- Kétváltozós függvények
- Vektorterek, független és összefüggő vektorok
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze
- Determináns, adjungált, kvadratikus alakok
- Mátrixok és vektorok
- Valszám alapok, Kombinatorika
- Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel
- Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
- Várható érték és szórás
- Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások
- Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
- Kétváltozós eloszlások
Kétváltozós eloszlások
Együttes eloszlás, peremeloszlás
$X$ és $Y$ együttes eloszlása egy táblázat, amelyben szerepel $X$ és $Y$ összes lehetséges értéke és a hozzájuk tartozó valószínűségek.
Ha a táblázat sorait összeadjuk, akkor $Y$ peremeloszlását kapjuk. Ha az oszlopokat adjuk össze, akkor $X$ peremeloszlását kapjuk.
Korreláció
A korreláció $X$ és $Y$ valószínűségi változók közötti kapcsolatot írja le.
\( COV(X,Y) = E(X\cdot Y)- E(X)E(Y) \)
\( R(X,Y) = \frac{ COV(X,Y)}{ D(X) D(Y) } \)
Peremeloszlásfüggvények
$X$ és $Y$ kétváltozós eloszlás esetén...
$X$ peremeloszlásfüggvénye:
\( F_X(x) = P(X<x) = \lim_{y \to \infty} F(x,y) \)
$Y$ peremeloszlásfüggvénye:
\( F_Y(y) = P(Y<y) = \lim_{x \to \infty} F(x,y) \)
Együttes eloszlásfüggvény
$X$ és $Y$ valószínűségi változók együttes eloszlásfüggvénye:
\( F(x,y) = P(X<x, Y<y ) = \int_{- \infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u,v) dvdu \)
Együttes sűrűségfüggvény
Az együttes eloszlás sűrűségfüggvénye:
\( f(x,y) = F' \)
ahol
\( F(x,y) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u,v) \; dvdu \)
Az együttes eloszlásfüggvény.
Perem-sűrűségfüggvények
$X$ perem-sűrűségfüggvénye:
\( f_X(x)=F'_X(x) \)
ahol
\(F_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(u) \; du \)
az $X$ perem-eloszlásfüggvénye.
$Y$ perem-sűrűségfüggvénye:
\( f_Y(y)=F'_Y(y) \)
ahol
\(F_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(v) \; dv \)
az $Y$ perem-eloszlásfüggvénye.
Peremeloszlásfüggvények
$X$ és $Y$ kétváltozós eloszlás esetén...
$X$ peremeloszlásfüggvénye:
\( F_X(x) = P(X<x) = \lim_{y \to \infty} F(x,y) \)
$Y$ peremeloszlásfüggvénye:
\( F_Y(y) = P(Y<y) = \lim_{x \to \infty} F(x,y) \)
Egy dobozban 2 zöld, 2 kék és 1 piros labda van. Kiveszünk belőle 2 labdát, és legyen
X = a kihúzott kék labdák száma
Y = a kihúzott piros labdák száma
Készítsük el X és Y együttes eloszlásának táblázatát. Adjuk meg X és Y peremeloszlását.
Egy dobozban 2 zöld, 2 kék és 1 piros labda van. Kiveszünk belőle 2 labdát, és legyen
X = a kihúzott kék labdák száma
Y = a kihúzott piros labdák száma
Adjuk meg az X és Y közötti korrelációt.
Egy dobozban 2 zöld, 2 kék és 1 piros labda van. Kiveszünk belőle 2 labdát, és legyen
X = a kihúzott kék labdák száma
Y = a kihúzott piros labdák száma
Adjuk meg X és Y peremeloszlás függvényeit, valamint az együttes eloszlásfüggvényt.
Itt egy együttes eloszlástáblázat a peremeloszlásokkal.
| Y/X | X=0 | X=1 | X=2 | \(P_Y \) |
| Y=0 | 0,1 | 0,4 | 0,1 | 0,6 |
| Y=1 | 0,2 | 0,2 | 0 | 0,4 |
| \( P_X \) | 0,3 | 0,6 | 0,1 | 1 |
a) \( P(X=1, Y=1) = \; ? \)
b) \( P(X>1, Y=0) = \; ? \)
c) \( P(X=2 | Y=0) = \; ? \)
d) \( P(X<2 | Y=0) = \; ? \)
e) \( P(Y=1 | X>0) = \; ? \)
f) \( E(X | Y=0) = \; ? \)
Adott az alábbi együttes sűrűségfüggvény.
\( f(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{2}, &\text{ha } 0<x<2 &\text{és}& 0<y<1 \\ 0, &\text{különben} \end{cases} \)
Adjuk meg a perem-sűrűségfüggvényeket, és az együttes eloszlásfüggvényt.
Adott az alábbi együttes eloszlásfüggvény.
\( F(x,y)= \begin{cases} e^{-x-y}-e^{-x}-e^{-y}+1, &\text{ha } 0<x &\text{és}& 0<y \\ 0, &\text{különben} \end{cases} \)
Adjuk meg a perem-eloszlásfüggvényeket, perem-sűrűségfüggvényeket.
Adott az alábbi együttes sűrűségfüggvény.
\( f(x,y)= \begin{cases} A \left( x^4+y^4 \right), &\text{ha } -1<x<1 &\text{és}& -1<y<1 \\ 0, &\text{különben} \end{cases} \)
\( A= \; ? \qquad F(x,y)= \; ? \)
Adott az alábbi együttes sűrűségfüggvény.
\( f(x,y)= \begin{cases} A, &\text{ha } 0<x<2 &\text{és}& 0<y<1 \\ 0, &\text{különben} \end{cases} \)
\( A= \; ? \quad f_X(x)=\; ? \quad f_Y(y)=\; ? \quad F(x,y)= \; ? \)
