Mérnöki matematika MATE

A kétváltozós függvények határozott integrálja egy test térfogata.

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni. A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.

Bizonyos kettősintegrálok kiszámolását megkönnyíti, ha inkább polárkoordinátákat használunk.

A síkbeli polárkoordináták egyik térbeli kiterjesztése - de nem az igazi...

A polárkoordináták háromdimenziós változatát gömbi koordinátáknak nevezzük. A régi x, y, z koordinátákat új gömbi koordinátákkal helyettesítjük.

A ciklois egy olyan görbe, amelyet egy irányított görbén csúszás nélkül legördülő kör egy meghatározott pontja ír le.

A paraméteres görbe egyenlete a görbén mozgó pont pillanatnyi koordinátáit írja le. A paraméteres görbe deriválásával kapjuk a $v(t)$ sebességvektort, ami minden időpillanatban megadja a görbén mozgó $P$ pont sebességének irányát és nagyságát.

A görbe ívhossza egy differencálható görbe szakaszának a hossza.

Az $r(t)$ paraméteres görbe első deriváltja a görbe érintővektora vagy más néven sebességvektora.

Az $r(t)$ paraméteres görbe második deriváltja a görbe gyorsulásvektora. Ha ezt elosztjuk a saját hosszával, az így keletkező egységnyi hosszú vektor a görbe főnormálisvektora.

Binormálisvektornak nevezzük a görbe sebességvektorával és gyorsulásvektorával alkotott szorzatot.

A $\underline{T}(t)$, $\underline{N}(t)$ és $\underline{B}(t)$ vektorok együttes elnevezése kísérő triéder.

Az $r(t)$ paraméteres görbe második deriváltja a gyorsulást írja le. Ezek a vektorok egy síkot feszítenek ki, ezt a síkot a görbe simulósíkjának nevezzük.

A görbület azt írja le, hogy a simulósíkon belül milyen erősen kanyarodik a görbe. A térgörbék azonban nem csak a simulósíkon belül kanyarodnak, hanem közben ki is csavarodnak abból. Azt, hogy egy térgörbe éppen milyen ütemben csavarodik ki a simulósíkjából, a torzió írja le.

A paraméteres görbe görbülete a görbe egyenestől való eltérését jellemző számérték.

Hogyha a görbének egy $P$ pontjában létezik nem nulla görbülete, akkor azt a kört, amel a $P$-ben érinti a görbét és a görbülete megegyezik a görbe $P$-beli görbületével és a középpontja a görbe konkáv részében található, a görbe $P$ pontbeli simulókörének nevezzük.

A simulókörök középpontjai által kirajzolt alakzatot evolutának hívjuk.

Az ellipszis egy olyan görbe, amely azon pontok mértani helye egy síkon, ahol a pontok két rögzített ponttól mért távolságának összege a két pont távolságánál nagyobb állandó.

A hiperbola azon pontok halmaza, melyeknek két rögzített ponttól való távolságának különbségének abszolút értéke állandó.

A vektormező egy olyan függvény, ami egy tér pontjaihoz vektort rendel.

A $v(x,y)$ vektormezőnek az $r(t)= ( x(t), y(t) )$ görbe mentén vett integrálja $t_1$ és $t_2$ között.

A fluxus azt mondja meg, hogy egy adott felületen mekkora az átáramló anyag vagy energia.

A $v(x,y,z)$ vektormezőnek az $S(t,u)=\left(  x(t,u), y(t,u), z(t,u) \right)$ felületi integrálja.

A $v(x,y,z)$ vektormezőnek az $r(t)= ( x(t), y(t), z(t) )$ görbe mentén vett integrálja.

A vektormező divergenciája egy olyan függvény, amely a vektormező minden pontjában megméri, hogy ott mennyi anyag áramlik a rendszerbe vagy épp mennyi tűnik el.

A rotáció a vektormező örvénylését írja le.

Egy vektormező akkor forrásmentes, ha nincs benne forrás, vagyis nincs benne olyan pont, amelynek pozitív a divergenciája.

Egy vektormező akkor örvénymentes, ha a vektormező rotációja mindenütt nulla.

A konzervatív vektormezőre több különböző definíció van forgalomban attól függően, hogy fizikusok vagy matematikusok alkották-e meg magát a definíciót.

A vektormező akkor konzervatív, ha létezik $F$ primitív függvénye. Ez az $F$ függvény a vektormező potenciál-függvénye.

Az első Green-tétel azt írja le a rotáció segítségével, hogy mekkora egy vektormező örvénylése a zárt görbén. A második Green-tétel pedig azt írja le a divergencia segítségével, hogy mekkora egy vektormező fluxusa a zárt görbén.

A második Green-tétel térbeli változata azt mondja, hogy egy vektormező integrálja az $S$ kifelé irányított zárt felületen egyenlő a divergencia integráljával a felület által határolt $D$ tartományon.

Az első Green-tétel térbeli változatát Stokes-tételnek nevezzük.

A differenciálegyenletek olyan egyenletek, amiben az ismeretlenek függvények. Az egyenletben ezeknek a függvényeknek a különböző deriváltjai és hatványai szerepelnek.

Azt mondja meg, hogy az ismeretlen függvény maximum hanyadik deriváltja szerepel az egyenletben.

Ha az ismeretlen függvény és deriváltjai csak első fokon szerepelnek a differenciálegyenletben, akkor az egyenlet lineáris.

Olyan differenciálegyenlet, amelyet az egyenlet szétválasztásával és a két rész külön-külön integrálásával lehet megoldani

Egy differenciálegyenlet homogén fokszámú, ha $y=ux$ helyettesítés után minden $x$-es tag kitevője megegyezik.

A differenciálegyenletek második fő típusa, sok helyen nincs benne a tananyagban.

annak olyan egyenletek, amelyek ugyan nem egzaktak, de egy ügyes trükk segítségével egzakttá tehetők. Itt jön a trükk...

Az egyik legfontosabb típus az y'+Py=Q alakú differenciálegyenlet, amelyre egy részletes megoldási tervet adunk.

A konstans variálás módszere egy megoldási módszer az elsőrendű lineáris differenciálegyenletekhez.

Az elsőrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet egy speciális esete a lineáris elsőrendű egyenleteknek. Azért hívják állandó együtthatósnak, mert a $P(x)$ függvény ilyenkor valamilyen konstans, mondjuk $a$.

 Ez olyankor van, ha a homogén megoldás és a partikuláris megoldás hasonlít egymásra. Lássuk mit is jelent ez...

A másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet általános alakja: $ay'' + by' + cy = 0 $. Megoldásához a karakterisztikus egyenletet használjuk.

A másodrendű lineáris állandó együtthatós inhomogén differenciálegyenlet általános alakja: $ay'' + by' + cy = Q(x) $. A homogén megoldást megkapjuk a karakterisztikus egyenlet segítségével, a partikuláris megoldást pedig a próbafüggvény módszerrel végezzük.

Azon pontok halmazát, melyekben a megoldásfüggvények meredeksége egy adott számmal egyenlő, a differenciálegyenlet izoklinájának nevezzük.

Hát ez egy elég rémes improprius integrálás, de azért kimondottan hasznos, tehát megér egy megnézést...

Kiszámoljuk pár nevezetes függvény Laplace transzformáltját.

Ez a Laplace transzformált vissza-iránya, ami a differenciálegyenletek megoldásának a végén tartogat izgalmakat.

A Fourier sorok speciális függvénysorok, amelyeket periodikus függvényekre fejlesztettek ki.

A Fourier-transzformáció egy olyan matematikai gépezet, ami föltekeri a hanghullámokat egy komplex számsíkban fekvő körre... És aztán az így kapott virágmintákat integrálja.

A Dirac-delta a matematika, a fizika és a jelfeldolgozás egyik legkülönösebb eszköze, és Paul Dirac Nobel-díjas fizikusról nevezték el.

A $\mathrm{sinc}(x)$ függvénynek nagy jelentősége van az információelméletben és a digitális jelfeldolgozásban.

Olyanok ezek, mint a deriválási szabályok, vagy épp az integrálási szabályok, csak ezek a Fourier-transzformáció szabályai. Az egyik legfontosabb szabály a linearitás, ami a deriválásnál és az integrálásnál is megvolt.

Olyanok ezek, mint a deriválási szabályok, vagy épp az integrálási szabályok, csak ezek a Fourier-transzformáció szabályai. Az egyik legfontosabb szabály a linearitás, ami a deriválásnál és az integrálásnál is megvolt. Aztán jön a hasonlósági, vagy dilatációs tétel az eltolási tétel, modulációs tétel, differenciálás frekvenciában, differenciálás időben. A tételek első ránézésre nem tűnnek túl barátságosnak, de ha kipróbáljuk őket, akkor kiderül, hogy valójában nem is nehezek.

Olyanok ezek, mint a deriválási szabályok, vagy épp az integrálási szabályok, csak ezek a Fourier-transzformáció szabályai. Az egyik legfontosabb szabály a linearitás, ami a deriválásnál és az integrálásnál is megvolt. Aztán jön a hasonlósági, vagy dilatációs tétel az eltolási tétel, modulációs tétel, differenciálás frekvenciában, differenciálás időben. A tételek első ránézésre nem tűnnek túl barátságosnak, de ha kipróbáljuk őket, akkor kiderül, hogy valójában nem is nehezek.

Olyanok ezek, mint a deriválási szabályok, vagy épp az integrálási szabályok, csak ezek a Fourier-transzformáció szabályai. Az egyik legfontosabb szabály a linearitás, ami a deriválásnál és az integrálásnál is megvolt. Aztán jön a hasonlósági, vagy dilatációs tétel az eltolási tétel, modulációs tétel, differenciálás frekvenciában, differenciálás időben. A tételek első ránézésre nem tűnnek túl barátságosnak, de ha kipróbáljuk őket, akkor kiderül, hogy valójában nem is nehezek.

Olyanok ezek, mint a deriválási szabályok, vagy épp az integrálási szabályok, csak ezek a Fourier-transzformáció szabályai. Az egyik legfontosabb szabály a linearitás, ami a deriválásnál és az integrálásnál is megvolt. Aztán jön a hasonlósági, vagy dilatációs tétel az eltolási tétel, modulációs tétel, differenciálás frekvenciában, differenciálás időben. A tételek első ránézésre nem tűnnek túl barátságosnak, de ha kipróbáljuk őket, akkor kiderül, hogy valójában nem is nehezek.

Olyanok ezek, mint a deriválási szabályok, vagy épp az integrálási szabályok, csak ezek a Fourier-transzformáció szabályai. Az egyik legfontosabb szabály a linearitás, ami a deriválásnál és az integrálásnál is megvolt. Aztán jön a hasonlósági, vagy dilatációs tétel az eltolási tétel, modulációs tétel, differenciálás frekvenciában, differenciálás időben. A tételek első ránézésre nem tűnnek túl barátságosnak, de ha kipróbáljuk őket, akkor kiderül, hogy valójában nem is nehezek.

Az f(x) függvény primitív függvényének jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.

Polinomok integrálása. Törtfüggvény integrálása. Exponenciális függvények integrálása. Trigonometrikus függvények integrálása.

Polinomok, törtfüggvény, exponenciális függvények, trigonometrikus függvények integráljainak lineáris helyettesítései.

Integráláskor a konstans szorzó kivihető.

Összeget külön-külön is integrálhatunk.

Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.

Szorzat integrálásának egy speciális esete, amikor a függvény n-edik hatványon van és meg van szorozva a deriváltjával.

Ezzel a remek módszerrel szorzatokat tudunk integrálni úgy, hogy egy bonyolultabb integrálásból csinálunk egy egyszerűbb integrálást.

Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.

Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.

Törtek integrálásának egy speciális esete, amikor a tört számlálója a nevező deriváltja.

A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk majd megoldani a feladatot.

A racionális törtfüggvények integrálásához a függvényeket parciális törtekre kell bontani, majd a parciális törteket egyesével integrálni.

A helyettesítéses integrálás úgy működik, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.

A helyettesítéses integrálás egyik legfurcsább esete az $u = \tan{ \frac{x}{2} } $. Olyankor használjuk, ha a törtben $\sin{x}$ és $\cos{x}$ is csak első fokon szerepel.

A Newton-Leibniz formula egy egyszerűen használható képlet a határozott integrál kiszámításához. Ez a tétel az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.

Egy zárt intervallumon értelmezett függvény akkor Riemann integrálható, ha egyetlen olyan szám létezik, amely bármely alsó közelítő összegénél nagyobb egyenlő, és bármely felső közelítő összegénél kisebb egyenlő.

Végtelenbe nyúló tartományok területének kiszámolása egy fontos függvénnyel.

Forgástestek térfogatának és felszínének képletei határozott integrálással.

A lineáris leképezés egy test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény.

A képtér egy olyan altér $V_2$-ben, amely azokból a vektorokból áll, amiket a $V_1$-beli vektorokból csinál a leképezés.

A magtér egy olyan altér $V_1$-ben, amelyek képe a leképezés során nullvektor.

A képtér és a magtér dimenzióinak összege éppen $V_1$ dimenziója.

Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal.

Egy leképezésnek akkor létezik inverze, ha a leképezés mátrixának létezik inverze.

Két leképezés kompozíciója a mátrixaik szorzata.

Az x tengelyre, az y tengelyre, és az y=x egyenletű egyenesre való tükrözések mátrixai.

Az alfa szögű forgatás mátrixa.

Az origóra való középpontos tükrözés mátrixa egy 180°-os fogatásnak felel meg.

Az $i$ és $j$ koordinátatengelyek síkjában történő Givens forgatás mátrixát úgy kapjuk, hogy arra a négy helyre ahol az egységmátrix $i$-edik és $j$-edik sora és oszlopa metszi egymást beírjuk szépen az $\alpha$ szögű forgatás mátrixának elemeit.

Az origón átmenő síkokra való tükrözést Householder-tükrözésnek nevezzük.

A Householder tükrözés mátrixa.

Az x és az y tengelyre való merőleges vetítés mátrixai.

Az x és az y tengelyre való merőleges vetítés mátrixai.

A $\underline{v}$ irányvektorú origón átmenő egyenesre történő merőleges vetítés mátrixa.

Az $\underline{a}$ normálvektorú origón átmenő egyenesre, síkra, vagy hipersíkra vetítés mátrixa.