- Betűs kifejezések: az algebra
- Hatványozás, normálalak
- Számrendszerek
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, sokszögek
- Középpontos tükrözés, tengelyes tükrözés
- Tengelyesen szimmetrikus alakzatok szerkesztése
- Középpontosan szimmetrikus alakzatok szerkesztése
- Törtek, tizedes törtek
- Oszthatóság, LNKO, LKKT, prímszámok
- Egyenletek megoldása, a mérleg-elv
- Százalékszámítás
- Szöveges feladatok
- Háromszögek, háromszög területe
- Mértékegységek, mértékegység átváltás
- Négyszögek, téglalap, paralelogramma, rombusz, trapéz, deltoid
- Téglatest és kocka, felszín és térfogat
- Hasáb felszíne és térfogata
- Háromszögek nevezetes pontjainak szerkesztése
- Párhuzamos és merőleges szerkesztése
- Statisztika
- Gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség
- Lineáris függvények
- Tag, tényező, műveleti sorrend, zárójel (ismétlés)
Hasáb felszíne és térfogata
A trapéz alapú hasáboknál tartottunk…
És most nézzük, mi van még…
Ez itt egy háromszög alapú hasáb.
És ez pedig egy téglalap alapú hasáb.
Fedőneve: téglatest.
És vannak aztán paralelogramma alapú meg deltoid alapú hasábok is.
Ezek feladatok a hasábokkal valójában nem a térfogatszámolós meg felszínszámolós feladatok…
Lényegében csak arról szólnak, hogy ki tudjuk-e számolni háromszögek, trapézok vagy épp paralelogrammák területét.
Ez rögtön látszik, hogyha ránézünk itt a jobb oldalra.
Egy picike helyet foglalnak csak a térfogat és felszín képletek…
És a többi hatalmas helyen a sokszögek területképletei vannak.
Most pedig nézzünk valami feladatot.
Egy doboz alapja olyan derékszögű háromszög, aminek az oldalai 9 cm, 12 cm és 15 cm. A doboz oldallapjai közül a legkisebb területű egy négyzet, a többi téglalap.
Mekkora a doboz térfogata és felszíne?
Menjünk szépen sorban…
A hasáb alaplapja, és fedőlapja ez a derékszögű háromszög.
Kezdjük azzal, hogy kiszámoljuk ennek a területét.
És most nézzük, hogy mekkora a terület.
Az oldalak hosszát a feladat szövegéből tudjuk…
A derékszögű háromszögeknél a befogók egyben magasságok is…
Már csak a hasáb magasságát kéne tudnunk.
Hát, erről nincsen szó a feladat szövegében…
Itt van viszont ez a trükkös mondat.
Az oldallapok egyik oldala éppen a hasáb magassága.
És most nézzük, mekkora a másik oldaluk…
Ekkora.
A másik oldaluk pedig a kék háromszög valamelyik oldala.
A legkisebb területű oldallap ez.
És a feladat szerint ez egy négyzet.
Vagyis minden oldala ugyanakkora.
Itt is van a képlet.
És a feladat szövege szerint ez egy négyzet.
A kék háromszög legrövidebb oldala pedig 9 centiméter.
És mivel ez egy négyzet, az összes többi oldala is 9 centiméter.
Így hát meg is van a hasáb magassága.
Most már minden megvan a térfogathoz:
Egy új országút építésénél 100 méter hosszú földből épült töltésre volt szükség. A töltés magassága 7 méter, szélessége az alapjánál 24 méter, a tetején pedig 10 méter. A földet teherautókkal szállítják az építkezésre, és egy teherautó egyszerre 22 köbméter földet tud szállítani. Hány teherautónyi föld kellett a töltés megépítéséhez?
Ez a töltés egy hasáb…
A hasáb alapja egy trapéz…
Aminek a magassága 7 méter…
A trapéz alapja 24 méter…
A teteje pedig, ami egyébként a másik alap, az 10 méter.
A trapéz területe meg is van.
Ez a hasáb alaplapja.
A hasáb magassága pedig…
Hát igen, ez a hasáb fekszik.
És most jöhet a térfogat…
A töltéshez 11 900 köbméter földre van szükség.
Egy teherautó 25 köbméter földet tud szállítani…
A kérdés, hogy hányszor van meg a 25 a 11 900-ban.
A töltés építéséhez 476 teherautónyi földre van szükség.
Most, hogy ez is végre kiderült, már csak egy utolsó feladat van hátra.
Itt van ez a hétszög alapú hasáb, aminek a magassága 10 centiméter, és az alaplapjának a kerülete 26 centiméter, a területe pedig 32 négyzetcentiméter.
Mekkora a hasáb felszíne és tréfogata?
Hétszög nem szerepel itt a listánkon…
De nem is kell…
A feladat szövegében meg van adva a hétszög területe…
Sőt a kerülete is.
Na és a hasáb magassága is.
Így már mindet ki tudunk számolni.
Van itt ez a sík, benne egy háromszöggel...
És a sík felett még egy ugyanilyen háromszög.
Ha a két háromszög csúcsait vonalakkal összekötjük, akkor egy térbeli alakzatot kapunk…
Amit úgy hívunk, hogy hasáb.
A dolog nem csak háromszögekre működik…
Ezeket az összekötő vonalakat alkotónak nevezzük.
A hasábokat körbeölelő oldallapokat pedig úgy hívjuk, hogy palást.
Széthajtogatva mindez valahogy így néz ki.
A hasábok felszínét kiszámolni nagyon egyszerű.
Van egy alaplapjuk meg egy fedőlapjuk…
Ezek mindig egyformák, és a területüket külön-külön T-vel jelöljük.
És van még a palástjuk.
A hasábok felszíne pedig:
Ez a képlet később még jól jöhet…
A hasábok térfogatát is nagyon könnyen ki tudjuk számolni.
Csak venni kell az alaplap területét…
És aztán megszorozzuk a hasáb magasságával.
Írjuk föl ezt is a listánkra.
És van itt még egy dolog…
A hasábok magasságát be lehet rajzolni ide is.
Hogyha széthajtogatjuk a hasábokat…
A palást mindig egy téglalap lesz.
Aminek az egyik oldala éppen a hasáb magassága…
A másik oldala pedig a hasáb alapjának a kerülete.
És ezzel egy új képletet kapunk a hasábok felszínére:
A felszínt így kapjuk, hogy kétszer az alaplap területe…
Plusz a palást területe, ami egy téglalap.
És most lássuk, mire használhatnánk mindezt, jóra vagy rosszra…
Egy doboz alapja majdnem teljesen szabályos ötszög, a doboz oldalai pedig egyforma téglalapok. Az alaplap területe 250 cm2, a kerülete 60 cm és a doboz 20 cm magas. Mekkora a doboz térfogata és felszíne?
Kezdjük a térfogattal.
Itt a képletünkben T a hasáb alaplajának a területe…
Ami egyébként ugyanakkora, mint a fedőlap…
A hasáb magassága pedig…
A térfogat meg is van.
És most jöhet a felszín.
Ezt a képletet fogjuk használni.
Minden meg is van…
A vizuális típusok kedvéért…
Ez eddig elég egyszerűnek tűnik.
De az izgalmak csak most jönnek.
Van itt ez a kereszt alapú gerenda. A gerenda 16 méter hosszú, és az oldalai 1 méter széles és 16 méter hosszú téglalapok. Mekkora a gerenda térfogata és felszíne?
Ez a gerenda egy hasáb.
A hasáb alaplapja ez a kereszt alakú síkidom…
A palástja pedig sok kis hosszú téglalapból áll.
És most nézzük, mekkora a hasáb térfogata.
A térfogathoz kelleni fog a magasság…
Mondjuk a rajzunkon ez inkább hosszúság…
De ezt így állítva kell elképzelni…
Nézzük, mekkora a hasáb térfogata.
A térfogathoz kell az alaplap területe és a hasáb magassága.
Nézzük, miből is áll a palást.
Itt ez az 1 méter széles és 16 méter hosszú téglalap…
Ennek a területe 16 m2.
És ilyenből van még néhány.
Ott még van egy tizenkettedik…
Így hát a palást felszíne:
Ez itt az alaplap:
A hasáb térfogata pedig:
És most lássuk a felszínt.
A felszínt ezzel a képlettel számoljuk ki.
Nézzünk meg még egyet.
Egy doboz alapja majdnem teljesen szabályos ötszög, a doboz oldalai pedig egybevágó négyzetek. Az alaplap területe 250 cm2, a kerülete pedig 60 cm. Mekkora a doboz térfogata és felszíne?
Nézzük, mi az, amit tudunk.
Hát, ennyi…
Mindenképpen szükségünk lenne a hasáb magasságára.
Egy ilyen négyzetnek az egyik oldala éppen a hasáb magassága.
És hát akkor a többi oldala is, mivel ez egy négyzet.
Ez a szakasz itt fönt, pedig éppen a kerület ötöde.
A feladat szövege szerint az oldallapok egybevágó négyzetek.
A dolog ugyanis valahogy így néz ki.
Egy aranyrúd 25 cm hosszú, 5 cm magas, és alul 10 cm, felül pedig 7 cm széles. Mekkora az aranyrúd térfogata?
Így elsőre ez valami eléggé fura alakzatnak tűnik…
De ha felállítjuk…
Akkor egy hasáb.
A hasáb magassága 25 centiméter…
A hasáb alapja pedig egy trapéz.
Ez a trapéz, itt.
Jó lenne tudni, hogy mekkora a területe.
Van itt erre egy képlet:
Ebben a képletben a a trapéz egyik alapja…
És c a másik alap.
Az m pedig a trapéz magassága.
A hasáb térfogatát így már nagyon könnyű kiszámolni.
Hát, ez meg is van.
Nézzünk meg még egyet.
Egy pizzás doboz 5 cm magas, 40 cm széles és 40 cm hosszú. A dobozt két részre vágjuk az ábrán látható módon.
Mekkora a nagyobbik rész térfogata?
Úgy tűnik, hogy ez egy hasáb…
A térfogathoz pedig ezek kellenek.
Az alaplap területe és a hasáb magassága.
A magasság meg is van.
Az alaplap és a fedőlap pedig egy trapéz…
Ezek az oldalak a pizzás doboz eredeti oldalai.
Mindkettő 40 centiméteres.
Íme, az alaplap:
Ez egy trapéz…
Megint kéne a trapéz területképlete…
És már megint egy trapéz.
Úgy tűnik elég gyakran van szükség mostanában a trapéz területképletére…
Jobb is, ha felírjuk magunknak ide.
A legnépszerűbb területképletek:
TRAPÉZ
Már jön is a területképlet:
És itt van a trapéz magassága…
A terület meg is van.
És most jöhet a térfogat…
Egy híd pillérjének az alapozásánál tömör vasbeton blokkokat készítenek. Mindegyik blokk alapja 8 méter oldalhosszúságú négyzet, oldallapjai pedig két egybevágó trapéz, egy 3 méter magas téglalap és egy 7 méter magas téglalap. Hány köbméter egy ilyen vasbetonból észült blokk térfogata?
A feladat szerint a vasbeton blokkok alapja 8 méter oldalhosszú négyzet…
És az oldallapok pedig…
A 7 méter magas téglalap ott van…
Így talán jobban látszik…
Most pedig lássuk, mekkora a térfogat.
Ez itt egy hasáb…
Egy oldalára döntött hasáb.
Vagyis ez a hasáb alaplapja…
És ez pedig a magassága.
Az alaplap egy trapéz…
De ez is az oldalára van döntve…
Na, így már jobb.
És most jöhet a térfogat…