- Algebra, betűs kifejezések használata
- Nevezetes azonosságok, binomiális tétel
- Elsőfokú egyenletek
- Egyenletrendszerek
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Függvények
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Számtani és mértani sorozatok
- Kamatos kamat és pénzügyi számítások
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Kombinatorika
- Valószínűségszámítás
- A várható érték
- Geometriai valószínűség
Geometriai valószínűség
Geometriai valószínűség
Ha egy esemény előfordulását geometriai alakzat (vonal, síkidom, test) mértékével jellemezzük, akkor geometriai valószínűségről beszélünk.
Ilyenkor a szokásos $P=\frac{ \text{kedvező} }{ \text{összes}}$ lehet mondjuk $P=\frac{ T_{kedvező} }{T_{összes} } $
a) Egy lavina 8000 m2 nagyságú területet temetett be egy síterepen. Bob éppen ott snowboardozott, ezért a keresésére indultak. Mekkora az esélye, hogy ha a mentőcsapat egy 600 m2 nagyságú területet átvizsgál, akkor megtalálják Bobot?
b) Bob délután 15 és 16 óra között véletlenszerűen érkezett az állomásra. A vonatok 25 percenként indulnak, és az első vonat ebben az órában 15:05-kor ment. Mekkora a valószínűsége, hogy Bobnak 10 percnél kevesebbet kell várnia a vonatra?
c) Egy 57 kilométer hosszú vasúti alagút belsejébe két menekítő állomást is építettek, hogyha a vonaton esetleg tűz keletkezne, akkor ezeken az állomásokon keresztül tudják az utasok elhagyni a vonatot és az alagutat. Az állomások az alagút bejárataitól 18 kilométerre vannak, a két állomás távolsága pedig 21 kilométer. Mekkora a valószínűsége, hogyha a vonaton az alagútban tűz keletkezik, akkor 5 percen belül odaér valamelyik menekítő állomásra, vagy kiér az alagútból? A vonat sebességét a tűz észlelésétől a megállásig átlagosan 180 km/h-nak tekinthetjük.
Egy szerencsekeréken három nyerő mező van. A piros mezővel 4000 forintot, a kék mezővel 7000 forintot és a sárga mezővel 9000 forintot lehet nyerni. Mindegyik mező körcikk alakú, a piros körcikkhez 90 fokos, a kékhez 60 fokos, a sárgához pedig 45 fokos középponti szög tartozik, a kerék többi része szürke. A nyeremény akkora, amelyik mezőnél a kerék a pörgetés után megáll. Ha a szürke résznél áll meg, akkor nem nyerünk semmit.
Mekkora a valószínűsége, hogy
a) 4000 forintot nyerünk?
b) nem nyerünk semmit?
c) 5000 forintnál többet nyerünk?
Egy mérőrúd hossza 1 méter, és a rúd 10 centiméterenként felváltva piros és fehér színű. A rúd véletlenszerűen valamelyik centiméternél két részre törik. Mekkora a valószínűsége, hogy mindkét részén ugyanannyi és legalább egy centiméteres piros sáv lesz?
a) Anna minden reggel 6 és fél 7 között véletlenszerűen érkezik a buszmegállóba. Kétféle buszjárat jó neki, az egyik 15, a másik 20 percenként indul reggel 6 órától kezdve. Mennyi a valószínűsége, hogy Annának nem kell 5 percnél többet várnia a buszmegállóban?
b) Két webáruházból is házhozszállítással rendeltünk. A szállítandó árut mindkét áruházból délután 5 és 6 óra közötti idősávba rendeltük, hogy ne kelljen feleslegesen sokat várakozni. Az áru kipakolása mindkét esetben 10 percet vesz igénybe. Mekkora a valószínűsége, hogy a futárok éppen egy időben fognak érkezni, vagyis az egyik futár még ott lesz, amikor a másik érkezik?
c) Egy raktárhoz 24 órás időtartamon belül véletlen időpontokban két kamion érkezik. Az előbb érkező kamion rögtön megkezdi a rakodást. A rakodás az egyik kamionnál 1, a másiknál 2 órát vesz igénybe. Ha a második kamion akkor érkezik, amikor az elsőre még rakodnak, akkor várakoznia kell a rakodás befejezéséig. Mekkora a valószínűsége, hogy a két kamion közül valamelyiknek várakoznia kell?
a) Egy kör alakú céltáblára lövés érkezik. Mi a valószínűsége, hogy a lövés helye közelebb lesz a kör középpontjához, mint a határvonalához, feltéve, hogy minden lövésünk eltalálja a céltáblát?
b) Egy 10x10 cm-es négyzetre leejtünk három darab 1 cm sugarú érmét. Mennyi a valószínűsége, hogy mindhárom érme a négyzet valamelyik csúcsát le fogja fedni? (Az érméket egymás után dobjuk el.)
a) A (0,5) intervallumot felosztjuk (0,2) és (2,5) részekre. Egymás után véletlenszerűen kiválasztunk két pontot, mekkora valószínűséggel esnek különböző részekbe?
b) Egy 10x10 cm-es négyzetre leejtünk három darab 2 cm sugarú érmét. Mennyi a valószínűsége, hogy legalább két érme nem fogja érinteni a négyzet egyik szélét sem, tehát teljesen a belsejében landol? (Az érméket egymás után dobjuk el.)
a) A (0,1) intervallumban véletlenszerűen kiválasztunk két számot. Mennyi a valószínűsége, hogy az egyik szám több lesz, mint a másik kétszerese?
b) A (0,3), (0,5) szakaszokon véletlenszerűen választunk egy-egy pontot, jelölje x és y . Mennyi a valószínűsége, hogy az x, y, és 2 hosszúságú szakaszokból szerkeszthető háromszög?
Egy szerencsekeréken három nyerő mező van. A piros mezővel 4000 forintot, a kék mezővel 7000 forintot és a sárga mezővel 9000 forintot lehet nyerni. Mindegyik mező körcikk alakú, a piros körcikkhez 90 fokos, a kékhez 60 fokos, a sárgához pedig 45 fokos középponti szög tartozik, a kerék többi része szürke. A nyeremény akkora, amelyik mezőnél a kerék a pörgetés után megáll. Ha a szürke résznél áll meg, akkor nem nyerünk semmit.
Mekkora a valószínűsége, hogy
9000 forintot nyerünk?
nem nyerünk semmit?
5000 forintnál többet nyerünk?
Jön a szokásos képlet…
És most lássuk, mekkora a sansza, hogy nem nyerünk semmit…
Kezdjük azzal, hogy megnézzük, mikor nyerünk.
Ez így összesen:
A teljes kör pedig 360 fok.
Vagyis amikor nem nyerünk:
Nekünk most az a kedvező, ha nem nyerünk…
Végül nézzük, mekkora az esélye, hogy 5000 forintnál többet nyerünk.
Ilyenkor vagy 7000-et nyerünk…
Vagy pedig 9000-et.
A jelek szerint 0,2917 a valószínűsége, hogy 5000-nél többet nyerünk.
Egy mérőrúd hossza 1 méter, és a rúd 10 centiméterenként felváltva piros és fehér színű. A rúd véletlenszerűen valamelyik centiméternél két részre törik. Mekkora a valószínűsége, hogy mindkét részén ugyanannyi és legalább egy centiméteres piros sáv lesz?
Hát nézzük, hogyha mondjuk itt törik el…
Akkor biztosan nem lesz mindkét darabon ugyanannyi piros.
Akkor lesz mindkét részén ugyanannyi piros, ha itt törik el.
Ilyenkor mindkét részen 3 piros sáv lesz.
És akkor lesz minden piros sáv legalább egy centiméteres, ha a törés…
Ha a törés valahol itt van.
Ez egy 8 centiméteres szakasz.
Egy szerencsekeréken három nyerő mező van. A piros mezővel 4000 forintot, a kék mezővel 7000 forintot és a sárga mezővel 9000 forintot lehet nyerni. Mindegyik mező körcikk alakú, a piros körcikkhez 90 fokos, a kékhez 60 fokos, a sárgához pedig 45 fokos középponti szög tartozik, a kerék többi része szürke. A nyeremény akkora, amelyik mezőnél a kerék a pörgetés után megáll. Ha a szürke résznél áll meg, akkor nem nyerünk semmit.
Mekkora a nyeremény várható értéke?
Kezdjük azzal, hogy megnézzük, mekkora a sansza, hogy 4000-et nyerünk.
A 7000 forintos nyeremény esélye: