.
Ha most folytatnánk az integrálást, akkor kétszer egymás után parciálisan integrálva újra visszakapnánk az eredeti feladatot.
És ezt akár egészen életünk végéig folytathatnánk. De ez elég unalmas lenne, ezért inkább jön a trükk.
A trükk lényege, hogy írjuk föl egy egyenlet formájában ami eddig kijött.
És oldjuk meg az egyenletet.
Nézzünk meg még egyet.
Ha α és β közül valamelyik páratlan, akkor nyert ügyünk van.
Nézzünk meg egy konkrét példát.
A páratlan kitevős tényezőt fogjuk felbontani másodfokú, és egy darab elsőfokú tényezők szorzatára.
Aztán jön egy kis trükk.
Végül beszorzunk és megjelenik egy régi ismerős:
Ha cosx kitevője magasabb fokú, az sem jelent problémát.
Megint a páratlan kitevős tényezőt fogjuk felbontani néhány másodfokú, és egy darab elsőfokú tényező szorzatára.
Aztán szükségünk lesz erre a köbös azonosságra:
Végül megint jön ez:
Ha α és β közül mindkettő páros, akkor ez a módszer nem működik.
Ilyenkor úgynevezett linearizáló azonosságokat fogunk használni.
Lássunk egy ilyet is.
Ha még emlékszünk rá, volt egy ilyen, hogy
Na ezt fogjuk most használni.
A saját farkába harapó kígyó esete
Ezekben az esetekben parciálisan integrálunk és aztán kicsit bűvészkedünk.
Nézzük meg, mondjuk ezt:
Itt a szereposztás teljesen mindegy, bárhogy nevezünk, el ugyanaz jön ki.
Újra parciálisan integrálunk.
És ezzel éppen visszakaptuk az eredeti feladatot.
Ha most folytatnánk az integrálást, akkor kétszer egymás után parciálisan integrálva újra visszakapnánk az eredeti feladatot.
És ezt akár egészen életünk végéig folytathatnánk. De ez elég unalmas lenne, ezért inkább jön a trükk.
A trükk lényege, hogy írjuk föl egy egyenlet formájában ami eddig kijött.
És oldjuk meg az egyenletet.
Nézzünk meg még egyet.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
És most pedig lássuk, hogyan kell megoldanunk egy integrálás feladatot.
Nos föl kell tenni magunknak néhány kérést.
Szerepel-e az integrálásban ilyen:
Ha igen, akkor két eset lehet.
Elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Nem elsőfokú kifejezés van a gyök alatt
Ebben az esetben érdemes helyettesítéssel próbálkozni:
Ilyenkor általában érdemes átírni a gyökös izét:
és utána jöhet az S2
Szerepel-e az integrálásban vagy
x elsőfokú
x nem elsőfokú
Ez alighanem egy S2
Na ez pedig parciális integrálás.
Ha a VALAMI elsőfokú, akkor parciálisan kell integrálni.
Ha a VALAMI nem elsőfokú, akkor az S4 nevű képletre van szükség:
És most jöhetnek a feladatok.
Minden feladat megoldása előtt föl kell tennünk magunknak ezeket a kérdéseket,
hogy ki tudjuk választani a megfelelő képletet.
Itt van például ez.
Van benne gyök. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen gyökös esetekre:
Van benne logaritmus. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen logaritmusos esetekre:
Van benne ex. Lássuk csak miket is írtunk irtunk össze ilyen ex-es esetekre:
És most nézzük meg, vajon mi a különbség a két feladat között.
Így első ránézésre nem sok.
De lássuk csak miket is írtunk össze az ilyen ex-es esetekre:
. S3
Végül itt jön ez a három.
Mindegyikben van gyök, de megoldani mindegyiket máshogy kell.
Lássuk a feljegyzéseinket:
Ezt az elsőt elvileg helyettesítéssel kéne, de valójában ez nagyon egyszerű.
Na a második már tényleg helyettesítéses emiatt az x miatt.
Fontos tehát látnunk, hogy mikor kell parciális integrálást használni és mikor van az, hogy biztosan nem működik a parciális integrálás. Azt is kell látnunk, hogy bizonyos esetekben a helyettesítéses integrálás a célravezető, míg más esetben nem jön ki semmi, ha helyettesítéssel integrálunk. Vagyis az integrálás elég szeszélyesen viselkedik és ahhoz, hogy sikerüljön egy integrálás feladatot megoldani, ismernünk kell az integrálási módszereket és azt is, hogy mikor melyik integrálási módszert kell használni.
Határozatlan integrálás feladatok megoldásai különböző módszerekkel, Parciális integrálás, Helyettesítéses integrálás, gyökös kifejezések integrálása, Exponenciális kifejezések integrálása, Mi a különbség a parciális integrálás és az S4 módszer között, Összetett függvények integrálása, Trigonometrikus kifejezések integrálása.
A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.
Van itt egy függvény, aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.
Mindez persze akkor, ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon.
Ez a bizonyos primitív függvény a F(x), másnéven a határozatlan integrál.
Ha ilyen primitív függvény nem létezik, nos akkor a görbe alatti terület kiszámolása rémálommá változik.
A rémálmokkal egy külön képsor foglalkozik majd.
Most inkább próbáljuk ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.
Szóval Newton és Leibniz szerint ez a terület:
Itt jön a primitív függvény:
És ebbe kell behelyettesíteni először az 1-et, aztán pedig a 0-t.
Most nézzük meg hogyan tehetnénk mindezt izgalmasabbá.
Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.
A terv a következő:
Először kiszámoljuk a piros függvény görbe alatti területét a és b között,
aztán a sárga függvény területét is,
végül a kettőt egymásból kivonjuk.
Ugyanakkor azt sem ártana tudnunk, mennyi lehet a és b.
Nos ez az a és b azt tudja, hogy ilyenkor a két függvény egyenlő.
Ezt az egyenletet kell tehát megoldanunk.
Az ilyen típusú tartományokat, mint aminek a területét most éppen kiszámoltuk normáltartománynak nevezzük.
A normáltartományokat alulról is és felülről is egy függvény határolja,
oldalai pedig x=a és x=b.
Megeshet, hogy az egyik oldalon a két függvény találkozik,
sőt, lehet, hogy mindkét oldalon.
Az ilyen normáltartományok területe:
vagy ha éppen a g függvény van felül, mint például itt a rajzunkon,
akkor fordítva.
Ennek a módszernek a haszna, hogy csak egyszer kell integrálni. Nézzük is meg.
Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.
Először kiszámoljuk a metszéspontokat,
aztán jöhet az integrálás.
Van itt egy függvény,
amihez érintőt húzunk az x=3-nál.
Így keletkezik két tartomány.
Az egyiket a függvény, az érintő és az y tengely határolja,
a másikat a függvény, az érintő és az x tengely.
Számoljuk ki ezeknek a tartományoknak a területét.
Nos alighanem szükségünk lesz az érintő egyenletére.
Szerencsére éppen itt jön:
Most pedig térjünk a tárgyra.
A két terület közül sokkal könnyebb azt kiszámolnunk, ahol az y tengely határol.
Ez ugyanis egy normáltartomány, és így elég a két függvény különbségét integrálni:
A másik terület kiszámolása jóval kellemetlenebb lesz.
Előszöris szükségünk van ezekre a metszéspontokra.
Most pedig lássuk a területeket.
A keresett terület:
Integrálás végtelenig, Az improprius integrál, Konvergens és divergens integrálok, Integrálás végtelentől végtelenig, Véges és végtelen atárértékek.
Most pedig egy nagyon vicces dolgot fogunk csinálni.
Végtelenig fogunk integrálni.
Számoljuk ki például, hogy vajon mekkora lehet ez a terület:
Úgy fogunk -ig integrálni, hogy először integrálunk -ig,
és aztán azt mondjuk, hogy na akkor te most menj -be.
Nos lássuk csak mennyi lehet vajon ez a határérték.
A kiszámolásához jól jöhetnek ezek:
De könnyebb őket így megjegyezni.
Itt jön egy másik:
Nos az is előfordulhat, hogy mindkét határ végtelen:
Ilyenkor kettéosztjuk az integrálást, mondjuk nullánál.
Igazából ez a terület 1/3+1/3 vagyis 2/3 de úgy működik a határozott integrálás, hogy az x tengely alatti területek negatív előjellel jönnek ki.
Nos ezért kaptuk azt, hogy nulla.
Ezeket a végtelenbe elnyúló integrálásokat improprius integrálnak nevezzük.
Amiket eddig láttunk, azok az x tengely irányában nyúltak el a végtelenbe, de olyan is van, ami az y tengely mentén.
Nos íme:
De a megoldás menete ugyanaz.
Ha integráljuk a pozitív számegyenesen az
függvényt, akkor 0-tól 1-ig is improprius integrált kapunk
és 1-től végtelenig is.
Nézzük meg először, hogy mi a helyzet akkor, ha 0-tól 1-ig integrálunk.
Nos az esettel majd külön foglalkozunk.
Most lássuk mennyi lesz ez a határérték.
Először az 1-et helyettesítjük be,
aztán lássuk mi történik, ha .
Tehát ha a kitevő pozitív szám,
akkor itt nulla jön ki.
Ha a kitevő negatív…
nos akkor a határérték végtelen.
Ha éppen 1:
Most lássuk, mi van 1 és végtelen között.
Ha akkor a kitevő pozitív,
és ilyenkor az integrál divergens.
Ha pedig éppen 1:
Mindezt összefoglalva, ha akkor 0 és 1 között az integrál divergens, 1-től végtelenig konvergens.
Ha akkor 0 és 1 között konvergens és 1-től végtelenig divergens.
Ha pedig , nos akkor mindenhol divergens.
Integrálás végtelenig, Az improprius integrál, Konvergens és divergens integrálok, Integrálás végtelentől végtelenig, Véges és végtelen atárértékek.
Most pedig egy nagyon vicces dolgot fogunk csinálni.
Végtelenig fogunk integrálni.
Számoljuk ki például, hogy vajon mekkora lehet ez a terület:
Úgy fogunk -ig integrálni, hogy először integrálunk -ig,
és aztán azt mondjuk, hogy na akkor te most menj -be.
Nos lássuk csak mennyi lehet vajon ez a határérték.
A kiszámolásához jól jöhetnek ezek:
De könnyebb őket így megjegyezni.
Itt jön egy másik:
Nos az is előfordulhat, hogy mindkét határ végtelen:
Ilyenkor kettéosztjuk az integrálást, mondjuk nullánál.
Igazából ez a terület 1/3+1/3 vagyis 2/3 de úgy működik a határozott integrálás, hogy az x tengely alatti területek negatív előjellel jönnek ki.
Nos ezért kaptuk azt, hogy nulla.
Ezeket a végtelenbe elnyúló integrálásokat improprius integrálnak nevezzük.
Amiket eddig láttunk, azok az x tengely irányában nyúltak el a végtelenbe, de olyan is van, ami az y tengely mentén.
Nos íme:
De a megoldás menete ugyanaz.
Ha integráljuk a pozitív számegyenesen az
függvényt, akkor 0-tól 1-ig is improprius integrált kapunk
és 1-től végtelenig is.
Nézzük meg először, hogy mi a helyzet akkor, ha 0-tól 1-ig integrálunk.
Nos az esettel majd külön foglalkozunk.
Most lássuk mennyi lesz ez a határérték.
Először az 1-et helyettesítjük be,
aztán lássuk mi történik, ha .
Tehát ha a kitevő pozitív szám,
akkor itt nulla jön ki.
Ha a kitevő negatív…
nos akkor a határérték végtelen.
Ha éppen 1:
Most lássuk, mi van 1 és végtelen között.
Ha akkor a kitevő pozitív,
és ilyenkor az integrál divergens.
Ha pedig éppen 1:
Mindezt összefoglalva, ha akkor 0 és 1 között az integrál divergens, 1-től végtelenig konvergens.
Ha akkor 0 és 1 között konvergens és 1-től végtelenig divergens.
Ha pedig , nos akkor mindenhol divergens.
A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.
Van itt egy függvény, aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.
Mindez persze akkor, ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon.
Ez a bizonyos primitív függvény a F(x), másnéven a határozatlan integrál.
Ha ilyen primitív függvény nem létezik, nos akkor a görbe alatti terület kiszámolása rémálommá változik.
A rémálmokkal egy külön képsor foglalkozik majd.
Most inkább próbáljuk ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.
Szóval Newton és Leibniz szerint ez a terület:
Itt jön a primitív függvény:
És ebbe kell behelyettesíteni először az 1-et, aztán pedig a 0-t.
Most nézzük meg hogyan tehetnénk mindezt izgalmasabbá.
Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.
A terv a következő:
Először kiszámoljuk a piros függvény görbe alatti területét a és b között,
aztán a sárga függvény területét is,
végül a kettőt egymásból kivonjuk.
Ugyanakkor azt sem ártana tudnunk, mennyi lehet a és b.
Nos ez az a és b azt tudja, hogy ilyenkor a két függvény egyenlő.
Ezt az egyenletet kell tehát megoldanunk.
Az ilyen típusú tartományokat, mint aminek a területét most éppen kiszámoltuk normáltartománynak nevezzük.
A normáltartományokat alulról is és felülről is egy függvény határolja,
oldalai pedig x=a és x=b.
Megeshet, hogy az egyik oldalon a két függvény találkozik,
sőt, lehet, hogy mindkét oldalon.
Az ilyen normáltartományok területe:
vagy ha éppen a g függvény van felül, mint például itt a rajzunkon,
akkor fordítva.
Ennek a módszernek a haszna, hogy csak egyszer kell integrálni. Nézzük is meg.
Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.
Először kiszámoljuk a metszéspontokat,
aztán jöhet az integrálás.
Van itt egy függvény,
amihez érintőt húzunk az x=3-nál.
Így keletkezik két tartomány.
Az egyiket a függvény, az érintő és az y tengely határolja,
a másikat a függvény, az érintő és az x tengely.
Számoljuk ki ezeknek a tartományoknak a területét.
Nos alighanem szükségünk lesz az érintő egyenletére.
Szerencsére éppen itt jön:
Most pedig térjünk a tárgyra.
A két terület közül sokkal könnyebb azt kiszámolnunk, ahol az y tengely határol.
Ez ugyanis egy normáltartomány, és így elég a két függvény különbségét integrálni:
A másik terület kiszámolása jóval kellemetlenebb lesz.
Előszöris szükségünk van ezekre a metszéspontokra.
Most pedig lássuk a területeket.
A keresett terület:
Integrálás végtelenig, Az improprius integrál, Konvergens és divergens integrálok, Integrálás végtelentől végtelenig, Véges és végtelen atárértékek.
Most pedig egy nagyon vicces dolgot fogunk csinálni.
Végtelenig fogunk integrálni.
Számoljuk ki például, hogy vajon mekkora lehet ez a terület:
Úgy fogunk -ig integrálni, hogy először integrálunk -ig,
és aztán azt mondjuk, hogy na akkor te most menj -be.
Nos lássuk csak mennyi lehet vajon ez a határérték.
A kiszámolásához jól jöhetnek ezek:
De könnyebb őket így megjegyezni.
Itt jön egy másik:
Nos az is előfordulhat, hogy mindkét határ végtelen:
Ilyenkor kettéosztjuk az integrálást, mondjuk nullánál.
Igazából ez a terület 1/3+1/3 vagyis 2/3 de úgy működik a határozott integrálás, hogy az x tengely alatti területek negatív előjellel jönnek ki.
Nos ezért kaptuk azt, hogy nulla.
Ezeket a végtelenbe elnyúló integrálásokat improprius integrálnak nevezzük.
Amiket eddig láttunk, azok az x tengely irányában nyúltak el a végtelenbe, de olyan is van, ami az y tengely mentén.
Nos íme:
De a megoldás menete ugyanaz.
Ha integráljuk a pozitív számegyenesen az
függvényt, akkor 0-tól 1-ig is improprius integrált kapunk
és 1-től végtelenig is.
Nézzük meg először, hogy mi a helyzet akkor, ha 0-tól 1-ig integrálunk.
Nos az esettel majd külön foglalkozunk.
Most lássuk mennyi lesz ez a határérték.
Először az 1-et helyettesítjük be,
aztán lássuk mi történik, ha .
Tehát ha a kitevő pozitív szám,
akkor itt nulla jön ki.
Ha a kitevő negatív…
nos akkor a határérték végtelen.
Ha éppen 1:
Most lássuk, mi van 1 és végtelen között.
Ha akkor a kitevő pozitív,
és ilyenkor az integrál divergens.
Ha pedig éppen 1:
Mindezt összefoglalva, ha akkor 0 és 1 között az integrál divergens, 1-től végtelenig konvergens.
Ha akkor 0 és 1 között konvergens és 1-től végtelenig divergens.
Ha pedig , nos akkor mindenhol divergens.
Integrálás végtelenig, Az improprius integrál, Konvergens és divergens integrálok, Integrálás végtelentől végtelenig, Véges és végtelen atárértékek.
Most pedig egy nagyon vicces dolgot fogunk csinálni.
Végtelenig fogunk integrálni.
Számoljuk ki például, hogy vajon mekkora lehet ez a terület:
Úgy fogunk -ig integrálni, hogy először integrálunk -ig,
és aztán azt mondjuk, hogy na akkor te most menj -be.
Nos lássuk csak mennyi lehet vajon ez a határérték.
A kiszámolásához jól jöhetnek ezek:
De könnyebb őket így megjegyezni.
Itt jön egy másik:
Nos az is előfordulhat, hogy mindkét határ végtelen:
Ilyenkor kettéosztjuk az integrálást, mondjuk nullánál.
Igazából ez a terület 1/3+1/3 vagyis 2/3 de úgy működik a határozott integrálás, hogy az x tengely alatti területek negatív előjellel jönnek ki.
Nos ezért kaptuk azt, hogy nulla.
Ezeket a végtelenbe elnyúló integrálásokat improprius integrálnak nevezzük.
Amiket eddig láttunk, azok az x tengely irányában nyúltak el a végtelenbe, de olyan is van, ami az y tengely mentén.
Nos íme:
De a megoldás menete ugyanaz.
Ha integráljuk a pozitív számegyenesen az
függvényt, akkor 0-tól 1-ig is improprius integrált kapunk
és 1-től végtelenig is.
Nézzük meg először, hogy mi a helyzet akkor, ha 0-tól 1-ig integrálunk.
Nos az esettel majd külön foglalkozunk.
Most lássuk mennyi lesz ez a határérték.
Először az 1-et helyettesítjük be,
aztán lássuk mi történik, ha .
Tehát ha a kitevő pozitív szám,
akkor itt nulla jön ki.
Ha a kitevő negatív…
nos akkor a határérték végtelen.
Ha éppen 1:
Most lássuk, mi van 1 és végtelen között.
Ha akkor a kitevő pozitív,
és ilyenkor az integrál divergens.
Ha pedig éppen 1:
Mindezt összefoglalva, ha akkor 0 és 1 között az integrál divergens, 1-től végtelenig konvergens.
Ha akkor 0 és 1 között konvergens és 1-től végtelenig divergens.
Ha pedig , nos akkor mindenhol divergens.
Ez exponenciális függvényekkel való ismerkedésünket kezdjük az alapokkal, a hatványazonosságokkal.
Hatványozni jó dolog és így kezdetben bőven elég annyit tudni, hogy
de semmi ördögi nem lesz itt.
Az első hatványazonosság azzal fog foglalkozni, hogy mi történik, ha megszorozzuk ezt mondjuk azzal, hogy 62.
Hát nézzük meg.
Nos ha ezeket összeszorozzuk, akkor
a kitevők összeadódnak.
Ez lesz az első azonosság.
HATVÁNYAZONOSSÁGOK
Most nézzük meg mi történik, ha ezeket elosztjuk egymással.
De azért van itt egy apró kellemetlenség.
Már jön is.
Nos amikor a nevező kitevője nagyobb, ilyenkor az eredmény egy tört.
Itt pedig a kitevő negatív lesz.
Most lássuk, hogyan kell hatványt hatványozni.
Nos így:
A kitevőket kell összeszoroznunk.
Itt van aztán ez, hogy
Na ez vajon mi lehet?
Nézzük meg mi történik ha alkalmazzuk rá a legújabb azonosságunkat.
Vagyis ez valami olyan, amit ha négyzetre emelünk, akkor 9-et kapunk.
Ilyen éppenséggel van, ezt hívjuk -nek.
A törtkitevő tehát gyökvonást jelent.
Az előbbi két azonosságot kicsit továbbfejlesztve kapunk egy harmadikat.
Ha van egy ilyen, hogy
nos akkor ezen ki is próbálhatjuk ezt a képletet.
Jön itt még néhány újabb képlet,
de most már lássuk a függvényeket.
Így néz ki a 2x függvény. Ez pedig a 3x.
Ha az alap egy 2 és 3 közti szám, akkor a függvény a 2x és a 3x között van.
Például egy ilyen szám a
2,71828182845904523536028747135266249775724709369995…
Ez a szám mágikus jelentőséggel bír a matematikában és az egyszerűség kedvéért elnevezték e-nek.
Ez a függvény tehát az ex.
Az összes 1-nél nagyobb alapú exponenciális függvény valahogy így néz ki.
Ha az alap 1-nél kisebb, nos az egy másik állatfajta.
Színre lép a logaritmus
És most egy új szereplő lép színre, a logaritmus.
Nos ez a logaritmus egy nagyon remek dolog, de kis magyarázatot igényel.
Mindössze arról van szó, hogy azt mondja meg, a-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy x-et kapjunk.
Itt van például ez:
Ez azt jelenti, hogy 2-t hányadik hatványra kell emelnünk, hogy 8-at kapjunk.
Nos 23=8, tehát a válasz…
Vagy nézzük meg ezt:
Nos lássuk csak
Itt jön aztán egy nehezebb ügy:
A kérdés az, hogyan lesz a 8-ból 2. Az elosztjuk 4-gyel ugye nem jó válasz, mert valami hatványozás kell ide.
A jó válasz:
Próbáljuk meg kitalálni, mennyi lehet ez:
A kérdés, 8 a hányadikon a 16.
Nos ami a 8-ban és a 16-ban közös, az a 2, mert 23=8 és 24=16.
Így aztán úgy jutunk el a 8-ból a 16-hoz, hogy előbb a 8-ból csinálunk 2-t,
utána pedig a 2-ből 16-ot.
Mindezek után már nem jelenthet gondot ez sem:
Sőt ez sem:
Most pedig lássuk a logaritmusos azonosságokat.
LOGARITMUS AZONOSSÁGOK
A logaritmus egyik legnagyobb haszna az, hogy képesek vagyunk megoldani az ilyen egyenleteket, mint amilyen ez
Mindkét oldalnak vesszük a logaritmusát.
És voila.
Általánosítva, ha van egy ilyen, hogy
akkor ebből így kapjuk meg x-et.
A megfordítását is jegyezzük meg, ha
akkor így kapjuk meg x-et.
Exponenciális egyenlet megoldása
Logaritmikus egyenlet megoldása
Oldjuk meg például ezeket:
Most pedig lássuk a függvényeket.
Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Hány perc múlva lesz a tenyészetben 30 milligramm baktérium?
Készítsünk erről egy rajzot.
Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van, ezzel a kis képlettel kapjuk meg:
A történet végén 30 milligramm baktériumunk van.
Ezt az egyenletet kéne valahogy megoldanunk.
Valahogy így…
Ehhez az kell, hogy a 2x önállóan álljon. Ne legyen megszorozva senkivel.
Most jön a számológép, megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 6.
Ha a világnak ahhoz a szerencsétlenebbik feléhez tartozunk, akiknek a számológépén csak sima log van…
Nos, akkor egy kis trükkre lesz szükség.
De így is kijön.
Itt az x=2,585 nem azt jelenti, hogy ennyi perc telt el…
Azt jelenti, hogy x=2,585 generációnyi idő telt el.
64,625 perc
Egy másik baktériumtenyészetben 40 perc alatt 3 szorosára nő a baktériumok száma. Mennyi a generációs idő, vagyis hány perc alatt duplázódik meg a baktériumok száma?
Kezdetben van valamennyi baktérium.
Aztán megduplázódik…
aztán megint megduplázódik.
És így tovább.
A mi történetünkben háromszorosára nő a baktériumok száma:
Megint jön a számológép és megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 3.
Vagy ha az előbb így nem tudtuk kiszámolni, akkor feltehetően most se.
Ilyenkor segít nekünk ez a trükk.
És most nézzük, hogyan tovább.
Az x=1,585 azt jelenti, hogy ennyi generációs idő telt el 40 perc alatt.
Vagyis egy generációs idő hossza…
25,24 perc.
A baktériumok száma 25,24 perc alatt duplázódik meg.
A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mennyi idő alatt csökken a 12,5%-ára a 90-stroncium mennyisége? A T felezési idő 25 év, és az alábbi összefüggés áll fenn:
Lássuk, mi történik 40 év alatt:
40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.
Most nézzük, mennyi idő alatt csökken a 90%-ára az atommagok száma.
Tehát úgy néz ki, hogy 3,8 év alatt csökken 90%-ára az atommagok száma.
Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?
Itt jön a mi kis képletünk:
30 év alatt 12%-kal csökkent:
Na, ez így sajna nem túl jó…
Ha valami 12%-kal csökken, akkor 88% lesz.
A felezési idő tehát 162,7 év.
Most nézzük, hogy mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra a radioaktív atomok száma:
377,8 év alatt csökken 50%-ról 10%-ra.
Hát, ennyi.
Az exponenciális egyenletek megoldása:
Most néhány egészen fantasztikus exponenciális egyenletet fogunk megoldani.
Már jön is az első:
Mindig ez lebegjen a szemünk előtt:
Persze csak akkor, ha meg akarunk oldani egy ilyen egyenletet…
Lássuk csak, bingo!
Na, ezzel megvolnánk.
Csak még egy dolog. Ennél a lépésnél írjuk oda, hogy: az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt.
Itt van aztán egy újabb ügy:
A két hatványalap nem ugyanaz…
de van remény.
És nézzük, mit tehetnénk ezzel:
Most pedig lássunk valami izgalmasabbat.
Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva?
Készítsünk erről egy rajzot.
Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van ezzel a kis képlettel kapjuk meg:
Itt x azt jelenti, hogy hányszor 25 perc telt el.
A mi kis történetünkben két óra, vagyis 120 perc telik el:
Tehát ennyi milligramm lesz a baktériumok tömege 120 perc múlva.
Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben?
A történet úgy szól, hogy kezdetben volt 23 milligramm, a végén pedig 736:
De az x=5 nem azt jelenti, hogy 5 perc telt el…
Az x=5 azt jelenti, hogy 5 generációnyi idő telt el:
Vagyis 60 perc telt el.
A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében.
Hát így elsőre ez egy elég ronda képlet, de mindjárt kiderül, hogy nem is olyan rémes.
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége?
A 90-stroncium felezési ideje 25 év, tehát képletünk valahogy így néz ki:
Íme, a képlet:
Ha 40 év telik el, akkor t helyére 40-et írunk:
Ezt beírjuk a számológépbe…
40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.
Most nézzük, mi történik 100 év alatt.
Ha 100 év telik el, nos, akkor t helyére 100-at kell írnunk:
Vagyis 100 év alatt 6,3%-ra csökken a radioaktív atommagok száma.
Újabb rémtörténetek következnek exponenciális egyenletekkel.
Itt is jön az első:
Na, ezzel megvolnánk.
Itt van aztán ez:
Eddig jó…
Vannak aztán első ránézésre eléggé rémisztő egyenletek is.
Itt jön néhány újabb remek exponenciális egyenlet.
Na, ezzel megvolnánk.
Nézzünk egy másikat.
Most pedig lásunk valami izgalmasabbat.
Így aztán elhatalmasodik rajtunk az érzés, hogy le kéne osztani 4x-nel.
Nos, az izgalmak még tovább fokozhatók.
Nézzük, vajon meg tudjuk-e oldani ezt:
Ez valójában egy másodfokú egyenlet, ami exponenciális egyenletnek álcázza magát.
És vannak egészen trükkös esetek is.
Nézzünk meg még egy ilyet.
Az exponenciális egyenletek megoldása:
Most néhány egészen fantasztikus exponenciális egyenletet fogunk megoldani.
Már jön is az első:
Mindig ez lebegjen a szemünk előtt:
Persze csak akkor, ha meg akarunk oldani egy ilyen egyenletet…
Lássuk csak, bingo!
Na, ezzel megvolnánk.
Csak még egy dolog. Ennél a lépésnél írjuk oda, hogy: az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt.
Itt van aztán egy újabb ügy:
A két hatványalap nem ugyanaz…
de van remény.
És nézzük, mit tehetnénk ezzel:
Most pedig lássunk valami izgalmasabbat.
Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva?
Készítsünk erről egy rajzot.
Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van ezzel a kis képlettel kapjuk meg:
Itt x azt jelenti, hogy hányszor 25 perc telt el.
A mi kis történetünkben két óra, vagyis 120 perc telik el:
Tehát ennyi milligramm lesz a baktériumok tömege 120 perc múlva.
Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben?
A történet úgy szól, hogy kezdetben volt 23 milligramm, a végén pedig 736:
De az x=5 nem azt jelenti, hogy 5 perc telt el…
Az x=5 azt jelenti, hogy 5 generációnyi idő telt el:
Vagyis 60 perc telt el.
A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében.
Hát így elsőre ez egy elég ronda képlet, de mindjárt kiderül, hogy nem is olyan rémes.
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége?
A 90-stroncium felezési ideje 25 év, tehát képletünk valahogy így néz ki:
Íme, a képlet:
Ha 40 év telik el, akkor t helyére 40-et írunk:
Ezt beírjuk a számológépbe…
40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.
Most nézzük, mi történik 100 év alatt.
Ha 100 év telik el, nos, akkor t helyére 100-at kell írnunk:
Vagyis 100 év alatt 6,3%-ra csökken a radioaktív atommagok száma.
Újabb rémtörténetek következnek exponenciális egyenletekkel.
Itt is jön az első:
Na, ezzel megvolnánk.
Itt van aztán ez:
Eddig jó…
Vannak aztán első ránézésre eléggé rémisztő egyenletek is.
Itt jön néhány újabb remek exponenciális egyenlet.
Na, ezzel megvolnánk.
Nézzünk egy másikat.
Most pedig lásunk valami izgalmasabbat.
Így aztán elhatalmasodik rajtunk az érzés, hogy le kéne osztani 4x-nel.
Nos, az izgalmak még tovább fokozhatók.
Nézzük, vajon meg tudjuk-e oldani ezt:
Ez valójában egy másodfokú egyenlet, ami exponenciális egyenletnek álcázza magát.
És vannak egészen trükkös esetek is.
Nézzünk meg még egy ilyet.
Lássuk, mik azok a komplex számok.
Ehhez előszöris beszélgessünk egy kicsit a számokról.
Ez itt például 3.
Ez pedig 4.
És néha sajnos szükség van negatív számokra is.
Aztán fölmerülhet az igény olyan számokra is, amelyek arányokat fejeznek ki.
Ezeket racionális számoknak nevezzük.
Mondjuk ennek az egyenletnek a megoldása:
Vannak aztán olyan egyenletek, amiknek a megoldásai nem racionális számok.
Így megjelennek az irracionális számok, amik feltöltik a racionális számok közötti hézagokat a számegyenesen.
És ezzel eljutottunk a valós számokhoz. A számegyenes minden pontjában egy valós szám van.
De bizonyos esetekben - főleg ha fizikusok is felbukkannak a közelünkben - olyan számokra is szükségünk van, amelyek meglehetősen szokatlan dolgokat tudnak.
Ilyeneket, mint például ez:
Így hirtelen nem sok olyan számot tudunk mondani ami ezt tudná, mert ugye
Ezeket a fura számokat, képzetes számoknak nevezték el.
Mivel pedig a valós számok már minden helyet elfoglaltak a számegyenesen, a képzetes számoknak egy erre merőleges tengelyen tudunk helyet szorítani.
Az imaginárius tengely egysége az .
És legfontosabb tulajdonsága, hogy .
Azokat a számokat, amelyek valós és imaginárius számokból tevődnek össze, komplex számoknak nevezzük.
A komplex számok tehát ilyen alakú számok, és az úgynevezett komplex számsíkon helyezkednek el.
Van itt két komplex szám
és most nézzük meg, hogyan kell ezeket összeadni vagy éppen összeszorozni.
Összeadásnál egyszerűen összeadjuk a valós részeket
és a képzetes részeket.
A szorzás már izgalmasabb.
De .
A legviccesebb pedig az osztás.
Nos ezzel fogjuk folytatni…
A komplex számok gondolata azon csalódottságunkból indult ki, hogy az
egyenletnek nincs valós megoldása.
Ezt a kis problémát akár egy legyintéssel is elintézhettük volna, de kiderült, hogy főleg fizikai kérdések megoldásához hasznos lenne, ha valahogy mégis varázsolnánk valamilyen megoldást.
Így kerültek képbe a mi kis képzeletbeli barátaink az imaginárius számok.
Lakóhelyük a valós számegyenesre merőleges imaginárius tengelyen található…
és legfőbb tulajdonságuk, hogy
.
A valós és képzetes számokból összeálló alakú számokat komplex számoknak nevezzük.
Most pedig lássuk, milyen műveleteket végezhetünk a komplex számokkal.
Van itt aztán egy fura dolog, amit úgy hívnak, hogy konjugált.
A komplex szám konjugáltja .
Ez a konjugálás tehát egy tükrözés a valós tengelyre.
Remek, és most jöhet a szorzás.
Nos az osztás érdekes lesz.
Nos az osztás érdekes lesz.
Megpróbáljuk eltüntetni a nevezőből az -t.
Ehhez segítségül hívjuk a konjugáltját.
Ez a kis trükk a konjugálttal mindig működik.
Ha egy komplex számot megszorzunk a konjugáltjával, akkor mindig valós számot kapunk:
És akkor is, ha összeadjuk őket:
Most pedig jó lenne, ha végre valami hasznunk is lenne ezekből a komplex számokból.
Van itt egy ilyen… nos egy polinom, és próbáljuk meg felbontani elsőfokú tényezők szorzatára.
Épp itt jön ez az azonosság:
Most próbáljuk meg szorzattá alakítani ezt:
Olyan azonosság nincs, hogy
ezért megpróbáljuk itt is az előzőt használni egy kis bűvészkedéssel.
Lássunk most egy bonyolultabbat.
A komplex számok egyik jelentős haszna, hogy a segítségükkel minden polinom felbontható elsőfokú tényezők szorzatára.
Ezt nevezik az algebra alaptételének.
Most pedig oldjunk meg néhány, korábban reménytelennek hitt másodfokú egyenletet.
Itt jön a megoldóképlet:
Egy komplex szám abszolútértéke a nullától való távolsága.
Ezt a távolságot egy Pitagorasz-tétel segítségével tudjuk kiszámolni.
Nézzünk meg még egyet.
A megoldóképlet helyett itt megpróbálunk szorzattá alakítani.
Most pedig lássuk mire jók még ezek a komplex számok.
Próbáljuk meg ábrázolni a komplex számsíkon azokat a komplex számokat, amelyekre:
Az algebrai alakot használjuk,
vagyis
És most pedig koordinátageometriai rémtörténetek következnek.
Az
egy origó középpontú és r sugarú kör egyenlete.
Ez alapján az szintén egy kör, aminek a középpontja az origó és sugara r=2.
Az pedig azt jelenti, hogy a kör és a belseje.
Koordinátageometriai rémtörténetek:
Az egyenes egyenlete:
A kör egyenlete:
Lássuk hol helyezkednek el a komplex számsíkon azok a komplex számok, amelyekre:
Az algebrai alakot használjuk, vagyis mindenhol z helyére
azt írjuk, hogy
Az egyenlőtlenség az egyenes valamelyik oldalát jelenti.
Nézzük meg melyiket.
Mindig úgy érdemes kísérletezni, hogy a=0 és b=0.
Ez úgy tűnik stimmel, tehát az egyenesnek ez az oldala kell.
Nézzük aztán, mi a helyzet ezzel:
Az egyenlőtlenség a körvonal valamelyik oldalát jelenti.
Vagy a kör belsejét vagy a kör külsejét.
Most is úgy érdemes kísérletezni, hogy a=0 és b=0.
Úgy tűnik, a külseje kell.
És mivel az egyenlőség nincs megengedve,
ezért a körvonal nem tartozik hozzá a tartományhoz.
Végül lássuk mit tud ez:
Szükség lesz egy kis teljes négyzetté kiegészítésre.
Van egy nagy probléma a komplex számok algebrai alakjával. Mégpedig az, hogy szinte lehetetlen hatványozni őket.
Próbáljuk csak meg kiszámolni, hogy mennyi
Nos ennyi.
De hát ez csak valami rossz vicc lehet…
Kell, hogy legyen valami egyszerű módszer a komplex számok hatványozására.
Ez itt a komplex számok szokásos algebrai alakja,
és most lecseréljük egy trigonometrikus alakra.
A fő gondolata ennek a trigonometrikus alaknak az, hogy a komplex számokat két új jellemző segítségével írja le, az egyik az abszolútérték, a másik a szög.
Az abszolútértéket r-el fogjuk jelölni,
a szöget pedig... nos hát a szöget pedig thétával. Íme itt is van:
A trigonometrikus alak meglepően egyszerűvé teszi a komplex számok szorzását,
és osztását.
Most pedig térjünk vissza a hatványozás kérdéséhez.
Szeretnénk kiszámolni, hogy mennyi .
Itt jön a trigonometrikus alak.
És most elkezdjük hatványozni.
Az n-edik hatványt úgy kapjuk, hogy r-et n-edikre emeljük, a szöget pedig n-nel szorozzuk:
Így aztán
amit, ha kedvünk van, visszaírhatunk algebrai alakba.
És most próbáljuk meg kiszámolni ezt:
Lássuk először a trigonometrikus alakokat.
De van itt egy kis gubanc.
Ennek az egyenletnek, hogy
van egy másik megoldása is.
Azt, hogy a kettő közül melyikre van szükségünk, eldönthetjük pénzfeldobással is,
de jobb ha inkább készítünk egy ábrát.
Nos, a jelek szerint a negatív kell.
És most jöhet a szorzás.
A valós és a komplex gyökvonás közti különbségek.
Most bűvészmutatványok következnek:
A kérdés az, hogy hol van itt a trükk.
A helyzet az, hogy nincs trükk.
Amikor annak idején definiáltuk, hogy mit jelent például az, hogy , akkor azt mondtuk, hogy .
Annak ellenére, hogy van egy másik olyan szám is, amit négyzetre emelve 4-et kapunk, ez pedig a mínusz 2.
Komplexben a helyzet sokkal viccesebb.
Mert például
Igen ám, de
sőt
Így aztán négy olyan szám is van, amit negyedikre emelve 1-et kapunk.
Ez a kis kellemetlenség arra sarkall bennünket, hogy komplexben másként definiáljuk a gyökvonást, mint valósban.
Valósban egy szám n-edik gyöke mindig pontosan egy darab számot jelentett, komplexben viszont minden olyan számot amelynek n-edik hatványa az eredeti szám.
Tehát például
valósban komplexben
A komplex szám n-edik gyöke az összes olyan
komplex szám, ami azt tudja, hogy
és
Itt r a komplex szám abszolútértéke, ami egy valós szám.
Ez tehát egy szokásos valós gyökvonás - olyan, mint régen.
GYÖKVONÁS
Van itt ez a komplex szám:
És nézzük meg mi történik vele, ha mondjuk ötödik gyököt vonunk belőle.
Előszöris a trigonometrikus alakra lesz szükség.
Aztán jöhet a gyökvonás.
Ez öt darab komplex szám.
A k=5 már nem érdekes. Ilyenkor visszakapjuk a k=0 esetet.
Hát ennyit a gyökvonásról.
A komplex számoknak van még egy nagyon vicces alakja, amit exponenciális alaknak nevezünk.
Íme, itt is van:
Hogy mire jó az exponenciális alak?
Arra, hogy még egyszerűbbé tegye a komplexben végzett műveleteket.
Lássuk hogyan könnyíti meg az életünket az exponenciális alak.
Számoljuk ki például, hogy mennyi z4 az exponenciális alak segítségével.
Az úgynevezett Euler formula alapján
Itt van aztán egy másik ügy. Vonjunk ebből a komplex számból harmadik gyököt.
Ha egy sorozat előbb utóbb tetszőlegesen megközelít valamilyen számot, akkor a sorozatoknak ezt a tulajdonságát konvergenciának nevezzük.
A konvergencia definícióját több száz év alatt találták ki a matematikusok. Nekünk most lesz rá egy percünk.
Az sorozat konvergens és határértéke az A szám, ha bármilyen pici -hoz tudunk találni olyan indexet, hogy minden ezt követő tag -nál közelebb van az A számhoz.
Ezt nevezzük a sorozat határérték definíciójának.
Mivel azonban a matematika törekszik az egyszerű megfogalmazásokra, nos emiatt még át kell esnie egy kis igazításon.
Íme itt is van.
A leginkább kétségbeejtő rész ebben az új definícióban ez.
De aggodalomra semmi ok. Az, hogy
mindössze ezt jelenti.
Vagyis azt, hogy közelebb van -hoz, mint .
Nézzük meg például, hogy mennyi lesz az -hoz tartozó , ha
Nos, úgy tűnik akkor lesz a sorozat -nál közelebb a határértékéhez, ha
Vagyis a hetedik tagtól és így .
Itt van aztán egy másik nagyszerű sorozat.
Újabb nagyszerű sorozatok felbukkanása várható életünkben. A konvergens sorozatokat már ismerjük:
Itt jönnek aztán a divergens sorozatok.
Ez a sorozat például azért divergens, mert végtelenbe tart.
A sorozat bármilyen számot túlnő, tagjai megállíthatatlanul tartanak a végtelen felé.
Vannak aztán olyan sorozatok is, amelyek azért divergensek, mert mínusz végtelenbe tartanak.
És végül vannak olyan divergens sorozatok is, amelyek nem tartanak sehova. Ilyen sehova sem tartó sorozat például ez:
Az sorozat oszcillálva divergens, ha nincs semmilyen határértéke, vagyis sem egy valós számhoz, sem plusz vagy mínusz végtelenbe nem tart.
Íme a menü:
Nézzük meg, mit művel például ez a sorozat:
A jelek szerint divergens, és tart plusz végtelenbe.
Ez azt jelenti, hogy bármely M>0-ra van olyan n0, hogy
Ha mondjuk , akkor
és így
Ez azt jelenti, hogy sorozatnak a 14696-odik tag utáni összes tagja 600-nál nagyobb.
Ha ez a bizonyos M nem 600, hanem mondjuk 800…
akkor a sorozat egy későbbi tagtól ugyan, de a 800-on is túlnő.
Itt jön aztán egy vicces sorozat. Próbáljuk meg kiszámolni az -hoz tartozó -t
A sorozat divergens.
Így aztán nem létezik -hoz semmiféle .
Itt az ideje, hogy szeszélyesebben viselkedő sorozatokkal is megismerkedjünk.
És most megszabadulunk az abszolútértékektől.
Fönt kezdjük.
Ha n=1
Lássuk csak, vajon pozitív-e.
Nos, ha n=1, 2, 3, 4, 5 akkor igen. De 6 után negatív.
Minket a nagy n-ek érdekelnek, ugyanis valahol itt lesz.
Most pedig nézzük mi van a nevezővel.
Ha n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 akkor negatív.
De 9-től már pozitív.
Minket most is a nagy n-ek érdekelnek, ugyanis valahol itt lesz.
Beszorzunk és aztán kicsit rendet rakunk…
És íme a küszübindex.
Itt jön egy újabb remek sorozat, és
Lássuk mi a helyzet a nevezővel. Ha n=1, 2, 3, akkor negatív…
De az összes többi n-re pozitív.
A sorozatok monotonitásának vizsgálata valóban elég monoton elfoglaltság lesz.
Szóval ne sok izgalomra számítsunk…
Egy sorozat szigorúan monoton növekedő, ha bármelyik tagja nagyobb az előtte lévő tagnál.
Szigorúan monoton csökkenő, ha bármelyik tagja kisebb az előtte lévő tagnál.
Monoton növekedő, ha bármelyik tagja nagyobb vagy egyenlő az előtte lévő tagnál.
És monoton csökkenő, ha bármelyik tagja kisebb vagy egyenlő az előtte lévő tagnál.
Itt van például egy sorozat, és vizsgáljuk meg a monotonitását.
Nos ez elég rémes lesz.
2.1.
A jelek szerint tehát szigorúan monoton nő.
Ugyanezt kideríthetjük egy trükk segítségével is.
Épp itt is jön:
Itt picit álljunk meg gondolkodni.
Mi történik, ha a 4-et egyre nagyobb számokkal osztjuk?
Nos ez.
Nézzünk meg egy másikat is.
A sorozat szigorúan monoton nő.
Lássuk, hogyan jön ez ki a trükk segítségével is:
Jön megint a gondolkodás.
Mi történik, ha a 9/5-öt egyre nagyobb számokkal osztjuk?
A mínusz jellel együtt viszont már szigorúan monoton nő.
És így az egész sorozat is szigorúan monoton nő.
Itt jön aztán egy érdekesebb eset:
Ha akkor a számláló éppen nulla.
Ha akkor pozitív.
Tehát a sorozat monoton nő.
Lássuk, hogyan működik itt a trükk:
Nos, sehogy.
Az okozza a problémát, hogy egyszerre és is szerepel és sajna ilyenkor a trükk nem működik…
Vannak aztán olyan sorozatok is, amelyek nem monotonok.
Sajnos ettől még nem mondható el róluk, hogy izgalmasak volnának.
Itt van például egy ilyen.
Az ilyen sorozatokat oszcilláló sorozatoknak nevezzük.
Ez a sorozat például a nulla körül oszcillál:
ha n páratlan
ha n páros
Mi jöhet még ez után…
Minden függvény egy hozzárendelés, aminek az inverze, ha az egyáltalán létezik, az fordított hozzárendelés.
Az inverz kiszámolásának menete a következő:
Legyen mondjuk
Előszöris írjuk a függvényt y=izé alakban:
Itt x-hez rendelünk y-t.
Az inverz a fordított hozzárendelés, ahol y-hoz rendelünk x-et, ezért a cél mindig az, hogy az Y=izét x=bigyó alakra rendezzük.
Végül x-et és y-t kicseréljük (van aki nem) és így kapjuk az inverzt:
Az inverz jele:
Van azonban egy kis gond. Nem minden függvénynek van inverzze, ugyanis nem minden függvénynél fordítható meg a hozzárendelés.
Például az függvény esetében és amit megfordítani nem tudunk: .
A gond azzal van, hogy ez a függvény két különböző számhoz (a 2-höz és a -2-höz is) ugyanazt a számot rendeli és emiatt a hozzárendelés nem fordítható meg.
De ha a negatív számokat kiiktatjuk,
nos akkor már minden rendben.
Inverze tehát csak azon függvényeknek van, amik két különböző x-hez
különböző y-okat rendelnek.
Ezt úgy mondjuk, hogy kölcsönösen egyértelműek, vagy kicsit rövidebben injektívek.
Az függvény injektív, ha akkor .
Minden szigorúan monoton függvény injektív és így invertálható.
És van itt még egy dolog.
Legyen a függvényünk az és értelmezési tartománya .
Nos, ekkor az értékkészlete .
Az inverz függvény a fordított hozzárendelés, tehát ilyenkor ezek fölcserélődnek.
Ha invertálható, akkor az értelmezési tartománya megegyezik az inverzének értékkészletével, és értékkészlete az inverz értelmezési tartományával.
Nézzünk néhány példát.
Adjuk meg az függvény inverzét, ha
Nincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Például 4-hez és -4-hez is ugyanazt rendeli, éppenséggel 0-t.
Ebben az esetben viszont egészen más a helyzet, itt ugyanis x csak pozitív lehet. Márpedig nincs két pozitív szám, aminek a négyzete ugyanaz, így a függvény injektív.
Lássuk az inverzt
Ebben az esetben is van inverz, mert a függvény injektív.
Lássuk az inverzt!
Ebben az esetben a függvénynek nincs inverze, mert ezúttal sem injektív, például 4-hez és -4-hez is megint ugyanazt rendeli, 0-t.
Sajna ilyenkor sincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Lássunk még egyet.
Van itt ez a függvény, keressük az inverzét.
és
Végül nézzük meg ezt is.
Beszéljünk egy kicsit az inverz geometriai jelentéséről.
Van itt egy függvény
és nézzük meg, mi történik a függvény grafikonjával, amikor invertáljuk.
Nos ez.
Tükrözzük a függvénygrafikonját az y=x egyenletű egyenesre.
A rajzon az is remekül látszik, hogy a gyökös függvények inverze sosem a teljes paraola, mindig csak a fele.
És ez fordítva is igaz: a teljes parabolát sosem tudjuk invertálni, mindig csak a felét.
Itt jön aztán egy másik remek függvény az
Nos ennek a függvénynek az inverze az
Az exponenciális függvények inverzei a logaritmusfüggvények.
És ez kölcsönös, tehát a logaritmusfüggvények inverzei az exponenciális függvények.
Nézzük meg például ennek az inverzét:
A kitevőből úgy tudjuk x-et előcsalogatni, hogy vesszük mindkét oldal logaritmusát.
Vagy itt van például egy másik:
Az és az szintén egymás inverzei.
Vigyázni kell ezzel az inverz függvény számolással, nagy mennyiségben ugyanis ártalmas lehet.
De talán egy még belefér…
Minden függvény egy hozzárendelés, aminek az inverze, ha az egyáltalán létezik, az fordított hozzárendelés.
Az inverz kiszámolásának menete a következő:
Legyen mondjuk
Előszöris írjuk a függvényt y=izé alakban:
Itt x-hez rendelünk y-t.
Az inverz a fordított hozzárendelés, ahol y-hoz rendelünk x-et, ezért a cél mindig az, hogy az Y=izét x=bigyó alakra rendezzük.
Végül x-et és y-t kicseréljük (van aki nem) és így kapjuk az inverzt:
Az inverz jele:
Van azonban egy kis gond. Nem minden függvénynek van inverzze, ugyanis nem minden függvénynél fordítható meg a hozzárendelés.
Például az függvény esetében és amit megfordítani nem tudunk: .
A gond azzal van, hogy ez a függvény két különböző számhoz (a 2-höz és a -2-höz is) ugyanazt a számot rendeli és emiatt a hozzárendelés nem fordítható meg.
De ha a negatív számokat kiiktatjuk,
nos akkor már minden rendben.
Inverze tehát csak azon függvényeknek van, amik két különböző x-hez
különböző y-okat rendelnek.
Ezt úgy mondjuk, hogy kölcsönösen egyértelműek, vagy kicsit rövidebben injektívek.
Az függvény injektív, ha akkor .
Minden szigorúan monoton függvény injektív és így invertálható.
És van itt még egy dolog.
Legyen a függvényünk az és értelmezési tartománya .
Nos, ekkor az értékkészlete .
Az inverz függvény a fordított hozzárendelés, tehát ilyenkor ezek fölcserélődnek.
Ha invertálható, akkor az értelmezési tartománya megegyezik az inverzének értékkészletével, és értékkészlete az inverz értelmezési tartományával.
Nézzünk néhány példát.
Adjuk meg az függvény inverzét, ha
Nincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Például 4-hez és -4-hez is ugyanazt rendeli, éppenséggel 0-t.
Ebben az esetben viszont egészen más a helyzet, itt ugyanis x csak pozitív lehet. Márpedig nincs két pozitív szám, aminek a négyzete ugyanaz, így a függvény injektív.
Lássuk az inverzt
Ebben az esetben is van inverz, mert a függvény injektív.
Lássuk az inverzt!
Ebben az esetben a függvénynek nincs inverze, mert ezúttal sem injektív, például 4-hez és -4-hez is megint ugyanazt rendeli, 0-t.
Sajna ilyenkor sincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Lássunk még egyet.
Van itt ez a függvény, keressük az inverzét.
és
Végül nézzük meg ezt is.
Beszéljünk egy kicsit az inverz geometriai jelentéséről.
Van itt egy függvény
és nézzük meg, mi történik a függvény grafikonjával, amikor invertáljuk.
Nos ez.
Tükrözzük a függvénygrafikonját az y=x egyenletű egyenesre.
A rajzon az is remekül látszik, hogy a gyökös függvények inverze sosem a teljes paraola, mindig csak a fele.
És ez fordítva is igaz: a teljes parabolát sosem tudjuk invertálni, mindig csak a felét.
Itt jön aztán egy másik remek függvény az
Nos ennek a függvénynek az inverze az
Az exponenciális függvények inverzei a logaritmusfüggvények.
És ez kölcsönös, tehát a logaritmusfüggvények inverzei az exponenciális függvények.
Nézzük meg például ennek az inverzét:
A kitevőből úgy tudjuk x-et előcsalogatni, hogy vesszük mindkét oldal logaritmusát.
Vagy itt van például egy másik:
Az és az szintén egymás inverzei.
Vigyázni kell ezzel az inverz függvény számolással, nagy mennyiségben ugyanis ártalmas lehet.
De talán egy még belefér…
Azokat az összegeket, amiket úgy kapunk, hogy végtelen sok valós számot adunk össze végtelen sornak nevezzük.
Ez itt például egy végtelen sor:
Az összeadásban szereplő tagokat képzeljük el úgy, mint egy bolha ugrásait a számegyenesen.
A sor összege az a szám ahova a bolha ugrásai során eljut.
Most egy fáradékony bolhával van dolgunk, ugrásai egyre rövidülnek.
Mindig fele akkorát ugrik, mint ami még a hátralévő út a 2-ig, így véges sok ugrással sosem érheti el a 2-t, mert
Ha viszont az ugrások száma végtelen, akkor a bolha éppen eljut a 2-be.
Van itt aztán egy másik bolha is, ez egyáltalán nem fáradékony, viszont meglehetősen összevissza ugrál.
Először ugrik 1-et, majd vissza 1-et.
Utána megint ugrik 1-et, majd megint vissza…
Nos ez a bolha nem jut el sehova, ha az ugrások száma végtelen.
Mindig épp valahol úton lesz a 0 és az 1 között.
És itt egy harmadik, ahol az ugrások mindig megduplázódnak.
Konvergensnek nevezzük azokat a sorokat, ahol a bolha ugrásai során eljut egy konkrét számhoz. Azt a számot pedig ahova eljut, a sor összegének nevezzük.
Ha a bolha ugrásai során nem jut el sehova, vagy éppen plusz vagy mínusz végtelenbe jut el, akkor a sor divergens.
A sorokkal kapcsolatban kétféle kérdés merülhet föl.
Az egyik, hogy konvergens-e vagy divergens a sor. Erre viszonylag könnyen tudunk válaszolni úgynevezett konvergencia kritériumok segítségével.
A másik kérdés, hogy ha a sor konvergens, akkor mi az összege, vagyis hova tart a bolha. Nos ez egy jóval nehezebb kérdés és erre csak elég speciális sorok esetében tudunk megnyugtató választ adni.
Ilyen speciális sor például a mértani sor, amilyenek ezek a bolhás esetek is itt balra.
Lássuk, hogyan kell kiszámolni a mértani sorok összegét.
Azokat a sorokat nevezzük mértani sornak, amelyek így néznek ki, mint ez:
Itt és konkrét számok.
Ha akkor a mértani sor konvergens és összege
Ha akkor a sor divergens
divergens
Íme itt egy példa:
Mindig az első tag lesz a1,
a q pedig az, aki az n-ediken van.
A sor konvergens.
A sor divergens.
Itt van aztán egy másik.
Nos, ezek a mértani sorok nem túl izgalmasak. De néhányat még talán megnézhetünk.
de mivel a -2 a nevezőben van…
És most jöhetnek a konvergencia kritériumok.
Itt az ideje, hogy a végtelen sorok konvergenciáját kicsit precízebben is definiáljuk és megalkossunk egy bolhák nélküli definíciót.
Valójában azonban csak a bolha szót fogjuk kicserélni egy tudományosabban hangzóra.
Bevezetjük a részletösszeg-sorozat fogalmát.
A részletösszeg-sorozat jele és első tagja a bolha első ugrása, vagyis .
A második tagja az első két ugrás összege.
A harmadik tag az első három ugrás összege.
Vagyis pontosan azt mondja meg, hogy éppen hol jár a bolha.
És ahova tart, nos egészen pontosan oda tart a bolha is.
Tehát a bolha uticélja vagyis a sor összege éppen az sn határértéke.
Nos ez a precíz definíció.
Egy végtelen sor akkor konvergens, ha a részletösszeg-sorozata konvergens és ekkor a sor összege:
És most lássuk, hogyan tudjuk eldönteni, hogy egy sor konvergens-e vagy divergens.
Ez egy viszonylag könnyen megválaszolható kérdés és az úgynevezett konvergencia kritériumok fognak nekünk ebben segíteni.
Az első ilyen kritérium annyit mond, hogy ha a bolha nem fáradékony, akkor a sor biztosan divergens.
Vagyis, ha az ugrások hossza nem tart nullához, akkor a sor divergens.
Lássunk egy példát. Itt van mondjuk ez a sor:
Az állítás megfordítása viszont nem igaz, vagyis annak ellenére, hogy
divergens.
Vagyis nem minden fáradékony bolha konvergens.
A zavarodott fáradékony bolhák viszont garantáltan konvergensek. Erre jött rá Leibniz.
Legyen pozitív tagú sorozat. Ekkor a
végtelen sort Leibniz-típusú sornak nevezzük.
Minden Leibniz-sor konvergens. A magyarázat a következő.
A bolha első ugrása bármekkora lehet.
A második ugrás az előzőnél kisebb és ellentétes irányú.
Aztán megint kisebbet ugrik és megint a másik irányba.
Így szépen lassan bezárja magát és eljut uticéljához, ami a sor összege.
A sor abszolút konvergens, ha a sor is konvergens.
Vannak olyan sorok, amik konvergensek ugyan, de nem abszolút konvergensek.
A Leibniz-sorok között ez gyakran előfordul. Itt van például ez:
Nos ez egy Leibniz-sor, tehát konvergens…
de nem abszolút konvergens, mert
ez utóbbi pedig, ha még emlékszünk rá divergens.
Hát ez igazán érdekes volt, most pedig következzen két nagyon gyakran használt konvergencia kritérium.
Itt jön erre egy példa:
ezért a sor konvergens, sőt abszolút konvergens.
Itt van aztán egy másik:
Ajjaj. Hát ebből most nem tudtunk meg semmit.
De még van remény, próbáljuk ki ezt:
Lássunk egy példát a hányados kritériumra is:
Az n!-ról érdemes tudni, hogy
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
Kezdjük az elsővel. Itt alkalmazzuk a hányados kritériumot. Azért a hányadost, mert a faktoriális nem szereti a gyök kritériumot.
Nos ez úgy tűnik konvergens.
Lássuk a következőt.
Itt a gyök kritérium jót fog tenni majd a kitevőknek.
Ez is konvergens. Lássuk mi a helyzet a harmadikkal.
Próbálkozzunk itt is a gyök kritériummal.
Rossz hír, ezek a sorozatok sajna 1-hez tartanak:
Ennek végzetes következményei vannak, ugyanis olyankor, amikor a határérték 1, a gyök kritérium csődöt mond.
Próbálkozhatnánk esetleg a hányados kritériummal is, de azzal sem jönne ki semmi.
Leibniz sem segíthet, és sajna ez sem, ugyanis ha valaki utánaszámol,
Így aztán jelenleg semmilyen eszközünk nincs, amivel ennek a sornak a konvergenciáját megnyugtató módon tisztázhatnánk.
De szerencsére még van remény, erről fog szólni a következő képsor.
Itt jön egy újabb konvergencia kritérium. Ezt a kritériumot kimondottan olyan sorokra érdemes használni, mint amilyen ez:
A számláló és a nevező is egy polinom.
azokban az esetekben az összehasonlító kritériumot érdemes használni.
Éppen itt is jön:
Ha és nem negatív tagú sorok, és egy bizonyos tagtól akkor
konvergens is konvergens
divergens is divergens
Ezen kívül azt is érdemes tudni, hogy a
típusú sor konvergens, ha és divergens, ha .
Most, hogy mindezt megtudtuk, lássuk konvergens-e ez a sor.
Feltehetően igen.
De lássuk az összehasonlító kritériumot.
Úgy tudjuk igazolni, hogy a sor konvergens, ha felülről becsüljük egy másik konvergens sorral.
Úgy kell felülről becsülni, hogy a számlálót növeljük, a nevezőt pedig csökkentjük.
De nem bízzuk a dolgot a véletlenre.
A számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.
A számlálót úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A nevezőt meg úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
Az eredeti sort felülről becsültük egy olyan sorral, ami konvergens, ezért az eredeti sor is konvergens.
Nézzünk meg egy másikat is.
Konvergens-e a következő sor?
Nos megint az összehasonlító kritériumot hívjuk segítségül.
A hangok azt mondják, hogy ezúttal a sor divergens lesz.
Így most alulról kell becsülni… ráadásul szintén divergenssel.
Nagyon nem is kell megerőltetnünk a fantáziánkat.
Nos ez divergens, tehát az eredeti sor is divergens.
Végül lássunk egy bonyolultabbat.
Így aztán megint alulról kell becsülni:
A számlálót csökkentjük,
a nevezőt pedig növeljük.
SZÜKSÉGES FELTÉTEL
Ha akkor divergens.
LEIBNIZ-SOROK
A sor mindig konvergens, ha
de nem mindig abszolút konvergens.
GYÖK KRITÉRIUM
Ha akkor abszolút konvergens
Ha akkor divergens
Ha akkor nem tudni mi van
HÁNYADOS KRITÉRIUM
Ha akkor absz. konvergens
Ha akkor divergens
Ha akkor nem tudni mi van
A mértani soroknál már nagy sikereket értünk el a sorösszeg meghatározásában. Itt az idő, hogy egy újabb speciális sor, az úgynevezett teleszkopikus sor összegét is kiszámoljuk.
A sor összege ezek szerint egy.
Nos ez a megoldás nem teljesen precíz, de a részletösszeg-sorozat segítségével precízzé tudjuk tenni.
Itt jön egy másik:
A nevezőt szorzattá alakítjuk, aztán megint bűvészmutatványok következnek.
Az egyenlőség mindkét oldalán ugyanannyi n-nek kell lennie.
A bal oldalon nulla darab van…
így a jobb oldalon is.
A konstans tag is mindkét oldalon ugyanaz kell, hogy legyen.
Jöjjön aztán egy kellemetlenebb ügy.
Megint először parciális törtekre bontunk.
Az egyenlőség mindkét oldalán ugyanannyi n2-nek kell lennie.
A bal oldalon nulla darab van…
így a jobb oldalon is.
Nos, aztán n-ből is nulla darab van bal oldalon.
Ezért jobb oldalon is.
A konstans tag is mindkét oldalon ugyanaz kell, hogy legyen.
Végül még egy trükk. A középső tagot kettébontjuk és nem is véletlenül. Azért bontjuk ketté, hogy neki is 1/2 legyen a számlálója és így jobban szeressék őt a többiek.
Most pedig jöhet a részletösszeg-sorozat.
És még egy érdekesség:
Itt is a parciális törtekre bontás módszerét használjuk, mégpedig úgy, hogy ahol a különbség első tagjában n-1 van, ott a második tagban n van.
Erre azért van szükség, hogy a felbontás során teleszkopikus összeget kapjunk.
És most jöhet a részletösszeg-sorozat.
Azokat a végtelen sorokat, amelyek így néznek ki, hatványsornak nevezzük:
Itt van például egy hatványsor.
És derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
A hatványsoroknál általában a gyök kritérium szokott beválni.
Ha akkor
és itt úgy viselkedik, mint egy konstans, vagyis sajátmagához tart.
A sor akkor konvergens, ha ez kisebb, mint 1.
A sárgával jelölt tartományban helyezkednek el azok az x-ek amelyekre a sor konvergens.
Ezt hívjuk konvergencia-tartománynak.
Az pedig a konvergencia-sugár.
A kérdés, hogy vajon konvergens-e a sor a konvergencia-tartomány végpontjaiban?
Nos, ezt mindig még külön meg kell vizsgálni.
A jelek szerint ez egy Leibniz-sor, tehát konvergens.
Most lássuk a másik végpontot.
Nos, itt a sor divergens.
-t a hatványsor középpontjának nevezzük.
-ban a hatványsor mindig abszolút konvergens.
Az pont sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük.
A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.
Lássuk mi a helyzet ezzel:
Megint gyök kritérium:
És most jöhetnek a végpontok.
Az ebben a végpontban kapott sor konvergens, sőt abszolút konvergens.
A másik végpontban szintén.
Itt jön aztán egy olyan hatványsor, amire nem lesz jó a gyök kritérium.
Az miatt itt a hányados kritérium lesz a nyerő.
Írhatunk x helyére bármilyen számot, ez mindig teljesülni fog.
A jelek szerint tehát a sor miden x-re konvergens.
Beszéljünk egy kicsit a sorozatokról. Kezdjük azzal, hogy mire jók a sorozatok.
Nos, például arra, hogy beszéljünk róluk.
Íme itt is van egy sorozat.
Ez itt a sorozat indexe, ami azt mondja meg, hogy éppen hányadik tagot nézzük.
index
A sorozatok egyik leglényegesebb tulajdonsága, hogy vajon mi történik vele, ha egyre távolibb tagjait nézzük.
Ez a sorozat például közeledik a nullához.
Olyannyira, hogy mondhatunk bármilyen pici számot, eljön az idő, hogy a sorozat annál is közelebb kerül a nullához.
A sorozatnak ezt a tulajdonságát úgy nevezzük, hogy tart a nullához vagy másként a határértéke nulla.
És így jelöljük: vagy így:
Itt jön egy másik sorozat.
Ez a sorozat még inkább nullához tart.
Sőt általában ezek a sorozatok nullához tartanak.
Aztán itt vannak ezek a sorozatok.
Nos ők a végtelenbe tartanak.
NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI
Vannak aztán ilyen gyökös sorozatok is.
Ők is végtelenbe tartanak.
És itt jön a legizgalmasabb sorozat, az
Ha akkor
sehova
Most pedig nézzük meg mi történik ha két sorozatot összeadunk.
Ha mondjuk és akkor logikusnak tűnik, hogy
De az élet sajnos ennél bonyolultabb.
Előfordulhat ugyanis, hogy és .
Hova tart ilyenkor az összegük?
Nos a helyzet az, hogy az sorozat tarthat mínusz végtelenbe,
egy konkrét számhoz
és plusz végtelenbe.
A sorozat szintén.
Az összegükre pedig ez a kilenc eset adódhat.
Nézzük meg őket.
Ha mindkét sorozat mínusz végtelenbe tart, akkor az összegük is.
Ha az egyik A-hoz a másik mínusz végtelenbe, akkor az összegük is mínusz végtelenbe.
Hogyha az egyik sorozat mínusz végtelenbe a másik pedig plusz végtelenbe tart, akkor egészen egyszerűen nem tudjuk, hova tart az összegük.
Lehet mínusz végtelen is
lehet 42 is
és lehet plusz végtelen is
A táblázat többi részének kitöltése nem sok meglepetést tartogat, a bal alsó sarok szintén kérdőjeles.
Most pedig nézzük meg mi a helyzet két sorozat szorzatával.
Itt sajnos kicsit sok eset lesz.
Nos ez megint olyan, hogy egészen egyszerűen nem tudjuk.
A folytatás már nem túl izgalmas:
Aztán végre néhány egyértelmű eset:
Most pedig jöjjön a legrosszabb, az osztás.
Itt meglehetősen sok kérdőjel lesz.
Mindjárt az első:
De van még.
Nos ezeknek a táblázatoknak a lényege az, hogy segítsen eligazodni a különböző típusú határértékek között.
A kérdőjeles esetek mondjuk nincsenek túlzottan a segítségünkre, így a továbbiakban az lesz a feladatunk, hogy megnézzük mit lehet csinálni ezekben az esetekben.
Az egyik legizgalmasabbal fogjuk kezdeni a esettel.
HA k KONKRÉT SZÁM
Lássuk mik a teendők a kritikus határértékekkel. A sorozatok határértékének kiszámolása ezekben az esetekben válik igazán izgalmassá.
Itt jön egy ilyen eset:
A trükk az, hogy leosztjuk –el.
A számlálót is és a nevezőt is.
Ezzel egy -ből csináltunk egy -et.
Utóbbiról pedig lehet tudni, hogy az eredmény 2.
Nézzünk meg egy másikat is.
Végülis osszuk le ezt is -el.
Lássuk mi jön ki.
A számláló 4-hez tart.
A nevező nullához.
Nos ez baj.
A problémát az okozza, hogy a nevezőben a legnagyobb kitevőjű tag másodfokú.
Így ne lepődjünk meg, hogyha -el osztunk, a nevezőben mindenki nullához fog tartani.
Ha nem szeretnénk, hogy nullához tartson a nevező, akkor mindig a nevező legnagyobb kitevőjű tagjával kell osztanunk.
A számlálót és a nevezőt is leosztjuk a nevező legnagyobb kitevőjű tagjával.
A számlálót és a nevezőt is leosztjuk a nevező legnagyobb hatványalapú tagjával.
Először átalakítunk.
Aztán leosztunk.
A SZÁMLÁLÓT ÉS A NEVEZŐT IS LEOSZTJUK A NEVEZŐ LEGNAGYOBB KITEVŐJŰ TAGJÁVAL.
Előszöris kiderítjük, hogy melyik a nevező legnagyobb kitevőjű tagja.
Van itt ez az n2,
de köbgyök alatt van.
Aztán itt van ez az n3,
de esélyes sincs mert ötödik gyök alatt.
Végül itt van ez az n,
na úgy tűnik ő nyert.
A legnagyobb kitevőjű tag a nevezőben tehát n, vagyis vele fogunk osztani.
De ha bevisszük a gyökjelek alá, varázslatos átalakulásokon megy keresztül.
A különböző gyökjelek alatt tehát más-más kitevőjű n-ekkel osztunk.
Most néhány nagyon vicces sorozat következik.
Íme itt az első.
Hát ez nem életünk legnehezebb határértéke.
Aztán itt van ez a másik.
És egy harmadik.
Nos ebben eddig semmi vicces nincs.
De az izgalmak most jönnek.
Van itt ez a határérték.
Ami az előzőek alapján feltehetőleg megint 1.
Csak az a baj, hogy nem.
Azért nem, mert itt a kitevő nem egy konkrét szám, hanem a sorozat indexe, tehát folyamatosan változik.
Ha a kitevő egy konkrét szám, akkor minden amit eddig csináltunk OK.
De ha a kitevőben n van, nos akkor egészen más a helyzet.
Ilyenkor a határérték nem 1, hanem egy egészen kellemetlen szám.
Azért, hogy ezt a kellemetlen számot ne kelljen annyit nézegetni, elnevezték e-nek.
Ha itt nem 1 van, hanem valamilyen más szám,
akkor a határérték is kicsit megváltozik.
És van itt mégvalami.
Legalábbis akkor, ha
Nos nézzünk erre néhány példát.
Itt van például ez a határérték:
ami a képlet alapján
De ha ez a rész itt átváltozik
és a kitevő is,
nos akkor újra ugyanaz jön ki.
Vagy itt van egy másik:
Azok a határértékek tehát amikor ezek egyformák nagyon könnyen kiszámolhatók.
Kérdés, mi van akkor, ha nem egyformák.
Ilyenkor tenni kell valamit, hogy egyformák legyenek. Vagy ebből csinálunk 2n-et
vagy ebből n-et.
Csináljunk ebből n-et.
Egyszerűsítjük a törtet 2-vel. És tessék, így már jó is.
Itt a kitevőt fogjuk átalakítani.
Van egy ilyen, hogy
Vannak aztán kicsit izgalmasabb esetek is:
De ezek még mindig nem olyan izgalmasak, mint amik most jönnek majd.
Azokat a határértékeket ahol megjelenik itt
és a kitevőben is,
mindig ezeknek a képleteknek a segítségével tudjuk kiszámolni.
A teendő mindig az, hogy addig-addig kell bűvészkedni, amíg ezek a képletek egyszer csak megjelennek.
Nos az ügy érdekében osszuk le -el a számlálót és a nevezőt.
Ha esetleg a számlálóban és nevezőben is van, akkor -el osztunk:
És rondább esetekkel is el tudunk bánni
Ha a kitevő konkrét szám, akkor:
De ha sajna itt
ott
akkor csak -el osztunk aztán kiemelünk
Megeshet, hogy n2 is van.
Sőt lehet, hogy n3.
Fent is 2n3 van és lent is, úgyhogy osszunk 2n3-el.
Most néhány nagyon vicces sorozat következik.
Íme itt az első.
Hát ez nem életünk legnehezebb határértéke.
Aztán itt van ez a másik.
És egy harmadik.
Nos ebben eddig semmi vicces nincs.
De az izgalmak most jönnek.
Van itt ez a határérték.
Ami az előzőek alapján feltehetőleg megint 1.
Csak az a baj, hogy nem.
Azért nem, mert itt a kitevő nem egy konkrét szám, hanem a sorozat indexe, tehát folyamatosan változik.
Ha a kitevő egy konkrét szám, akkor minden amit eddig csináltunk OK.
De ha a kitevőben n van, nos akkor egészen más a helyzet.
Ilyenkor a határérték nem 1, hanem egy egészen kellemetlen szám.
Azért, hogy ezt a kellemetlen számot ne kelljen annyit nézegetni, elnevezték e-nek.
Ha itt nem 1 van, hanem valamilyen más szám,
akkor a határérték is kicsit megváltozik.
És van itt mégvalami.
Legalábbis akkor, ha
Nos nézzünk erre néhány példát.
Itt van például ez a határérték:
ami a képlet alapján
De ha ez a rész itt átváltozik
és a kitevő is,
nos akkor újra ugyanaz jön ki.
Vagy itt van egy másik:
Azok a határértékek tehát amikor ezek egyformák nagyon könnyen kiszámolhatók.
Kérdés, mi van akkor, ha nem egyformák.
Ilyenkor tenni kell valamit, hogy egyformák legyenek. Vagy ebből csinálunk 2n-et
vagy ebből n-et.
Csináljunk ebből n-et.
Egyszerűsítjük a törtet 2-vel. És tessék, így már jó is.
Itt a kitevőt fogjuk átalakítani.
Van egy ilyen, hogy
Vannak aztán kicsit izgalmasabb esetek is:
De ezek még mindig nem olyan izgalmasak, mint amik most jönnek majd.
Azokat a határértékeket ahol megjelenik itt
és a kitevőben is,
mindig ezeknek a képleteknek a segítségével tudjuk kiszámolni.
A teendő mindig az, hogy addig-addig kell bűvészkedni, amíg ezek a képletek egyszer csak megjelennek.
Nos az ügy érdekében osszuk le -el a számlálót és a nevezőt.
Ha esetleg a számlálóban és nevezőben is van, akkor -el osztunk:
És rondább esetekkel is el tudunk bánni
Ha a kitevő konkrét szám, akkor:
De ha sajna itt
ott
akkor csak -el osztunk aztán kiemelünk
Megeshet, hogy n2 is van.
Sőt lehet, hogy n3.
Fent is 2n3 van és lent is, úgyhogy osszunk 2n3-el.
Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha van egy olyan valós szám, ami a sorozat határértéke.
Konvergens
sorozatok
Divergens
sorozatok
Van
határérték
Nincs
határérték
Ha ilyen szám nem létezik, akkor a sorozat divergens.
A divergenciának azonban vannak fokozatai.
Egy sorozat lehet azért is divergens, mert végtelenbe tart,
és lehet azért is, mert az égvilágon nem tart sehova.
A sehova sem tartó sorozatok mindig oszcilláló sorozatok.
Az oszcilláló sorozatok egyik legegyszerűbb példája a sorozat.
Mielőtt azonban azt gondolnánk, hogy minden oszcilláló sorozat divergens,
nos itt jön egy másik.
Attól tehát, hogy a sorozat ugrál, még nem feltétlen lesz divergens.
Az is lényeges, hogy mekkorákat ugrik.
Itt jön három példa a lehetséges viselkedésekre:
ha n páros
ha n páratlan
Most pedig lássunk néhány vicces ügyet.
Nos itt a képletben az 1-es van elől, úgyhogy csere.
Az összeadásnál ez nem okoz problémát.
A kivonásnál…
se, ha nem rontjuk el.
És voila, egy újabb oszcilláló sorozat.
Most a számlálóban és a nevezőben is felbukkant a ,
így aztán ez nem egy oszcilláló sorozat.
Most pedig lássunk néhány gyökös sorozatot.
Itt jön egy másik.
Megint beazonosítjuk, hogy ki lehet a nevező legnagyobb kitevőjű tagja.
És most lássunk valami egészen érdekeset.
Nos ebben eddig még nincs semmi izgalmas.
Az izgalmak akkor jönnek, ha a + jelet kicseréljük…
jelre.
ugyanis szintén de
Ilyenkor egy kis varázslatra van szükség.
Innentől már a szokásos.
Itt jön aztán még egy:
És még egy:
Ha itt összeadás van, akkor kész is.
De ha kivonás, akkor megint jön a bűvészkedés.
Az sorozat erősebb, mint a sorozat, ha
és ezt a tényt így jelöljük, hogy
Ezt úgy kell elképzelni, hogy az erősebb sorozat gyorsabban tart a végtelenbe.
Nagy n-ekre így néz ki például az n2…
és így néz ki az n3.
De amint színre lép a mindkettőjüknél jóval erősebb 2n…
nos az meglehetősen rossz hatással van az előző két sorozat önbizalmára.
Ám a 2n sem mindenható, mert jóval erősebb nála a 3n.
Nagy tehát a küzdelem itt a sorozatok világában.
Jó tudni, ki milyen erős.
Most pedig térjünk a tárgyra.
Itt jön egy tétel, amit bonyolultabb sorozatok határértékeinek kiszámolására fogunk használni.
A tétel azt mondja, hogy ha
és és van olyan , hogy minden esetén
akkor .
A tételt szendvics-szabálynak nevezzük és egyik tipikus alkalmazási területe a
típusú határértékek.
Vegyük például ezt a határértéket:
Azt kell megértenünk, hogy itt a legerősebb tag és
ez azt jelenti, hogy nagy n-ekre a többi tag hozzá képest nagyon kicsi,
mintha ott sem volna, olyan.
Így aztán nem meglepő, hogy a határérték
A Rendőr-elv arra való, hogy mindezt precízen be is bizonyítsuk.
A terv a következő.
Először keresünk egy olyan sorozatot, ami az eredeti sorozatnál kisebb,
és a határértéke 5.
Aztán keresünk egy másik sorozatot, ami az eredeti sorozatnál nagyobb, és szintén 5-höz tart.
Végül elégedetten megállapítjuk, hogy akkor az eredeti sorozat is 5-höz tart.
Nos ez szép terv, de nem is olyan könnyű megvalósítani.
Addig minden rendben, hogy kell egy olyan sorozat, ami az eredetinél kisebb,
és kell egy másik, ami nála nagyobb.
Ilyen sorozatokat mondani bárki tud. De olyan sorozatokat mondani, amik ráadásul 5-höz is tartanak, nos az már jóval nehezebb.
Ehhez meg kell tanulnunk a becslés művészetét.
Vigyáznunk kell, hogy a becslés során a legerősebb tagot ne változtassuk meg.
Az alsó becslésnél mindenkit elhagyunk, csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A felső becslésnél pedig minden tagot lecserélünk a legerősebbre.
Nézzünk meg egy másik határértéket is.
A legerősebb tag a számlálóban , a nevezőben pedig .
És most jöhet a becslés.
Úgy kell alulról becsülni, hogy a számlálót csökkentjük, a nevezőt pedig növeljük.
De a számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.
A számlálót úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A nevezőt meg úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A felső becslésnél a számlálót növeljük: mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A nevezőt pedig csökkentjük: csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
Aztán vannak bonyolultabb esetek is:
A felső becslés még könnyű, a mínuszos tagot egyszerűen elhagyjuk:
Az alsó becslés viszont meglehetősen furmányos.
Ide valami olyan kell, ami az eredetinél kisebb.
Az tehát nem jó, ha elhagyjuk az 5n-t, sőt éppen ellenkezőleg, még nála is többet kellene levonni.
De mit? Ha ugyanis 6n-t vonunk le, akkor az alsó becslés nulla.
Sajna ez probléma...
Szükségünk van tehát egy trükkre.
Nos az alsó becslés ez lesz. Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám.
A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nézzük tényleg kisebb-e, mint az eredeti:
Nos igen, ha .
Innentől már rutinmunka.
Most pedig lássuk mi jöhet még.
Most pedig folytassuk néhány vicces határértékkel.
A legerősebb tag 6n, a határérték szempontjából a többiek nem érdekesek.
Mivel pedig , ezért a sorozat határértéke 6.
Mindez azonban csak egy sejtés, egy elképzelés. A precíz bizonyításhoz szükségünk van egy tételre, amit rendőr-elvnek neveztünk el.
És most jöhet a precíz megoldás.
Kezdjük a felső becsléssel, ami most nagyon egyszerű.
Az alsó becslés már érdekesebb.
Itt bűvészmutatványokat fogunk végezni. Először minden mínuszos tagot lecserélünk a mínuszos tagok közül a legerősebbre.
És ezt még alulról becsüljük.
Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám. A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nos ez teljesül, ha .
Az alsó és felső becslésünk is 6-hoz tart, így aztán az eredeti sorozat határértéke most már hivatalosan is 6.
Nos ez remek hír, és akkor nézzünk is meg még egyet.
A felső becslés egyszerű. A számlálót növeljük azzal, hogy a mínuszos tagokat elhagyjuk,
a nevezőt pedig csökkentjük azzal, hogy ezt elhagyjuk.
ugyanis biztosan nem negatív.
Az alsó becslés már érdekesebb.
A nevezőt növelnünk kell, az még nem gond.
A számlálót viszont csökkentenünk kell és ehhez az előző trükköt fogjuk használni.
Nos ez előbb-utóbb teljesülni fog. Egészen pontosan 8-nál nagyobb n-ekre.
Most pedig néhány nagyon vicces határérték következik.
Mindegyik olyan típusú lesz, mint ezek:
De ráadásul használnunk kell majd a rendőr-elvet is.
Kezdjük egy könnyűvel:
Felső becslésnél a nevezőt csökkentjük,
alsó becslésnél pedig növeljük:
Itt jön egy kis trükk.
Itt jönnek az igazán vicces esetek.
Sokkal boldogabbak lennénk, ha nem lenne itt ez az n, és éppenséggel ezen tudunk segíteni:
És voila, innentől már pont olyan, mint az előző feladat.
Az sorozat erősebb, mint a sorozat, ha
és ezt a tényt így jelöljük, hogy
Ezt úgy kell elképzelni, hogy az erősebb sorozat gyorsabban tart a végtelenbe.
Nagy n-ekre így néz ki például az n2…
és így néz ki az n3.
De amint színre lép a mindkettőjüknél jóval erősebb 2n…
nos az meglehetősen rossz hatással van az előző két sorozat önbizalmára.
Ám a 2n sem mindenható, mert jóval erősebb nála a 3n.
Nagy tehát a küzdelem itt a sorozatok világában.
Jó tudni, ki milyen erős.
Most pedig térjünk a tárgyra.
Itt jön egy tétel, amit bonyolultabb sorozatok határértékeinek kiszámolására fogunk használni.
A tétel azt mondja, hogy ha
és és van olyan , hogy minden esetén
akkor .
A tételt szendvics-szabálynak nevezzük és egyik tipikus alkalmazási területe a
típusú határértékek.
Vegyük például ezt a határértéket:
Azt kell megértenünk, hogy itt a legerősebb tag és
ez azt jelenti, hogy nagy n-ekre a többi tag hozzá képest nagyon kicsi,
mintha ott sem volna, olyan.
Így aztán nem meglepő, hogy a határérték
A Rendőr-elv arra való, hogy mindezt precízen be is bizonyítsuk.
A terv a következő.
Először keresünk egy olyan sorozatot, ami az eredeti sorozatnál kisebb,
és a határértéke 5.
Aztán keresünk egy másik sorozatot, ami az eredeti sorozatnál nagyobb, és szintén 5-höz tart.
Végül elégedetten megállapítjuk, hogy akkor az eredeti sorozat is 5-höz tart.
Nos ez szép terv, de nem is olyan könnyű megvalósítani.
Addig minden rendben, hogy kell egy olyan sorozat, ami az eredetinél kisebb,
és kell egy másik, ami nála nagyobb.
Ilyen sorozatokat mondani bárki tud. De olyan sorozatokat mondani, amik ráadásul 5-höz is tartanak, nos az már jóval nehezebb.
Ehhez meg kell tanulnunk a becslés művészetét.
Vigyáznunk kell, hogy a becslés során a legerősebb tagot ne változtassuk meg.
Az alsó becslésnél mindenkit elhagyunk, csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A felső becslésnél pedig minden tagot lecserélünk a legerősebbre.
Nézzünk meg egy másik határértéket is.
A legerősebb tag a számlálóban , a nevezőben pedig .
És most jöhet a becslés.
Úgy kell alulról becsülni, hogy a számlálót csökkentjük, a nevezőt pedig növeljük.
De a számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.
A számlálót úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A nevezőt meg úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A felső becslésnél a számlálót növeljük: mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A nevezőt pedig csökkentjük: csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
Aztán vannak bonyolultabb esetek is:
A felső becslés még könnyű, a mínuszos tagot egyszerűen elhagyjuk:
Az alsó becslés viszont meglehetősen furmányos.
Ide valami olyan kell, ami az eredetinél kisebb.
Az tehát nem jó, ha elhagyjuk az 5n-t, sőt éppen ellenkezőleg, még nála is többet kellene levonni.
De mit? Ha ugyanis 6n-t vonunk le, akkor az alsó becslés nulla.
Sajna ez probléma...
Szükségünk van tehát egy trükkre.
Nos az alsó becslés ez lesz. Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám.
A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nézzük tényleg kisebb-e, mint az eredeti:
Nos igen, ha .
Innentől már rutinmunka.
Most pedig lássuk mi jöhet még.
Most pedig folytassuk néhány vicces határértékkel.
A legerősebb tag 6n, a határérték szempontjából a többiek nem érdekesek.
Mivel pedig , ezért a sorozat határértéke 6.
Mindez azonban csak egy sejtés, egy elképzelés. A precíz bizonyításhoz szükségünk van egy tételre, amit rendőr-elvnek neveztünk el.
És most jöhet a precíz megoldás.
Kezdjük a felső becsléssel, ami most nagyon egyszerű.
Az alsó becslés már érdekesebb.
Itt bűvészmutatványokat fogunk végezni. Először minden mínuszos tagot lecserélünk a mínuszos tagok közül a legerősebbre.
És ezt még alulról becsüljük.
Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám. A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nos ez teljesül, ha .
Az alsó és felső becslésünk is 6-hoz tart, így aztán az eredeti sorozat határértéke most már hivatalosan is 6.
Nos ez remek hír, és akkor nézzünk is meg még egyet.
A felső becslés egyszerű. A számlálót növeljük azzal, hogy a mínuszos tagokat elhagyjuk,
a nevezőt pedig csökkentjük azzal, hogy ezt elhagyjuk.
ugyanis biztosan nem negatív.
Az alsó becslés már érdekesebb.
A nevezőt növelnünk kell, az még nem gond.
A számlálót viszont csökkentenünk kell és ehhez az előző trükköt fogjuk használni.
Nos ez előbb-utóbb teljesülni fog. Egészen pontosan 8-nál nagyobb n-ekre.
Most pedig néhány nagyon vicces határérték következik.
Mindegyik olyan típusú lesz, mint ezek:
De ráadásul használnunk kell majd a rendőr-elvet is.
Kezdjük egy könnyűvel:
Felső becslésnél a nevezőt csökkentjük,
alsó becslésnél pedig növeljük:
Itt jön egy kis trükk.
Itt jönnek az igazán vicces esetek.
Sokkal boldogabbak lennénk, ha nem lenne itt ez az n, és éppenséggel ezen tudunk segíteni:
És voila, innentől már pont olyan, mint az előző feladat.
Az sorozat erősebb, mint a sorozat, ha
és ezt a tényt így jelöljük, hogy
Ezt úgy kell elképzelni, hogy az erősebb sorozat gyorsabban tart a végtelenbe.
Nagy n-ekre így néz ki például az n2…
és így néz ki az n3.
De amint színre lép a mindkettőjüknél jóval erősebb 2n…
nos az meglehetősen rossz hatással van az előző két sorozat önbizalmára.
Ám a 2n sem mindenható, mert jóval erősebb nála a 3n.
Nagy tehát a küzdelem itt a sorozatok világában.
Jó tudni, ki milyen erős.
Most pedig térjünk a tárgyra.
Itt jön egy tétel, amit bonyolultabb sorozatok határértékeinek kiszámolására fogunk használni.
A tétel azt mondja, hogy ha
és és van olyan , hogy minden esetén
akkor .
A tételt szendvics-szabálynak nevezzük és egyik tipikus alkalmazási területe a
típusú határértékek.
Vegyük például ezt a határértéket:
Azt kell megértenünk, hogy itt a legerősebb tag és
ez azt jelenti, hogy nagy n-ekre a többi tag hozzá képest nagyon kicsi,
mintha ott sem volna, olyan.
Így aztán nem meglepő, hogy a határérték
A Rendőr-elv arra való, hogy mindezt precízen be is bizonyítsuk.
A terv a következő.
Először keresünk egy olyan sorozatot, ami az eredeti sorozatnál kisebb,
és a határértéke 5.
Aztán keresünk egy másik sorozatot, ami az eredeti sorozatnál nagyobb, és szintén 5-höz tart.
Végül elégedetten megállapítjuk, hogy akkor az eredeti sorozat is 5-höz tart.
Nos ez szép terv, de nem is olyan könnyű megvalósítani.
Addig minden rendben, hogy kell egy olyan sorozat, ami az eredetinél kisebb,
és kell egy másik, ami nála nagyobb.
Ilyen sorozatokat mondani bárki tud. De olyan sorozatokat mondani, amik ráadásul 5-höz is tartanak, nos az már jóval nehezebb.
Ehhez meg kell tanulnunk a becslés művészetét.
Vigyáznunk kell, hogy a becslés során a legerősebb tagot ne változtassuk meg.
Az alsó becslésnél mindenkit elhagyunk, csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A felső becslésnél pedig minden tagot lecserélünk a legerősebbre.
Nézzünk meg egy másik határértéket is.
A legerősebb tag a számlálóban , a nevezőben pedig .
És most jöhet a becslés.
Úgy kell alulról becsülni, hogy a számlálót csökkentjük, a nevezőt pedig növeljük.
De a számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.
A számlálót úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A nevezőt meg úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A felső becslésnél a számlálót növeljük: mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A nevezőt pedig csökkentjük: csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
Aztán vannak bonyolultabb esetek is:
A felső becslés még könnyű, a mínuszos tagot egyszerűen elhagyjuk:
Az alsó becslés viszont meglehetősen furmányos.
Ide valami olyan kell, ami az eredetinél kisebb.
Az tehát nem jó, ha elhagyjuk az 5n-t, sőt éppen ellenkezőleg, még nála is többet kellene levonni.
De mit? Ha ugyanis 6n-t vonunk le, akkor az alsó becslés nulla.
Sajna ez probléma...
Szükségünk van tehát egy trükkre.
Nos az alsó becslés ez lesz. Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám.
A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nézzük tényleg kisebb-e, mint az eredeti:
Nos igen, ha .
Innentől már rutinmunka.
Most pedig lássuk mi jöhet még.
Most pedig folytassuk néhány vicces határértékkel.
A legerősebb tag 6n, a határérték szempontjából a többiek nem érdekesek.
Mivel pedig , ezért a sorozat határértéke 6.
Mindez azonban csak egy sejtés, egy elképzelés. A precíz bizonyításhoz szükségünk van egy tételre, amit rendőr-elvnek neveztünk el.
És most jöhet a precíz megoldás.
Kezdjük a felső becsléssel, ami most nagyon egyszerű.
Az alsó becslés már érdekesebb.
Itt bűvészmutatványokat fogunk végezni. Először minden mínuszos tagot lecserélünk a mínuszos tagok közül a legerősebbre.
És ezt még alulról becsüljük.
Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám. A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nos ez teljesül, ha .
Az alsó és felső becslésünk is 6-hoz tart, így aztán az eredeti sorozat határértéke most már hivatalosan is 6.
Nos ez remek hír, és akkor nézzünk is meg még egyet.
A felső becslés egyszerű. A számlálót növeljük azzal, hogy a mínuszos tagokat elhagyjuk,
a nevezőt pedig csökkentjük azzal, hogy ezt elhagyjuk.
ugyanis biztosan nem negatív.
Az alsó becslés már érdekesebb.
A nevezőt növelnünk kell, az még nem gond.
A számlálót viszont csökkentenünk kell és ehhez az előző trükköt fogjuk használni.
Nos ez előbb-utóbb teljesülni fog. Egészen pontosan 8-nál nagyobb n-ekre.
Most pedig néhány nagyon vicces határérték következik.
Mindegyik olyan típusú lesz, mint ezek:
De ráadásul használnunk kell majd a rendőr-elvet is.
Kezdjük egy könnyűvel:
Felső becslésnél a nevezőt csökkentjük,
alsó becslésnél pedig növeljük:
Itt jön egy kis trükk.
Itt jönnek az igazán vicces esetek.
Sokkal boldogabbak lennénk, ha nem lenne itt ez az n, és éppenséggel ezen tudunk segíteni:
És voila, innentől már pont olyan, mint az előző feladat.
Itt egy csodálatos kör, aminek a középpontja az origó és a sugara 1.
Ezt a kört egységkörnek nevezzük.
Az egységkör pontjainak x és y koordinátái -1 és 1 közé eső számok.
Ezekkel a koordinátákkal foglalkozni meglehetősen unalmas időtöltésnek tűnik…
Mivel azonban a matematikában mágikus jelentőségük van, egy kis időt mégis szakítanunk kell rájuk.
Itt van, mondjuk ez a P pont.
Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,
a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.
A két irány által bezárt szög lehet pozitív,
és lehet negatív.
A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.
Nos, ez a radián egész érdekesen működik:
a szögek mérésére az egységkör ívhosszát használja.
Van itt ez a szög, ami fokban számítva
És most lássuk mi a helyzet radiánban.
A kör kerületének a képlete .
Az egységkör sugara 1, tehát a kerülete .
A 45fok a teljes körnek az 1/8-a,
így a hozzá tartozó körív is a teljes kerület 1/8-a vagyis
Nos így kapjuk, hogy
Most pedig lássuk az egységkör pontjainak koordinátáit.
Kezdjük ezzel, amikor
Ezt jegyezzük föl.
A jelek szerint ez egy egyenlő szárú háromszög, tehát x=y.
Jön a Pitagorasz-tétel:
Most nézzük meg mi van akkor, ha
Ha egy háromszögben van két -os szög, akkor a háromszög egyenlő oldalú.
És most jön a Pitagorasz-tétel.
Az esetét elintézhetjük egy tükrözés segítségével.
Ha az -os esetet tükrözzük, akkor pedig eljutunk -hoz.
-nál túl sok számolásra nincs szükség.
Ahogyan –nál és -nál sem.
És most elérkezett az idő, hogy nevet adjunk ezeknek a koordinátáknak.
Az x koordinátát hívjuk Bobnak,
az y koordinátát pedig…
Nos mégsem olyan jó név a Bob. Egy K-val kezdődő név jobban hangzana.
Legyen mondjuk koszinusz.
A másik pedig szinusz.
Rögtön folytatjuk.
Van itt ez az egység sugarú kör.
Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,
a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.
A két irány által bezárt szög lehet pozitív,
és lehet negatív.
A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.
A P pont x koordinátáját -nak nevezzük.
Az y koordinátáját -nak.
Most pedig számoljuk ki néhány szög szinuszát és koszinuszát.
A sinx és cosx periodikus függvények.
Van itt ez az egység sugarú kör.
Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,
a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.
A két irány által bezárt szög lehet pozitív,
és lehet negatív.
A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.
A P pont x koordinátáját -nak nevezzük.
Az y koordinátáját -nak.
Most pedig számoljuk ki néhány szög szinuszát és koszinuszát.
A sinx és cosx periodikus függvények.
Ez azt jelenti, hogy bizonyos időközönként megismétlik önmagukat.
Ezt az időközt periódusnak nevezzük és az ő esetükben ez a periódus 2pi.
Ha van egy ilyen egyenlet, hogy
nos akkor ennek a periodikusság miatt végtelen sok megoldása van.
Ráadásul van egy kék megoldás,
ezt adja a számológép, ez meg a periódus.
Na persze a számológéppel ezt úgy lehet kiszámolni, hogy
és van egy zöld.
Na, ezt már nem adja ki a számológép, hanem egy kis cselhez kell folyamodnunk.
A szinusz úgy működik, hogy mindig van egy kék megoldás, amit a számológép ad,
és van egy zöld megoldás, amit nekünk kell kiszámolni és úgy kapjuk,
hogy az összegüknek éppen pi-nek kell lennie.
Ezt nem árt megjegyezni.
Lássuk, mi a helyzet a koszinusszal.
Itt is lesz egy kék és egy zöld megoldás,
ráadásul mindkettőből végtelen sok.
A helyzet annyival egyszerűbb, mint a szinusz esetében, hogy itt
a kék és a zöld megoldás mindig egymás mínuszegyszerese.
A kéket adja a számológép.
és ha elé biggyesztünk egy mínuszjelet.
nos akkor meg is van a zöld.
A koszinusz tehát sokkal jobb, mint a szinusz.
Itt jön egy újabb remek történet.
A szinusz úgy működik, hogy a kék megoldást mindig a számológép adja,
a zöld megoldás pedig úgy jön ki, hogy a két szög összege mindig pi legyen.
Most pedig újabb állatfajták következnek.
Lássuk hogyan is néznek ezek ki.
Nos nem túl szépen.
Leginkább talán tapétamintának használhatnánk őket.
A vizuális élvezetek után most a trigonometriai képletek özönvízszerű áradata következik.
Csak a legfontosabb egymillió darab képletet nézzük meg.
A LEGFONTOSABB TRIGONOMETRIAI ÖSSZEFÜGGÉSEK
Itt az egység sugarú körben van egy derékszögű háromszög,
amire felírjuk a Pithagorasz-tételt.
Nos talán ez a legfontosabb trigonometriai összefüggésünk.
Van ennek két mutáns változata is.
Most pedig újabb bűvészkedések következnek az egységsugarú körben.
És itt jön még néhány.
És most egy őrülten jó dolgot fogunk csinálni…
Megnézzük a trigonometrikus függvények inverzeit.
Kezdjük a koszinusszal…
A koszinusz nem kölcsönösen egyértelmű, vagyis nem injektív.
Mert ugyanazt az y értéket többször is fölveszi.
Így hát nincs inverze.
Ezzel akkor meg is vagyunk, jöhet a szinusz…
A szinusz is periodikus függvény, így annak sincs inverze.
Sőt egyik trigonometrikus függvénynek sincs inverze.
De ha csak egy perióduson belül nézzük őket…
Hát, ennek még akkor sincs.
Egy fél perióduson viszont…
Na, ott már igen.
Az inverz szemléletes jelentése, hogy tükrözzük a függvény grafikonját erre a szögfelezőre.
Ez a függvény a szinusz inverze.
És úgy hívják, hogy arkusz szinusz.
Az értelmezési tartománya mínusz egytől megy egyig…
Amikor megoldjuk például ezt az egyenletet:
E
Tulajdonképpen az arkusz szinusz függvényt használjuk.
És most nézzük, mi a helyzet a koszinusszal…
A koszinusz inverze az arkusz koszinusz.
Végül nézzük mi a helyzet a tangenssel.
És most lássuk a tangens függvény inverzét.
Ki gondolná, hogy ez olyan fontos?
De ki fog derülni, hogy nagyon is.
A tangensnek is csak egy periódusában van inverze.
Az inverz függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy tükrözünk erre a szögfelezőre…
És íme, a tangens inverze.
Úgy hívjuk, hogy arkusz tangens.
Ahogy az x tengelyen megyünk a végtelen felé, az arkusz tangens grafikonja egyre jobban rásimul erre az egyenesre.
A mínusz végtelenben meg erre.
Írjuk fel az arkusz tangenst is ide a listánkra…
Van itt ez a függvény:
Adjuk meg az értelmezési tartományát, értékkészletét, az inverzét, és az inverz értelmezési tartományát és értékkészletét.
Az arkusz tangens értelmezési tartománya minden valós szám.
És ezen az ilyen egyszerű kis módosítások nem változtatnak.
Mondjuk, itt már más lenne a helyzet…
Ez hamarosan ki is fog derülni, mert ez lesz a következő feladat…
Visszatérve ide, az értelmezési tartomány minden valós szám.
Az értékkészlet pedig…
