Standardizálás
Standardizálás különbség-felbontással
Az első szint a főátlagok összehasonlítása:
\( K = \overline{V}_0 - \overline{V}_1 \)
A második szint a részhatás különbség kiszámolása:
(ilyenkor az összetételhatást vesszük standardnek)
\( K' = \overline{V}'_0 - \overline{V}'_1 = \frac{\sum B_0 \cdot V_0}{ \sum B_0} - \frac{\sum B_0 \cdot V_1}{\sum B_0} \)
A harmadik szint az összetételhatás különbség kiszámolása:
\( K'' = \overline{V}''_0 - \overline{V}''_1 = \frac{\sum B_0 \cdot V_1}{ \sum B_0} - \frac{\sum B_1 \cdot V_1}{\sum B_1} \)
Területi összehasonlítás
Területi összehasonlítás:
\( K= \overline{V}_1 - \overline{V}_0 \)
\( K'= \overline{V}'_1 - \overline{V}'_0 \)
\( K''= \overline{V}''_1 - \overline{V}''_0 \)
\( K=K'+K'' \)
Időbeli összehasonlítás
Időbeli összehasonlítás:
\( I = \frac{ \overline{V}_1}{ \overline{V}_0 } \)
\( I' = \frac{ \overline{V}'_1}{ \overline{V}'_0 } \)
\( I'' = \frac{ \overline{V}''_1}{ \overline{V}''_0 } \)
\( I = I' \cdot I'' \)
Standardizálás hányados-felbontással
Az első szint a főátlagok összehasonlítása:
\( I = \frac{ \overline{V}_1 }{ \overline{V}_0} \)
A második szint a részhatásindex kiszámolása:
(ilyenkor az összetételhatást vesszük standardnek és mindig a tárgyidőszakét)
\( I' = \frac{\overline{V}'_1}{\overline{V}'_0} = \frac{\frac{\sum B_1 \cdot V_1}{\sum B_1}}{\frac{\sum B_1 \cdot V_0}{\sum B_1}} \)
A harmadik szint az összetételhatás-index kiszámolása:
(ilyenkor a részhatást vesszük standardnek és mindig a bázisidőszakit, de ha $I$ és $I'$ már megvan, akkor egyszerűbb az $I=I' \cdot I''$ alapján számolni.)
\( I'' = \frac{\overline{V}''_1}{\overline{V}''_0} = \frac{\frac{\sum B_1 \cdot V_0}{\sum B_1}}{\frac{\sum B_0 \cdot V_0}{\sum B_0}} \)
Egy cég dolgozóinak fizetését tartalmazza az alábbi táblázat. Hasonlítsuk össze a férfi és női dolgozók átlagbérének különbségét standardizálással.
| Munkakör | Nők | Férfiak | ||
| Alkalmazottak száma (fő) |
Egy főre jutó átlagkereset (USD) |
Alkalmazottak száma (fő) |
Egy főre jutó átlagkereset (USD) |
|
| vezetők | 10 | 4 200 | 4 | 5 300 |
| középvezetők | 50 | 3 000 | 36 | 3 600 |
| beosztottak | 140 | 1 200 | 360 | 1 400 |
| Összesen: | 200 | 400 | ||
Az első szint a főátlagok összehasonlítása:
\( K = \overline{V}_0 - \overline{V}_1 \)
A második szint a részhatás különbség kiszámolása:
(részhatás = $V$, ilyenkor az összetételhatás = $B$ a standard)
\( K' = \overline{V}'_0-\overline{V}'_1 = \frac{\sum B_0 \cdot V_0}{\sum B_0} - \frac{\sum B_0 \cdot V_1}{\sum B_0} \)
A harmadik szint az összetételhatás különbség kiszámolása:
(összetételhatás = $B$, ilyenkor a részhatás = $V$ a standard, de mindig a másik, ha az előbb $B_1$ volt akkor most $V_0$, ha pedig $B_0$ volt, most $V_1$)
\( K'' = \overline{V}''_0-\overline{V}''_1 = \frac{\sum B_0 \cdot V_1}{\sum B_0} - \frac{\sum B_1 \cdot V_1}{\sum B_1} \)
Hasonlítsuk össze a 2021 és 2022-es adatok különbségét standardizálással.
| Termelés helye |
2021 | 2022 | ||||
| A termelés összköltsége (USD, millió) |
Előállított darabszám (millió) |
Egy termékre |
A termelés összköltsége (USD, millió) |
Előállított darabszám (millió) |
Egy termékre eső költség (USD) |
|
| Ausztria | 68 | 1 | 68 | 56 | 0,8 | 70 |
| India | 273 | 6,5 | 42 | 423 | 9,4 | 45 |
| Kanada | 286 | 4,4 | 65 | 204 | 3 | 68 |
| Malajzia | 285 | 7,5 | 38 | 496 | 12,4 | 40 |
| Össz. | 912 | 82 | 47,01 | 1 179 | 25,6 | 46,05 |
Egy biztosító káresetenkénti kifizetései a következőképpen alakultak 2021-ben és 2022-ben.
Vizsgáljuk meg a káresetenként kifizetett összegek alakulását standardizálással.
| Üzletágak | A kifizetett teljes összeg megoszlása 2022-ben |
Egy biztosítási káresetre fizetett átlagos összeg (EUR) |
||
| 2021 | 2022 | |||
| Élet-baleset- betegbiztosítás |
30% | 800 | 1000 | |
| Lakásbiztosítás (lakossági) |
50% | 1200 | 2000 | |
| Ipari ingatlanok és eszközök |
20% | 100 000 | 160 000 | |
| Össz. | 100% | 1100 | ||
Egy üzemben három féle terméket állítanak elő. Elemezzük az egy termékre jutó átlagos előállítási költség változását standardizálással.
| termékek | A termelés összértékének megoszlása 2022-ben (EUR) |
Az egyes termékek előállítási költsége a 2021-es százalékában |
| A | 52% | 102% |
| B | 36% | 104% |
| C | 12% | 105% |
| Össz. | 100% | 103% |
Egy cég dolgozóinak fizetését tartalmazza az alábbi táblázat. Hasonlítsuk össze a férfi és női dolgozók átlagbérének különbségét standardizálással.
| férfiak | nők | |||
| Alkalmazottak száma |
Egy főre jutó átlagkereset (USD) |
Kifizetett teljes bérköltség |
Egy főre jutó átlagkereset (USD) |
|
| vezetők | 10 | 5 200 | 15 000 | 5 000 |
| középvezetők | 50 | 4 000 | 24 500 | 3 500 |
| beosztottak | 350 | 1 200 | 748 000 | 1 100 |
| személyzet | 25 | 750 | 36 000 | 750 |
| Total | 435 | 823 500 | ||
Az egyik egyetem két büféjében húsz napon át figyelték a vásárlások értékét.
| I. büfé | II. fübé | |||
| vásárló | Vásárlók száma (fő) |
Átlagos vásárlás (EUR/fő) |
Vásárlók száma (fő) |
Átlagos vásárlás (EUR/fő) |
| Hallgató | 1200 | 2 | 1600 | 1,8 |
| Oktató | 400 | 2,5 | 600 | 2,2 |
| Egyéb | 400 | 3 | 800 | 2,6 |
| Össz. | 2000 | 3000 | ||
Hasonlítsuk össze a két büfében a vásárlók átlagos költségét és az erre ható tényezőket!
Két borgazdaság termelési adatait tartalmazza a következő táblázat. Elemezze a szőlők termésátlagának különbségét standardizálással.
| Szőlőfajta | Termőterület (ha) |
Termésátlagok |
|
| I. | II. | ||
| furmint | 250 | 600 | 1000 |
| hárslevelű | 100 | 250 | 600 |
| oremus | 150 | 150 | 400 |
| összesen | 500 | 1000 | 800 |
Egy üzem dolgozóinak bérei a következőképpen alakultak 2021-ben és 2022-ben. Vizsgáljuk meg az átlagos bérváltozást standardizálással.
| Üzem dolgozói | Bérek összetétele (EUR) | Létszám összetétele | ||
|
2021 |
2022 |
2021 | 2022 | |
| vezetők | 450 000 | 5200 | 90 | 5% |
| szellemi | 220 000 | 2300 | 110 | 8% |
| fizikai | 880 000 | 1250 | 800 | 87% |
| Össz. | 1 550 000 | 1000 | ||
Egy gyár dolgozóinak bérei a következőképp alakultak 2021-ben és 2022-ben.
Vizsgáljuk meg az átlagos bérváltozást standardizálással.
| Gyár dolgozói |
Dolgozók átlagbére (EUR) |
Létszám összetétele |
||
| 2021 | 2022 | 2021 | 2022 | |
| vezetők | 5000 | 5200 | 4 | 0,75% |
| szellemi | 2000 | 2300 | 36 | 8% |
| fizikai | 1100 | 1250 | 350 | 91,25% |
| Össz. | ||||
Egy gyorsétterem forgalmi adatai a 2021-es és a 2022-es évben az alábbiak voltak:
| Egy vásárló által fizetett összeg | A forgalom megoszlása 2021-ben | ||
|
2021 |
2022 \( V_0 \) |
\( B_1 \) | |
| házhozszállítás | 2500 | 2400 | 10 000 |
| helybeni fogyasztás | 1800 | 1500 | 6000 |
| összesen | 2200 | 2000 | 16 000 |
A következő táblázat egy alpesi városka szállodaárait tartalmazza. Hasonlítsuk össze az átlagos árszint változást standardizálással.
| Szálloda típus | 2021 | 2022 | ||
| Vendégéjszakák száma (ezer db) |
Ár (EUR/fő) |
Vendégéjszakák száma (ezer db) |
Ár (EUR/fő) |
|
| *** | 1200 | 50 | 1600 | 52 |
| **** | 400 | 70 | 600 | 70 |
| ***** | 400 | 80 | 800 | 84 |
| Össz. | 2000 | 3000 | ||
Egy üzem dolgozóinak bérei a következőképpen alakultak 2021-ben és 2022-ben.
Vizsgáljuk meg az átlagos bérváltozást standardizálással.
| Termékek | Összes termelési költség megoszlása 2022-ben (%) |
Önköltség (ezer forint/db) | |
| 2021-ben | Változás 2021-ről 2022-re (ezer forintban) |
||
| A | 10 | +1 | |
| B | 30 | 20 | -2 |
| C | 50 | 25 | +5 |
| összesen | 22 | +2 | |
Elemezzük a termék csoport átlagos önköltségének változását és az arra ható tényezőket.
Egy terméket két üzemben állítanak elő
| üzemek | Termelési költség | Termelés 2021-ben (db) |
Önköltség 2022-ben Ft/db |
Változás 2021=100% |
|
| 2021-ben (ezer forint) |
Változás 2021=100% |
||||
| A-üzem | 36 700 | 124% | 800 | 47 710 | 104 |
| B-üzem | 42 720 | 87% | 960 | 48 950 | 110 |
| összesen | |||||
Elemezzük az önköltség alakulására ható tényezőket standardizálással!
Egy üzem dolgozóinak bérei a következőképpen alakultak 2021-ben és 2022-ben.
Vizsgáljuk meg az átlagos bérváltozást standardizálással.
| üzem | Önköltség változása 2021=100% |
Termelés költségének változása 2021=100% |
Termelés költsége 2021 (%) |
| A | 1,07 | 1,07 | 24 |
| B | 1,05 | 1,10 | 32 |
| C | 1,06 | 1,08 | 44 |
| összesen | 1,02 | 100 |
Hogyan változott az előállított termék önköltsége 2021-ről 2022-re?
Elemezze az önköltség változására ható tényezőket.
Egy városban a sielési szezon három időszakból, előszezonból, főszezonból és utószezonból áll. Elemezzük az egy vendég által átlagosan eltöltött vendégéjszakák számának változását 2021-es szezonról a 2022-es szezonra standardizálással.
| szezonok | Vendégéjszakák számának megoszlása 2022-es szezonban |
Egy vendég által átlagosan eltöltött éjszakák száma | |
| 2021-es szezon | 2022-es szezon | ||
| Főszezon | 60% | 5 | 5,1 |
| Előszezon | 15% | 4,4 | 4 |
| Utószezon | 25% | 3,2 | 3,6 |
| Össz. | 100% | 4,3 | |
Egy légitársaság forgalmi adatait tartalmazza a következő táblázat. Elemezzük az egy járatra eső átlagos utas-szám változást 2021-ről 2022-re.
| Desztináció | Utasforgalom összesen 2022 (%) |
Összes utasforgalom változás 2021=100% |
Járatok számának változása 2021=100% |
| Belföldi | 24% | +7% | +5% |
| Külföldi | +4% | -2% | |
| Össz. | 100% | +5% | +1% |
Az egyik egyetem három campusán az egy tanárra jutó tanulók számát vizsgálták.
| campus | Egy tanárra jutó tanulók száma 2021 |
Tanárok megoszlása 2022 |
Egy tanárra jutó tanulók számának változása 2022=100% |
| A | 25 | 12% | 94% |
| B | 24 | 25% | 86% |
| C | 27 | 63% | 96% |
Az egy tanárra jutó tanulók száma a három campuson együttesen 7%-al csökkent.
Elemezzük az egy tanárra jutó tanulók számának változására ható tényezőket.
STANDARDIZÁLÁS
Különbségfelbontás
A standardizálást egy meglehetősen furcsa statisztikai probléma megoldására találták ki.
Nézzünk meg erre egy példát, mondjuk Németország és Törökország egy évre vonatkozó halálozási adataival.
Ha a sajnálatosan elhalálozottak számát elosztjuk a lakosok számával, megkapjuk az úgynevezett halálozási arányszámot, ami azt adja meg, hogy egy adott évben a lakosság hányad részének esedékes távozni az örök vadászmezőkre. Ezt az arányt ezerrel beszorozva kapjuk a halálozás ezrelékben kifejezett értékét.
Az egyes korcsoportokra vonatkozó halálozási adatok szemléletesen azt jelentik, hogy az adott korcsoportban évente ezer emberből hányan haláloznak el. Az oszlop legalsó sora a teljes lakosság halálozási mutatója.
Németország (0)
Törökország (1)
ÉLETKOR
HALÁLOZÁS
(fő/év)
NÉPESSÉG
(%)
HALÁLOZÁSI
ARÁNYSZÁM
(‰)
HALÁLOZÁS
(millió fő)
NÉPESSÉG
(%)
HALÁLOZÁSI
ARÁNYSZÁM
(‰)
0-14
16 605
13,5
1,5
52 500
26,9
2,5
15-34
41 000
25
2
122 500
45
3,5
35-64
102 090
41,5
3
68 000
21,9
4
65-
738 000
20
45
240 000
6,2
50
összesen
897 695
100
10,9
435 750
100
6,2
Ami első ránézésre meglehetősen furcsának tűnik, hogy ez a halálozási mutató Németországban 10,9 ami sokkal rosszabb, mint Törökországban, ahol csak 6,2.
Vagyis Törökország halálozási arányszáma lényegesen jobb, mint a németeké. Vajon mi lehet ennek az oka?
A helyzet még ennél is furcsább, ha korcsoportonként hasonlítjuk össze a halálozási adatokat, ott ugyanis mindenhol a németek a jobbak.
A 65 év felettiek halálozási mutatója például a németeknél ezer emberből csak 45, míg a törököknél 50. De hasonlóan nagy eltérések mutatkoznak a többi korcsoportban is. A németek halálozási mutatója tehát minden egyes korcsoportban messze jobb, mint a törököké, csak valahogy összességében mégis rosszabb.
A kérdés tehát az, hogy ha a német halálozási mutatók minden egyes korcsoportban jobbak a török mutatóknál, hogyan fordulhat elő, hogy a teljes lakosság halálozási aránya mégis jóval magasabb Németországban?
Nos ennek a tisztázására való a standardizálás módszere.
Németország (0)
Törökország (1)
ÉLETKOR
NÉPESSÉG
(%)
HALÁLOZÁSI
ARÁNYSZÁM
(‰)
NÉPESSÉG
(%)
HALÁLOZÁSI
ARÁNYSZÁM
(‰)
0-14
13,5
1,5
26,9
2,5
15-34
25
2
45
3,5
35-64
41,5
3
21,9
4
65-
20
45
6,2
50
összesen
100
10,9
100
6,2
A népességi adatokat összehasonlítva látszik, hogy a német lakosság túlnyomó része öreg, márpedig az ember halandó, tehát legyenek bármilyen jók a kórházak, vagy az életkörülmények, a 65 éven felüliek halálozási aránya bizony nagy, és ha egy adott országban sok a 65 év feletti, akkor az az egész ország halálozási mutatóját lerontja.
Ennek a számszerűsítésére vezetjük be a standardizálás módszerét. Az eljárás lényege, hogy a teljes népességre vonatkozó halálozási adatokat három szinten hasonlítjuk össze.
Az első szint a tényleges adatok összehasonlítása.
=10,9–6,2=4,7
A németek mi tűrés tagadás 4,7-el halandóbbak a törököknél, ezek a könyörtelen tények. A további vizsgálat ennek a magyarázatáról szól.
A második szint lényege, hogy a halálozási adatok összehasonlításánál kiválasztjuk valamelyik ország népességbeli összetételét és mindkét ország halálozási adatait ezzel az összetétellel számoljuk. Ezt az összetételt tekintjük standardnek. Legyen most a standard Németország, de lehetne a standard Törökország is, ha a feladatban erre nincs határozott utalás ezt mi döntjük el, pl. dobjunk föl egy érmét
Most tehát a németeket vesszük standardnek. Ekkor a német halálozás kiszámolásánál a német korcsoportonkénti halálozási adatokat a német népesség összetételével súlyozzuk ez pont a valós értéket adja:
német halál német darab
A török halálozás kiszámolásánál pedig a török korcsoportonkénti halálozási adatokat szintén a német népesség összetételével súlyozzuk:
török halál német darab
A török halálozási adatokra kapott új eredmény úgy értendő, hogy ha Törökországban ugyanolyan volna a lakosság összetétele, mint Németországban, akkor a jelenlegi életkörülményeik 12,87 ezrelékes halálozási arányt eredményeznének, ami már határozottan rosszabb, mint a német. Az így kapott különbséget nevezzük részhatás-különbségnek és -vel jelöljük.
A részhatás-különbség azt mutatja meg, hogy azonos összetétel mellett mekkorák a részhatásokból – most a két ország halálozási adatai – adódó különbségek.
A harmadik szint kiszámolásánál pont fordítva, nem a részhatások, hanem az úgynevezett összetételhatások különbségét vizsgáljuk. Ezúttal a halálozási arányt vesszük standardnek, méghozzá a másik ország, vagyis Törökország korcsoportonkénti halálozási arányát, és így számoljuk ki mindkét ország teljes népességre vonatkozó halálozási mutatóját.
A németeknél tehát a német lakossági adatokat súlyozzuk a török halálozási adatokkal:
török halál német darab
A törököknél pedig a török lakossági adatokat súlyozzuk szintén a török halálozási adatokkal, ami pont a valós értéket adja
török halál török darab
Az összetételhatás-különbség tehát
A kapott eredmény azt mondja meg, hogy ha mindkét országban ugyanolyan volna részhatás, vagyis a kórházak állapota, életkörülmények meg ilyenek, akkor a német halandóság 6,67-el nagyobb volna, mint a török.
Mindezeket összefoglalva a következőket állapíthatjuk meg.
A standardizálás során kapott három érték:
A három értékre, -ra -re és -re a kiszámolási módjukból adódóan a
összefüggés áll fenn, ami arra jó, hogy nem kell mindegyiket kiszámolni. Bármelyik kettőből már megvan a harmadik.
A három érték szemléletes jelentése a következő:
Ami azt jelenti, hogy a németek 1000 emberből 4,7-el halandóbbak a törököknél.
Ez azt jelenti, hogy ha a német lakossági összetételt vesszük standardnek, vagyis ha a németek átköltöznek Törökországba, az ott tapasztalt kórházi körülmények következtében 1,97-el válnak halandóbbá, mint odahaza.
Ez pedig azt jelenti, hogy a török részhatást vesszük standardnek, vagyis ha mindkét országban a török licensz alapján működne az egészségügy, akkor ennek hatására a németek ezer emberből 6,67-el mutatkoznának halandóbbnak, török társaiknál.
Jegyezzük meg, hogy -nél mindig a másikat kell standardnek venni, mint -nél, méghozzá minden szempontból, vagyis a másik országot és a másik hatást.
-nél a lakosság összetétele(összetételhatás) a standard és a németeké
-nél a lakosság halálozása(részhatás) a standard és a törököké
Most kicsit formalizáljuk a standardizálás módszerét, hogy ezzel megkönnyítsük más, hasonló problémákra való átültetését. A táblázatunk ugyanaz, de a népesség összetételét nem százalékban, hanem darabban adjuk meg, a halálozási arányszámot pedig nem ezrelékben, hanem meghaltak/népesség formában.
Az egyes korcsoportokban elhalálozottak számát jelöljük a két országban
-al illetve -el a az egyes korcsoportok népességét pedig -al illetve -el.
A korcsoportonkénti halálozási arányok ezek hányadosa, meghaltak/népesség.
Ezeket az arányokat részátlagoknak nevezzük:
illetve
A teljes népességre vonatkozó halálozási arányt úgy kapjuk, ha összeadjuk hányan haláloztak el az egyes korcsoportokban és ezt elosztjuk a teljes népességgel. Ezeket az arányokat főátlagoknak nevezzük:
illetve
Németország
Törökország
ÉLETKOR
HALÁLOZÁS
A0
NÉPESSÉG
B0
HALÁLOZÁSI
ARÁNYSZÁM
V0=A0/B0
HALÁLOZÁS
A1
NÉPESSÉG
B1
HALÁLOZÁSI
ARÁNYSZÁM
V1=A1/B1
0-4
0,016605
11,07
0,0015
0,0525
21
0,0025
5-29
0,041
20,5
0,002
0,1225
35
0,0035
30-59
0,10209
34,03
0,003
0,068
17
0,004
60-
0,738
16,4
0,045
0,24
4,8
0,05
összesen
0,897695
82
0,0109
0,43575
77,8
0,0062
[Szövegdoboz: Ez a német korcsoportonkénti halálozás(V0) a német népesség összetételével(B0) súlyozva. Vagyis a tényleges német halálozási arány]
[Szövegdoboz: A török korcsoportonkénti halálozás(V1) de a német lakossági összetétellel(B0) súlyozva.] [Szövegdoboz: Ez a török korcsoportonkénti halálozás(V1) de szintén a német népesség összetételével(B0) súlyozva.] [Szövegdoboz: Az első szint az úgynevezett főátlagok összehasonlítása: A főátlagok különbsége alapján a német lakosság halálozási aránya 0,0047-el magasabb a töröknél. A második szint a részhatás különbség kiszámolása. (ilyenkor az összetételhatást vesszük standardnek) A részhatások 0,00197-el javítják a német halálozási adatokat. A harmadik szint az összetételhatás különbség kiszámolása. (ilyenkor a részhatást vesszük standardnek és mindig a másik „országét” mint K’-nél, de ha K és K’ már megvan, egyszerűbb a K=K’+K” alapján számolni.) Az összetételhatások 0,00658-al rontják a német halálozási adatokat.]
[Szövegdoboz: A török korcsoportonkénti halálozás(V1) a török lakossági összetétellel(B1) súlyozva, ami éppen a tényleges török halálozási arány.]
Az eredményeket összefoglalva, a német halálozási arány -el rosszabb a töröknél. A kedvezőtlen népesség összetételi hatások következtében ez az eltérés még nagyobb lenne, de a jó részhatások, vagyis a kedvező német korcsoportonkénti halálozási adatok ezt -el csökkentik.
Az összehasonlítást fordítva is elvégezhetjük, amikor a török halálozási adatokhoz hasonlítjuk a német adatokat. Ekkor
Most a török lakossági összetétellel súlyozzuk mindkét ország halálozási adatait (a török a standard)
Itt viszont a német halálozási adatokkal számolunk (német standard)
A török halálozási adatok tehát 0,0047-el jobbak a németnél, amit 0,0015-el ugyan rontanak a kedvezőtlen török részhatások, vagyis a korcsoportonkénti halálozási adatok, de 0,0062-vel javít rajta a török lakossági összetétel.
A különbségfelbontás
EGYIK IZÉ
MÁSIK IZÉ
ÖSSZ:
FŐÁTLAGOK KÜLÖNBSÉGE
RÉSZHATÁS KÜLÖNBSÉG
(részhatás=V ilyenkor az összetételhatás=B a standard)
ÖSSZETÉTELHATÁS KÜLÖNBSÉG
(összetételhatás=B ilyenkor a részhatás=V a standard, de mindig a másik, ha az előbb volt akkor most ha pedig volt, most )
Hányadosfelbontás
A standardizálást nem csak területi, hanem időbeni összehasonlításra is alkalmazzuk. Az alábbi táblázat egy elektronikai cég DVD-lejátszókat gyártó üzemeinek termelési adatait tartalmazza.
Termelés
helye
2012
2013
A termelés
összköltsége
(USD, millió)
Előállított
darabszám
(millió)
Egy
termékre
eső költség
(USD)
A termelés
összköltsége
(USD, millió)
Előállított
darabszám
(millió)
Egy
termékre
eső költség
(USD)
Ausztria
68
1
68
56
0,8
70
India
273
6,5
42
423
9,4
45
Kanada
286
4,4
65
204
3
68
Malajzia
285
7,5
38
496
12,4
40
Total
912
19,4
47,01
1 179
25,6
46,05
A táblázat érdekessége, hogy akárcsak a német vs. török esetben, most is van egy látszólagos ellentmondás az adatokban. Az egy termékre eső termelési költség ugyanis egy év alatt minden egyes termelési helyen nőtt, összességében viszont mégis csökkent. A lényeg megértéséhez nem kell persze standardizálás, egyszerűen arról van szó, hogy mindenhol drágult ugyan a termelés, de az olcsóbb helyeken többet kezdtek el gyártani, ami a teljes termelés költségét csökkentette.
Most időben bekövetkezett változás elemzéséről van szó, ezért itt nem különbségeket, hanem hányadosokat képzünk. Minden ugyanúgy megy tehát, mint az előző módszer esetében, csak nem kivonunk, hanem osztunk. Valahogy így:
Területi összehasonlítás
Időbeli összehasonlítás
Termelés
helye
2012
2013
A termelés
összköltsége
(USD, millió)
Előállított
darabszám
(millió)
Egy
termékre
eső költség
(USD)
A termelés
összköltsége
(USD, millió)
Előállított
darabszám
(millió)
Egy
termékre
eső költség
(USD)
Ausztria
68
1
68
56
0,8
70
India
273
6,5
42
423
9,4
45
Kanada
286
4,4
65
204
3
68
Malajzia
285
7,5
38
496
12,4
40
Total
912
19,4
47,01
1 179
25,6
46,05
[Szövegdoboz: Ez egy termék átlagos költsége 2013-ban, vagyis éppen a valós adat:] [Szövegdoboz: Az első szint az úgynevezett főátlagok összehasonlítása: A főátlagok hányadosa alapján a termelés átlagos költsége 2012-ről 2013-ra 0,979-szeresre változott, vagyis 2,1%-al csökkent. A második szint a részhatás hányados kiszámolása. (ilyenkor az összetételhatást vesszük standardnek és mindig a tárgyidőszakét) A részhatások, vagyis a termelési költségek változása alapján a termelés 2012-ről 2013-ra 1,057-szeresre drágult. Ez 5,7%-os drágulást jelent. Ha megnézzük a táblázatot, valóban minden egyes helyen drágább lett a gyártás. A harmadik szint az összetételhatás hányados kiszámolása. (ilyenkor a részhatást vesszük standardnek és mindig a bázisidőszakit, de ha I és I’ már megvan, akkor egyszerűbb az I=I’•I” alapján számolni.) Az összetételhatások alapján, vagyis, hogy a drága Kanadából az olcsó Malajziába települ át a termelés a gyártás költsége 0,926 szorosára változik 2012-ről 2013-ra. Tehát 7,4%-al csökken.]
[Szövegdoboz: A 2012-es termelési költségek (V0), a 2013-ban előállított darabszámokkal (B1) súlyozva: Ilyen olcsó lett volna egy termék gyártása 2012-ben, ha már akkor az olcsó malájokkal dolgoztatnak]
[Szövegdoboz: A 2012-ben előállított darabszámok (B0) szintén a 2012-es termelési költségekkel, ami ugye éppen a valós adat:] [Szövegdoboz: A 2013-ban előállított darab (B1), de a 2012-es termelési költségekkel:]
A kapott eredményeket összefoglalva megállapítható, hogy egy termék gyártási költsége 2012-ről 2013-ra 2,1%-al csökkent. A csökkenés két hatás alapján következett be. Egyrészt a melósok már megint béremelést követeltek, meg a nyersanyag is drágult, ami miatt a darabonkénti előállítási költség 5,7%-al emelkedett (ez az I’ vagyis a részhatás index) másrészt a leleményes cégvezetés a termelés jelentős részét szervezte át a drága elkényelmesedett nyugatiaktól a szorgos kizsigerelhető keletiekhez, ami jelentős 7,4%-os költségcsökkenést eredményezett (ez az I” vagyis az összetételhatás index).
A hányadosfelbontás
EGYIK ÉV
MÁSIK ÉV
ÖSSZ:
FŐÁTLAG INDEX
RÉSZHATÁS INDEX
(részhatás=V ilyenkor az összetételhatás=B a standard és általában )
ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX
(összetételhatás=B ilyenkor a részhatás=V a standard, de mindig a másik, ezért )
4.1. Egy gyár dolgozóinak bérei a következőképpen alakultak 2010-ben és 2011-ben. Vizsgáljuk meg az átlagos bérváltozást standardizálással.
Gyár
dolgozói
Dolgozók
átlagbére
(EUR)
Létszám
összetétele
2010
2011
2010
2011
vezetők
5000
5200
4
0,75%
szellemi
2000
2300
36
8%
fizikai
1100
1250
350
91,25%
Össz.
Az első észrevétel, hogy a létszám az egyik oszlopban darabban, a másikban meg százalékban van megadva. Nos ez nem jelent problémát. Gondoljunk arra, hogy leépítés volt a cégnél, és a 4 vezetőből megtartották az egyiknek a fejét és a testét, de a lábait már nem, így most 0,75-en vannak. A szellemi dolgozók 8-an, a melósok meg 91,25-en, mert Bélának a másik kezét és lábát is levágta az eszterga. És tessék, így már a 2011-es adatok is darabban értendők.
Érdemes megjegyezni, hogy az összetétel teljesen mindegy, hogy darabban vagy százalékban van megadva, olyannyira, hogy még akár az is lehet, hogy az egyik így, a másik úgy, ez semmilyen zavart nem fog okozni.
Az átlagos bér 2010-ben
Az átlagos bér 2011-ben
A főátlag index
Az átlagos bérnövekedés egy év alatt 11,5%-os volt.
A részhatás index (az 2011-es év létszám összetételét standardnek véve)
ami 13,5%-ot jelent
Az összetételhatás index pedig (ahol a 2010-es bérek a standard)
ami -1,8%-ot jelent
A gyár átlagos bérnövekedése egy év leforgása alatt 11,5% volt. A bérek emeléséből összesen 13,5%-os emelkedés adódott (ez a részhatás index), amit azonban 1,8%-al csökkentett a dolgozói létszám összetételének megváltozása (ez pedig az összetételhatás index)
4.2. Egy cég dolgozóinak a fizetését tartalmazza az alábbi táblázat. Hasonlítsuk össze a férfi és női dolgozók átlagbérének különbségét standardizálással.
Termelés
helye
férfiak
nők
Alkalmazottak
száma
Egy főre jutó
átlagkereset
(USD)
Kifizetett teljes
bérköltség
Egy főre jutó
átlagkereset
(USD)
vezetők
10
5 200
15 000
5 000
középvezetők
50
4 000
24 500
3 500
beosztottak
350
1 200
748 000
1 100
személyzet
25
750
36 000
750
Total
435
823 500
Első lépésként próbáljuk meg egységessé tenni a táblázatot. A nőknél ugyanis az átlagkereset mellett nem az alkalmazottak száma, hanem az összes kifizetett bér látható. Ha pl ez 15.000 és az egy főre jutó átlagkereset 5000, akkor az alkalmazottak száma 15.000/5000=3 db. Hasonlóan fondorlatosan a többit is kiszámoljuk:
Termelés
helye
férfiak
nők
Alkalmazottak
száma
Egy főre jutó
átlagkereset
(USD)
Kifizetett teljes
bérköltség
Alkalmazottak
száma
Egy főre jutó
átlagkereset
(USD)
vezetők
10
5 200
15 000
3
5 000
középvezetők
50
4 000
24 500
7
3 500
beosztottak
350
1 200
748 000
680
1 100
személyzet
25
750
36 000
48
750
Total
435
823 500
738
Végül a férfi és női átlagbéreket is kiszámoljuk. Ezek az úgynevezett főátlagok, amiket úgy kapunk, hogy a cég által a férfiaknak összesen kifizetett bért osztjuk a férfiak számával, aztán ugyanezt megcsináljuk a nőknél is.
Termelés
helye
férfiak
nők
Alkalmazottak
száma
B1
Egy főre jutó
átlagkereset
(USD)
V1
Kifizetett teljes
Bérköltség
A2
Alkalmazottak
Száma
B2
Egy főre jutó
átlagkereset
(USD)
V2=A2/B2
vezetők
10
5 200
15 000
3
5 000
középvezetők
50
4 000
24 500
7
3 500
beosztottak
350
1 200
748 000
680
1 100
személyzet
25
750
36 000
48
750
Total
435
1587,93
823 500
738
1115,85
[Szövegdoboz: A férfi átlagbér=teljes bérköltség a férfiaknál/435 A női átlagbér pedig a teljes női bérköltség osztva a nők számával: A főátlagok különbsége A férfiak átlagosan 472,08 USD-al többet keresnek a nőknél. A részhatás különbség (a férfiak létszámösszetételét standardnek véve) Az összetételhatás különbség pedig (nők keresetét standardnek véve) Ez utóbbi persze a K=K’+K” miatt egyszerűbben is kijön! Megállapítható tehát, hogy a férfiak 472 USD-al többet keresnek, mint a nők. Ez a különbség két tényezővel magyarázható, egyrészt a nők ugyanabban a beosztásban is eleve kisebb bért kapnak. Ez a részhatás különbség 142,52 USD-al növeli a férfiak átlagbérét. Másrészt munkakörök összetétele olyan, hogy magasabb beosztásban – és fizetéssel – több férfi, míg alacsonyabb beosztásban – nem kevésbé alacsonyabb fizetéssel – több nő dolgozik. Ez az összetételhatás különbség 329,55 USD a férfiak javára.]
4.3. Az egyik egyetem két büféjében húsz napon át figyelték a vásárlások értékét.
I. büfé
II. büfé
vásárló
Vásárlók
Száma (fő)
Átlagos
Vásárlás (EUR/fő)
Vásárlók
Száma (fő)
Átlagos
Vásárlás (EUR/fő)
Hallgató
1200
2
1600
1,8
Oktató
400
2,5
600
2,2
Egyéb
400
3
800
2,7
Össz.
2000
3000
Hasonlítsuk össze a két büfében a vásárlások átlagos költségét és az erre ható tényezőket!
[Szövegdoboz: I. büfé II. büfé vásárló Vásárlók Száma (fő) Átlagos Vásárlás (EUR/fő) Vásárlók Száma (fő) Átlagos Vásárlás (EUR/fő) Hallgató 1200 2 1600 1,8 Oktató 400 2,5 600 2,2 Egyéb 400 3 800 2,7 Össz. 2000 2,3 3000 2,12 Az I. büfében a vásárlás átlagos költsége 2,3 a II. büfében pedig 2,12 EUR. A főátlagok különbsége Az I. büfében átlagosan 0,18 EUR-val többet költenek, mint a II-ban. A részhatás különbség (az I büfé vásárlói összetételét standardnek véve) Az összetételhatás különbség pedig Megállapítható tehát, hogy az I. büfében átlagosan 0,18 EUR-val többet költenek, mint a II.-ban. Pusztán a vásárlások értéke alapján ez a különbség még nagyobb, 0,24 EUR volna, ám a vásárlók összetétele miatt ez 0,06 EUR-val mérséklődik. A II. büfében ugyanis jóval nagyobb a harmadik kategóriás legnagyobb értékben vásárlók aránya. (az I. büfében 400/2000 vagyis 20%, míg a II.-ban 800/3000 ami 27%)]
[Szövegdoboz: 4.4 Két borgazdaság termelési adatait tartalmazza a következő táblázat. Elemezze a szőlők termésátlagának különbségét standardizálással! Szőlőfajta Termőterület (ha) Termésátlagok Különbsége II.-I. (kg/ha) I. II. furmint 250 600 1000 hárslevelű 100 250 600 oremus 150 150 400 összesen 500 1000 800 A főátlagok különbsége A II. termőterületen átlagosan hektáronként 800kg-al több szőlő terem. A részhatás különbség (a II. termőterület összetételét standardnek véve) Az összetételhatás különbség pedig]
4.5. Egy üzem dolgozóinak bérei a következőképpen alakultak 2010-ben és 2011-ben. Vizsgáljuk meg az átlagos bérváltozást standardizálással.
Üzem
dolgozói
Bérek
összetétele
(EUR)
Létszám
összetétele
2010
Havonta kifizetett
összes bér
2011
Átlag
bér
2010
2011
vezetők
50 000
5200
10
5%
szellemi
20 000
2300
10
8%
fizikai
880 000
1250
800
89%
Össz.
950 000
1000
Először a 2010-es béradatokat átalakítjuk. A kifizetett összes bért elosztva a létszámokkal megkapjuk az egyes beosztásokhoz tartozó átlagos béreket.
Üzem
dolgozói
Bérek
összetétele
(EUR)
Létszám
összetétele
2010
Havonta kifizetett
összes bér
2010
Átlag
bér
2011
Átlag
bér
2010
2011
vezetők
450 000
5000
5200
90
5%
szellemi
220 000
2000
2300
110
8%
fizikai
880 000
1100
1250
800
87%
Össz.
1 550 000
1550
1000
Ezek után már a szokásos történet, még egy apróság, hogy a létszám 2010-ben darabban 2011-ben meg százalékban van megadva, de ez nem jelent problémát.
Érdemes megjegyezni, hogy az összetétel teljesen mindegy, hogy darabban vagy százalékban van megadva, olyannyira, hogy még akár az is lehet, hogy az egyik így, a másik úgy, ez semmilyen zavart nem fog okozni.
de ezt már eddig is tudtuk, szóval csak unaloműzésképpen számoltuk ki.
Az átlagos bér 2010-ben 1550 EUR 2011-ben pedig 1531,5 EUR
A főátlag index
Átlagosan tehát -1,2%-al csökkentek a bérek. Mivel minden beosztásban volt béremelés, ez az átlagos bércsökkenés majd az összetétel megváltozásával lesz magyarázható.
A részhatás index (az 2011-es év összetételét standardnek véve)
ami 12%-os béremelkedés
Az összetételhatás index pedig (ahol a 2010-es árak a standard)
ami 12%-os bércsökkenés
Az egy év leforgása alatt bekövetkező 1,2%-os átlagos bércsökkenés két összetevővel magyarázható. Egyrészt a minden beosztást érintő béremelés átlagosan 12%-os bérnövekedést okozott, de a létszám összetételének megváltozása (például a vezetők számának jelentős csökkenése) 12%-os bércsökkenést is eredményezett. A két hatás együttesen érte el az 1,2%-os átlagbér-csökkenést.
4.6. Egy biztosító biztosítási káreseteire vonatkozó adatait tartalmazza az alábbi táblázat 2011-ben illetve a bázis évnek választott 2001-ben. Állapítsuk meg, hogyan változott meg a kifizetések átlagos összege és milyen hatások következtében.
Üzletágak
A kifizetett teljes
összeg megoszlása
2011-ben
Egy biztosítási káresetre
fizetett átlagos összeg (EUR)
2001
2011
Élet- baleset-
betegbiztosítás
30%
800
1000
Lakásbiztosítás
(lakossági)
50%
1200
2000
Ipari ingatlanok
és eszközök
20%
100 000
160 000
Össz.
100%
1100
Azonosítsuk be a szereplőket. Van egyszer egy teljes kifizetés a bázisévben, ez alighanem A1. Aztán a másik két oszlop V0 és V1. Ezeket hasznosíthatjuk a következő módon:
tehát
Ekkor a táblázat
Üzletágak
A kifizetett teljes
összeg megoszlása
2011-ben
Egy biztosítási káresetre
fizetett átlagos összeg (EUR)
2001
2011
Élet- baleset-
betegbiztosítás
30%
800
1000
1,25
Lakásbiztosítás
(lakossági)
50%
1200
2000
1,67
Ipari ingatlanok
és eszközök
20%
100 000
160 000
1,6
Össz.
100%
1100
Számoljuk ki -et, rá alighanem szükség lesz.
Sajnálatosan azonban -eket nem ismerjük.
Vannak viszont remek -ek, akik tökéletesen megfelelnek a célnak, csak nem számtani, hanem harmonikus átlagot számolunk.
A főátlag index tehát
FŐÁTLAG INDEX
RÉSZHATÁS INDEX
ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX
Számoljunk egy részhatás indexet.
Végül egy összetételhatás indexet:
tehát
Amiből
A kifizetések átlagosan 65%-al emelkedtek 2001-ről 2011-re.
Ez az emelkedés 50%-ban a kifizetett összeg megemelkedésével és 9,7 vagyis durván 10%-ban a káresetek arányának megváltozásával magyarázható.
[Szövegdoboz: 4.7. Egy gyorsétterem forgalmi adatai a 2010-es és a 2009-es évben az alábbiak voltak: Egy vásárlóra által fizetett összeg A forgalom megoszlása 2010-ben 2010 2009 Házhozszállítás 2500 2400 10 000 Helybeni fogyasztás 1800 1500 6000 összesen 2200 2000 16 000 A főátlagok hányadosa 2010-ben 1,1-szeresére vagyis 10%-al nőtt az egy vásárló által átlagosan kifizetett összeg A részhatás index tehát 8,2% Az összetételhatás index pedig tehát 1,8% A vásárlók tehát átlagosan 10%-al költenek többet, amiből 8,2%-ot tesz ki az árak megváltozása és 1,2%-ot pedig a forgalom megoszlásának megváltozása]
4.8. A következő táblázat egy alpesi városka szállodaárait tartalmazza. Hasonlítsuk össze az átlagos árszint változását standardizálással.
2010
2011
Szálloda
típus
Vendégéjszakák
száma (ezer db)
Ár
(EUR/fő)
Vendégéjszakák
száma (ezer db)
Ár
(EUR/fő)
***
1200
50
1600
52
****
400
70
600
70
*****
400
80
800
84
Össz.
2000
3000
Az átlagos szállodaár 2010-ben 60 EUR 2011-ben pedig 64,1 EUR
A főátlag index
Az átlagos áremelkedés egy év alatt viszonylag magas, 6,8%-os volt.
A részhatás index (az 2011-es év összetételét standardnek véve)
Az összetételhatás index pedig (ahol a 2010-es árak a standard)
Az egy év leforgása alatt bekövetkező 6,8%-os átlagos áremelkedésből 24% a részhatásoknak és -14% az összetételhatásoknak tudható be. Vagyis az árak emeléséből adódóan 24%-os árbevétel növekedés keletkezett, de a vendégösszetétel megváltozása miatt (50%-al nőtt a négycsillagos szállók forgalma, ahol nem történt áremelés) 14%-os csökkenés következett be. Ennek a két hatásnak az eredménye a 6,8%-os átlagos áremelkedés.
4.9. Egy kft háromféle termék előállításával foglalkozik. A termelésre vonatkozó adatok az alábbiak:
Termékek
Összes termelési
költség megoszlása
2011-ben (%)
Önköltség (ezer forint/db)
2010-ben
Változás 2010-ről
2011-re (ezer forintban)
A
10
+1
B
30
20
-2
C
50
25
+5
összesen
22
+2
Elemezzük a termékcsoport átlagos önköltségének változását és az arra ható tényezőket.
Az összes termelési költség megoszlása 2011-ben alighanem és tökmindegy, hogy százalékban vagy dollárban van megadva. Mivel a termelési költség összesen 100%, az A termék költsége 20%.
Az önköltség egy darab termék előállítási költségét jelenti, ez lesz 2010-ben
és 2011-ben pedig . Ezek hányadosa külön-külön termékenként a , az összesen rovatban pedig a , de nem az, aki sütit süt, hanem a főátlagindex.
Termékek
Összes termelési
költség megoszlása
2011-ben (%)
Önköltség (ezer forint/db)
2010-ben
2011-ben
A
20
10
11
1,1
B
30
20
18
0,9
C
50
25
30
1,2
összesen
100
22
24
1,09
Az átlagos önköltség 9%-al emelkedett 2010-ről 2011-re.
Számoljunk ki egy -t vagy egy -t. Lássuk melyikhez vannak adatok. Van egyszer meg aztán van is, tehát
Végül alapján 1,015
A termelés önköltsége átlagosan tehát 9%-al drágult. Ebből 7,3%-os drágulás az egyes termékek előállításának drágulása miatt következett be (részhatás index), míg 1,5%-os drágulás pedig a termelés összetételének a megváltozása miatt (összetételhatás index).
4.10. Egy terméket két üzemben állítanak elő
üzemek
Termelési költség
Termelés
2010-ben
(db)
önköltség
2010-ben
(ezer forint)
Változás
2010=100%
2011-ben
Forint/db
Változás
2010=100%
A-üzem
36 700
124%
800
47 710
104
B-üzem
42 720
87%
960
48 950
110
összesen
Elemezzük az önköltség alakulására ható tényezőket standardizálással
Kezdjük meg az azonosítást. Az első oszlop a teljes termelés költsége a két üzemben, 2010-ben, így ez . A második oszlop jelenlegi állapotában nem hasznos, de végülis miért ne számolnánk ki a 2011-es termelési költségeket:
üzemek
Termelési költség
Termelés
2010-ben
(db)
önköltség
2010-ben
(ezer forint)
2011-ben
(ezer forint)
2011-ben
Forint/db
Változás
2010=1
A-üzem
36 700
45 508
800
47,710
1,04
B-üzem
42 720
37 166
960
48,950
1,10
összesen
79 420
82 674
A következő oszlop aztán az önköltség 2011-ben , de jobban járunk, ha ezt is ezer forintban adjuk meg, végül pedig az utolsó oszlop, ha megszabadulunk a százalékoktól, akkor .
Végül alapján 1,004
A két üzemben együttesen 7%-al nőtt a termelés önköltsége. Ebből 6,6%-ot az egyes üzemek önköltségének emelkedése, 0,4%-ot pedig a termelés összetételének a megváltozása tett ki.
4.11. Egy terméket három különböző üzemben állítanak elő.
üzem
Önköltség
változása
2010=100%
Termelés
költségének
változása
2010=100%
Termelés
költsége
2010
(%)
A
107
107
24
B
105
110
32
C
106
108
44
összesen
102
100
Hogyan változott az előállított termék önköltsége 2010-ről 2011-re?
Elemezze az önköltség változására ható tényezőket.
Az önköltség , ahol A=Termelés költsége B=darab.
üzem
Önköltség
változása
2010=100%
Termelés
költségének
változása
2010=100%
Termelés
költsége
2010
(%)
Termelés
költsége
2011
A
1,07
1,07
24
25,68
B
1,05
1,10
32
35,2
C
1,06
1,08
44
47,52
összesen
1,02
100
108,4
Szükségünk lesz egy oszlopra is, ezt úgy kapjuk, hogy
Az első oszlop az önköltség változását tartalmazza termékenként, az öszesen rovata pedig éppen , tehát
A részhatás index
Az összetételhatás index pedig ekkor alapján
A termelés önköltsége tehát 2010-ről 2011-re 2%-al emelkedett. A termelés költségeinek növekedése 5,9%-os önköltség növekedést eredményezett volna, de az üzemek részarányának változása (a drágább üzemben kevesebbet gyártanak) 3,7%-os önköltség csökkenést okozott.
4.12. Egy városban a síelési szezon három időszakból, előszezonból, főszezonból és utószezonból áll. Elemezzük az egy vendég által átlagosan eltöltött vendégéjszakák számának változását 2010-es szezonról a 2011-es szezonra standardizálással.
szezonok
Vendégéjszakák
számának megoszlása
2011-es szezonban
Egy vendég által átlagosan eltöltött
éjszakák száma
2010-es szezon
2011-es szezon
Főszezon
60%
5
5,1
Előszezon
15%
4,4
4
Utószezon
25%
3,2
3,6
Össz.
100%
4,3
Próbáljuk meg beazonosítani a szereplőket.
A vendégek által átlagosan eltöltött éjszakák száma V0 és V1.
Ha az egy vendég által eltöltött éjszakák számát beszorozzuk a vendégek számával, megkapjuk a vendégéjszakák összes számát. Ezt tartalmazza az első oszlop, igaz nem darabban, hanem százalékban a 2011-es szezonra.
Végül a V0 és V1 oszlopokat hasznosítjuk a következő módon:
tehát
Ekkor a táblázat
szezonok
Vendégéjszakák
Számának megoszlása
2011-es szezonban
Egy vendég által átlagosan eltöltött éjszakák száma
2010-es szezon
2011-es szezon
Főszezon
60%
5
5,1
1,02
Előszezon
15%
4,4
4
0,91
Utószezon
25%
3,2
3,6
1,125
Össz.
100%
4,3
Számoljuk ki -et, rá alighanem szükség lesz.
Sajnálatos módon azonban -eket nem ismerjük.
Vannak viszont helyette remek -ek, akik szintén hasznosíthatóak, csak nem számtani átlagot, hanem harmonikus átlagot kell számolni.
A főátlag index tehát
FŐÁTLAG INDEX
RÉSZHATÁS INDEX
ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX
Ez 3,5%-os növekedés.
Lássuk csak, mit tudnánk ezek után
számolni? és sajnálatos hiánya
miatt csak részhatás indexet tudunk
számolni, mégpedig így:
Ez 2,5%-os növekedés.
Végül számoljunk egy
összetételhatás indexet:
tehát
Amiből vagyis 1%-os növekedés.
A vendégek által eltöltött éjszakák száma tehát 3,5%-al növekedett a 2010-es szezonról a 2011-es szezonra. Ebből 2,5% tulajdonítható annak, hogy a vendégek hosszabb ideig maradnak, 1% pedig annak, hogy nagyobb lett a részaránya a hosszabb ott tartózkodást jelentő szezonoknak.
4.13. Egy légitársaság forgalmi adatait tartalmazza a következő táblázat. Elemezzük az egy járatra eső átlagos utas-szám változást 2011-ről 2012.re.
Desztináció
Utasforgalom
összesen
2012 (%)
Összes utas-forgalom változás 2011=100%
Járatok számának változása 2011=100%
Belföldi
24%
+7%
+5%
Külföldi
76%
+4%
-2%
Össz.
100%
+5%
+1%
Lássuk csak, ki kicsoda.
Az egy járatra eső átlagos utas-szám úgy jön ki, hogy összes utasforgalom osztva a járatok számával. Tehát összes utasforgalom=A és járatok száma=B.
Desztináció
Utasforgalom
összesen
2012 (%)
Összes utas-forgalom változás 2011=100%
Járatok számának változása 2011=100%
Belföldi
24%
+7%
+5%
Külföldi
76%
+4%
-2%
Össz.
100%
+5%
+1%
Az első oszlopban maradhatnak a százalékok, de a másik két oszlopban egyik évről másik évre történő változás szerepel, amit tizedes törtben kell megadnunk.
+7%=1,07 a többiek ugyanígy jönnek ki.
Most pedig lássuk a képleteket.
FŐÁTLAG INDEX
RÉSZHATÁS INDEX
ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX
Rendkívül sajnálatos, hogy egyik képlet
sem tartalmaz olyanokat, hogy
vagy ezeket az adatokat tehát
valahogyan hasznosítani kéne.
Nos ami azt illeti, bizonyos általános iskolai
emléktöredékek alapján
Ami pedig azért jó, mert
Ha a táblázat második és harmadik oszlopát elosztjuk egymással, keletkezik tehát egy oszlop.
Desztináció
Utasforgalom
összesen
2012 (%)
Összes utas-forgalom változás 2011=100%
Járatok számának változása 2011=100%
Belföldi
24%
1,07
1,05
1,02
Külföldi
76%
1,04
0,98
1,061
Össz.
100%
1,05
1,01
1,04
Ez az újonnan keletkezett oszlop rendkívül hasznos. Először is az összesen sorban található 1,04 az összes , tehát éppen a főátlagindex:
vagyis 4%.
Aztán meg ugye itt van ez a képlet:
Ez 5%-os növekedés.
Végül számoljunk egy összetételhatás indexet:
tehát
Amiből vagyis 1%-os csökkenés.
Az egy járatra eső utas-szám tehát 2011-ről 2012-re 4%-al nőtt. Ebből 5% tulajdonítható annak, hogy az átlagos utas-szám járatonként emelkedett, ugyanakkor a külföldi és belföldi járatok részarányának változása miatt 1%-al csökkent (kisebb lett a zsúfoltabb járatok részaránya).
4.14. Az egyik egyetem három campusán az egy tanárra jutó tanulók számát vizsgálták.
campus
Egy tanárra jutó
tanulók száma
2013
Tanárok megoszlása
2014
Egy tanárra jutó
tanulók számának változása
2013=100%
A
25
12%
94 %
B
24
25%
86 %
C
27
63%
96 %
Az egy tanárra jutó tanulók száma a három campuson együttesen 7%-al csökkent.
Elemezzük az egy tanárra jutó tanulók számának változására ható tényezőket.
Azonosítsuk be a szereplőket. Az egy tanárra jutó tanulók számát úgy kapjuk, hogy tanuló/tanár.
Ekkor a táblázat első oszlopa éppen V, méghozzá a második oszlop tanár, tehát B és éppenséggel az utolsó oszlop pedig
campus
Egy tanárra jutó
tanulók száma
2013
Tanárok megoszlása
2014
Egy tanárra jutó
tanulók számának változása
2013=100%
A
25
12%
94 %
B
24
25%
86 %
C
27
63%
96 %
Az egy tanárra jutó tanulók száma együttesen 10%-al csökkent, nos ez éppen
Most pedig lássuk a képleteket.
FŐÁTLAG INDEX
RÉSZHATÁS INDEX
ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX
Egy picit alakítgatunk itt.
így hát
Meg is vagyunk:
Ez 6,5%-os csökkenést jelent.
Végül számoljunk egy összetételhatás indexet:
tehát
Amiből ez további 4%-os csökkenés.
Az egy tanárra eső tanulók száma tehát 2013-ról 2014-re 7%-al csökkent. Ebből 6,5% tulajdonítható annak, hogy az egy tanárra jutó tanulók száma átlagosan mindhárom campuson csökkent és további 4%-os csökkenést okozott a campusok részarányainak megváltozása. (kisebb lett a zsúfoltabb campusok részaránya).
4.15. Egy üzemben háromféle terméket állítanak elő. Elemezzük az egy termékre jutó átlagos előállítási költség változását standardizálással.
termékek
A termelés
összértékének
megoszlása
2011-ben
(EUR)
Az egyes termékek
előállítási költsége
a 2010-es százalékában
A
52%
102%
B
36%
104%
C
12%
105%
Össz.
100%
103%
Beazonosítjuk a szereplőket.
termékek
A termelés
összértékének
megoszlása
2011-ben
(EUR)
Az egyes termékek
előállítási költsége
a 2010-es százalékában
A
52%
102%
B
36%
104%
C
12%
105%
Össz.
100%
103%
Az első oszlop maradhat százalékban, de a második oszlop indexeket tartalmaz ezért azt átírjuk.
termékek
A termelés
összértékének
megoszlása
2011-ben
(EUR)
Az egyes termékek
előállítási költsége
a 2010-es százalékában
A
52%
1,02
B
36%
1,04
C
12%
1,05
Össz.
100%
1,04
Az összesen rovatban lévő index éppen a főátlagindex, vagyis I=1,04.
Lássuk csak, mit tudnánk ezek után ki számolni? és sajnálatos hiánya miatt csak részhatás indexet tudunk számolni, mégpedig így:
FŐÁTLAG INDEX
RÉSZHATÁS INDEX
ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX
Végül számoljunk egy
összetételhatás indexet:
tehát
Amiből
Az egy termékre jutó átlagos költség tehát 4%-al növekedett 2010-ről 2011-re. Ebből 3% tulajdonítható annak, hogy drágult az egyes termékek előállítási költsége, 1% pedig annak, hogy megváltozott az előállított termékek részaránya.
