- Helyiértékes számírás, egész számok, negatív számok, római számok
- Műveletek és a műveleti sorrend
- Sorbarendezéses feladatok, kombinatorika
- Számrendszerek és a hatványozás alapjai
- Halmazok
- Írásbeli összeadás, kivonás, szorzás, osztás
- Törtek
- Tizedes törtek
- Betűs kifejezések: az algebra
- Hatványozás, a hatványozás azonosságai, normálalak
- Százalékszámítás
- Nyitott mondatok
- Egyenletek megoldása, a mérleg-elv
- Egyenes arányosság, fordított arányosság
- Arányos osztás, szöveges feladatok arányos osztással
- Szöveges feladatok (könnyebb feladatok)
- Szöveges feladatok (nehezebb feladatok)
- Függvények, hozzárendelések és grafikonok
- Mértékegységek, mértékegységek átváltása
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Sokszögek, konvex/konkáv, átlók, szögek
- Kerület és terület
- Téglalapok és négyzetek
- Háromszögek, háromszögek területe
- Négyszögek, négyszögek területe
- A kör
- Testek térfogata és felszíne
- Hasábok felszíne és térfogata
- Gúlák térfogata és felszíne
- Tükrözések, forgatások, egybevágósági transzformációk
- Koordinátarendszer, pontok koordinátái
- Szerkesztések, vonalzó, körző, szögmérő
- Háromszögek nevezetes pontjainak szerkesztése
- Tengelyesen vagy középpontosan szimmetrikus alakzatok szerkesztése
- Oszthatóság, LNKO, LKKT, prímszámok
- Adatgyűjtés, grafikonok, diagramok, statisztika
- Gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség
- Lineáris függvények ábrázolása
- A négyzetgyök és az irracionális számok
- A Pitagorasz-tétel
Számrendszerek és a hatványozás alapjai
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Hatványozás
A hatványozás a szám önmagával vett szorzatait rövidíti.
Pl.: $6^3=6\cdot 6\cdot 6=216$
Itt a $6$-ot a hatvány alapjának nevezzük, a $3$-at kitevőnek, az eredményt pedig a hatvány értékének.
Hatványazonosság I.
Ha azonos alapú hatványokat szorzunk, akkor a kitevők összeadódnak.
$ a^n \cdot a^k = a^{n+k} $
Hatványazonosság II.
Ha azonos alapú hatványokat osztunk, akkor a kitevők kivonódnak.
$\frac{a^n}{a^k}=a^{n-k}$
Hatványazonosság III.
Hatvány hatványa a kitevők szorzata.
$\left( a^n \right)^k = a^{n\cdot k} $
Nulladik hatvány
Minden nem nulla szám nulladik hatványa 1.
$a^0=1$, ha $a \neq 0$.
Negatív egész kitevőjű hatványozás
Egy nem nulla szám negatív egész kitevőjű hatványát úgy számolhatjuk ki, hogy a reciprokát a kitevő ellentettjére emeljük.
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
Átváltás tizes számrendszerbe
A tizes számrendszerbe való átváltás lépései:
- Elkészítjük a helyiérték-táblázatot (a helyiértékek mindig a számrendszer számának hatványai).
- Oszloponként összeszorozzuk a helyiértéket a számjeggyel és összeadjuk ezeket.
Átváltás tizesből kettes számrendszerbe
A kettes számrendszerbe átváltáshoz elkezdjük a számot 2-vel maradékosan osztogatni, amíg már csak a 0 marad. Ezt követően pedig a maradékokat lentről felfelé visszaolvasva kapjuk meg a kettes számrendszerbeli számot.
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
Írjuk föl hatványalakban ezeket:
a) $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = $
b) $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = $
c) $\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = $
d) $2 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 6 = $
e) $7 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 6 = $
Számoljuk ki ezeket:
a) $-3^4 = $
b) $(-3)^4 = $
c) $\frac{4^3}{5} = $
d) $\left( \frac{4}{5} \right)^3 = $
Írjuk fel egy szám hatványaként:
a) $6^3 \cdot 6^2= $
b) $\frac{6^3}{6^2}=$
c) $\frac{6^3}{6^5}=$
d) $\left( 6^5 \right)^3 = $
e) $\left( \frac{5^3}{5^7}\cdot 5^6 \right)^3= $
Számoljuk ki a következő $10$ hatványokat:
a) $10^6 = $
b) $10^5= $
c) $10^4= $
d) $10^3 = $
e) $10^2 = $
f) $10^1 = $
g) $10^0 = $
a) Váltsuk át az ötös számrendszerbeli $402_5$ számot tizes számrendszerbe.
b) Váltsuk át az $A1E_{16}$ tizenhatos számrendszerbeli számot tizes számrendszerbe.
a) Váltsuk át a 178 tizes számrendszerbeli számot kettes számrendszerbe.
b) Váltsuk át a 178 tizes számrendszerbeli számot ötös számrendszerbe.
a) Váltsuk át az $101101_2$ kettes számrendszerbeli számot tizes számrendszerbe.
b) Váltsuk át az $5062_7$ hetes számrendszerbeli számot tizes számrendszerbe.
c) Váltsuk át a $121$ tizes számrendszerbeli számot kettes számrendszerbe.
Amikor elkezdünk a hatványozással foglalkozni, a legfontosabb amit tehetünk, hogy ne essünk pánikba...
Hatványozni jó dolog és így kezdetben bőven elég annyit tudni, hogy...
Ezt a számot a hatvány alapjának nevezzük...
De hívhatnánk akár Bobnak is...
Teljesen mindegy, úgysem ez a lényeg, hanem az, hogyan tudunk feladatokat megoldani.
Ezt a másik számot pedig itt úgy hívjuk, hogy a hatvány kitevője.
És van itt még valami…
Ha kiszámoljuk, hogy ez az egész mennyi, az a hatvány értéke.
Nézzünk meg még egyet…
És itt van még ez is:
De az izgalmak csak most jönnek…
Írjuk föl hatvány-alakban ezt:
Megszámoljuk, hogy hány darab 3-as van…
És kész is.
Most nézzük, mit kezdhetnénk ezzel:
Hát, ez már érdekesebb…
És itt jön még ez is:
És előfordulhat az is, hogy előbb még rendet is kell tenni…
Nézzük meg például ezeket:
Vagy ezt a másikat:
Ez a hatványozás idáig nem néz ki túl nehéznek…
Úgyhogy lássunk végre valami érdekesebb ügyet.
Itt jön az első buktató, ahol sokan el szoktak vérezni…
Próbáljuk meg kideríteni, hogy ez a két hatvány miben különbözik egymástól.
Kezdjük az elsővel…
Ha egy pillanatra ezt a mínuszjelet elfelejtjük…
Akkor ebben nincsen semmi érdekes.
Az eredmény 81 lesz.
És mínuszjellel pedig…
Ez a második viszont egészen más…
Itt ugyanis a –3 az, amit hatványozunk.
Tehát belőle van 4 darab.
És mivel két negatív szám szorzata pozitív…
A végeredmény +81 lesz.
Hasonló a helyzet ezeknél is:
Itt az elsőnél csak a 4-et hatványozzuk…
A másodiknál viszont mindent hatványozunk, ami a zárójelen belül van.
A hatványozásnál tartottunk…
És addig jutottunk, hogy 63 egyszerűen csak ezt jelenti.
Egy olyan szorzat, amiben három darab 6-ost szorzunk össze egymással.
Itt jön most egy másik hatvány is:
És nézzük meg, mi történik akkor, ha ezeket összeszorozzuk.
Ilyenkor a kitevők összeadódnak.
A dolog általánosan is igaz…
Hát igen, ilyenkor a kitevőket nem összeadjuk, hanem kivonjuk.
Ezt jó tudni, írjuk föl ezt is…
Próbáljuk is ki mondjuk ezen:
És nézzünk meg egy másikat is:
Úgy tűnik, hogy a kitevő lehet nulla is…
Egyébként meg, ha egy tört számlálója és nevezője ugyanaz…
Akkor annak egészen pontosan 1-nek kell lennie.
Így kapjuk, hogy 3-nak a nulladik hatványa éppen 1.
A dolog 5-re is működik…
Sőt, 6-ra is.
Igazából bármilyen számra működik, kivéve a nullát.
Eddig olyan jól alakult minden, hogy most már jönnie kell valami nehezebb dolognak is…
Hát jó, nézzünk valami nehezebbet.
Hopp, itt a kitevő negatív lett…
Ez olyankor van, amikor a nevező kitevője nagyobb…
És ilyenkor…
Az eredmény egy tört.
Hát, ez remek, írjuk föl magunknak ezt is.
Ja, mondjuk ne a 6-tal…
Hanem inkább így általánosan.
És végül még egy dolog…
Nézzük meg, hogyan kell hatványt hatványozni.
Hát, így…
A kitevőket össze kell szorozni és kész is.
Újabb azonosság…
Ezt rögtön ki kell próbálni:
