- Halmazok, egyenletek, azonosságok
- Trigonometria, komplex számok, polinomok
- Vektorok, mátrixok, determináns
- Függvények, függvények ábrázolása
- Összetett függvény, inverz függvény
- Sorozatok határértéke
- Határérték epszilonos definíciója, monotonitás
- Végtelen sorok
- Függvények határértéke és folytonossága
- Deriválás
- Differenciálhatóság, az érintő egyenlete
- L'Hospital szabály
- Könnyű teljes függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Teljes függvényvizsgálat
- Határozatlan integrálás
- Határozott integrálás és alkalmazásai
- Racionális törtfüggvények integrálása
Határérték epszilonos definíciója, monotonitás
Sorozat határértéke
Az $a_n$ sorozat konvergens és határértéke az $A$ szám, ha minden $\epsilon > 0$ esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $ \mid a_n - A \mid < \epsilon$ minden $n>n_0$-ra.
Konvergens sorozat definíciója
Az $a_n$ sorozat konvergens és határértéke az $A$ szám, ha minden $\epsilon > 0$ esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy
$ \mid a_n - A \mid < \epsilon $ minden $n > n_0$-ra
Divergens sorozat
Az $a_n$ sorozat divergens, és határértéke plusz végtelen, ha bármely $M>0$ szám esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $M<a_n$ minden $n>n_0$-ra.
Az $a_n$ sorozat divergens, és határértéke minusz végtelen, ha bármely $M<0$ szám esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $M>a_n$ minden $n>n_0$-ra.
Az $a_n$ sorozat oszcillálva divergens, ha nincs semmilyen határértéke, vagysi sem egy valós számhoz, sem plusz vagy minusz végtelenbe nem tart.
Sorozatok monotonitása
Az $a_n$ sorozat szigorúan monoton nő, ha $0<a_{n+1}-a_n$.
Az $a_n$ sorozat szigorúan monoton csökken, ha $0>a_{n+1}-a_n$.
Az $a_n$ sorozat monoton nő, ha $0\leq a_{n+1}-a_n$.
Az $a_n$ sorozat monoton csökken, ha $0 \geq a_{n+1}-a_n$.
Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-2} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha
a) \( a_n = \frac{3n^2+5}{2n^2+4} \)
b) \( a_n = \frac{ 2 \cdot 5^n + 4 }{ 4\cdot 5^n +1} \)
Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-3} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha
\( a_n =(-1)^n \frac{2n^2+1}{n^2+n} \)
a) Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-2} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha
\( a_n =\frac{6-n}{8n^2-600} \)
b) Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-3} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha
\( a_n =\frac{5\cdot 4^n - 12}{3 \cdot 4^n - 64} \)
Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását.
a) \( a_n = \frac{6n+7}{2n+1} \)
b) \( a_n = \frac{2n+1}{5n+7} \)
c) \( a_n = \frac{4n^2+7}{3n^2+1} \)
d) \( a_n = \frac{2n^2-3n+6}{n^2+4} \)
Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.
a) \( a_n = \frac{6n+1}{2n+7} \)
b) \( a_n = (-1)^n \frac{2n^2+5}{n^2+1} \)
c) \( a_n = (-1)^n \frac{5^{n+1}+3}{5^n+7} \)
Adjuk meg az \( \epsilon \) -hoz tartozó \( n_0 \) küszöbindexet.
a) \( a_n = \frac{n+1}{n^2+3} \to 0 \)
b) \( a_n = \frac{n^3-3n}{n^3+n^2+1} \to 1 \)
c) \( a_n = \sqrt{\frac{9n^2+1}{n^2+n}} \to 3 \)
Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.
a) \( a_n = \frac{3n^2-7}{2n^2+5} \)
b) \( a_n = \frac{n^2+n}{2n^2+1} \)
Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.
a) \( a_n = (-1)^n \frac{n+1}{n^2+1} \)
b) \( a_n = (-1)^n \frac{3n+2}{n+3} \)
Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.
a) \( a_n = (-1)^n \frac{3n+5}{n+1} \)
b) \( a_n = (-1)^n \frac{5}{n^2+1} \)
Ha egy sorozat előbb utóbb tetszőlegesen megközelít valamilyen számot, akkor a sorozatoknak ezt a tulajdonságát konvergenciának nevezzük.
A konvergencia definícióját több száz év alatt találták ki a matematikusok. Nekünk most lesz rá egy percünk.
Az sorozat konvergens és határértéke az A szám, ha bármilyen pici -hoz tudunk találni olyan indexet, hogy minden ezt követő tag -nál közelebb van az A számhoz.
Ezt nevezzük a sorozat határérték definíciójának.
Mivel azonban a matematika törekszik az egyszerű megfogalmazásokra, nos emiatt még át kell esnie egy kis igazításon.
Íme itt is van.
A leginkább kétségbeejtő rész ebben az új definícióban ez.
De aggodalomra semmi ok. Az, hogy
mindössze ezt jelenti.
Vagyis azt, hogy közelebb van -hoz, mint .
Nézzük meg például, hogy mennyi lesz az -hoz tartozó , ha
Nos, úgy tűnik akkor lesz a sorozat -nál közelebb a határértékéhez, ha
Vagyis a hetedik tagtól és így .
Itt van aztán egy másik nagyszerű sorozat.
Itt az ideje, hogy szeszélyesebben viselkedő sorozatokkal is megismerkedjünk.
És most megszabadulunk az abszolútértékektől.
Fönt kezdjük.
Ha n=1
Lássuk csak, vajon pozitív-e.
Nos, ha n=1, 2, 3, 4, 5 akkor igen. De 6 után negatív.
Minket a nagy n-ek érdekelnek, ugyanis valahol itt lesz.
Most pedig nézzük mi van a nevezővel.
Ha n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 akkor negatív.
De 9-től már pozitív.
Minket most is a nagy n-ek érdekelnek, ugyanis valahol itt lesz.
Beszorzunk és aztán kicsit rendet rakunk…
És íme a küszübindex.
Itt jön egy újabb remek sorozat, és
Lássuk mi a helyzet a nevezővel. Ha n=1, 2, 3, akkor negatív…
De az összes többi n-re pozitív.
Újabb nagyszerű sorozatok felbukkanása várható életünkben. A konvergens sorozatokat már ismerjük:
Itt jönnek aztán a divergens sorozatok.
Ez a sorozat például azért divergens, mert végtelenbe tart.
A sorozat bármilyen számot túlnő, tagjai megállíthatatlanul tartanak a végtelen felé.
Vannak aztán olyan sorozatok is, amelyek azért divergensek, mert mínusz végtelenbe tartanak.
És végül vannak olyan divergens sorozatok is, amelyek nem tartanak sehova. Ilyen sehova sem tartó sorozat például ez:
Az sorozat oszcillálva divergens, ha nincs semmilyen határértéke, vagyis sem egy valós számhoz, sem plusz vagy mínusz végtelenbe nem tart.
Íme a menü:
Nézzük meg, mit művel például ez a sorozat:
A jelek szerint divergens, és tart plusz végtelenbe.
Ez azt jelenti, hogy bármely M>0-ra van olyan n0, hogy
Ha mondjuk , akkor
és így
Ez azt jelenti, hogy sorozatnak a 14696-odik tag utáni összes tagja 600-nál nagyobb.
Ha ez a bizonyos M nem 600, hanem mondjuk 800…
akkor a sorozat egy későbbi tagtól ugyan, de a 800-on is túlnő.
Itt jön aztán egy vicces sorozat. Próbáljuk meg kiszámolni az -hoz tartozó -t
A sorozat divergens.
Így aztán nem létezik -hoz semmiféle .
A sorozatok monotonitásának vizsgálata valóban elég monoton elfoglaltság lesz.
Szóval ne sok izgalomra számítsunk…
Egy sorozat szigorúan monoton növekedő, ha bármelyik tagja nagyobb az előtte lévő tagnál.
Szigorúan monoton csökkenő, ha bármelyik tagja kisebb az előtte lévő tagnál.
Monoton növekedő, ha bármelyik tagja nagyobb vagy egyenlő az előtte lévő tagnál.
És monoton csökkenő, ha bármelyik tagja kisebb vagy egyenlő az előtte lévő tagnál.
Itt van például egy sorozat, és vizsgáljuk meg a monotonitását.
Nos ez elég rémes lesz.
2.1.
A jelek szerint tehát szigorúan monoton nő.
Ugyanezt kideríthetjük egy trükk segítségével is.
Épp itt is jön:
Itt picit álljunk meg gondolkodni.
Mi történik, ha a 4-et egyre nagyobb számokkal osztjuk?
Nos ez.
Nézzünk meg egy másikat is.
A sorozat szigorúan monoton nő.
Lássuk, hogyan jön ez ki a trükk segítségével is:
Jön megint a gondolkodás.
Mi történik, ha a 9/5-öt egyre nagyobb számokkal osztjuk?
A mínusz jellel együtt viszont már szigorúan monoton nő.
És így az egész sorozat is szigorúan monoton nő.
Itt jön aztán egy érdekesebb eset:
Ha akkor a számláló éppen nulla.
Ha akkor pozitív.
Tehát a sorozat monoton nő.
Lássuk, hogyan működik itt a trükk:
Nos, sehogy.
Az okozza a problémát, hogy egyszerre és is szerepel és sajna ilyenkor a trükk nem működik…
Vannak aztán olyan sorozatok is, amelyek nem monotonok.
Sajnos ettől még nem mondható el róluk, hogy izgalmasak volnának.
Itt van például egy ilyen.
Az ilyen sorozatokat oszcilláló sorozatoknak nevezzük.
Ez a sorozat például a nulla körül oszcillál:
ha n páratlan
ha n páros
Mi jöhet még ez után…
