- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- L’Hôpital szabály
- Teljes függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Sorok & hatványsorok & Taylor-sorok
- Taylor polinom és Taylor sor
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Parciális deriválás, iránymenti derivált, érintősík
- Kétváltozós függvények
- Kétváltozós határérték és totális differenciálhatóság
- Kettős és hármas integrál
- A határérték precíz definíciója
- Függvények határértéke és folytonossága
Parciális deriválás, iránymenti derivált, érintősík
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Gradiensvektor
Az $f(x,y)$ függvény $x$ és $y$ szerinti deriváltjaiból álló vektort derivált-vektornak vagy másként gradiensnek hívjuk.
Íme a derivált-vektor:
\( \underline{f}'(x_0,y_0)= \begin{bmatrix} f'_x(x_0,y_0) \\ f'_y(x_0,y_0) \end{bmatrix} \quad \text{röviden} \quad \underline{f}'=\begin{bmatrix} f'_x \\ f'_y \end{bmatrix} \)
A derivált-vektor segítségével tudjuk kiszámítani az iránymenti deriváltat.
Iránymenti derivált
Az iránymenti derivált azt jelenti, hogy egy általunk megadott tetszőleges $\underline{v}$ irány mentén milyen meredeken emelkedik a függvény felülete.
Az $f(x,y)$ függvény $\underline{v}$ iránymenti deriváltja az $(x_0,y_0)$ pontban:
\( \frac{ \delta f(x_0,y_0)}{\delta \underline{v} } = \underline{f}'(x_0, y_0) \cdot \underline{v} \)
(Itt $\underline{v}$ egységvektor)
Az érintősík egyenlete
Az $f(x)$ függvényhez a $P(x_0,y_0, z_0)$ pontban húzott érintősík egyenlete:
\( z=f'_x (x_0,y_0)(x-x_0) + f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)+f(x_0,y_0) \)
Implicit függvény
Egy függvény akkor implicit, ha $y$ nincs kifejezve, vagyis nem $y=\dots$ alakú.
Implicit függvény derivátlja
Ha $F(x,y)=0$ egy egyváltozós implicit függvény, akkor deriváltja:
\( \frac{ \delta y }{\delta x} = - \frac{ F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)} \qquad \frac{ \delta x}{ \delta y} = - \frac{ F'_y(x,y)}{F'_x(x,y)} \)
Ha $F(x_1,x_2,\dots,x_{n-1})=0$ egy $n$ változós implicit függvény, akkor az $x_i$, mint implicit függvény deriváltja az $x_j$ változó szerint:
\( \frac{ \delta x_i}{ \delta x_j} = - \frac{ F'_j (x_1, x_2, \dots , x_{n+1} ) }{ F'_i (x_1, x_2, \dots, x_{n+1} )} \)
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
Számoljuk ki az $ f(x,y)=x^4-x^2y^3+\ln{x} $ iránymenti deriváltját a $ \underline{v}=(3,4) $ irány szerint az $(1,2)$ pontban.
a) Adjuk meg az $f(x,y)=x^3-x^2y^4+4y^3$ függvény $(2,1)$ pontbeli értintősíkjának egyenletét!
b) Milyen $ \alpha $ paraméter esetén halad át a $ P(0,1,1)$ pontban az $f(x,y)= \ln{ \left( \alpha \cdot x +y^2 \right) } + y e^x $ függvényhez húzott érintő az $R(1,0,1)$ ponton?
A DERIVÁLT-VEKTOR ÉS AZ IRÁNYMENTI DERIVÁLT
Az függvény x és y szerinti deriváltjaiból álló vektort
derivált-vektornak vagy másként gradiensnek hívjuk.
Íme a derivált-vektor:
, röviden .
A derivált-vektor segítségével tudjuk kiszámítani
az iránymenti deriváltat. Ez az iránymenti derivált
azt jelenti, hogy egy általunk megadott tetsző-
leges irány mentén milyen meredeken emelkedik
a függvény felülete.
Arról van tehát szó, hogy van egy hegymászó,
aki a P pontban áll a felületen és úgy dönt, hogy a
irányban indul el.
Az iránymenti derivált azt mondja meg, hogy milyen meredeken kell mennie.
Az iránymenti derivált kiszámolása nagyon egyszerű, a derivált-vektor és a egységnyi hosszú vektor skaláris szorzata.
Az függvény iránymenti deriváltja az pontban:
(itt egységvektor)
Lássunk erre egy példát!
Számoljuk ki az iránymenti deriváltját a irány szerint az pontban.
A képlet szerint az iránymenti derivált
Itt ez a fura jel a deriválás jele és d-nek kell mondani, de van egy kicsit barátságosabb jelölés is
az iránymenti deriváltra: .
A derivált-vektor kiszámolásához kellenek a parciális deriváltak.
A derivált-vektor tehát
Eddig jó.
Most lássuk a vektort.
A képletben szereplő vektornak egységnyi hosszúságúnak kell lenni.
Mivel azonban most nem egységnyi hosszúságú,
ezért csinálunk belőle egységnyi hosszúságú vektort.
Elosztjuk saját hosszával:
Az iránymenti derivált tehát:
Ha a hegymászó fölteszi nekünk azt a kérdést, hogy milyen irányban kell a P pontból elindulnia ahhoz, hogy a legmeredekebben másszon, nos…
erre éppen tudunk válaszolni.
A felület mindig a gradiens vektor irányában emelkedik a legmeredekebben.
Ha tehát a hegymászó a gradiens vektor
irányában indul el, akkor fog a legmeredekebben menni fölfelé.
tehát ilyen meredeken megy a hegymászó.
Ha még emlékszünk rá, a derivált geometriai jelentése egyváltozós függvények esetében az érintő meredeksége volt.
Az függvényhez a pontban húzott érintő egyenlete:
Az egyváltozós függvények érintője egy egyenes, a kétváltozós függvények érintője egy sík.
A koordináták száma pedig eggyel nagyobb, tehát nem x és y, hanem x, y és z.
az egyváltozós függvényeknél a Az függvényt a pontban érintő sík egyenlete:
Nos ez az érintősík egyenlete.
Lássunk egy példát.
Itt van mondjuk ez a függvény:
és keressük az érintősíkot a pontban.
Itt jön az érintősík egyenlete,
és ezeket kell kiszámolnunk.
Nos ez az érintősík egyenlete:
Ha felbontjuk a zárójeleket és nullára rendezzük,
akkor láthatjuk a sík normálvektorát.
És íme a normálvektor:
Az első két koordináta az x és y szerinti derivált,
a harmadik koordináta pedig mindig mínusz egy.
Milyen paraméter esetén halad át a pontban, az
függvényhez húzott érintő az ponton?
Egy sík akkor megy át egy ponton, ha az adott pont koordinátáit a sík egyenletébe helyettesítve az teljesül.
IMPLICIT FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSI SZABÁLYA
Az egy explicit függvény, deriváltja annak rendje és módja szerint
Egy függvény akkor implicit, ha y nincs kifejezve, vagyis nem y=… alakú.
Implicit függvényt kapunk, ha a függvényt elrontjuk, mondjuk így:
sőt még gyököt is vonunk
Na ez egy implicit függvény.
Ha most az így kapott implicit függvényt deriválnunk kéne, ezt úgy tehetjük meg, hogy az egyenlet mindkét oldalát deriváljuk és y-t egy függvénynek tekintjük*.
mellesleg az is, hiszen .
Nos a jobb oldalon álló x deriváltja egészen biztosan 1.
A bal oldal már jóval izgalmasabb. Itt egy összetett függvény áll:
És szorozni kell még a belső függvény deriváltjával is.
Nekünk ebből -re vagyis az implicit módon megadott függvény deriváltjára van szükségünk.
Próbáljuk meg kifejezni -t
Nos íme itt van.
Mivel pedig , ha ezt beírjuk y helyére…
Ez pedig éppen megegyezik az explicit deriválttal.
Fölmerül a kérdés, hogy miért fáradoztunk ezzel ennyit, ha végül ugyanazt kaptuk, csak sokkal bonyolultabban.
Nos a válasz az, hogy vannak sajnos olyan függvények, amelyeknek nincs explicit alakjuk.
Ennek a függvénynek van explicit alakja, ezért itt az implicit deriválással fölöslegesen fáradoztunk.
De itt van például ez.
Ebben y sehogy sem fejezhető ki, ezért kénytelenek vagyunk implicit módon deriválni.
Vagyis mindkét oldalt deriváljuk, de ne felejtsük el, hogy itt y egy függvény.
Tehát például egy összetett függvény.
Az összetett függvény deriválási szabálya szerint:
Külső függvény deriváltja,
szorozva a belső függvény deriváltjával.
Lássuk tehát az implicit deriválást.
Az egyenlet mindkét oldalát deriváljuk:
Nekünk y deriváltjára van szükségünk, ezért az egyik oldalon összegyűjtjük az összes -t, a többieket átküldjük a másik oldalra:
Aztán kiemeljük -t.
és végül leosztunk:
Nos ez volna az implicit módon megadott függvényünk deriváltja.
Most pedig lássuk az implicit függvények deriválási szabályát.
A módszer lényege, hogy megkönnyítse életünket.
Azt mondja, hogy ha egy implicit függvény, akkor deriváltja:
Nos eddig nincsen ebben semmi bíztató, de lássuk hogyan működik ez a gyakorlatban.
Itt volna az implicit függvény:
amit nullára kell rendezni,
és elkeresztelni F-nek.
Mielőtt végzetes tévedések áldozatául esnénk, tisztázzuk, hogy itt nem kétváltozós függvény, hanem implicit függvény.
Az és az közötti különbség ugyanis óriási.
Lássuk mi is a különbség!
tényleg kétváltozós függvény, x és y szabadon megadható, ám
nem kétváltozós, mert próbáljuk csak meg x helyére 0-t és y helyére a 1-et beírni.
Az jön ki, hogy 2=0 ami nem igaz, vagyis itt x és y közül csak az egyik adható meg szabadon, a másik nem. Na ezért lesz ez a függvény egyváltozós.
Most, hogy mindezt tisztáztuk, lássuk mit mond a képlet.
Az implicit deriválás képlete szerint ezt a függvényt kell deriválni a szokásos parciális deriválással x és y szerint.
És íme, itt az implicit derivált.
Pontosan ugyanaz jött ki, mint korábban,
csak most így sokkal egyszerűbben.
Erre jó az implicit deriválási szabály.
A szabály több változó esetén is működik.
Ha egy egyváltozós implicit függvény, akkor deriváltja:
Ha egy n változós implicit függvény, akkor az , mint implicit függvény deriváltja az változó szerint:
Nézzünk erre egy példát!
Ez egy kétváltozós implicit függvény.
Ugyan három betű van benne, x, y és z, de közülük csak kettő adható meg szabadon az egyenlőség miatt.
A kétváltozós függvényekben x és y szokott lenni a változó, tehát felfoghatjuk ezt a függvényt úgy, hogy
Z=valami x és y
Deriváljuk akkor most x és y szerint:
