Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
Markov egyenlőtlenség
A Markov-egyenlőtlenség egy nagyon egyszerű dolgot állít. Az, hogy az $X$ valószínűségi változó sokkal nagyobb legyen a várható értéknél nem túl valószínű:
\( P \left(X \geq t \cdot E(X) \right) \leq \frac{1}{t} \)
Csebisev egyenlőtlenség
A Csebisev egyenlőtlenség arról szól, hogy a várható értéktől való eltérés nem lehet túl nagy.
Ha ez az eltérés nagyobb, mint a szórás $t$-szerese, akkor ennek a valószínűsége kicsi:
\( P \left( \mid X-E(X) \mid \geq t \cdot D(X) \right) \leq \frac{1}{t^2} \)
Ha az eltérés kisebb, mint a szórás $t$-szerese, akkor ennek valószínűsége nagy:
\( P \left( \mid X-E(X) \mid < t \cdot D(X) \right) > 1- \frac{1}{t^2} \)
Nagy számok törvénye
Ha egy esemény bekövetkezésének elméleti valószínűsége $p$, akkor minél többször végezzük el a kísérletet, a relatív gyakoriság és az elméleti valószínűség eltérése annál kisebb lesz.
\( P \left( \mathrel{\Big|} \frac{X}{n} - p \mathrel{\Big|} < \epsilon \right) \geq 1 - \frac{ p (1-p)}{n \epsilon^2} \qquad P \left( \mathrel{\Big|} \frac{X}{n} - p \mathrel{\Big|} > \epsilon \right) < \frac{ p (1-p)}{n \epsilon^2} \)
Ha egy újságárus óránként 64 darab újságot szokott eladni, mekkora a valószínűsége, hogy az egyik órában
a) legalább 250-et ad el?
b) 200-nál kevesebbet ad el?
a) Egy újságárus óránként 64 darab újságot szokott eladni, a szórás pedig 8 darab. Adjunk becslét annak valószínűségére, hogy az újságos által eladott lapok száma 50 darab és 78 darab közé esik.
b) Egy üzemben 150 mm hosszú csavarokat gyártanak 2 mm szórással. Egy csavar selejtes, ha 146 mm-nél rövidebb vagy 154 mm-nél hosszabb. Adjunk becslést a selejtarányra.
c) Egy bankba óránként általában 120 ügyfél érkezik, a szórás 10. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy egy adott órában 100 és 150 közé esik az ügyfelek száma.
d) Egy sí üdülőhelyen a téli szezonban hetente átlag 300 cm hó esik, a szórás 60 cm. Ha 50 cm-nél kevesebb hó esik, akkor a túl kevés hó miatt le kell zárni egy bizonyos pályát. Ugyanezt a pályát 480 cm feletti hóesésnél lavinaveszély miatt kell lezárni. Adjunk becslést a pálya lezárásának valószínűségére.
a) Hányszor kel dobnunk a kockával ahhoz, hogy a hatos dobás valószínűségét a relatív gyakoriság 0,1-nél jobban megközelítse az esetek 95%-ában?
b) Hányszor kell feldobnunk egy érmét ahhoz, hogy a fej dobások valószínűségét a relatív gyakoriság 0,05-nél jobban megközelítse legalább 0,9 valószínűséggel?
a) Egy könyvárus óránként átlag 8 könyvet tud eladni. Mekkora a valószínűsége, hogy 5 óra alatt elad legalább 50 darabot? Adjunk erre becslést a Markov-egyenlőtlenséggel.
b) Az $X$ valószínűségi változó várható értéke 20. Adjunk becslést a $P(X<80)$ valószínűségre a Markov-egyenlőtlenséggel.
a) Egy csavargyárban 10 cm hosszú csavarokat gyártanak, 2 mm szórással. Egy csavar selejtes, ha a hossza 9,5 cm-nél kisebb vagy 10,5 cm-nél nagyobb. Adjunk becslést a selejtarányra.
b) Egy mozi előadásainak átlagos nézőszáma 120 fő, a szórás 16. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy egy előadáson a nézők száma 100 és 140 közé esik.
c) Az $X$ valószínűsége változó várható értéke 20, szórása 4. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy $X$ 15 és 28 közé esik.
d) Egy üzletben óránként átlag 80-an vásárolnak, a szórás 10. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy egy adott órában a vevőszám 60 és 90 közé esik.
e) Egy üzletben óránként átlag 12-en vásárolnak. A vásárlók száma Poisson-eloszlású. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy egy 3 órás időtartamban a vevőszám 25 és 45 közé esik.
a) Az $X$ valószínűségi változó várható értéke 20, annak valószínűsége, hogy $X$ 15 és 25 közé esik a Csebisev-egyenlőtlenség alapján legalább 0,96. Legfeljebb mekkora valószínűséggel esik $X$ a várhatótól legalább 4-nél távolabb?
b) Az $X$ valószínűségi változó várható értéke 40, annak valószínűsége, hogy $X$ a várható értéktől legalább 6-tal eltér legfeljebb 0,25. Legalább mekkora valószínűséggel esik $X$ 30 és 52 közé?
