Kerület és terület

Ahhoz, hogy bringával körbetekerjük a Balatont, még úszni sem kell tudni.
Sőt, bele sem kell tenni a lábunkat a vízbe.

Csak le kell tekerni a 235 kilométert, és kész is.
Ekkora ugyanis a Balaton kerülete.

A kerületet K-val jelöljük.

És a kerület teljesen száraz…
 

Hogyha be is megyünk a vízbe…

Na, akkor jön a terület.

Ez itt egy 1 km oldalhosszú négyzet.
Jó nagy, belefér 20 focipálya…

Ezt hívjuk 1 négyzetkilométernek.
És így jelöljük.
 

A Balatonhoz képest 1 négyzetkilométer egészen apró.

Ilyen picike…

Hogyha ezekkel a kis csempékkel elkezdjük lefedni a Balatont…
Hát, akkor jó sok csempe fog kelleni.
Összesen 600 darab csempére lesz szükség.

És mindegyik 1 négyzetkilométer…
Vagyis a Balaton területe 600 négyzetkilométer.

A területet T-vel jelöljük.

Mivel a Balaton alakja ilyen görbe, a csempék kilógó részeit le kell vágni.

A 600 km2 már a levágás után jön ki.

De ez eléggé megnehezíti a számolást.

Szerencsére vannak egyszerűbb alakzatok is, mint a Balaton, amiket könnyebb lesz csempékkel lefedni.

Itt jön például ez a téglalap.
Beletesszük egy négyzethálóba, aminek a beosztása éppen 1 centiméter.

Ez azt jelenti, hogy minden négyzet oldalhossza 1 centi.
 
 
Számoljuk ki először a téglalap kerületét.

Lássuk, mekkora a területe…

Ez itt egy négyzetcentiméter…
 

És ez tényleg ilyen egyszerű…

Nézzünk egy másikat is.

Itt van ez a másik téglalap.
Számoljuk ki ennek is a kerületét és a területét.

És itt jön valami izgalmasabb is…
 

Ez itt egy méter…
És, különböző hosszúságokat tudunk mérni vele.
Megmérhetjük például, hogy ennek a képnek mekkora a kerete.

Itt alul…
2 méter hosszú.

Fölfelé pedig 3 méter.

És a kép kerülete…

Most lépjünk át az egydimenzióból a kétdimenzióba.

A négyzetmétert területek mérésére használjuk.
Ennek a festménynek a területe, ami 2 méter széles és 3 méter magas…

És most számoljuk ki a Hollywood felirat betűinek a területét…
A betűk egy 5 méter magasak és a négyzetháló minden négyzete éppen egy négyzetméter.

Vagyis ekkora egy négyzetméter.

A „H” még elég egyszerű lesz.
Csak megszámoljuk a négyzeteket és kész is.
 

És az „L” betűkkel is könnyedén el tudunk bánni.

Innentől már kezd komolyra fordulni a dolog…

Próbáljuk meg az „O” betűt.

Az „O” betűnél már félbevágott négyzetek is vannak.

Ez itt egy négyzetnek a fele.
És ez pedig a másik fele.

Hogyha összerakjuk őket…

Akkor éppen egy egész négyzetet kapunk.

A dolog itt alul is működik…

Most már csak meg kell számolni, hogy hány négyzet van…
És kész is.

A másik két „O”-val ugyanez a helyzet.

A darabolásos módszer a „D”-nél is működik.

És így már sima ügy.

Végül elérkeztünk a legnehezebb részhez.

Nézzük, mit kezdhetnénk az „Y”-nal.

Tegyük ki ide egy kicsit nagyobb méretbe…

Az „Y” alja még nem vészes…

Most nézzük ezt a részt…

Hogyha ezeket a megcsonkított négyzeteket kiegészítjük egész négyzetekké…

Akkor látszik, hogy a kék rész a 3 négyzet területének éppen a fele.
És ugyanez van itt is.

A két rész együtt pedig éppen 3 négyzetméter.

Haladunk…

Már csak ez van hátra.
És hopp, itt is van még egy egész négyzet.

Húzzuk be ezt a felező vonalat…
Aztán pedig egy kis trükkre lesz szükség.

Az „Y” is megvan…
Csak meg kell számolni a négyzeteket.

És most következik életünk legnagyobb kihívása, a „W”…

Szerencsére darabolásban már egész profik vagyunk.
 

Ennek a téglalapnak a kerületét és a területét nagyon könnyű kiszámolni.

Nézzük meg először a kerületet.
És most jöhet a terület.

Itt az ideje keresni valami izgalmasabbat…

Számoljuk ki ennek is a kerületét és a területét.

Kezdjük a kerülettel.
 

A terület pedig…
És most lássunk egy tényleg durvát…

Hát, ezzel elleszünk egy darabig...
 
 

Ezeknek a négyzeteknek a kerületét és a területét már lazán ki tudjuk számolni…
De olyankor, ha kicsit ferdébben állnak…
Ilyenkor már izgalmasabb a helyzet.

Így hirtelen meg sem tudjuk mondani, hogy ez az oldal itt milyen hosszú.

Ez a kérdés már az ókori görögöket is izgalomban tartotta, és egy Püthagorasz nevű fószer volt aki a végére járt a dolognak.

Egyszer majd ezt is megnézzük, de most a kerületet inkább engedjük el, és számoljuk ki csak a területet.
Először keressük meg az egész négyzeteket…

Ez eddig 12 darab.

És most nézzük a félbevágott négyzeteket.

Számoljuk ki a területét ennek is.

Megint az egész négyzetekkel kezdjük…
Aztán jöhetnek a félbevágott négyzetek.

De ezekkel a megmaradt töredék-négyzetekkel nem igazán lehet mit kezdeni…

Hát, akkor ez ennyi volt, nem tudjuk megmondani a területet…
Legalább megpróbáltuk.

Egy trükköt azért még érdemes lehet kipróbálni.

A trükk lényege, hogy nem az egész négyzetekkel kezdjük.
Hanem egy egészen ravasz dolgot fogunk csinálni.

Téglalapokat fogunk hallucinálni a ferde vonalakhoz.

Ez itt egy ferde vonal…

És kéne egy olyan téglalap, aminek ez az egyik átlója.

Egy kis emlékeztető: ez a téglalap…
És ez pedig az átló.

Hopp, itt is van a téglalap.

Ennek a területét könnyen meg lehet mondani…
 

És ez pedig a fele.
Most ugyanezt a trükköt megcsináljuk itt is…

És itt is.

Most már nagyon könnyen meg tudjuk mondani, hogy mekkora a terület…
 

Számoljuk ki ennek is a területét.

Megint jön a trükk…
 

Az a legjobb a téglalapokban, hogy kerületet és a területet is nagyon könnyű kiszámolni.

A kerület csak ennyi, hogy összeadjuk az oldalak hosszát…
És vannak köztük egyforma hosszúak.

A területet pedig úgy kapjuk meg, hogy megszámoljuk, hány darab kisnégyzet fér bele a téglalap belsejébe.

Egy sorban 7 darab…
És van 5 sor.

 A dolog általánosan is működik…

Egy téglalap területe 40 cm2 és az egyik oldala 8 cm hosszú. Milyen hosszú a másik oldal és mekkora a kerület?

Most, hogy az oldalak megvannak, a kerületet már nagyon könnyű kiszámolni.

Itt jön aztán ez. Számoljuk ki, hogy mekkora a kerülete és a területe.

A kerülethez csak össze kell adnunk az oldalak hosszát…

És most jöhet a terület.

Ennek a téglalapnak a területét nagyon könnyű kiszámolni…

És most számoljuk ki a téglalap felének a területét…

Hát, ez nem atomfizika… a félbevágott téglalapnak fele akkora a területe.

Ez a félbevágott téglalap egy háromszög.
Egy olyan háromszög, aminek az egyik szöge derékszög.

Az ilyen háromszögeket derékszögű háromszögnek nevezzük.

Azokat az oldalait, amik eredetileg a téglalap oldalai voltak, úgy hívjuk, hogy befogónk.

Befogó

A leghosszabb oldala pedig az átfogó.
Átfogó

Az átfogó mindig a derékszögű csúccsal szemben van.

A befogókat a-val és b-vel jelöljük…
Az átfogó pedig c.

A derékszögű háromszögek területét úgy kapjuk meg…
Hogy a befogók szorzatát elosztjuk 2-vel.

 
Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza 12 cm és 5 cm. Mekkora a területe?

Már jön is a vadonatúj képletünk…

Ez eddig elég könnyű…

Egy másik derékszögű háromszögben az egyik befogó 12 cm és a háromszög területe 96 cm2. Mekkora a másik befogó?

Ha egyet tippelhetünk, hogy melyik képlet segíthet a megoldásban…
Akkor biztosan ez:

Dehogy is, ez egyetemi matek…
Persze, hogy megint a területképlet kell…

Az a oldalról tudjuk, hogy 12…
És az egész terület pedig 96.

Meg is van a másik befogó.

És most nézzük, mit tudnak még ezek a derékszögű háromszögek…
Itt egy téglalap, ami 16 centiméter széles és 5 centiméter magas. A téglalapot felül egy 12 centis és egy 4 centis szakaszra bontottuk, alul pedig egy 9 centis és egy 7 centis szakaszra. Mekkora annak a négyszögnek a területe, aminek az oldala felül 5 cm, alul 9 cm és a másik két oldala az eredeti téglalapban halad?

Ennek kellene a területe…
Hát, így hirtelen ez nem néz ki túl jól.

De ne essünk pánikba, már jön is a darabolós módszer…

A darabolós módszer lényege, hogy először kiszámoljuk a teljes téglalap területét…

Aztán darabolunk.
Levágjuk először ezt a derékszögű háromszöget…

És aztán pedig…

A megmaradt terület:
 

Itt jön egy újabb négyszög. Számoljuk ki ennek is a területét.

Megint jön a darabolásos módszer.

A teljes terület ezeknek az összege:

A legunalmasabb síkidom a téglalap…
De bármennyire is unalmas, a legtöbb tárgy körülöttünk téglalap alakú.

Nagyon vagány lenne például egy dinoszaurusz alakú telefon is…

Csak egy kicsit nehéz lenne használni.

Így hát maradjunk a szürke valóságnál...
És nézzük, mit tudnak a téglalapok.

A téglalap olyan négyszög, aminek minden szöge derékszög.
Tehát 90 fokos.

 
Vagy másként fogalmazva a szomszédos oldalaik mindig merőlegesek egymásra.

Ezt a derékszög témát jó alaposan körbejártuk…
Nézzük, mit tudnak még a téglalapok.

Ezek az oldalai egyforma hosszúak…
És ezek is.

Sőt, a téglalapok átlói is egyforma hosszúak.

Ezt már csak egy módon lehet felülmúlni…
Egy tökéletes téglalappal.
Amit úgy hívunk, hogy négyzet.

Ezt úgy hívjuk, hogy négyzet.

A négyzet minden oldala egyforma hosszú…
És vigyázni kell a szögeire is, nehogy elferdüljön.

Ennek még itt mindig egyforma hosszúak az oldalai, de ez már nem négyzet.

Ez már csak egy rom…
Egy rombusz.

Az átlói viszont merőlegesek egymásra.
És ez akkor sem változik meg, hogyha kiegyenesítjük.

A négyzet tehát egy olyan négyszög, aminek minden szöge derékszög és az oldalai egyforma hosszúak.

A téglalap pedig egy olyan négyszög, aminek minden szöge derékszög.

Itt ez a négyzetháló három ponttal…

Rajzoljunk be egy negyedik pontot is úgy, hogy a négy pont egy téglalap négy csúcsa legyen.

Hát, nem ez lesz életünk legnehezebb feladata…
Nyilvánvaló, hogy ide kell tenni.
Ja, mégse…
Ez így nem téglalap.

Hát, akkor ide.

Szuper, nézzünk meg még egyet…

Rajzoljunk be egy harmadik és egy negyedik pontot úgy, hogy a négy pont egy téglalap négy csúcsa legyen.

Ez például jó is lesz…
Vagy ez is.

Most nézzük, mi van akkor, ha nem elég a téglalap, hanem négyzetre van szükség.

A feladat az, hogy rajzoljunk be egy harmadik és egy negyedik pontot úgy, hogy a négy pont éppen egy négyzet négy csúcsa legyen.

Egy négyzetnek minden oldala egyforma hosszú…
Meg is van.

Itt van aztán ez a három pont…
Keressünk egy olyan negyedik pontot, hogy a négy pont egy téglalap négy csúcsa legyen.

Na, ez már érdekesebb…

A téglalap szemközti oldalai mindig párhuzamosak egymással…
És meg is van.

Most nézzük, mi van akkor, ha adott ez a három pont, és egy olyan negyedik pontot kell találnunk, hogy a négy pont egy négyzet csúcsai legyenek.

Húzzuk be megint az oldalakat…
És kész is.

Végül itt van ez a három pont, és adjunk meg egy olyan negyedik pontot, hogy a négy pont egy négyzet csúcsai legyenek.

Megint jönnek a vonalak…
Meg is van…

De sajnos van egy kis gond.

Ez egy téglalap és nem négyzet.

A feladat viszont négyzetet akart.

Sajna már ezek az oldalak sem egyforma hosszúak, amit a feladat adott meg…
Így aztán ebből már biztosan nem lesz négyzet.

Vagyis ez a feladat nem megoldható.

Négyzet helyett téglalapot viszont lehet találni.

Hát, ennyit a téglalapokról…