Középpontos tükrözés, tengelyes tükrözés

Lássuk, mit tud ez a tengelyes tükrözés.

Röviden ezt.

Egy kicsit hosszabban…

Van itt ez a P pont.

Ezt a pontot úgy kell tükrözni a t tengelyre...

hogy a pontból merőlegest állítunk a tengelyre…

és a P pont tükörképe ezen a merőlegesen lesz.

Ugyanolyan távol a tengelytől, mint az eredeti P pont, csak éppen a tengely másik oldalán.

A tengelyen lévő pontok kitüntetett pontok.

Azokkal ugyanis nem történik semmi.

Ezeket a pontokat fix pontoknak nevezzük.

A tengelyes tükrözésnek végtelen sok fix pontja van.

A tengely minden pontja fix pont.

Fix egyenesnek nevezzük azokat az egyeneseket, amelyeknek a tükörképe önmaga.

Ez itt például nem fix egyenes.

Mondjuk, egy fix pontja azért van.

De ez a másik…

Na, ez már igen.

Minden olyan egyenes fix egyenes, amely merőleges a tengelyre.

És maga a tengely is fix egyenes, sőt pontonként fix.

Itt van aztán ez a háromszög.

Nézzük meg, hogy a tükrözés hatására mi történik vele.

Hát ez.

Egy ugyanolyan háromszög lesz belőle.

Pontosabban csak majdnem ugyanolyan.

A méretei megegyeznek az eredeti háromszög méreteivel…

és a szögei is…

de a körüljárás iránya megváltozik.

Ezek alapján készíthetünk egy kis listát a tengelyes tükrözés tulajdonságairól.

A tengelyes tükrözés távolságtartó.

Ez nem azt jelenti, hogy bárkivel is ellenségesen viselkedne…

Mindössze annyit, jelent, hogy a tükrözés nem változtatja meg a távolságokat.

A tengelyes tükrözés szögtartó…

viszont körüljárásváltó.

Azokat a geometriai transzformációkat, amelyek távolságtartók, barátságtalannak nevezzük.

Na tessék, ugyanaz a rossz poén már másodszor.

Nem. Valójában nem barátságtalannak hívjuk őket.

A távolságtartó geometriai transzformációkat egybevágósági transzformációnak hívjuk.

A tengelyes tükrözés tehát egybevágósági transzformáció.

Most pedig nézzük meg, hogy mik azok a tengelyesen szimmetrikus sokszögek.

Egy sokszöget tengelyesen szimmetrikusnak nevezünk, ha van olyan tengelyes tükrözés, aminek hatására a tükörképe önmaga.

Ez a szabályos hatszög például tengelyesen szimmetrikus.

Legjobban ezt úgy láthatjuk, ha félbevágjuk…

Aztán pedig tükrözzük erre a tengelyre.

A dolog így is működik…

Nézzük, milyen tengelyesen szimmetrikus sokszögek vannak.

Egy háromszög akkor tengelyesen szimmetrikus…

hogyha egyenlőszárú.

Az egyenlő oldalú háromszögeknek pedig mindjárt három szimmetriatengelyük is van.

Most lássuk, hogy mi a helyzet a négyszögekkel…

A téglalapok tengelyesen szimmetrikusak.

és két szimmetriatengelyük biztosan van.

Aztán itt vannak még ezek is…

Ennek a neve deltoid.

Hogyha minden oldala egyenlő hosszú…

akkor pedig úgy hívjuk, hogy rombusz.

A rombusznak már két szimmetriatengelye is van.

Azoknak a rombuszoknak pedig, ahol minden szög 90 fokos…

nos, azoknak már négy.

Ezeket szuper-rombusznak hívjuk.

Ja, nem. Csak simán úgy hívjuk, hogy négyzet.

Nézzük, mi a helyzet az ötszögekkel.

A szabályos ötszögnek egy szimmetriatengelye biztosan van.

Meg még egy…

Meg még egy…

Öt darab van.

Egy szabályos hatszögnek 6 darab szimmetriatengelye van.

Három ilyen…

és három ilyen.

A szabályos hétszögnek 7 darab szimmetriatengelye van.

Éppen itt is van az egyik.

A szabályos nyolcszögnek pedig 8 darab.

De nem kell izgulni, nem megyünk el egészen a szabályos száz-szögig.

A középpontos tükrözés úgy működik…

hogy mindenkit erre az egyetlen pontra tükrözünk.

Bármelyik pontnak a tükörképe úgy keletkezik…

hogy a pontot összekötjük a tükrözés középpontjával…

és a tükörkép ezen az összekötő egyenesen lesz.

Ugyanolyan távol a középponttól, mint az eredeti pont, csak éppen a középpont másik oldalán.

Ezért aztán a középpontos tükrözés egyetlen fix pontja maga a középpont.

A fix egyenesek pedig azok, amelyek a középponton átmennek.

Minden olyan egyenes fix egyenes, amely merőleges a tengelyre.

És maga a tengely is fix egyenes, sőt pontonként fix.

Nézzük meg, hogy mi történik a tükrözés hatására ezzel a háromszöggel.

Hát ez.

A középpontos tükrözés távolságtartó…

és szögtartó.

Ráadásul még körüljárástartó is.

Ezeknek a fantasztikus tulajdonságoknak köszönhetően a háromszög tükörképe tökéletesen ugyanolyan, mint az eredeti háromszög.

A középpontos hasonlóság egybevágósági transzformáció.

Most nézzük, mi történik akkor, ha a tükrözés középpontja a háromszög egyik oldalán van.

Hogyha mondjuk itt…

akkor egy ilyen fura dolog keletkezik.

És amikor a tükrözés középpontja éppen az oldal felezőpontja…

Olyankor egy paralelogrammát kapunk.

A paralelogramma egy középpontosan szimmetrikus négyszög.

És mindegyik paralelogramma úgy keletkezik, hogy egy háromszöget tükrözünk valamelyik oldalának felezőpontjára.

Most pedig lássuk, hogy milyen középpontosan szimmetrikus sokszögek vannak még.

Egy sokszög akkor középpontosan szimmetrikus, ha van olyan középpontos tükrözés, aminek hatására a tükörképe önmaga.

Ez a szabályos hatszög például középpontosan szimmetrikus.

Legjobban ezt úgy láthatjuk, ha félbevágjuk…

Aztán pedig tükrözzük erre a középpontra.

Nézzük, milyen középpontosan szimmetrikus sokszögek vannak.

Egy háromszög nem tud középpontosan szimmetrikus lenni.

Még akkor sem, ha egyenlő oldalú.

Nem tudjuk ugyanis kettévágni úgy, hogy az egyikfelét középpontosan tükrözve…

megkapjuk a másikfelét.

Hiába is próbálkozunk, sosem kapunk így háromszöget.

A négyszögekkel már határozottan jobb a helyzet.

A téglalapok középpontosan szimmetrikusak.

Sőt, minden paralelogramma középpontosan szimmetrikus.

Most nézzük, mi a helyzet az ötszögekkel.

Hát semmi jó.

Az ötszögek nem középpontosan szimmetrikusak.

A szabályos hatszög viszont igen.

És nem is csak a szabályos…

A sort pedig tovább folytathatjuk…