Egy ismérv szerinti elemzés

Hisztogram, oszlopdiagram, leveles-ág és doboz ábra

Ez a rész arról fog szólni, hogy a korábban megismert sokféle statisztikai mutató még jó is valamire. Arra fogjuk használni őket, hogy kimutassuk velük az adatsorok speciális tulajdonságait, megállapítsuk főbb jellemzőit. Vagyis a sok-sok számot becseréljük néhány szemléletes ábrára és egykét jól eltalált mutatószámra.

Az ábrák közül a leginkább leegyszerűsített a doboz-ábra, ez majd a kiugró értékek szemléltetésére lesz forgalomban. Az értékek megoszlásáról a diagramok adnak grafikus információkat. Ilyenek a gyakorisági-poligonok, az oszlopdiagramok, kördiagramok, vagy a hisztogramok.

Íme egy hisztogram

És egy oszlopdiagram

A két ábra között nem csupán esztétikai különbség van.

Ahhoz, hogy ez világos legyen, nézzünk rá példát. Hogy valami kellemes legyen, vegyünk mondjuk egy statisztika vizsgát.

Az első diagram, a hisztogram a vizsgán elért összpontszámot mutatja 25 pontonként. Itt az oszlopoknak össze kell érniük, az első oszlop egészen 24,9 pontig fogadja be a vizsgázókat, a második pedig már 25 ponttól.

[Szövegdoboz: db 25 50 75 100]

Ha viszont nem a pontszámokat, hanem a vizsgajegyeket ábrázoljuk, akkor más a helyzet. Nincs ugyanis 3,9-es vagy 4,3-as jegy. Pontosan öt kategória van és ezek élesen határolódnak el egymástól.

[Szövegdoboz: db 1 2 3 4 5]

Mielőtt tehát túlzottan elmélyednénk a diagramokban, nem árt tisztázni, milyen különbségek lehetnek maguk közt az adatok közt. Íme a menü:

[Szövegdoboz: MINŐSÉGI Nominális (névleges) A sokaság elemeit valamilyen tulajdonságok szerinti csoportokba soroljuk, de a csoportok közt nincs semmiféle rangsor példák: az áldozatok halálának oka a terroristák nemzetisége Ordinális (sorrendi) A csoportok között már felállítható sorrendiség példák: a hotelek besorolása (** *** **** *****) a vizsgázók jegyei (1, 2, 3, 4, 5 ) MENNYISÉGI Intervallum A sokaság elemeit itt már valamilyen mértékegység szerint osztályozzuk, de csak a „mennyivel több?” kérdésre tudunk válaszolni, a „hányszoros?”-ra nem példák: hőmérséklet (tegnap -5 fok volt, ma 0 fok, hányszor melegebb van?) Arány Itt is mértékegység szerinti az osztályozás, de a „hányszoros?” kérdésre is tudunk válaszolni (mindig 0-tól kezdünk mérni) példák: életkor testmagasság]

Az ismérvek grafikus ábrázolásánál mindig az ismérv típusának megfelelő diagramra van szükség. A hisztogramot mennyiségi ismérvek esetében használjuk, ilyen például korábbi példánkban a vizsgán elért pontszám (megengedve akár a töredékpontokat is).

Az oszlopdiagram minőségi ismérvek esetén használatos, ilyen például a vizsgán elért jegy.

A kördiagramot is általában minőségi ismérvek esetén alkalmazzuk, de néha alkalmas lehet mennyiségi ismérvek megoszlásának kimutatására is. A kördiagram lényege, hogy a csoportok közti arányokat szemlélteti. A továbbiakban nézzünk néhány példát az egyes diagramtípusokra.

Az alábbi táblázat egy városban a lakások megoszlását tartalmazza. Ábrázoljuk a táblázat adatait oszlopdiagrammal és hisztogrammal.

Lakásméret

(négyzetméter)

Lakások száma

(1000 darab)

A

B

C

    0-49

21

12

3

4

  50-99

33

10

15

8

100-159

60

17

23

20

150-250

46

21

18

7

összesen

160

60

61

39

A=Belvárosi társasház

B=Zöldövezeti társasház

C=Lakótelepi lakás

A lakások méret szerinti megoszlása mennyiségi ismérv, tehát nekünk egy hisztogramra van szükségünk.

[Szövegdoboz: Lakások száma (1000 db) 21 33 60 23 23 0 50 100 150 200 250]

A lakások típus szerinti megoszlása viszont minőségi ismérv. Ekkor oszlopdiagramot használunk.

[Szövegdoboz: Lakások száma (1000 db) 60 61 39 A B C]

Alakmutatók

Az alakmutatók az eloszlások szabálytalanságait próbálják jellemezni, legtöbbjük azt méri, hogy az adott eloszlás mennyiben tér el az etalonnak tekintett normális-eloszlás jellegzetes harang alakú görbéjétől. Az eltérés megmutatkozhat lapultságban vagy csúcsosságban, illetve aszimmetriában, ami jelenthet jobbra vagy balra elnyúlást.

Az egyik legegyszerűbb és leggyakrabban használt alakmutatók, az úgynevezett

Pearson-féle mérőszámok

illetve az F-mutatók

   és 

ahol  az első,  pedig a kilencedik decilist jelenti.

Negatív értékek esetén az eloszlás balra tolódó, pozitív értékekre jobbra tolódó.

A P és A mutató általában -1 és 1 között tartózkodik és csak extrém esetekben vesz föl 1-nél nagyobb vagy -1-nél kisebb értéket. Az F mutató csak -1 és 1 között lehet.

A csúcsosság mérésére a következő mutató van forgalomban:

Itt  az úgynevezett negyedik momentum, ami

Lássunk egy példát az alakmutatók használatára! Nézzük meg például, hogy milyen jellegű aszimmetriát mutat a terroristák életkor szerinti megoszlása. A terrorizmus jellemzően fiatalabb emberek elfoglaltsága, ráadásul várható élettartamuk is rövidebb, így bal oldali aszimmetria lesz majd felfedezhető. Node lássuk a számokat!

életkor

terroristák

száma (%)

0-19

7%

20-29

46%

30-39

32%

40-59

10%

60-79

5%

Először F-mutatókat számolunk:

Amihez kellenek a kvartilisek és a medián.

A  kvartilisek:

A medián: 

A másik F-mutatóhoz a decilisek kellenek:

Mindkét F-mutató közepes bal oldali aszimmetriát mutat.

Most jöhetnek a Pearson-féle mutatók. Ezekhez kell átlag és szórás is sajna:

Az átlag:

A szórás:

Végül egy móduszt is számolunk. Mivel nem egyenletesek az osztályközök, a módusz miatt újra kell osztani az életkorokat, méghozzá 10-esével.

A leggyakoribb osztályköz hossza viszont már eleve 10, így az újraosztás rajta már nem változtat.

életkor

terroristák

száma (%)

0-9

3,5%

10-19

3,5%

20-29

46%

30-39

32%

40-59

10%

60-79

5%

Lássuk a P és A mutatókat:

Mindkettő közepes bal oldali aszimmetriát mutat.

Végül nézzük meg a csúcsosságot is:

Itt

És

Egy bank ügyfeleinek a sorra kerülésig várakozással eltöltött ideje percben megadva egy vizsgált időtartamban:

3, 5, 2, 7, 4, 3, 8, 2, 5, 5, 3, 2, 4, 2, 6, 2

Ábrázoljuk az értékeket leveles-ág és doboz-ábrán.

A leveles-ág ábra az adatok nagyság szerinti sorba rendezése az alábbi módon:

1

2, 2, 2, 2,

3, 3, 3

4, 4

5, 5, 5

7,7

8

A doboz-ábra lényege, hogy az adatokat egy számegyenesen ábrázoljuk, az alsó és felső kvartilisek között elnyúló doboz társaságában.

Számoljuk ki a kvartiliseket. Összesen 16db adat van, így az alsó negyedelő 4 és 5 között a felső negyedelő 12 és 13 között van.

[Szövegdoboz: 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 5 5 7 7 8] [Szövegdoboz: Felső kvartilis] [Szövegdoboz: Medián: A sorbarendezett adatsor középső értéke. Most két középső is van, a tizedik és a tizenegyedik, ilyenkor az átlaguk:] [Szövegdoboz: Alsó kvartilis:]

[Szövegdoboz: A doboz-ábra X X X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]

Az alsó és felső kvartilis közötti intervallumot nevezzük interkvartilis terjedelemnek. Most az interkvartilis 2-töl 5-ig tart, hossza 3. Az interkvartilis terjedelembe vagyis a dobozba esik az értékek legalább 50%-a. A doboz-ábra az adatsor öt jellegzetes mutatóját tartalmazza, a minimális és maximális értéket, a két kvartilist és a mediánt.

2.3. Húsz napon át figyelték egy alpesi kisváros sípályáinak összesített napi forgalmát. A kapott értékek a következők voltak:

1000

2000

7000

9000

12500

3500

1000

5000

3000

13000

5000

1500

3000

8000

9000

2500

3000

1500

8500

3000

Állapítsuk meg az adatsor néhány alapvető statisztikai mutatóját, a móduszt, mediánt, átlagot. Készítsünk leveles-ág ábrát illetve doboz-ábrát. Helyezzük el az adatokat egy gyakorisági sorban 2500-as osztályközökkel. Szemléltessük hisztogrammal a forgalom mértékét.

[Szövegdoboz: 1000 1000 1500 1500 2000 2500 3000 3000 3000 3000 3500 5000 5000 7000 8000 8500 9000 9000 11500 12000] [Szövegdoboz: Átlag:] [Szövegdoboz:] [Szövegdoboz: Felső kvartilis] [Szövegdoboz: Medián: A sorbarendezett adatsor középső értéke. Most két középső is van, a tizedik és a tizenegyedik, ilyenkor az átlaguk:] [Szövegdoboz: Alsó kvartilis:] [Szövegdoboz: Módusz =A leggyakoribb érték, most 5000]

A leveles-ág ábra

   1   000, 000, 500, 500

   2   000, 500

   3   000, 000, 000, 000, 500

   5   000, 000

   7   000

   8   000, 500

   9   000, 000

 11   500

 12   000

[Szövegdoboz: A doboz-ábra X X X 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000]

Az alsó és felső kvartilis közötti intervallumot nevezzük interkvartilis terjedelemnek. Most az interkvartilis 2250-töl 8250-ig tart, hossza 6000. Az interkvartilis terjedelembe vagyis a dobozba esik az értékek legalább 50%-a. A medián a doboz első harmadában található, a szélső értékek a dobozhoz képest jobbra tolódnak.

Napi forgalom

0 –   2499

2500 –   4999

5000 –   7499

7500 –   9999

10 000 – 12 499

5

6

3

4

2

5

11

14

18

20

5/20

6/20

3/20

4/20

2/20

5/20

11/20

14/20

18/20

20/20

Néhány további mutatót is kiszámoltunk, ezek a relatív gyakoriság, kumulált relatív gyakoriság, az értékösszeg és a relatív értékösszeg.

A relatív értékösszegre hamarosan nagy szükségünk lesz majd a koncentráció vizsgálatakor.

Napi forgalom

Osztály-

közép

0 –   2499

2500 –   4999

5000 –   7499

7500 –   9999

10 000 –12 499

1250

3750

6250

8750

12500

5

6

3

4

2

5

11

14

18

20

5/20

6/20

3/20

4/20

2/20

5/20

11/20

14/20

18/20

20/20

6250/105 000=0,07

22500/105 000=0,21

18750/105 000=0,18

35000/105 000=0,33

22500/105 000=0,21

Koncentráció, Lorenz-görbe

Hasonlítsuk össze a Föld néhány országának egy főre jutó GDP-jét és az országok népességét. Az európai országok egy főre jutó GDP-je úgy 40 ezer USA-dollár körül mozog, igaz kelet felé haladva ez jelentős csökkenésnek indul és Oroszországnál eléri a 10 ezret. USA és Kanada is ezt a 40 ezres szintet hozza, Mexikó pedig 8 ezret. Aztán lejjebb haladva Dél-Amerikában már a 10 ezer számít kiemelkedően magasnak. Ázsiában él a Föld lakosságának több, mint fele. Az egy főre jutó GDP azonban 2000 USA-dollár körül mozog. Ezek a megdöbbentő adatok sokakat vallások megalapítására sarkallnak, mások terrorista hálózatokat építenek ki, mi viszont belevágunk a Lorenz-görbe fölrajzolásába. A Lorenz-görbe az egyik legkiválóbb szemléltető eszköze a koncentrációnak, most éppen az egy főre jutó GDP nagyon erős koncentrálódásának. A koncentráció a sokasághoz tartozó teljes értékösszeg jelentős részének vagy egészének kevés egységre történő összpontosulása.

Ország

GDP/fő

(ezer USA-dollár, 2008)

Népesség

(millió)

Ausztria

46 600

8,4

Belgium

44 730

10,4

Csehország

17 280

10,2

Dánia

60 800

5,5

Franciaország

43 640

61,4

Németország

41 400

82,7

Magyarország

13 860

10,0

Norvégia

90 180

4,7

Nagy-Britannia

46 740

60,7

Olaszország

38 190

58,1

Oroszország

10 100

141,8

Svájc

55 780

7,6

Szlovákia

14 600

5,5

Ukrajna

3 307

46,0

Kanada

40 100

33,2

Mexikó

8 200

110,0

USA

47 330

304,8

Argentína

6 790

40,0

Brazília

6 600

192,0

Chile

10 590

16,8

Ausztrália

42 420

20,6

India

1 180

1 130,0 

Indonézia

1 950

237,5

Irán

3 900

71,3

Kína

3 000

1 330,0

Japán

38 930

127,5

Pakisztán

940

167,2

Egyiptom

1 870

77,5

Etiópia

229

85

Kenya

640

38,5

Nigéria

1 020

150

Tanzánia

353

40,4

Készítsünk egy táblázatot, a Föld népességének egy főre jutó GDP szerinti megoszlásáról.

Az osztályközök a pontosság érdekében nem egyenletesek.

Első oszlopunk a gyakoriság, ami azt jelenti, hogy hány millió ember tartozik az adott GDP-szintet jelentő osztályközbe.

A következő oszlop a relatív gyakoriság. Jól látszik, hogy a népesség 30%-a tartozik a második osztályközbe és majdnem 30%-a a harmadikba, vagyis a Föld lakosságának jóval több, mint fele az 5000-es szint alatt van.

A kumulált relatív gyakoriság oszlopból látszik, hogy 70% van 5000 alatt, és 80% 10 ezer alatt. Magyarország a 14 ezer körüli szintjével a felső 20%-ba tartozik.

A következő oszlop az értékösszeg azt mutatja meg, hogy az egyes osztályokba tartozókra összesen mennyi GDP esik. A nyugati világ gazdaságilag fejlett országai a Föld lakosságának egytizedét teszik ki, de több GDP jut rá, mint az összes addigira együttvéve. Ezt jól szemlélteti a relatív értékösszeg és a kumulált relatív értékösszeg oszlop.

GDP/fő

(millió)

(ezer USA-dollár)

        0-1 000

720

0,116

0,116

360 000

0,006

0,006

  1 001-2 000

1 940

0,313

0,429

2 910 000

0,053

0,059

  2 001-5 000

1 790

0,290

0,719

4 475 000

0,080

0,139

  5 001-10 000

490

0,079

0,798

3 675 000

0,066

0,205

10 001-20 000

288

0,046

0,844

4 320 000

0,078

0,283

20 001-30 000

76

0,012

0,856

1 900 000

0,034

0,317

30 001-40 000

254

0,041

0,897

8 890 000

0,160

0,477

40 001-50 000

604

0,098

0,995

27 180 000

0,488

0,965

50 001-60 000

18

0,003

0,998

990 000

0,018

0,983

60 001-

15

0,002

1,000

975 000

0,017

1,000

Total

6 195

1,000

55 675 000

1,000

A Lorenz-görbe azt fejezi ki, hogy a gyakoriság egy adott százalékához az összérték hány százaléka tartozik. Az x tengelyen tehát a kumulált relatív gyakoriságot, míg az y tengelyen a kumulált relatív értékösszeget mérjük.

A Föld népességének 11,6%-ára az összes GDP 0,6%-a jut.

42,9%-ra még mindig csak 5,9% jut. 71,9%-ra mindössze 13,9% jut.

Könnyű belegondolni, hogy az y=x egyenes mentén a koncentráció nulla. Az y=x egyenes és a kapott görbe közötti területet hívjuk koncentrációs területnek, ez jellemzi a koncentráció mértékét, ami esetünkben igen magas.

[Szövegdoboz:]

A koncentráció kimutatásának egy másik egyszerű eszköze a kvantilis-eloszlás, vagyis ha olyan gyakorisági sort szerkesztünk, ahol minden gyakoriság egyenlő. Ha minden relatív értékösszeg (Zi) is egyenlő, az a koncentráció hiányát jelenti. Minél egyenlőtlenebbül alakulnak a relatív értékösszegek, a koncentráció annál nagyobb.

A kvartilis-elsozlás például úgy készül, hogy a Föld lakosságát az egy főre jutó GDP szerint sorba állítjuk, és négy egyenlő létszámú csoportra osztjuk. Az osztályközök határai ekkor kvartilisek lesznek.

GDP/fő

(millió)

          0-1 100

1 548,75

0,010

    1 101-2 100

1 548,75

0,027

    2 101-11 000

1 548,75

0,110

  11 001-90 000

1 548,75

0,853

Total

6 195

1,000

A kvintilis-eloszlás pedig ötödökre osztja.

GDP/fő

(millió)

        0-1 000

1 239

0,007

  1 001-2 000

1 239

0,020

  2 001-4 000

1 239

0,042

  4 001-20 000

1 239

0,167

20 001-90 000

1 239

0,764

Total

6 195

1,000

A koncentráció mértékének egy számmal való jellemzésére a koncentrációs terület kiszámolása viszonylag körülményes. Ezen kívül az egyik legalkalmasabb mutató az úgynevezett Herfindahl-index. Kiszámolása a Z értékekből történik:

Az eredeti táblázatunkban ezt kiszámolva

A Herfindahl-index, a kiszámolásának módja miatt mindig 1/N és 1 közötti értékkel méri a koncentráció fokát. Ha HI=1/N akkor minden egység egyformán részesedik a teljes értékösszegből, ha pedig HI=1, akkor a lehető legerősebb a koncentráció.

Azokat az adatsorokat nevezzük idősornak, amely egy – vagy több – ismérv időben történő megoszlását írja le. Legjobb lesz, ha nézünk néhány példát.

Vegyük például a statisztikából megbukott hallgatók évenkénti megoszlását.

év

megbukott

vizsgázók száma

2007

350

2008

380

2009

420

2010

450

Ez a táblázat egy idősor. Az első oszlopban a megfigyelés időpontja látható, ennek periódusa szerencsés esetben mindig ugyanakkora. Ilyenkor az idősort ekvidisztans idősornak nevezzük. Ha nem volna ugyanakkora az egymást követő megfigyelések közt eltelt idő, akkor nem ekvidisztans idősorról beszélünk, ami komoly félreértéseket eredményezhet, hisz ha az egyik rubrikában két év megbukott hallgatóinak száma szerepel, akkor például a bukottak száma 350, 380, 870. A látszólagos ugrás azonban csak a csalás miatt van.

Ezeket az időben változó értékeket -vel szokás jelölni. A t indexelés az időre utal.

Nézzünk egy másik példát is idősorra. Vegyük, mondjuk egy országban a gépkocsi tulajdonosok és a közúti balesetek számának évenkénti megoszlását.

év

gépkocsi

tulajdonosok száma

közúti

balesetek száma

2007

2 315 421

81 256

2008

2 531 254

80 578

2009

2 624 322

79 875

2010

2 598 378

79 756

A táblázatban szereplő két adatsor között van egy jelentős különbség. Ezt a különbséget szemléletesen úgy lehetne kimutatni, hogy összeadjuk az oszlopban szereplő adatokat, és megnézzük, a kapott eredmény értelmes-e vagy sem.

Ha az adatok összeadásával kapott eredmény értelmes,

az idősort tartamidősornak nevezzük. Ilyen például táblázatunkban a közúti balesetek száma. Ezeket összeadva kiderül, hány baleset volt a négy év során.

Ha az adatok összeadásával kapott eredmény nem értelmes,

az idősort állapotidősornak nevezzük. Ilyen a táblázatban a gépkocsi tulajdonosok száma. Ha összeadjuk ezeket a négy évre, nem tudunk meg semmit, hiszen valakinek lehet, hogy minden évben volt autója, azt négyszer számoltuk, de olyan is lehet akinek egy évig volt, azt csak egyszer.

A tartamidősorok a vizsgált időtartamra vonatkozó megfigyeléseket tartalmazzák – innen ered a nevük is – tehát egy év baleseteinek a számát, egy hónapban eladott fogkrémek számát, stb.

Az állapotidősorok a vizsgált időtartam egy pillanatára vonatkozó megfigyeléseket tartalmazzák, az ország lakosságának számát egy adott év adott pillanatában, vagy a raktáron lévő fogkrémkészletet egy adott hónap adott pillanatában.

Az idősorban bekövetkező változásokat általában százalékosan szokás megadni, az úgynevezett viszonyszámokkal. Vannak bázisviszonyszámok, amik mindig egy adott évhez viszonyítanak, és vannak láncviszonyszámok, amik mindig az előző évhez viszonyítanak. Kiszámolásuknál a későbbi/korábbi elvet alkalmazzuk.

Nézzünk egy feladatot!

Az alábbi táblázat egy mozi forgalmának és jegyárainak évenkénti megoszlását tartalmazza.

év

TARTAMIDŐSOR

forgalom

(millió fő)

ÁLLAPOTIDŐSOR

Jegyár

(jan.1-én)

2007

5

950

2008

5,4

1150

2009

5,1

1300

2010

4,9

1450

2011

5

1500

Lássuk a viszonyszámokat! A forgalom oszlopban tekintsük bázisévnek 2007-et. Ekkor a bázisviszonyszámok

év

TARTAMIDŐSOR

forgalom

(millió fő)

bázis

viszonyszám

(2007=100%)

ÁLLAPOTIDŐSOR

jegyár

2007

950

2008

1150

2009

1300

2010

1450

2011

1500

év

TARTAMIDŐSOR

forgalom

(millió fő)

bázis

viszonyszám

(2007=100%)

ÁLLAPOTIDŐSOR

jegyár

2007

950

2008

1150

2009

1300

2010

1450

2011

1500

A láncviszonyszámok mindig az előző évhez viszonyítanak.

év

TARTAMIDŐSOR

forgalom

(millió fő)

bázis

viszonyszám

(2007=100%)

lánc-

viszonyszám

(előző év=100%)

ÁLLAPOTIDŐSOR

jegyár

2007

 nincs

950

2008

1150

2009

1300

2010

1450

2011

1500

A bázisviszonyszám és a láncviszonyszám jelentése mindig százalékos változás.

Ha például a 2009-et nézzük, 1,020 azt jelenti, hogy 2%-al volt nagyobb a forgalom, mint a bázisévben, 0,944 pedig azt jelenti, hogy 0,056-al tehát 5,6%-al volt kisebb a forgalom, mint az előző évben.

A láncviszonyszámokat nézzük meg a jegyárakra is,

a bázisviszonyszámot meg egy időre felejtsük el.

év

forgalom

(millió fő)

lánc-

viszonyszám

(előző év=100%)

Jegyár

lánc-

viszonyszám

(előző év=100%)

2007

 nincs

2008

2009

2010

2011

Az évek során bekövetkezett változást kétféleképpen is szemléltethetjük. Az egyik lehetőség az átlagos különbség, ami a jegyáraknál például azt jelenti, hogy hány forinttal drágultak a jegyek átlagosan egy év alatt. Ezt a változás mértékének szokás nevezni.

Az átlagos változás mértéke

Tehát összeadogatjuk a drágulásokat, aztán elosztjuk – mivel is? Az évek száma n, de nem n-el osztunk. Azért nem n-el, mert a drágulások számával kell osztanunk és az nem n, hanem n-1, az egyik évről a másikra történő ugrások száma. Most a vizsgált időszak 2007-től 2011-ig tart, ami öt év ugyan, de ugrásból csak négy van, ezért kell néggyel osztani:

tehát átlagosan évente 137,5 forinttal drágult a mozizás. Ha valaki jártas az általános iskola matekban, akkor rájöhet, hogy ez még egyszerűbben kijön:

Nem csak azt kérdezhetjük meg, hogy hány forinttal drágult a mozi, hanem azt is, hogy hány százalékos volt az éves áremelés. Ezt a változás ütemének hívjuk.

A változás üteme

Itt is azért van a gyökkitevőben n-1, mert nem az évek száma kell nekünk, hanem a változások száma, egyik évről másikra. Ez pedig n-1. A mozijegyek árának évenkénti változása tehát:

A változás mértéke:

A változás üteme:

A jegyek átlagosan 137,5 forinttal, 12%-al drágultak.

Ugyanezt megnézhetjük a mozilátogatók számának esetében is.

A változás mértéke:

A változás üteme:

Most térjünk rá az átlagok kiszámolására. Az átlagos nézőszám esetében tartamidősorunk van, vagyis van értelme összeadni az idősor adatait. Itt az átlagot a szokásos módon számoljuk:

Más a helyzet az átlagos jegyár esetében, ami állapotidősor, így az adatok összege értelmetlen. Ilyenkor úgynevezett kronologikus átlagot számolunk, ami

Nézzünk egy másik példát, ahol összefoglaljuk az eddigieket.

A következő táblázat egy autókereskedés raktárkészletének és eladásainak időbeli eloszlását tartalmazza. Számoljuk ki az összes eddigi állatfajtát.

hónap

raktárkészlet

(a hónap elején)

eladott

mennyiség

jan.

210

150

feb.

350

120

mar.

310

100

apr.

300

120

maj.

290

A változások mértéke és üteme:

hónap

ÁLLAPOTIDŐSOR

raktárkészlet

(a hónap elején)

TARTAMIDŐSOR

eladott

mennyiség

jan.

feb.

mar.

apr.

maj.

hónap

ÁLLAPOTIDŐSOR

raktárkészlet

TARTAMIDŐSOR

eladott mennyiség

jan.

feb.

mar.

apr.

maj.

Változás

mértéke

Változás

üteme

átlag

2.4. Az alábbi táblázat egy üzem által gyártott, illetve elszállítás előtt raktározott üveges pálinkák mennyiségét tartalmazza. Töltsük ki. Mármint a hiányzó részeket a táblázatban.

Állapítsuk meg az átlagosan előállított mennyiséget és az átlagos raktárkészletet.

Előállított mennyiség

Raktározva

(a hónap elején)

jan.=100%

előző hónap=100%

db

marc.=100%

előző hónap=100%

db

jan.

-

125

-

febr.

120

110

1100

marc.

3500

apr.

150

3750

87,5

Kezdjük az előállított mennyiséggel. Ha 3750 a januárinak a 150%-a, akkor

Februárban az előző hónap 120%-a: . Mivel márciusban 3500 üveg van, az a januárinak 140%-a és az előző havinak 116,7%-a. Végül 3750 a 3500-nak

107,1%-a. Hasonlóan fondorlatosan kitöltjük a raktárkészletes adatokat is.

Előállított mennyiség

Raktárkészlet

(a hónap elején)

jan.=100%

előző hónap=100%

db

marc.=100%

előző hónap=100%

db

jan.

1

-

2500

1,25

-

1000

febr.

1,2

1,2

3000

1,375

1,1

1100

marc.

1,4

1,167

3500

1

0,7272

800

apr.

1,5

1,071

3750

0,875

0,875

700

Most számoljunk átlagokat! Az előállított mennyiség állapotidősor vagy tartamidősor?

Az előállítás bizony eltart egy darabig, tehát ez tartam, mellesleg itt van értelme az adatok összesítésének, összeadva őket megkapjuk, hogy ezalatt a négy hónap alatt összesen mennyi pálinka készült. Az átlag ekkor

Vagyis átlagosan havonta 3187,5 üveg pálinkát állítottak elő.

A raktárkészlet állapotidősor. Gyanakvásra ad okot például ez az információ is. Itt az átlag:

2.5. Egy áruház raktárkészlete valamely termékből az alábbiak szerint alakult:

hónap

Készlet

Jan=100%

Előző

hónap=100%

Változás %-ban

február=100%

Változás

februárhoz képest (db)

Aktuális készlet a hónap végén (db)

Jan.

100

-

-20

-10

Febr.

Márc.

110

Ápr.

+16

Máj.

600

Jún.

80

Júl.

130

a) Töltsük ki a hiányzó részeket!

b) Mekkora volt az átlagos raktárkészlet ebből a termékből a második negyedévben?