Indexszámítás
Volumenindex
A volumenindex a forgalom változásának mértéke, amit súlyozhatunk a bázisidőszak vagy a tárgyidőszak áraival.
Volumenindex Laspeyres /bázis időszak szerint/:
\( I_q^0 = \frac{\sum p_0 q_1}{\sum p_0 q_0} \)
Volumenindex Paasche /tárgyidőszak szerint/:
\( I_q^1 = \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_1 q_0} \)
Árindex
Az árindex a szektort érintő árváltozást méri, és súlyozhatjuk a bázisidőszak vagy a tárgyidőszak volumeneivel.
Árindex Laspeyres /bázis időszak szerint/:
\( I_p^0 = \frac{\sum p_1 q_0}{\sum p_0 q_0} \)
Árindex Paasche /tárgyidőszak szerint/:
\( I_p^1 = \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_1} \)
Indexek átlagformái
Az indexek átlagformái:
\( I_p^0 = \frac{\sum p_0 q_0 \cdot i_p}{\sum p_0 q_0} = \frac{\sum p_1 q_0}{\sum \frac{p_1 q_0}{i_p}} = \frac{\sum v_0 \cdot i_p}{\sum v_0} \)
\( I_p^1 = \frac{\sum p_0 q_1 \cdot i_p}{\sum p_0 q_1} = \frac{\sum p_1 q_1}{\sum \frac{p_1 q_1}{i_p}} = \frac{\sum v_1 }{\sum \frac{v_1}{i_p}} \)
\( I_q^0 = \frac{\sum p_0 q_0 \cdot i_p}{\sum p_0 q_0} = \frac{\sum p_0 q_1}{\sum \frac{p_0 q_1}{i_q}} = \frac{\sum v_0 \cdot i_q}{\sum v_0} \)
\( I_q^1 = \frac{\sum p_1 q_0 \cdot i_q}{\sum p_1 q_0} = \frac{\sum p_1 q_1}{\sum \frac{p_1 q_1}{i_q}} = \frac{\sum v_1}{\sum \frac{v_1}{i_q}} \)
Fischer-féle árindex és volumenindex
A Fischer-féle árindex és volumenindex:
\( I_p^F = \sqrt{ I_p^0 \cdot I_p^1 } \qquad I_q^F = \sqrt{ I_q^0 \cdot I_q^1} \)
Értékindex
Az értékindex:
\( I_v = \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_0} = I_p^1 \cdot I_q^0 = I_q^1 \cdot I_p^0 = I_p^F \cdot I_q^F \)
Vásárlóerő-paritás
A vásárlóerő mérésére van forgalomban az úgynevezett vásárlóerő-paritás. Angol megfelelője Purchasing Power Parity alapján rövidítése PPP.
A vásárlóerő-paritás az egyedi vásárlóerő-paritásoknak a fogyasztással súlyozott átlaga.
Egy cég háromféle termék forgalmazásával foglalkozik. A forgalom 2010-ben 16ezer USD volt, ami 2011-re 12%-kal nőtt.
| termék | 2010-es forgalom %-os megoszlása | 2011-es forgalom %-os megoszlása | Eladási ár változása 2011/2010% |
| A | 20 | 25 | 104 |
| B | 30 | 15 | 109 |
| C | 50 | 60 | 102 |
| összesen | 100 | 100 |
a) Mekkora a Laspeyres-féle és a Paasche-féle árindex?
b) Mekkora a Fischer-féle volumeindex?
c) A forgalom növekedéséből mekkora az árváltozás miatti rész?
Az árindex a szektort érintő árváltozást méri. És ezt súlyozhatjuk a bázisidőszak vagy a tárgyidőszak volumeneivel.
Árindex Laspeyres /bázis időszak szerint/:
\( I_p^0 = \frac{\sum p_1 q_0}{\sum p_0 q_0} \)
Árindex Paasche /tárgyidőszak szerint/:
\( I_p^1 = \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_1} \)
Egy könyvesbolt értékesítési adatai 2010-ben és 2011-ben az alábbiak, 2010-ben az árbevétel 611 000 USD volt. Hány százlékkal változott a bolt árbevétele termékcsoportonként és együttesen? Hány százalékkal változtak az árak és a volumenek együttesen? Hány dollárral nőtt a bolt árbevétele az árváltozás miatt?
| Árbevétel megoszlása 2011-ben | 2011-es árak (2010=100%) | 2011-es volumen (2010=100%) | |
| könyv | 60% | 104% | 110% |
| cd-dvd | 30% | 106% | 100% |
| térkép | 10% | 108% | 98% |
| össz. | 100% |
Az alábbi táblázat egy városban működő három taxi társaság km árait tartalmazza. Tudjuk továbbá, hogy az összforgalom értéke 2010-ről 2011-re 10%-al emelkedett
| Társaság neve | A forgalom értékének megoszlása %-ban |
Árak változása |
|
| 2021 | 2022 | ||
| A | 40 | 50 | 105 |
| B | 20 | 25 | 108 |
| C | 40 | 25 | 110 |
Számítsuk ki a bázis- és tárgyidőszaki árindexeket és a Fischer-féle volumenindexet!
Az alábbi táblázat egy áruház éves eredményeit tartalmazza 2017-től 2021-ig az egyes évek árain számolva.
| \( \sum p_i \cdot q_j \) | q | |||||
| p | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | |
| 2017 | 230 | 250 | 262 | 260 | 261 | |
| 2018 | 231 | 254 | 264 | 263 | 262 | |
| 2019 | 233 | 255 | 265 | 265 | 264 | |
| 2020 | 235 | 258 | 267 | 264 | 265 | |
| 2021 | 240 | 261 | 267 | 266 | 267 | |
a) Számítsuk ki a 2017-es súlyozású bázis-árindexsor elemeit.
b) Számítsuk ki a 2019-es súlyozású bázis-volumenindexsor elemeit.
c) Számítsuk ki a változó súlyozású Laspeyres-féle lánc-árindexsor elemeit.
d) Számítsuk ki a változó súlyozású Paasche-féle lánc-árindexsor elemeit.
e) Számítsuk ki a változú súlyozású Paasche-féle volumenindexsor elemeit.
f) Számítsuk ki a lánc-értékindexsor elemeit.
Egy irodaház háromféle irodatípussal rendelkezik, premium, classic+ és classic. A négyzetméterenkénti bérleti díj és a forgalom alakulását 2021 és 2022-ben az alábbi táblázat tartalmazza. Ezen kívül tudjuk még, hogy 2021-ben a havi átlagos bevétel irodatípusonként 10 000, 16 000 és 12 000 euró volt.
| irodatípus | Ár (p) négyzetméterenként (EUR) |
Bérelt négyzetméterek változása (2010=100%) |
|
| 2021 | 2022 | ||
| premium | 10 | 9 | 90% |
| classic+ | 8 | 6 | 80% |
| classic | 5 | 5 | 95% |
Állapítsuk meg, hogy a szektorban mekkora volt az infláció, mely irodatípusokban volt az árváltozás infláció alatti, melyekben azok feletti. Számítsuk ki a bázisidőszaki súlyozású volumenindexet.
Egy étterem három féle sört forgalmaz, eladási adataik 2021-ben és 2022-ben az alábbiak:
| 2021-hez viszonyított változás %-ban |
Forgalom értéke |
||
| Forgalom értéke | Ár | ||
| A | 140% | 105% | 20 000 |
| B | 120% | 112% | 12 000 |
| C | 140% | 110% | 15 000 |
Számítsuk ki a kétféle súlyozású árindexet és a Fischer-féle volumenindexet.
Egy szupermarket értékesítési adatai 2021-ben és 2022-ben az alábbiak, 2021-ben az árbevétel 850 000 USD volt. Hány százalékkal változott a bolt árbevétele termékcsoportonként és együttesen? Hány százalékkal változtak az árak és a volumenek együttesen? Hány dollárral nőtt a bolt árbevétele az árváltozás miatt?
| Árbevétel megoszlása 2022-ben | 2022-es árak (2021=100%) | 2022-es volumen (2021=100%) | |
| élelmiszer | 58% | +6% | +4% |
| illatszer | 16% | +8% | -5% |
| vegyiáru | 26% | +7% | -4% |
| össz. | 100% |
Egy cipőbolt forgalmára vonatkozó adatok az alábbiak:
| Termékek | A forgalom értéke 2021-ben (millió forint) |
2022/2021 | |
| Árváltozás %) |
Volumenváltozás (%) |
||
| Férfi cipő | 2300 | 105 | 101 |
| Női cipő | 2870 | 109 | 103 |
| Gyerek cipő | 1760 | 102 | 100 |
| összesen | 40 | ||
Hány százalékkal változott a forgalom termékcsoportonként és együttesen? Mennyivel nőtt a bolt forgalma együttesen? Hogyan változott a bolt árszínvonala 2021-ről 2022-re? Hogyan változott a volumen?
Egy áruház éves értékesítése néhány évben az alábbi volt:
| év | Értékesítés az adott évi áron számolva (millió forint) | |||
| 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | |
| 2008 | 420 | 425 | 426 | 428 |
| 2009 | 421 | 422 | 423 | 425 |
| 2010 | 415 | 418 | 420 | 420 |
| 2011 | 410 | 411 | 416 | 417 |
Határozzuk meg a lánc értékindex-sor elemeit! Határozzuk meg a változó súlyozású lánc volumenindex-sor elemeit Paasche-formában!
Egy cég termelési értéke 2020-ban 400 millió forint volt. 2022-re a termelés értéke 10%-al, volumene (Paasche) 2%-al emelkedett. Hány forinttal emelkedett a termelés értéke az árak változása miatt?
Négyféle termék árusításával foglalkozó cég 2021-es árbevétele 220 millió, 2022-es árbevétele 230 millió.
| termék | 2021-es Árbevétel (%) | 2022-es Árbevétel (%) | Árváltozás 2021=100% |
| A | 30 | 23 | 105 |
| B | 18 | 12 | 103 |
| C | 25 | 32 | 102 |
| D | 27 | 33 | 105 |
| összesen | 100 | 100 |
Mekkora volt az átlagos árváltozás 2021-ről 2022-re?
Mekkora a volumenváltozás Fischer-féle indexe?
Az árbevétel növekedéséből mekkora rész tulajdonítható az árváltozásnak és mekkora a volumenváltozásnak?
Három féle termék forgalmazásával foglalkozó cég forgalmáról az alábbiak ismertek:
| termék | 2021-es forgalom (ezer USD) |
2022-es forgalom (%) |
2022-ben eladott termékmennyiség a 2021-es %-ában |
| A | 350 | 43 | 110 |
| B | 200 | 16 | 116 |
| C | 450 | 41 | 104 |
| összesen | 1000 | 100 |
A forgalom növekedése 2021-ről 2022-re 64 000 USD
a) Mekkora volt az átlagos volumen változás 2021-ről 2022-re?
b) Mekkora a Fischer-féle árindex?
c) A forgalom növekedéséből mekkora rész tulajdonítható a volumenváltozásnak?
Egy cég három féle termék forgalmazásával foglalkozik. A forgalomról az alábbiakat tudjuk:
| termék | 2021-es forgalom %-os megoszlása |
2022-es forgalom %-os megoszlása |
Eladási ár változása |
| A | 20 | 25 | 104 |
| B | 30 | 15 | 109 |
| C | 50 | 60 | 102 |
| összesen | 100 | 100 |
A forgalom 2010-ben 16 ezer USD volt, ami 2022-re 12%-al nőtt.
a) Mekkora a Laspeyres-féle és a Paasche-féle árindex? Mi okozza az eltérésüket?
b) Mekkora a Fischer-féle volumenindex?
c) A forgalom növekedéséből mekkora rész tulajdonítható az árváltozásnak?
INDEXEK
Árindex és volumenindex
Az alábbi táblázat egy ország személyszállítási költségeit tartalmazza közlekedési ágakra lebontva. Állapítsuk meg, hogy átlagosan mennyivel drágult a közlekedés 2010-ről 2011-re.
közlekedés
fajtája
Ár (p)
(EUR, 100 kilométerenként)
utasszám (q)
(évenként, 100 kilométerenként)
2010
2011
2010
2011
vasúti
16
17
980 000 000
950 000 000
közúti
16
18
990 000 000
900 000 000
légi
5
6
5 000 000
4 800 000
A egyes közlekedési fajtákban bekövetkezett áremelkedés mérésére az úgynevezett egyedi árindexeket használjuk. Ennek jele és úgy kapjuk meg, hogy a későbbi árat elosztjuk a korábbival. Az egyedi árindexek:
Százalékosan megadva a vasúti szállítás 6,25%-kal a közúti 12,5%-kal a légi 20%-kal drágult.
közlekedés
fajtája
Ár (p)
(EUR, 100 km-enként)
utasszám (q)
(évenként, 100 kilométerenként)
2010
2011
egyedi
árindex
2010
2011
egyedi volumenindex
vasúti
16
17
1,0625
980 000 000
950 000 000
0,97
közúti
16
18
1,125
990 000 000
900 000 000
0,9
légi
5
6
1,2
5 000 000
4 800 000
0,96
De mekkora volt az egész szektorra vonatkozó áremelkedés?
Ha az előbbi százalékokat átlagoljuk
azt kapjuk, hogy 12,9%-os volt az áremelkedés, ez azonban csalás.
Azért csalás, mert ha rápillantunk az utasforgalomra, akkor kiderül, hogy a legtöbben csak a vasutat és a közutat használták, itt pedig jóval 12,9% alatti az áremelkedés.
Valódi képet tehát úgy alkothatunk az áremelkedésről, ha az árakat az utasforgalom mértékével súlyozzuk. Ha a 2010-es utasforgalmi adatokat használjuk súlyoknak, azt bázisidőszaki súlyozásnak, ha pedig a 2011-es utasforgalmat használjuk, azt tárgyidőszaki súlyozásnak nevezzük. A bázis időszaki súlyozással kapott árindex
ami 9,4%-os áremelkedés.
Itt a forgalmi adatok csak súlyok, ezért van az, hogy a 2010-es és a 2011-es árakat is a 2010-es forgalmi adatokkal szorozzuk.
Az inflációt – vagyis a fogyasztói árindexet – általában így, tehát bázisidőszaki súlyozással szokás számolni. Ennek az az oka, hogy az árak jóval hamarabb kiderülnek, mint a fogyasztás mennyiségére vonatkozó adatok. Ha pedig ismerjük mindkét időszak árait, de csak a bázisidőszak fogyasztását, akkor kénytelenek vagyunk bázis időszak szerint súlyozni.
A mi esetünkben ismertek a tárgyidőszak fogyasztási adatai is, ezért ki tudjuk számolni a tárgyidőszaki súlyozású árindexet is.
vagyis 9,3%
A két árindex közötti eltérés általában minimális, de ha mégis aggasztónak találnánk ezt a kétféle eredményt, megnyugtatásul kiszámolhatjuk a Fischer-féle árindexet is. Ez a két eltérő súlyozású árindexet összegyúrja egy árindexbe:
Az utasforgalom változásának mérésére a volumenindexeket használjuk. Ez pont fordítottja az árindexeknek, itt ugyanis az árakat használjuk súlyoknak és a forgalom változását vizsgáljuk.
Ha a 2010-es árakat használjuk súlyoknak, az bázisidőszak volumenindex:
Ha a 2011-es árakat használjuk súlyoknak, az tárgyidőszaki volumenindex:
Jön itt is a Fischer:
ami meglepő módon 0,94, így a volumen változása 2010-ről 2011-re tehát 0,94, ami 6%-os csökkenést jelent.
Mindezt összefoglalva, az árindex a szektort érintő árváltozást méri, és súlyozhatjuk a bázisidőszak vagy a tárgyidőszak volumeneivel, a volumenindex pedig a forgalom változásának mértéke, amit súlyozhatunk a bázisidőszak vagy a tárgyidőszak áraival. A négyféle állatfajta tehát a következő:
Ár
P
Volumen
q
Bázis
időszaki
0
Árindex Laspeyres
/bázisidőszak szerinti/
Volumenindex Laspeyres
/bázisidőszak szerinti/
Tárgy
időszaki
1
Árindex Paasche
/tárgyidőszak szerinti/
Volumenindex Paasche
/tárgyidőszak szerinti/
A Fischer-féle árindex és volumenindex:
Az értékindex:
amiből
Ezek az átlagformák úgy kerülnek képbe, hogy a legtöbb feladatban hiányosak a táblázatok, vagyis sajnálatos módon nincs külön megadva és valamint és . Helyette ezek vannak, mint például ebben a feladatban:
Egy cég háromféle termék forgalmazásával foglalkozik. A forgalom 2010-ben 16 ezer USD volt, ami 2011-re 12%-al nőtt.
termék
2010-es forgalom
%-os megoszlása
2011-es forgalom
%-os megoszlása
Eladási ár
változása
2011/2010%
A
20
25
104
B
30
15
109
C
50
60
102
összesen
100
100
a) Mekkora a Laspeyres-féle és a Paasche-féle árindex? Mi okozza az eltérésüket?
b) Mekkora a Fischer-féle volumenindex?
c) Az forgalom növekedéséből mekkora rész tulajdonítható az árváltozásnak?
Mindenek előtt be kell azonosítanunk, hogy ki kicsoda a táblázatban.
A forgalom jelenthet pénzforgalmat és áruforgalmat is. Mivel van egy olyan adat, amiből kiderül, hogy a forgalom dollárban van adva, ez most alighanem pénzforgalmat jelent, ami 2010-ben és 2011-ben .
Sajnos ezek az adatok csak %-ban vannak, de a forgalom oszlopok maradhatnak %-ban. Picit jobb lenne ugyan, ha meglennének a konkrét értékek, amik alighanem dollárban értendők, de mérhetnénk euróban is vagy tallérban, és bizonyára akad olyan valuta, amiben mérve a 2010-es forgalom éppen a megadott 20, 30, és 50.
Mondjuk tehénben fizetve éppen 100 tehén volt a 2011-es árbevétel, 20 tehénért adtak el A-típusú terméket, 30 tehénért B-típusút stb.
Nem tarthatjuk meg viszont a százalékokat az utolsó oszlopban. Ott ugyanis indexek, vagyis egyik évről másik évre történő változások szerepelnek és ahhoz, hogy képleteink működjenek, az indexeket tizedes tört alakban kell használni.
termék
2010-es forgalom
%-os megoszlása
2011-es forgalom
%-os megoszlása
Eladási ár
változása
2011/2010%
A
20
25
1,04
B
30
15
1,09
C
50
60
1,02
összesen
100
100
Most pedig gyűjtsünk egy kis ihletet az indexek átlagformáiból.
A kétféle árindex azért tér el, mert más súlyozást használtunk. A súlyok a volumenek, vagyis ezek változása okozza az eltérést. Mivel a 2010-es árindex nagyobb, a jobban dráguló termékekből több fogyott 2010-ben, mint 2011-ben.
Most, hogy ez ilyen megnyugtatóan megoldódott, térjünk rá a volumenindexekre.
Ezekhez először értékindexet számolunk.
A forgalom 12%-al nőtt 2010-ről 2011-re. Nos ez éppen az értékindex.
Volumenindexek úgy lesznek, hogy
Ekkor és
A volumenindexek:
és
A Fischer féle volumenindex pedig
A volumen átlagosan 7,7%-al nőtt.
Végül lássuk, a forgalom növekedésében mekkora szerepe volt az árnövekedésnek.
ezer USD.
Az árváltozásból eredő forgalom többlet 0,72 ezer USD.
5.1. Az alábbi táblázat az 5, 4 és 3 csillagos szállodák szobaárait és az egy hónapra jutó vendégéjszakák számát tartalmazza. Állapítsuk meg, hogy a szektorban mekkora volt az infláció, mely szállodatípusokban volt az áremelkedés infláció alatti, melyekben azok feletti. Állapítsuk meg a volumenindexet és értelmezzük az eredményt.
Szobaárak éjszakánként
(átlag)
Vendégéjszakák havi száma
(átlag)
2010
2011
2010
2011
5 csillagos
100 000
120 000
350
300
4 csillagos
60 000
68 000
600
500
3 csillagos
25 000
30 000
700
650
Az infláció a fogyasztói árindex, kiszámolásához bázisidőszaki súlyozást szokás használni.
Szükségünk van tehát az áradatokra és súlyokként pedig a bázisidőszaki volumenekre.
az infláció 17,28%-os.
Állapítsuk meg, mely szállodatípusoknál volt az áremelkedés infláció alatti, illetve feletti. Ehhez egyedi árindexeket számolunk.
Szobaárak éjszakánként
(átlag)
Egyedi árindexek
2010
2011
5 csillagos
100 000
120 000
120 000/100 000=1,2
4 csillagos
60 000
68 000
68 000/60 000=1,133
3 csillagos
25 000
30 000
30 000/25 000=1,2
Az egyes típusoknál tehát 20%, 13,3% illetve 20% volt az áremelkedés, ezekből infláció alatti a 4 csillagos szállodák egyedi árindexe.
Számítsuk ki a volumenindexet. Ehhez a q oszlopokat kell néznünk, súlyok pedig a 2011-es árak lesznek.
Szobaárak éjszakánként
(átlag)
Vendégéjszakák havi száma
(átlag)
2010
2011
2010
2011
5 csillagos
100 000
120 000
350
300
4 csillagos
60 000
68 000
600
500
3 csillagos
25 000
30 000
700
650
A szektorban tehát az eladási árakkal súlyozott visszaesés mértéke 1-0,8622 vagyis 13,78%. Ennyivel szűkült a piac 2010-ről 2011-re.
5.2. Egy irodaház háromféle irodatípussal rendelkezik, premium, classic+ és classic.
A négyzetméterenkénti bérleti díj és a forgalom alakulását 2010 és 2011-ben az alábbi táblázat tartalmazza. Ezen kívül tudjuk még, hogy 2010-ben a havi átlagos bevétel irodatípusonként 10 000, 16 000 és 12 000 euró volt.
irodatípus
Ár (p)
(EUR, négyzetméterenként)
Bérelt négyzetméterek
Változása (2010=100%)
2010
2011
(havi átlag)
premium
10
9
90%
classic+
8
6
80%
classic
5
5
95%
Állapítsuk meg, hogy a szektorban mekkora volt az infláció, mely irodatípusokban volt az árváltozás infláció alatti, melyekben azok feletti. Számítsuk ki a bázisidőszaki súlyozású volumenindexet és értelmezzük az eredményt.
Jönnek a képletek. Csak sajna ahhoz, hogy ezt a négyféle képletet alkalmazzuk, ismernünk kéne mind a négy hozzávaló adatot is, vagyis az árakat 2010-ben és 2011-ben, ezeket éppenséggel ismerjük is, és a volumeneket 2010-ben és 2011-ben, amit viszont nem tudunk. Csak a volumenek változását tudjuk 2010-ről 2011-re, ez van az utolsó oszlopban. Ha átírjuk őket százalékról századra, megkapjuk az egyedi volumenindexeket.
irodatípus
Ár (p)
négyzetméterenként (EUR)
Bérelt négyzet-méterek változása
(2010=100%)
egyedi volumen
index
2010
2011
(havi átlag)
premium
10
9
90%
0,9
classic+
8
6
80%
0,8
classic
5
5
95%
0,95
Most pedig muszáj lesz olyan képleteket kerítenünk, amik jók is valamire. Ezt a négy képletet ugyanis csak akkor tudjuk használni, ha mindkét időszakban adott az ár is és a volumen is. Szerencsére éppen itt jönnek az indexek átlagformái:
[Szövegdoboz:] Számoljuk ki az inflációt, ami bázisidőszaki árindex.
Lássuk csak, milyen hasznosítható adataink vannak!
Van itt egyszer egy 2010-es havi bevétel, ez a és házilag elő tudjuk állítani az egyedi árindexet, ami , tehát mindjárt az első képlet jó is lesz.
Az infláció tehát -13,16%-os volt. Az árcsökkenés az egyes irodatípusoknál 10%, 25% és 0%, vagyis a classic+ esetében volt az átlagosnál nagyobb az árcsökkenés.
irodatípus
Ár (p)
négyzetméterenként (EUR)
Bérelt négyzet-méterek változása
(2010=100%)
egyedi volumen
index
2010
2011
(havi átlag)
premium
10
9
9/10=0,9
90%
0,9
classic+
8
6
6/8=0,75
80%
0,8
classic
5
5
5/5=1
95%
0,95
Ki kell még számolni a bázisidőszaki súlyozású volumenindexet. Ilyen képlet is van:
A bérlők számának visszaesése 2010-ről 2011-re tehát 13,63% a bázis időszak áraival súlyozva.
5.3. Egy könyvesbolt értékesítési adatai 2010-ben és 2011-ben az alábbiak, 2010-ben az árbevétel 611 000 USD volt.
Árbevétel megoszlása
2011-ben
2011-es árak
(2010=100%)
2011-es volumen
(2010=100%)
könyv
60%
104%
110%
cd-dvd
30%
106%
100%
térkép
10%
108%
98%
össz.
100%
Hány százalékkal változott a bolt árbevétele termékcsoportonként és együttesen? Hány százalékkal változtak az árak és a volumenek együttesen? Hány dollárral nőtt a bolt árbevétele az árváltozás miatt?
Azonosítsuk be, hogy ki kicsoda. Az első oszlop árbevétel, és 2011-ben, vagyis tárgyévben, tehát . A következő oszlop az árak megváltozása, vagyis egyedi árindex, az utolsó pedig egyedi volumenindex.
Árbevétel megoszlása
2011-ben
2011-es árak
(2010=100%)
2011-es volumen
(2010=100%)
könyv
60%
104%
110%
cd-dvd
30%
106%
100%
térkép
10%
108%
98%
össz.
100%
Az árbevétel oszlopa maradhat 100%-ban. Picit jobb lenne ugyan, ha meglennének a konkrét értékek, amik alighanem dollárban értendők, de mérhetnénk euróban is vagy tallérban, és bizonyára akad olyan valuta, amiben mérve az árbevétel éppen a megadott 60, 30, és 10. Mondjuk tehénben fizetve éppen 100 tehén volt a 2011-es árbevétel, 60 tehénért vettek könyvet, stb.
Nem tarthatjuk meg viszont a százalékokat a másik két oszlopban. Ott ugyanis indexek szerepelnek és ahhoz, hogy képleteink működjenek, az indexeket tizedes tört alakban kell használni.
A tehenek tehát maradnak, de az indexeket lecseréljük:
Árbevétel megoszlása
2011-ben
2011-es árak
(2010=100%)
2011-es volumen
(2010=100%)
könyv
60%
1,04
1,1
cd-dvd
30%
1,06
1
térkép
10%
1,08
0,98
össz.
100%
Számoljunk ki egy oszlopot:
És számoljunk egy oszlopot is. Ezt úgy számoljuk ki, hogy
tehát
Árbevétel megoszlása
2011-ben
2011-es árak
(2010=100%)
2011-es volumen
(2010=100%)
könyv
60%
1,04
1,1
1,144
52,45
cd-dvd
30%
1,06
1
1,06
28,3
térkép
10%
1,08
0,98
1,058
9,45
össz.
100%
90,2
[Szövegdoboz:]
Az értékindex
Az árbevétel tehát 10,8%-al növekedett.
Árindexből bázis időszakit szoktunk számolni:
Volumenindexből meg tárgyidőszakit:
2010-ben az árbevétel 611 000 dollár volt. Az árbevétel
növekedése az árak változása miatt
Az árak miatti növekedés 641 550 – 611 000 = 30 550 dollár.
Az árbevétel növekedése a volumenek változása miatt
A volumenek miatti növekedés tehát 33 605 dollár.
5.4. Az alábbi táblázat egy városban működő három taxi társaság km árait tartalmazza.
Tudjuk továbbá, hogy az összforgalom értéke 2010-ről 2011-re 10%-al emelkedett.
Társaság
neve
A forgalom értékének
megoszlása %-ban
Árak változása
2010
2011
(2010=100%)
A
40
50
105
B
20
25
108
C
40
25
110
Számítsuk ki a bázis- és tárgyidőszaki árindexeket és a Fischer-féle volumenindexet!
Első észrevétel, hogy a % pont olyan jó, mint a konkrét adat, mivel az indexek kiszámolásánál csak arányokat vizsgálunk. Vagyis tökmindegy, hogy a taxi társaságok forgalma 2010-ben 40 forint 20 forint és 40 forint, vagy 40 ezer euró, 20 ezer euró és 40 ezer euró mert csak az arányokat vizsgáljuk.
Mivel a forgalom értéke 2011-re 10%-al nőtt, az egész oszlopot 1,1-el szorozzuk:
Társaság
neve
A forgalom értékének
megoszlása %-ban
Árak változása
2010
2011
(2010=100%)
A
40
55
105
B
20
22
108
C
40
33
110
Ezzel az arányokat megtartottuk. Az árak változása oszlop tulajdonképpen egyedi árindex, csak %-ról átírjuk századra.
Társaság
neve
A forgalom értékének
megoszlása %-ban
Árak változása
2010
2011
A
40
55
1,05
B
20
22
1,08
C
40
33
1,10
Számítsuk ki a bázisidőszaki árindexet. Ehhez kellenek az átlagformák.
[Szövegdoboz:]
Az infláció tehát 7,6%-os volt.
Ki tudjuk számolni a tárgyidőszaki árindexet is:
Végül kiszámoljuk a Fischer-féle volumenindexet.
Ehhez még egy fontos képletre van szükségünk.
[Szövegdoboz: Az értékindex:]
A Fischer-féle volumenindexhez kell a Fischer-féle árindex és az értékindex.
Ekkor miatt vagyis tehát 2,5%.
5.5. Egy étterem háromféle sört forgalmaz, eladási adataik 2010-ben és 2011-ben az alábbiak:
2010-hez viszonyított
változás %-ban
Forgalom értéke
2010-ben (EUR)
Forgalom
értéke
Ár
A
140%
105%
20 000
B
120%
112%
12 000
C
140%
110%
15 000
Számítsuk ki a kétféle súlyozású árindexet és a Fischer-féle volumenindexet.
Először is megszabadulunk a %-októl.
2010-hez viszonyított
változás %-ban
Forgalom értéke
2010-ben (EUR)
Értékindex
Árindex
A
1,40
1,05
20 000
B
1,20
1,12
12 000
C
1,40
1,10
15 000
Tehát ezeknek létesítünk egy oszlopot.
2010-hez viszonyított
változás %-ban
Forgalom értéke
2010-ben (EUR)
Forgalom értéke
2011-ben (EUR)
Értékindex
Árindex
A
1,40
1,05
20 000
28 000
B
1,20
1,12
12 000
14 400
C
1,40
1,10
15 000
21 000
Most pedig lássuk a képleteket.
[Szövegdoboz:]
A bázisidőszaki súlyozású árindex:
Az sör-árak átlagos áremelkedése tehát 8,4%-os.
A tárgyidőszaki súlyozású árindex:
A volumenindexhez az
összefüggést használjuk.
és
tehát , ami azt jelenti, hogy egy év alatt 23,8%-al növekedett a forgalom.
5.6. Az alábbi táblázat egy áruház éves eredményeit tartalmazza 2007-től 2011-ig az egyes évek árain számolva.
q
P
2007
2008
2009
2010
2011
2007
230
250
262
260
261
2008
231
254
264
263
262
2009
233
255
265
265
264
2010
235
258
267
264
265
2011
240
261
267
266
267
Számítsuk ki a 2007-es súlyozású bázis-árindexsor elemeit.
Számítsuk ki a 2009-es súlyozású bázis-volumenindexsor elemeit.
Számítsuk ki a változó súlyozású Laspeyres-féle lánc-árindexsor elemeit.
Számítsuk ki a változó súlyozású Paasche-féle lánc-árindexsor elemeit.
Számítsuk ki a változó súlyozású Paasche-féle lánc-volumenindexsor elemeit.
Számítsuk ki a lánc-értékindexsor elemeit
a) A súlyok, mivel árindexről van szó a volumenek lesznek, méghozzá a 2007-es volumenek.
b) Itt a súlyok az árak lesznek és 2009-hez viszonyítunk.
c) A változó súlyozású Laspeyres-féle lánc-árindexsor elemei a főátló mentén lesznek.
d) A változó súlyozású Paasche-féle lánc-árindexsor elemei is a főátló mentén lesznek.
e)
f)
5.7. Egy szupermarket értékesítési adatai 2010-ben és 2011-ben az alábbiak, 2010-ben az árbevétel 850 000 USD volt.
Árbevétel megoszlása
2011-ben
2011-es árak
(2010=100%)
2011-es volumen
(2010=100%)
élelmiszer
58%
+6%
+4%
illatszer
16%
+8%
-5%
vegyiáru
26%
+7%
-4%
össz.
100%
Hány százalékkal változott a bolt árbevétele termékcsoportonként és együttesen? Hány százalékkal változtak az árak és a volumenek együttesen? Hány dollárral nőtt a bolt árbevétele az árváltozás miatt?
Azonosítsuk be, hogy ki kicsoda. Az első oszlop árbevétel, és 2011-ben, vagyis tárgyévben, tehát . A következő oszlop az árak megváltozása, vagyis egyedi árindex, az utolsó pedig egyedi volumenindex, de roppant haszontalan formában megadva.
A +6% azt jelenti, hogy 1,06 a +8% azt, hogy 1,08 és így tovább.
Árbevétel megoszlása
2011-ben
2011-es árak
(2010=100%)
2011-es volumen
(2010=100%)
élelmiszer
58%
1,06
1,04
illatszer
16%
1,08
0,95
vegyiáru
26%
1,07
0,96
össz.
100%
Az árbevétel oszlopa maradhat 100%-ban. Picit jobb lenne ugyan, ha meglennének a konkrét értékek, amik alighanem dollárban értendők, de mérhetnénk euróban is vagy tallérban, és bizonyára akad olyan valuta, amiben mérve az árbevétel éppen a megadott 58, 16, és 26. Mondjuk tehénben fizetve éppen 100 tehén volt a 2011-es árbevétel, 58 tehénért vettek élelmiszert, stb.
Számoljunk ki egy oszlopot:
És számoljunk egy oszlopot is. Ezt úgy számoljuk ki, hogy
tehát
Árbevétel megoszlása
2011-ben
2011-es árak
(2010=100%)
2011-es volumen
(2010=100%)
élelmiszer
58%
1,06
1,04
1,102
52,63
illatszer
16%
1,08
0,95
1,026
15,59
vegyiáru
26%
1,07
0,96
1,027
25,31
össz.
100%
93,53
[Szövegdoboz:]
Az értékindex
Az árbevétel tehát 7%-al növekedett.
Árindexből bázis időszakit szoktunk számolni:
Volumenindexből meg tárgyidőszakit:
A 2010-es árbevétel 850 000 USD volt. Az árbevétel növekedése az értékindex alapján 7%-os volt. Mivel a volumenek átlagosan nem változtak, a teljes árbevétel növekedés az áraknak tulajdonítható.
Ez
Vásárlóerő-paritás
Két ország valutájának vásárlóerejét szeretnénk összehasonlítani. Az egyik országot az egyszerűség kedvéért nevezzük Arábiának, a másikat Britanniának – de nem a nagy. Egy Britanniai font 180 Arábiai dollárt ér a valutapiacon. Ugyanakkor Arábiában nagyon sok olaj van, így rendkívül olcsó a benzin. Annyira olcsó, hogy már-már azzal locsolják a virágokat is. Mondjuk nem is igen van mással, mert víz az viszont nincs. Britanniában ezzel szemben van víz bőven, de olaj csak drága vezetékeken érkezik.
Így aztán Arábiában egy liter benzin 80 dollár, Britanniában viszont 1 font, ami több mint a duplája. A víz Arábiában drágább, ott 50 dollár köbmétere, Britanniában csak 0,1 font.
Donald-kacsája egyik országnak sincs, ebből mindketten behozatalra szorulnak és az ára Britanniában 5 font, Arábiában 1000 dollár, ami nagyjából ugyanannyi, hiszen 1 font 180 dollár, így 5 font 900 dollárnak felel meg.
1font=180 dollár
Arábia
Britannia
egyedi
vásárlóerő-paritás
egységár
(Arábiai dollár)
egységár
(Britanniai font)
Benzin (liter)
80
1
1font=80 dollár
Víz (köbméter)
50
0,1
1font=500 dollár
Donald-kacsa (db)
1000
5
1 font=200 dollár
Nem könnyű tehát kiigazodni az árfolyamokon. Hiába ér 1 font 180 dollárt, ha benzint akarunk venni, akkor csak 80 dollárt ér. Ha viszont vizet, akkor 500-at. A font vásárlóértéke tehát attól függ, hogy miből mennyit akarunk venni. Ennek a vásárlóerőnek a mérésére van forgalomban az úgynevezett vásárlóerő-paritás. Angol megfelelője Purchasing Power Parity alapján a rövidítése PPP.
Az egyedi vásárlóerő-paritás tulajdonképpen nem más, mint a táblázatunkban is szereplő szubjektív árfolyam. Ha tankolni kell, 1 font =80 dollár, ha megszomjazunk, akkor
1 font = 500 dollár.
A vásárlóerő-paritás ezeknek az egyedi vásárlóerő-paritásoknak a fogyasztással súlyozott átlaga.
Mindkét országban megvizsgáljuk a fogyasztási szokásokat, ezeket fogjuk súlyoknak használni a vásárlóerő-paritás kiszámolásához. Minél több termék vagy szolgáltatás alapján számítjuk a vásárlóerő-paritást, annál teljesebb képet kapunk.
Most önkényesen kiválasztott hat termékcsoportra nézve számolunk.
Arábia
Britannia
egy főre jutó
fogyasztás
(havi átlag)
egységár
(Arábiai dollár)
egy főre jutó
fogyasztás
(havi átlag)
egységár
(Britanniai font)
Benzin (liter)
12
80
15
1
Víz (köbméter)
1
50
1,8
0,1
Donald-kacsa (db)
1
1000
28
5
Gyümölcs (kg)
8
76
7
0,4
Zöldség (kg)
16
60
9
0,3
A súlyoknak választhatjuk Arábia és Britannia fogyasztását is.
Arábia fogyasztási adataival súlyozva
Britannia fogyasztási adataival súlyozva pedig
A kapott értékek jelentősen eltérnek. Ez az eltérés Arábia és Britannia fogyasztási szokásainak különbözősége miatt van és bizony gyakran előfordul, amikor két eltérő fogyasztói szokásokkal rendelkező ország vásárlóerő-paritását vizsgáljuk. A különböző súlyozás miatt kapott kétféle eredményből úgy tudunk egy objektív mutatót készíteni, ha a már korábban is alkalmazott Fischer-indexet használjuk.
Egy Britanniai font vásárlóereje tehát 164,11 Arábiai dollár vásárlóerejének felel meg.
Az összehasonlítást fordítva is elvégezhetjük.
Vagyis egy Arábiai dollár vásárlóereje 0,00609 Britanniai fontot vásárlóerejének felel meg.
Egy Britanniai font tehát 164,11 Arábiai dollárt ér, míg egy Arábiai dollár 0,00609 Britanniai fontot az általunk vizsgált hatféle termék alapján.
5.8. Egy cipőbolt forgalmára vonatkozó adatok az alábbiak:
Termékek
A forgalom értéke
2010-ben (millió forint)
2010/2011
Árváltozás
(%)
Volumenváltozás
(%)
Férfi cipő
2300
105
101
Női cipő
2870
109
103
Gyerek cipő
1760
102
100
összesen
Hány százalékkal változott a forgalom termékcsoportonként és együttesen? Mennyivel nőtt a bolt forgalma együttesen? Hogyan változott a bolt árszínvonala 2010-ről 2011-re? Hogyan változott a volumen?
Az árváltozás és volumenváltozás oszlopban a százalékokat átírjuk,
ezek lesznek az illetve .
Csináljunk egy oszlopot is.
Termékek
A forgalom értéke
2010-ben (millió forint)
2010/2011 változás
Ár
Volumen
Forgalom
Férfi cipő
2300
1,05
1,01
1,06
Női cipő
2870
1,09
1,03
1,12
Gyerek cipő
1760
1,02
1,00
1,02
összesen
6930
A bolt forgalma termékcsoportonként 6%-al, 12%-al illetve 2%-al nőtt.
Együttesen pedig
A bolt teljes forgalma 7,5%-al nőtt.
Az árszínvonal változását nevezzük inflációnak. Itt bázisidőszaki súlyozást szoktunk használni:
Az átlagos árszínvonal emelkedés tehát 5,9%-os volt.
A volumenváltozás
alapján
=1,015 vagyis 1,5%-os.
5.9. Egy áruház éves értékesítése néhány évben az alábbi volt:
év
Értékesítés az adott évi áron számolva
(millió forint)
2008
2009
2010
2011
2008
420
425
426
428
2009
421
422
423
425
2010
415
418
420
420
2011
410
411
416
417
Határozzuk meg a lánc értékindex-sor elemeit!
Határozzuk meg a változó súlyozású lánc volumenindex-sor elemeit Paasche-formában!
A lánc-értékindexsor:
A változó súlyozású lánc volumenindex-sor elemei Paasche-formában:
5.10. Egy cég termelési értéke 2008-ban 400 millió forint volt. 2010-re a termelés értéke 10%-al, volumene (Paasche) 2%-al emelkedett. Hány forinttal emelkedett a termelés értéke az árak változása miatt?
A termelés értéke 10%-al emelkedett, vagyis az értékindex:
A Paasche-volumenindex:
Ekkor alapján
Az árváltozás miatt 7,8%-os értéknövekedés következett be, ami jó közelítéssel
5.11. Négyféle termék árusításával foglalkozó cég 2010-es árbevétele 220 millió, 2011-es árbevétele 230 millió.
termék
2010-es
Árbevétel
(%)
2011-es
Árbevétel
(%)
Árváltozás
2010=100%
A
30
23
105
B
18
12
103
C
25
32
102
D
27
33
105
összesen
100
100
a) Mekkora volt az átlagos árváltozás 2010-ről 2011-re?
b) Mekkora a volumenváltozás Fischer-féle indexe?
c) Az árbevétel növekedéséből mekkora rész tulajdonítható az árváltozásnak?
Lássuk ki kicsoda a táblázatban!
termék
2010-es
Árbevétel
(%)
2011-es
Árbevétel
(%)
Árváltozás
2010=100%
A
30
23
105
B
18
12
103
C
25
32
102
D
27
33
105
összesen
100
100
Az árbevételek és egyéb adatok maradhatnak %-ban, de az indexek nem. Vagyis az árindexeket átírjuk.
[Szövegdoboz:]
termék
2010-es
Árbevétel
(%)
2011-es
Árbevétel
(%)
Árváltozás
2010=100%
A
30
23
1,05
B
18
12
1,03
C
25
32
1,02
D
27
33
1,05
összesen
100
100
Számoljuk ki az értékindexet is.
Mivel pedig
az értékindexből és az árindexekből megkapjuk a volumenindexeket.
és
Ekkor
és
A Fischer féle volumenindex pedig
millió
Az árváltozásból eredő árbevétel többlet 8,85 millió.
5.12. Háromféle termék forgalmazásával foglalkozó cég forgalmáról az alábbiak ismertek:
termék
2010-es
forgalom
(ezer USD)
2011-es
forgalom
(%)
2011-ben eladott
termékmennyiség
a 2010-es %-ában
A
350
43
110
B
200
16
116
C
450
41
104
összesen
1000
100
A forgalom növekedése 2010-ről 2011-re 64 000 USD
a) Mekkora volt az átlagos volumen változás 2010-ről 2011-re?
b) Mekkora a Fischer-féle árindex?
c) Az forgalom növekedéséből mekkora rész tulajdonítható a volumenváltozásnak?
Lássuk ki kicsoda a táblázatban!
termék
2010-es
forgalom
(ezer USD)
2011-es
forgalom
(%)
2011-ben eladott
termékmennyiség
a 2010-es %-ában
A
350
43
110
B
200
16
116
C
450
41
104
összesen
1000
100
A forgalom itt pénzforgalmat jelent, vagyis 2010-ben 2011-ben pedig .
2010-ben dollárban, 2011-ben viszont %-ban van megadva, ami azonban nem jelent különösebb problémát.
Az utolsó oszlop viszont index, vagyis egyik évről másik évre való változás, ami nem maradhat %-ban.
termék
2010-es
forgalom
(ezer USD)
2011-es
forgalom
(%)
2011-ben eladott
termékmennyiség
a 2010-es %-ában
A
350
43
1,10
B
200
16
1,16
C
450
41
1,04
összesen
1000
100
[Szövegdoboz:]
Lássuk a képleteket!
Ez az oszlop arra késztet bennünket, hogy volumenindexeket számoljunk.
A Fischer pedig:
Nézzük meg az értékindexet is. A forgalom növekedése
64 000 USD volt 2010-ről 2011-re. Ekkor
a forgalom 2010-ben 1000 ezer USD
a forgalom 2011-ben 1064 ezer USD
Mivel pedig
A Fischer-féle árindex: és ez átlagosan 1,8%-os árcsökkenést jelent.
Végül nézzük, a forgalom növekedéséből mekkora rész tulajdonítható a volumenváltozásnak. Mivel az árak csökkentek,
Az volumenváltozásból eredő forgalom többlet 85 ezer USD.
5.13. Egy cég háromféle termék forgalmazásával foglalkozik. A forgalomról az alábbiakat tudjuk:
termék
2010-es forgalom
%-os megoszlása
2011-es forgalom
%-os megoszlása
Eladási ár
változása
2011/2010%
A
20
25
104
B
30
15
109
C
50
60
102
összesen
100
100
A forgalom 2010-ben 16 ezer USD volt, ami 2011-re 12%-al nőtt.
a) Mekkora a Laspeyres-féle és a Paasche-féle árindex? Mi okozza az eltérésüket?
b) Mekkora a Fischer-féle volumenindex?
c) Az forgalom növekedéséből mekkora rész tulajdonítható az árváltozásnak?
Lássuk ki kicsoda a táblázatban!
termék
2010-es forgalom
%-os megoszlása
2011-es forgalom
%-os megoszlása
Eladási ár
változása
2011/2010%
A
20
25
104
B
30
15
109
C
50
60
102
összesen
100
100
A forgalom itt pénzforgalmat jelent, ami 2010-ben és 2011-ben .
A forgalom adatok maradhatnak %-ban, de az utolsó oszlopban indexek vannak, azok nem.
termék
2010-es forgalom
%-os megoszlása
2011-es forgalom
%-os megoszlása
Eladási ár
változása
2011/2010%
A
20
25
1,04
B
30
15
1,09
C
50
60
1,02
összesen
100
100
Most pedig gyűjtsünk egy kis ihletet az indexek átlagformáiból.
A kétféle árindex azért tér el, mert más súlyozást használtunk. A súlyok a volumenek, vagyis ezek változása okozza az eltérést. Mivel a 2010-es árindex nagyobb, a jobban dráguló termékekből több fogyott 2010-ben, mint 2011-ben.
Most, hogy ez ilyen megnyugtatóan megoldódott, térjünk rá a volumenindexekre. Ezekhez először értékindexet számolunk.
A forgalom 12%-al nőtt 2010-ről 2011-re. Nos ez éppen az értékindex.
[Szövegdoboz:]
Volumenindexek úgy lesznek, hogy
Ekkor és
A volumenindexek:
és
A Fischer féle volumenindex pedig
A volumen átlagosan 7,7%-al nőtt.
Végül lássuk, a forgalom növekedésében mekkora szerepe volt az árnövekedésnek.
ezer USD.
Az árváltozásból eredő forgalom többlet 0,72 ezer USD.
