- Polinomok
- Sorozatok határértéke
- Sorozatok monotonitása és küszöbindexe
- Egyenletek, egyenlőtlenségek
- Függvények és inverz függvények
- Függvények határértéke és folytonossága
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- L'Hospital szabály
- Teljes függvényvizsgálat
- Primitív függvény, határozatlan integrál
- Határozott integrálás
Teljes függvényvizsgálat
Értelmezési tartomány
Egy kifejezés értelmezési tartományán azt a legbővebb halmazt értjük, ahol értelmezve van.
Függvény esetén azokat a szerencsés $x$-eket, amelyekhez a függvény hozzárendel egy $y$ számot, a függvény értelmezési tartományának nevezzük.
A következőket érdemes megjegyezni:
\( \sqrt[ \text{páros}]{ \text{ez itt} \geq 0} \quad \sqrt[ \text{páratlan} ]{ \text{ez itt bármi}} \quad \log{ \left( \text{ez itt} > 0 \right)} \quad \text{ tört nevező} \neq 0 \)
pl.: $ f(x)=\frac{4x}{(x-3)^4} $ értelmezési tartománya $ \forall x \in R \setminus \{ -3 \} $, mert nincs gyök és nincs logaritmus, de tört van, tehát a nevező nem lehet nulla ($x \neq 3$)
Függvény konvexitása és a második derivált
Konkávnak nevezzük a függvényt azon a szakaszon, ahol "szomorú hangulatban" van, vagy precizebben ha a szakaszon a függvény bármely két pontját összekötve a függvény a két pontot összekötő egyenes felett halad.
Konvexnek nevezzük a függvényt azon a szakaszon, ahol "vidám hangulatban" van, vagy precizebben ha a szakaszon a függvény bármely két pontját összekötve a függvény a két pontot összekötő egyenes alatt halad.
A függvény hangulatáról a második derivált szolgáltat információt.
Ha a második derivált negatív, akkor a függvény konkáv, ha pozitív, akkor konvex
Függvény monotonitása és az első derivált
Ha a függvény deriváltja pozitív, akkor a függvény nő,
Ha a függvény deriváltja negatív, akkor a függvény csökken.
Stacionárius pont egyváltozós függvényre
Az $f(x)$ függvény stacionárius pontja $x_0$, ha $f$ differenciálható az $x_0$ környezetében és $f'(x_0)=0$