Itt ez a remek függvény, és készítsük el a Fourier-sorát.
\( f(x)= \begin{cases}-4, &\text{ha } -\pi<x\leq 0 \\ 4, &\text{ha } 0<x\leq \pi \end{cases} \quad f(x)=f(x+2\pi) \)
Itt ez a remek függvény, és készítsük el a Fourier-sorát.
\( f(x)= x, \; \text{ha } -\pi<x\leq \pi \quad f(x)=f(x+2\pi) \)
Itt ez a remek függvény, és készítsük el a Fourier-sorát.
\( f(x)= |x|, \; \text{ha } -\pi<x\leq \pi \quad f(x)=f(x+2\pi) \)
Itt ez a remek függvény, és készítsük el a Fourier-sorát.
\( f(x)= \begin{cases}0, &\text{ha } -\frac{\pi}{2}<x\leq 0 \\ 4, &\text{ha } 0<x\leq \frac{\pi}{2} \end{cases} \quad f(x)=f(x+\pi) \)
Itt ez a remek függvény, és készítsük el a Fourier-sorát.
\( f(x)= \begin{cases}-4, &\text{ha } 0<x\leq\pi \\ 4, &\text{ha } \pi<x\leq 2\pi \end{cases} \quad f(x)=f(x+2\pi) \)
Itt ez a remek függvény, és készítsük el a Fourier-sorát.
\( f(x)= \begin{cases}-4, &\text{ha } -\pi<x\leq -\frac{\pi}{2}\\ 0, &\text{ha } -\frac{\pi}{2}<x\leq \frac{\pi}{2}\\ 4, &\text{ha } \frac{\pi}{2}<x\leq \pi \end{cases} \quad f(x)=f(x+2\pi) \)
Itt ez a remek függvény, és készítsük el a Fourier-sorát.
\( f(x)= \begin{cases}x, &\text{ha } 0<x\leq\pi \\ 4, &\text{ha } \pi<x\leq 2\pi \end{cases} \quad f(x)=f(x+2\pi) \)
Itt ez a remek függvény, és készítsük el a Fourier-sorát.
\( f(x)=x^2 \quad f(x)=f(x+2\pi) \)
Végezzük el a Fourier-transzformációt a négyszög-impulzuson:
\( f(t)=\begin{cases} 1, & \text{ha } -\frac{1}{2} \leq t \leq \frac{1}{2}\\ 0, & \text{különben}. \end{cases} \)
a) Az $f$ függvény Fourier-transzformáltja $F$. Fejezzük ki az $F$ segítségével ezt a Fourier-transzformáltat:
\( \mathcal{F} \left[ f(4x-12) \right] \)
b) Adjuk meg az $f(x-4)$ második deriváltjának Fourier-transzformációját, ha az $f$ függvény Fourier-transzformáltja $F$.
c) Tudjuk, hogy az $f$ függvény Fourier-transzformáltja:
\( \mathcal{F}(\omega)= \frac{2}{1+\omega^2} \)
Mi lesz az $f(4x-3)$ deriváltjának Fourier-transzformációja?
a) Adjuk meg a Fourier-transzformáltját: $f(x)=e^{-\mid x \mid} $
b) Az $f$ függvény Fourier-transzformáltja az $F$ függvény:
\( f(x)=e^{-\mid x \mid} \qquad F(\omega)=\frac{1}{1+\omega^2} \)
Keressük azt a $g$ függvényt, aminek a Fourier-transzformáltja:
\( G(\omega)= \frac{1}{\omega^2-6\omega+10} \)
a) Az $f$ függvény Fourier-transzformáltja az $F$ függvény.
Adjuk meg $F$ segítségével ennek a függvénynek a Fourier-transzformáltját:
\( f^{(4)}(3x-12) \)
b) Az $f$ függvény Fourier-transzformáltja az $F$ függvény.
\( f(x)=e^{-x^2} \qquad F(\omega)=\sqrt{\pi} \cdot e^{-\frac{\omega^2}{4}} \)
Adjuk meg a Fourier-transzformáltját a $g$ függvénynek:
\( g(x)=e^{-(2x+10)^2} \)
c) Az $f$ függvény Fourier-transzformáltja az $F$ függvény.
\( f(x)=e^{-x^2} \qquad F(\omega)=\sqrt{\pi} \cdot e^{-\frac{\omega^2}{4}} \)
Adjuk meg a Fourier-transzformáltját a $g$ függvénynek:
\( g(x)=x\cdot e^{-x^2} \)
d) Az $f$ függvény Fourier-transzformáltja az $F$ függvény.
\( f(x)=\begin{cases} 1, & \text{ha } -1 < x \leq 0\\ 2, & \text{ha } 0<x\leq 1 \\ 0, & \text{különben} \end{cases} \)
Adjuk meg a Fourier-transzformáltját a $g$ függvénynek:
\( g(x)=\begin{cases} 1, & \text{ha } 1 < x \leq 2\\ 2, & \text{ha } 2<x\leq 3 \\ 0, & \text{különben} \end{cases} \)
Az $f$ függvény Fourier-transzformáltja az $F$ függvény.
\( f(x)=e^{- \mid x \mid} \qquad F(\omega)=\frac{1}{1+\omega^2} \)
Adjuk meg azt a $g$ függvényt, aminek a Fourier-transzformáltja:
a) \( G(\omega)=\frac{1}{1+(\omega-4)^2} \)
b) \( G(\omega)=\frac{1}{1+4\omega^2} \)
c) \( G(\omega)=\frac{1}{5+\omega^2} \)
d) \( G(\omega)=\frac{1}{4\omega^2+12\omega+10} \)
Az $f$ függvény Fourier-transzformáltja az $F$ függvény.
\( f(x)=\begin{cases} e^x, & \text{ha } x<0\\ 0, & \text{ha } 0 \leq x \end{cases} \qquad F(\omega)=\frac{1}{1-i \omega} \)
Adjuk meg a Fourier-transzformáltját a $g$ függvénynek:
a) \( g(x)=\begin{cases} e^{4x+12}, & \text{ha } x<0\\ 0, & \text{ha } 0 \leq x \end{cases} \)
b) \( g(x)=\begin{cases} e^{x-2}, & \text{ha } x<2\\ 0, & \text{ha } 2 \leq x \end{cases} \)
c) \( g(x)=\begin{cases} e^{4x-10}, & \text{ha } x<3\\ 0, & \text{ha } 3 \leq x \end{cases} \)
d) \( g(x)=\begin{cases} e^{-2x}, & \text{ha } x>0\\ 0, & \text{ha } x \leq 0 \end{cases} \)
