Szögszámolós feladatok (5.feladat)
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Két pont távolsága
Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.
Ha tehát le kell mérni két pont távolságát, csak rá kell helyezni a vonalzónkat a két pontra, és már látjuk is a két pont távolságát.
Pont és egyenes távolsága
Pont és egyenes távolságának leméréséhez először a pontból merőlegest kell állítanunk az egyenesre.
A távolság pedig ennek a szakasznak a hossza.
Pont és sík távolsága
Pont és sík távolságának leméréséhez először a pontból merőlegest kell állítanunk a síkra.
A pont és sík távolsága pedig ennek a szakasznak a hossza.
Két egyenes távolsága
Ha a két egyenes metszi egymást, akkor a távolságuknak nincs sok értelme vagy 0.
Ha a két egyenes egymással párhuzamos, akkor a távolságukat úgy kapjuk meg, hogy az egyik egyenes tetszőleges pontjából merőlegest bocsátunk a másik egyenesre.
És a két egyenes távolsága ennek a merőleges szakasznak a hossza.
Ha az egyenesek különböző síkokban futnak, úgy hívjuk őket, hogy kitérő egyenesek.
A kitérő egynesek nem párhuzamosak, de nem is metszik egymást.
A kitérő egyenesek mindig két párhuzamos síkban futnak, így a távolságuk a két sík távolsága.
Kitérő egyenesek
Ha az egyenesek különböző síkokban futnak, úgy hívjuk őket, hogy kitérő egyenesek.
A kitérő egynesek nem párhuzamosak, de nem is metszik egymást.
Kitérő egyenesek láthatunk például autópályáknál, ahol az egyik út keresztezi a másikat egy hídon át.
Két sík távolsága
Ha a két sík metszi egymást, olyankor egy egyenesben metszik egymást és a távolságuknak nincs sok értelme vagy 0.
Ha a két sík párhuzamos, akkor a két sík távolságát úgy kapjuk meg, hogy veszünk az egyik síkon egy tetszőleges pontot, a pontbl merőlegest állítunk a síkra, és a távolságuk ennek a szakasznak a hossza.
Nevezetes ponthalmazok
Két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza a két pontot összekötő szakasznak a szakaszfelező merőleges egyenese.
Három ponttól azonos távolságra lévő pont a három pon köré írható kör középpontja.
Két metsző egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza a két egyenes szögének szögfelezője.
Egyállású szögek
Ha két szögben a szögszárak egymással párhuzamosak és egyforma irányúak is, akkor ezeket a szögeket egyállású szögeknek nevezzük.
Az egyállású szögek egyenlők.
Váltószögek
Ha két szögben a szögszárak egymással párhuzamosak, de irányuk ellentétes, akkor ezeket a szögeket váltószögeknek nevezzük.
A váltószögek egyenlők.
Csúcsszögek
Ha két váltószöget a csúcsuknál összeillesztünk, akkor ezeket a szögeket csúcsszögeknek nevezzük.
A csúcsszögek egyenlők.
Ha két egyenes metszi egymást, akkor mindig két-két csúcsszög pár keletkezik.
Kiegészítő szögek
Ha két szög szárai párhuzamosak és az egyik száruk közös, akkor ezeket a szögeket kiegészítő szögnek nevezzük.
A kiegészítő szögek nem egyenlők (kivéve ha 90°-90°-osak), de ha összeadjuk őket, mindig 180 fokot kapunk.
Pótszögek
Ha két szög 90 fokra egészíti ki egymást, akkor pótszögeknek hívjuk őket.
Egyenlő szárú háromszög
Az egyenlő szárú háromszögben van két egyforma hosszú oldal, amiket szárnak nevezünk. És hát van ugye a harmadik oldal, ez az alap.
Annyit érdemes megjegyezni róla, hogy az alaphoz tartozó súlyvonal, magasságvonal, oldalfelező merőleges és szögfelező mind egybeesik. És ez egyúttal a háromszög szimmetriatengelye is.
És azt is jó tudni róla, hogy az alapon fekvő szögek egyformák.
Szabályos háromszög
Szabályos háromszögnek minden oldala és minden szöge egyenlő (tehát a szögek 60°-osak).
Szabályos háromszögben a körülírt kör középpontja, a magasságpont és a súlypont is egybeesnek.
Derékszögű háromszög
Derékszögű háromszögnek van $90°$-os szöge.
A derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezzük, a másik kettőt pedig befogónak.
Hegyesszögű háromszög
A hegyesszögű háromszögek minden szöge hegyesszög, azaz $0°$-nál nagyobbak, de $90°$-nál kisebbek.
Tompaszögű háromszögek
A tompaszögű háromszögek azok, amelyeknek van egy tompaszöge, azaz egy olyan szöge, ami $90°$-nál nagyobb, de $180°$-nál kisebb.
Háromszög egyenlőtlenség
A háromszög egyenlőtlenség szerint minden háromszög bármelyik oldalának rövidebbnek kell lennie, mint a másik két oldal összege.
$a+b>c \qquad a+c>b \qquad b+c>a$
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
a) Egy háromszög két szöge 65° és 54°. Mekkora a hiányzó harmadik szöge? Mekkorák a külső szögei?
b) Egy háromszög két szöge 62° és 56°. Mekkora a hiányzó harmadik szöge? Mekkorák a külső szögei?
c) Egy egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei 65°-osak. Mekkora a szárak által közbezárt szög?
d) Egy másik egyenlő szárú háromszögben a szárak által bezárt szög 48°. Mekkorák az alapon fekvő szögei?
e) Egy egyenlőszárú háromszögben a szárszög 15°-kal kisebb, mint az alapon fekvő szögek. Mekkorák a szögei?
f) Egy másik egyenlő szárú háromszögben az alapon fekvő szögek kétszer akkorák, mint a szárszög. Mekkorák a szögei?
g) Egy egyenlőszárú háromszög egyik szöge 48°. Mekkora lehet a másik két szöge?
a) Számoljuk ki az alábbi ábrán az összes szöget (a két vízszintes egyenes párhuzamos).
b) Számoljuk ki itt is az ismeretlen szögeket.
Az alábbi \(ABC\) egyenlőszárú háromszögekről tudjuk, hogy
\(AC=BC\).
Egy szöget megadtunk az ábrákon.
Számítsuk ki a háromszögek másik két szögét!
Az ábrákon egyenlőszárú háromszögek láthatók, amikről tudjuk az oldalaik közötti összefüggést.
Számítsuk ki a háromszögek másik két szögét!
Egy egyenlőszárú háromszögről tudjuk, hogy az egyik szöge 40°-os.
Rajzoljuk meg az összes lehetőséget, és számítsuk ki a háromszögek másik két szögét!
Számítsuk ki az ábrán látható szürkével jelölt szögek nagyságát, ha az \(e\) és az \(f\) egyenesek, valamint a \(g\) és a \(h\) egyenesek párhuzamosak!
Számítsuk ki az ábrán látható szürkével jelölt szögek nagyságát, ha az \(e\) és az \(f\) egyenesek párhuzamosak!
Számítsuk ki az ábrán látható szürkével jelölt szögek nagyságát, ha adott három színnel, három különböző szög nagysága!
Számítsuk ki az ábrán látható szürkével jelölt szögek nagyságát, ha az \(e\) egyenes a \(B\) csúcsnál lévő szög szögfelezője, az \(f\) egyenes pedig a \(C\) csúcsnál lévő szög szögfelezője!
Az ábrán látható \(ABC\) háromszögben az \(AC\) oldalon úgy vettük fel a \(Q\) pontot, hogy az \(AB\) szakasz és a \(BQ\) szakasz hossza egyenlő. Az ábrán megadtuk három szög nagyságát.
Határozd meg az \(ABC\) háromszög szögeit! (Az ábra csak tájékoztató jellegű vázlat, nem pontos méretű.)
Az alábbi ábrán vázolt \(ABC\) háromszög \(AC\) oldalának meghosszabbításán lévő \(D\) pont és az \(AB\) oldalon lévő \(P\) pont úgy helyezkednek el, hogy \(BC = PC\) és \(AB = AD\), valamint az \(APC\) háromszög \(P\) csúcsánál lévő szögének nagysága \(110^\circ\), a \(BCD\) háromszög \(B\) csúcsánál lévő szögének nagysága pedig \(7^\circ\).
(Az ábra csak tájékoztató jellegű vázlat, nem pontos méretű.)
Mekkora az \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) és \(\delta\) szögek nagysága?
Az alábbi ábrán vázolt \(ABC\) egyenlő szárú háromszöget (\(AB = AC\)) az \(A\) csúcsa körül \(44^\circ\)-kal elforgattuk, így keletkezett az \(ADE\) háromszög.
Az így kapott háromszögben az \(E\) csúcsnál lévő szög \(76^\circ\)-os.
(Az ábra csak tájékoztató jellegű vázlat, nem pontos méretű.)
Mekkora az \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) és \(\delta\) szögek nagysága?
Az alábbi ábrán az \(e\) és \(f\) szakasz az \(ABC\) háromszög \(A\) csúcsánál lévő belső szöget harmadolja, továbbá \(AH = HC\).
Az ábrán egy szög nagyságát megadtuk.
(Az ábra csak tájékoztató jellegű vázlat, nem pontos méretű.)
Mekkora az \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) és \(\delta\) szögek nagysága?
Az ábrán látható \(ABCDE\) szabályos ötszögbe \(5\) darab egybevágó deltoidot rajzoltunk. A deltoidok egy csúcsa az ötszög csúcsaira esnek, a vele szemben lévő csúcs pedig az \(5\) deltoid esetén azonos. Az ábrán továbbá feltüntettük egy szög nagyságát.
(Az ábra csak tájékoztató jellegű vázlat, nem pontos méretű.)
Mekkora az \(\alpha\), \(\beta\) és \(\gamma\) szögek nagysága?
Az \(ABCDE\) ötszögben tudjuk, hogy \(AB = AC = CD = CE = AE\).
Az ábrán továbbá megadtuk két szög nagyságát.
(Az ábra csak tájékoztató jellegű vázlat, nem pontos méretű.)
Mekkora az \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) és \(\delta\) szögek nagysága?
Az \(ABCD\) szimmetrikus trapézról tudjuk, hogy \(AD = CD\). A trapézt a \(B\) csúcsa mentén elforgattuk \(136^\circ\)-kal, így egy \(BEFG\) trapézt kaptunk. Az \(e\)-vel jelölt szakasz az elforgatott trapéz egyik átlója.
Mekkora az \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) és \(\delta\) szögek nagysága?
Az \(ABC\) háromszögben az \(\alpha\) szög feleakkora, mint a \(\beta\) szög, továbbá az \(e\) egyenes a \(C\) csúcsnál lévő szög szögfelezője. A háromszög \(A\) csúcsára állított merőlegesnek és az \(e\) egyenesnek a metszéspontját \(D\) jelöli. Az \(e\) egyenes és a \(BC\) oldal metszéspontja az \(E\) pont. A \(D\) csúcsnál lévő szöget megadtuk.
(Az ábra csak tájékoztató jellegű vázlat, nem pontos méretű.)
Mekkora az \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) és \(\delta\) szögek nagysága?
a) Az ABC háromszögben a B csúcsnál lévő külső szög nagysága 144°. Az f egyenes az AC oldal felezőmerőlegese, a g pedig a C csúcsánál lévő szögnek a szögfelezője. Az f és a g az AB oldalon metszi egymást a P pontban. Mekkorák a bejelölt szögek?
b) Az ABC háromszög B csúcsánál lévő szög kiegészítő szögének szögfelezője f. A háromszög A csúcsából a BC oldal egyenesére bocsájtott merőleges egyenes pedig m. Mekkorák a háromszög szögei?
c) Az e egyenes az ABC háromszög A csúcsánál lévő szög kiegészítő szögét felezi. Az f egyenes pedig a háromszög B csúcsánál lévő szögét felezi. Az f egyenes a P pontban metszi az AC oldalt, és a Q pontban metszi az e egyenest. Tudjuk még, hogy PQ = AQ. Mekkorák az ABC háromszög szögei?
A geometria építőkockái a pontok, az egyenesek és a síkok.
A pontokat az ABC nagy betűivel jelöljük…
Az egyeneseket és a síkokat pedig kis betűkkel.
És most nézzük, hogy milyen távol vannak ezek egymástól.
Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.
Egy pont és egy egyenes távolsága már izgalmasabb…
A pontból merőlegest állítunk az egyenesre…
És a távolság ennek a szakasznak a hossza.
Egy pont és egy sík távolsága pedig…
Ilyenkor a síkra állítunk merőlegest a pontból.
A pont és a sík távolsága ennek a szakasznak a hossza.
A pontokkal végeztünk.
Jöhetnek az egyenesek.
Nézzük, mekkora ezeknek az egyeneseknek a távolsága.
Hogyha az egyenesek metszik egymást, akkor nem értelmezzük a távolságukat.
Ha az egyenesek egymással párhuzamosak…
Amikor az egyenesek egymással párhuzamosak...
A távolságukat úgy kapjuk meg, hogy ez egyik egyenes tetszőleges pontjából merőlegest bocsátunk a másik egyenesre.
És a két egyenes távolsága ennek a merőleges szakasznak a hossza.
Végül van egy harmadik lehetőség is.
Olyankor, amikor az egyenesek különböző síkokban futnak…
Úgy hívjuk őket, hogy kitérő egyenesek.
És a távolságuk…
A kitérő egyenesek mindig két egymással párhuzamos síkban futnak.
Az egyenesek távolsága pedig éppen ennek a két síknak a távolsága.
És, hogy mit is jelent két sík távolsága…
Hogyha a síkok metszik egymást, akkor nem értelmezzük a távolságukat.
Ha pedig párhuzamosak, akkor a két sík távolságát úgy kapjuk, hogy veszünk az egyik síkon egy tetszőleges pontot…
A pontból merőlegest állítunk a síkra…
És a távolság ennek a szakasznak a hossza.
Van itt ez a két pont…
És próbáljuk meg kideríteni, hogy hol helyezkednek el a síkban azok a pontok, amelyek egyenlő távolságra vannak ettől a két ponttól.
Egy ilyen pont biztosan van…
A két pontot összekötő szakasz felezőpontja.
De van még több is…
A két pont közti szakasz felezőmerőleges egyenese.
Két ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a két pontot összekötő szakasznak a szakaszfelező merőleges egyenese.
Most nézzük mi a helyzet, ha felbukkan egy harmadik pont…
A B-től és C-től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza ez.
A BC szakasz szakaszfelező merőlegese.
És az a pont ahol a két szakaszfelező merőleges metszi egymást…
Ez a pont egyenlő távolságra van mindhárom ponttól.
Így aztán rajta van az AC szakasz szakaszfelező merőlegesén is.
Három ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a három pontot összekötő szakaszok felezőmerőlegeseinek a közös metszéspontja.
Egyedül az okozhat kisebb problémát…
Amikor a három pont egy egyenesre esik.
Ilyenkor ugyanis a szakaszfelezők nem metszik egymást.
Vagyis nincsen olyan pont, ami a három ponttól egyenlő távolságra lenne.
Két egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az egyenesek által bezárt szögek szögfelezői.
Ezek itt az egyenesek…
Ez az egyenesek által bezárt szög…
És ez a szögfelező.
Na persze van itt egy másik szög is…
És ennek is van egy szögfelezője.
Olyankor pedig, amikor az egyenesek párhuzamosak…
A két egyenes között félúton futó egyenes van egyenlő távolságra mindkét egyenestől.
És három egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza…
Menjünk szépen sorban…
Ez a szögfelező egyenlő távol fut ettől a két egyenestől.
Meg ez is.
Aztán ezek a szögfelezők egyenlő távol futnak a másik két egyenestől…
Végül itt jönnek még ezek is.
Mindhárom egyenestől egyenlő távolságra van ez a vont…
És még három másik…
És olyankor, amikor a három egyenes párhuzamos, nincs ilyen pont.
És most nézzük, mit tudnak a háromszögek.
Vannak hegyes-szögű háromszögek…
Ezeknek minden szöge hegyes-szög.
És vannak tompaszögű háromszögek…
Ezeknek minden szöge tompaszög.
Ja, nem.
A tompaszögű háromszögeknek csak az egyik szöge lehet tompaszög.
Hogyha ugyanis két tompaszögük is lenne…
Hát igen, így már nem kapnánk háromszöget…
Van még egy harmadik kategória is…
Ezek a derékszögű háromszögek.
Ezt jó tudni, írjuk is föl magunknak valahova ide.
És így szépen megjelent egymás mellett a háromszög mindhárom belső szöge.
Vannak aztán a háromszögnek külső szögei is.
A B csúcsnál a külső szög…
Hát, az nem ez…
A B csúcsnál a külső szög az ez.
De lehet ez is.
A külső szögek tehát ilyen kiegészítő szögek.
És bármely háromszögben a külső szögek összege 360o.
Ezt is felírhatnánk ide…
De inkább mégse.
A háromszögek belső szögeinek az összege ugyanis mindig 180 fok.
Így hát nem lehet benne két olyan szög, ami 90 foknál nagyobb.
Most pedig essünk túl néhány dögunalmas formaságon.
A háromszögek csúcsait az ABC nagy betűivel jelöljük.
És a szögeket pedig görög betűkkel jelöljük.
Hogyha veszünk most még egy ugyanilyen háromszöget…
És így szépen egymás mellé rakjuk őket…
Akkor ez a szög itt éppen 180o.
Ezek a szögek pedig váltószögek…
Tehát egyforma nagyok.
Vagyis bármely háromszög belső szögeinek összege éppen 180o.
A belső szögek összege mindig 180 fok.
És van itt még valami…
A háromszög bármelyik oldalának rövidebbnek kell lennie, mint a másik két oldal összege.
Csak így tudunk belőlük háromszöget építeni.
Hogyha a c oldal hosszabb lenne, mint az a és b oldal összege…
Bárhogyan is próbálkozunk…
Nem lesz belőle háromszög.
Ezt a nem túl bonyolult dolgot hívjuk háromszög-egyenlőtlenségnek.
HÁROMSZÖGEK
Háromszög-egyenlőtlenség
Minden háromszögben bármelyik két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál.
Ezt háromszög-egyenlőtlenségnek hívják.
A háromszögek egyik speciális típusa az egyenlő szárú háromszögek.
Az egyenlő szárú háromszögek úgy működnek, hogy van két ugyanakkora oldaluk…
Ezeket hívjuk száraknak.
És van még egy harmadik oldal, amit alapnak nevezünk.
.
Az egyenlő szárú háromszögek tengelyesen szimmetrikusak.
Vagyis az alapon fekvő szögek egyformák.
A szárak által bezárt szöget pedig a szimmetriatengely felezi.
Az alapot a-val szoktuk jelölni…
A szárakat pedig b-vel.
Az a oldallal szemben van az A csúcs…
És az A csúcsnál van az a szög.
A szárakat b-vel jelöljük.
És ezek béta szöget zárnak be az alappal.
Hogyha az egyenlő szárú háromszögben az alap is ugyanolyan hosszú, mint a szárak…
Akkor szabályos háromszöget kapunk.
A szabályos háromszögnek minden oldala ugyanakkora.
És minden szöge is ugyanakkora.
Mivel pedig a háromszögek belső szögeinek összege 180 fok…
Végül itt jön még egy speciális háromszögfajta…
A derékszögű háromszög.
A derékszögű háromszögnek azt az oldalát, ami a derékszöggel szemben van, átfogónak hívjuk.
átfogó
A másik két oldal pedig, amik befogják a derékszögű csúcsot…
Azok a befogók.
befogó
És még egy dolog…
A derékszöget lehet jelölni így is…
Meg így is.
A csúcsokat úgy szoktuk a derékszögű háromszögekben elnevezni, hogy mindig a C csúcsnál legyen a derékszög.
És a vele szemben lévő oldalt vagyis az átfogót hívjuk c-nek.
A másik két csúcs A és B…
És velük szemben van az a és b oldal, amik mindketten befogók.
Kezdetnek ennyit a háromszögekről.
