Halmazok
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Halmaz (5. osztály)
Halmazokat úgy kapunk, hogy valamilyen elemeket különböző tulajdonságaik szerint csoportosítunk.
Üres halmaz (5. osztály)
Azt a halmazt, amiben egyetlen elem sincs, üreshalmaznak nevezzük.
És egy ilyen áthúzott nullával jelöljük: $\emptyset$.
Halmazok metszete (5. osztály)
Két halmaz metszete azon elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak.
Jele: $A \cap B$
Halmazok uniója (5. osztály)
Két halmaz uniója azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak.
Jele: $A \cup B$
Halmazok különbsége (5. osztály)
Az $A$ és $B$ halmazok különbsége azon elemek halmaza, amelyek az $A$ halmazba benne vannak, de a $B$ halmazba nem.
Jele: $A \setminus B$
Halmaz komplementere (5. osztály)
Az $A$ halmaz komplementere a $H$ alaphalmazon nézve: Az alaphalmaz azon elemeinek halmza, amelyek nincsenek benne az $A$-ban.
Jele: $ \overline{A}$
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
a) Csoportosítsuk a számjegyek szerint.
b) Csoportosítsuk kék számok és egyjegyű számok szerint.
Itt van ez a két halmaz:
\( A=\{1, 2, 3, 4, 7, 8\} \quad B=\{1, 3, 4, 5, 6 \} \)
Határozzuk meg...
a) a két halmaz metszetét.
b) a két halmaz unióját.
c) a $B\setminus A$-t.
d) a $B$ halmaz komplementerét.
a) Bobnak épp nincs programja, ezért elhatározza, hogy ábrázolja ezeket a halmazokat:
b) Bobnak még mindig nincs jobb programja, mint ábrázolni ezekt a halmazokat is:
c) Bob még mindig unatkozik, és elszundít egy kicsit. Fura rémálmai vannak egy alaphalmazról, ami az egyjegyű természetes számok halmaza. Aztán bevillan neki egy \(A\) és \(B\) halmaz, ami ennek az alaphalmaznak két részhalmaza.
\(A=\{ \text{páros számok} \} \)
\(B=\{ \text{3-mal osztható számok} \} \)
d) Bob közben elmegy focizni, mi pedig oldjunk meg még egy feladatot. Az alaphalmaz legyen a \(H\) halmaz és ábrázoljuk Venn-diagrammal az \(A\) és \(B\) halmazokat:
\(H=\{ \text{20-nál nem nagyobb pozitív páros számok} \} \)
\(A=\{ \text{3-mal osztható számok} \} \)
\(B=\{ \text{4-gyel osztható számok} \} \)
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Egy vonaton 400-an utaznak. Bizonyítsuk be, hogy utazik rajta két olyan utas, akiknek ugyanazon a napon van a születésnapja.
b) Mi történik, ha felszáll újabb 333 utas?
c) És ha 1200-an utaznak a vonaton?
a) Egy 5 kocsiból álló vonaton 460-an utaznak. Bizonyítsuk be, hogy van olyan kocsi, amiben legalább 80 utas van.
b) Egy másik vonat szintén 5 kocsiból áll. Legalább hányan utaznak a vonaton, ha tudjuk, hogy biztosan van olyan kocsi, amiben legalább 40-en utaznak?
c) Az egyik kocsiban egy 10 tagú társaság utazik. Mindenki a társaságból legalább 7 másik embert ismer. Bizonyítsuk be, hogy bármely 3 embernek van közös ismerőse.
Egy 24 fős osztályban 12-en szeretik a matekot (M-halmaz), 20-an szeretik Bobot (B halmaz) és 10 tanuló mindkettőt szereti.
a) Rajzoljunk a szöveghez Venn-diagramot, ahova minden részbe beírjuk a halmaz elemeinek a számát.
b) Hányan szeretik csak a matekot?
c) Hányan szeretik csak Bobot?
d) Hányan szeretik legalább az egyiket?
e) Hány tanuló nem szereti se a matekot, se Bobot az osztályból?
Van itt ez a két halmaz:
\(A=\{\text{12 pozitív osztói} \} \)
\(B=\{\text{a 3 nem-negatív többszörösei, amelyek 21-nél kisebbek} \} \)
a) Soroljuk fel az \(A\) és \(B\) halmaz elemeit.
b) Melyek az \(A\cap B\) elemei?
c) Melyek azok a számok, amelyek pontosan csak az egyik halmazban szerepelnek?
d) Mely számok szerepelnek legalább az egyik halmazban?
e) Melyek azok a számok, amik az \(A\) halmazban benne vannak, de a \(B\)-ben nem?
Egy osztályban 14 tanuló sportol, 12 tanuló zenél, 6 tanuló sportol és zenél. Az osztályba 25 tanuló jár.
a) Készítsünk Venn-diagramot.
b) Hányan sportolnak, de nem zenélnek?
c) Hányan nem sportolnak és nem is zenélnek?
d) Hányan zenélnek, de nem sportolnak?
Egy halmaz elemeire a következők egyszerre igazak:
– Nemnegatív páros számok
– Kisebbek, mint 30
– Nem oszthatók 4-gyel
Mely számok lehetnek ebben a halmazban? Soroljuk fel őket.
Egy másik halmaz elemeire a következők egyszerre igazak:
– Pozitív osztója a 48-nak
– Nem prímszám
– Nem osztható 3-mal
Mely számok lehetnek ebben a halmazban? Soroljuk fel őket.
Végül döntsük el, hogy az alábbi állítások igazak vagy hamisak!
a) \( 6 \notin \{\text{a 3-mal osztható pozitív számok}\}\)
b) \( 3 \notin \{\text{a 6 többszörösei}\}\)
c) \( 0 \in \{\text{a 3-mal osztható számok}\}\)
d) \( 15 \in \{10 \text{ és } 20 \text{ közötti prímszámok}\}\)
e) \( 18 \in \{\text{a 36 pozitív osztói}\}\)
f) Bob szereti a zserbót.
Egy vonaton 400-an utaznak. Bizonyítsuk be, hogy utazik rajta két olyan utas, akiknek ugyanazon a napon van a születésnapja.
Hát, ez így elsőre elég furán hangzik…
Mégis honnan kéne tudnunk, hogy kinek mikor van a születésnapja…
De pont ez a lényeg, hogy nem kell tudni.
Itt van például Bob.
És itt van 365 darab doboz, mert egy évben 365 nap van.
Sőt, legyen 366, mert néha szökőév is van.
Azt kell bizonyítani, hogy van két ember ugyanabban a dobozban.
Betesszük Bobot abba a dobozba, amelyik napon született.
Tegyük be, mondjuk ide.
Aztán itt van a következő utas.
Hogyha ugyanazon a napon született, mint Bob…
akkor meg is van a két ember ugyanabban a dobozban.
Ha viszont más napon született…
Hát igen, akkor még nem vagyunk kész.
Itt jönnek sorban az utasok.
Ha mindegyik utas más napon született, mint a többi…
akkor mindegyiket külön-külön dobozban helyezzük el.
Most járunk 366 darab utasnál.
És ekkor megjelenik a 367-edik utas…
Hová is tegyük?
Már nincsen üres doboz, tehát mindegy mikor született…
valakivel így is úgyis közös dobozba kerül.
Egészen biztos, hogy 367 darab utas nem fér el 366 dobozban.
Csak úgy, hogyha valamelyik dobozban ketten vannak.
Ezt a nem túl bonyolult gondolatot hívjuk skatulya-elvnek.
A skatulya a doboz régies elnevezése.
És ezt az elvet elég régen találták ki…
Ha a vonaton 367 ember, vagy ennél több utazik, akkor biztosan lesz két olyan utas, akik ugyanazon a napon születtek.
Most nézzük, mi történik akkor, hogyha fölszáll újabb 333 utas.
Ekkor a vonaton éppen 733-an utaznak.
A 733 pedig egy mágikus szám:
utast még éppen el tudunk úgy helyezni, hogy minden dobozban csak ketten legyenek.
De a plusz egy ember miatt valahol már biztosan hárman lesznek.
Hogyha 733 ember utazik a vonaton, egészen biztosan van köztük 3, akik ugyanazon a napon születtek.
És ha 1200-an utaznak a vonaton…
Ennyi utas már ki sem fér ide.
Szerencsére az ilyen esetekre is van egy matematikai módszer, amit úgy hívunk, hogy indirekt bizonyítás.
Rögtön folytatjuk…
Ha van öt darab labda és négy doboz…
Akkor a labdákat nem tudjuk úgy betenni a dobozokba, hogy mindegyikben csak egy labda legyen.
Valamelyik dobozban biztosan legalább két labda lesz.
Röviden összefoglalva erről szól a skatulya-elv.
Most pedig lássuk, mi ez az indirekt bizonyítás.
Egy 5 kocsiból álló vonaton 460-an utaznak. Bizonyítsuk be, hogy van olyan kocsi, amiben legalább 80 utas van.
Az indirekt bizonyítás lényege, hogy elképzeljük, mi történne, hogyha az állítás nem lenne igaz.
Vagyis tegyük föl, hogy mindegyik kocsiban 80-nál kevesebb utas van.
Ha minden kocsiban 80-nál kevesebb utas van, akkor lássuk csak, 
tehát az egész vonaton 400-nál kevesebben lennének.
De ez lehetetlen, hiszen a vonaton 460-an vannak.
Vagyis lennie kell olyan kocsinak, ahol legalább 80-an vannak.
Egy másik vonat szintén öt kocsiból áll. Legalább hányan utaznak a vonaton, ha tudjuk, hogy biztosan van olyan kocsi, amiben legalább 40-en utaznak?
Hát, ez is valami skatulya-elvnek tűnik…
Csak most valahogy fordítva.
Hogyha mondjuk 100-an utaznak a vonaton, az valószínű kevés, mert simán lehet kocsinként 20 ember.
A 200 már határozottan biztatóbb.
Ha 200-an utaznak a vonaton, akkor biztosan van olyan kocsi, amiben legalább 40-en vannak.
Mert ha nem lenne, tehát minden kocsiban 40-nél kevesebben lennének, akkor az egész vonaton is 200-nál kevesebben lennének.
A 200 utas tehát már elég.
De a kérdés úgy szólt, hogy legalább hányan utaznak a vonaton, és előfordulhat, hogy már 200-nál kevesebb utas is jó lehet.
Ha 195-en utaznak a vonaton, akkor még előfordulhat, hogy minden kocsiban csak 39-en vannak.
De ha 196-an…
Akkor már kell lennie olyan kocsinak, amiben legalább 40-en vannak.
Hiszen, ha minden kocsiba csak 39-en lennének, akkor az egész vonaton is csak 195-en.
Tehát a válasz…
A vonaton legalább 196-an kell, hogy utazzanak.
Az egyik kocsiban egy 10 tagú társaság utazik. Mindenki a társaságból legalább 7 másik embert ismer. Bizonyítsuk be, hogy bármely 3 embernek van közös ismerőse.
Na, ez már egy izgalmasabb ügy.
Megint indirekten bizonyítunk, vagyis tegyük föl, hogy van 3 olyan ember, akiknek nincs közös ismerőse.
Hát, ha nincs közös ismerős, akkor itt bizony csak két ismertség lehet…
Sőt az is lehet, hogy kevesebb…
De az biztos, hogy legfeljebb kettő.
És itt is legfeljebb kettő…
Meg mindenhol.
Ebből a 7 emberből így legfeljebb 14 ismertség indulhat ki.
Mivel a társaságban mindenki legalább 7 másik embert ismer, hogyha embereink egymást ismerik...
akkor is még fejenként legalább 5 ismerősre van szükségük.
Így aztán legalább 15 ismertség indul ki innen.
Ez lehetetlen, mert azok ott heten legfeljebb 14 ismertséggel rendelkeznek.
Tehát ellentmondásra jutottunk.
Nem fordulhat elő, hogy van 3 ember, akinek nincs közös ismerőse.
Vagyis bármely 3 embernek van közös ismerőse.
Most, hogy ezt is megtudtuk, már csak egyetlen nyugtalanító kérdésre keressük a választ.
Arra, hogy mégis mit keres itt ez a rengeteg darázs?
Nem, valójában mégsem ez a kérdés…
Ez túlzottan életszerű lenne.
A kérdés úgy szól, hogy van itt ez a 7x7-es sakktábla és mindegyik mezőn egy darázs.
Egy adott pillanatban minden darázs átmászik valamelyik szomszédos mezőre.
A sarkuknál találkozó mezők nem számítanak szomszédosnak.
Lehetséges-e, hogy ekkor megint mindegyik mezőn pontosan egy darázs álljon?
Tegyük fel, hogy ez lehetséges.
Ez azt jelenti, hogy minden fekete mezőn álló darázsnak át kell másznia egy szomszédos fehér mezőre.
Fekete mezőből 25 darab van, fehérből meg csak 24 darab.
Nem tud a 25 darab fekete mezőn álló darázs átmászni a 24 fehér mezőre, csak úgy, ha lesz olyan mező, amin több darázs is van.
A nagy darázscserélő akció tehát lehetetlen.
