Téglalapok és négyzetek
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
a) Rajzoljunk be egy negyedik pontot úgy, hogy a négy pont egy téglalap négy csúcsa legyen.
b) Rajzoljunk be egy harmadik és egy negyedik pontot úgy, hogy a négy pont egy téglalap négy csúcsa legyen.
c) Rajzoljunk be egy harmadik és egy negyedik pontot úgy, hogy a négy pont éppen egy négyzet négy csúcsa legyen.
d) Rajzoljunk be egy negyedik pontot úgy, hogy a négy pont egy téglalap négy csúcsa legyen.
e) Rajzoljunk be egy negyedik pontot úgy, hogy a négy pont egy négyzet csúcsai legyenek.
f) Rajzoljunk be egy negyedik pontot úgy, hogy a négy pont egy négyzet csúcsai legyenek.
a) Egy téglalap oldalainak hossza $8\; cm$ és $7\; cm$. Mekkora a kerülete és területe?
b) Egy téglalap területe $40 \; cm^2$ és az egyik oldala $8\; cm$ hoszú. Milyen hosszú a másik oldal és mekkora a kerület?
c) Mekkora a kerülete és területe az alábbi alakzatnak?
d) Mekkora a kerülete és területe az alábbi alakzatnak?
a) Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza $5\; cm$ és $12\; cm$. Mekkora a területe?
b) Egy másik derékszögű háromszögben az egyik befogó $12\; cm$ és a háromszög területe $96 \; cm^2$. Mekkora a másik befogó?
c) Itt egy téglalap, ami 16 centiméter széles és 5 centiméter magas.A téglalapot felül egy 12 centis és egy 4 centis szakaszra bontottuk, alul pedig egy 9 centis és egy 7 centis szakaszra. Mekkora annak a négyszögnek a területe, aminek az oldala felül 4 cm, alul 9 cm és a másik két oldala az eredeti téglalapban halad?
d) Mekkora a területe?
e) Mekkora a területe?
f) Mekkora a területe?
A legunalmasabb síkidom a téglalap…
De bármennyire is unalmas, a legtöbb tárgy körülöttünk téglalap alakú.
Nagyon vagány lenne például egy dinoszaurusz alakú telefon is…
Csak egy kicsit nehéz lenne használni.
Így hát maradjunk a szürke valóságnál...
És nézzük, mit tudnak a téglalapok.
A téglalap olyan négyszög, aminek minden szöge derékszög.
Tehát 90 fokos.
Vagy másként fogalmazva a szomszédos oldalaik mindig merőlegesek egymásra.
Ezt a derékszög témát jó alaposan körbejártuk…
Nézzük, mit tudnak még a téglalapok.
Ezek az oldalai egyforma hosszúak…
És ezek is.
Sőt, a téglalapok átlói is egyforma hosszúak.
Ezt már csak egy módon lehet felülmúlni…
Egy tökéletes téglalappal.
Amit úgy hívunk, hogy négyzet.
Ezt úgy hívjuk, hogy négyzet.
A négyzet minden oldala egyforma hosszú…
És vigyázni kell a szögeire is, nehogy elferdüljön.
Ennek még itt mindig egyforma hosszúak az oldalai, de ez már nem négyzet.
Ez már csak egy rom…
Egy rombusz.
Az átlói viszont merőlegesek egymásra.
És ez akkor sem változik meg, hogyha kiegyenesítjük.
A négyzet tehát egy olyan négyszög, aminek minden szöge derékszög és az oldalai egyforma hosszúak.
A téglalap pedig egy olyan négyszög, aminek minden szöge derékszög.
Itt ez a négyzetháló három ponttal…
Rajzoljunk be egy negyedik pontot is úgy, hogy a négy pont egy téglalap négy csúcsa legyen.
Hát, nem ez lesz életünk legnehezebb feladata…
Nyilvánvaló, hogy ide kell tenni.
Ja, mégse…
Ez így nem téglalap.
Hát, akkor ide.
Szuper, nézzünk meg még egyet…
Rajzoljunk be egy harmadik és egy negyedik pontot úgy, hogy a négy pont egy téglalap négy csúcsa legyen.
Ez például jó is lesz…
Vagy ez is.
Most nézzük, mi van akkor, ha nem elég a téglalap, hanem négyzetre van szükség.
A feladat az, hogy rajzoljunk be egy harmadik és egy negyedik pontot úgy, hogy a négy pont éppen egy négyzet négy csúcsa legyen.
Egy négyzetnek minden oldala egyforma hosszú…
Meg is van.
Itt van aztán ez a három pont…
Keressünk egy olyan negyedik pontot, hogy a négy pont egy téglalap négy csúcsa legyen.
Na, ez már érdekesebb…
A téglalap szemközti oldalai mindig párhuzamosak egymással…
És meg is van.
Most nézzük, mi van akkor, ha adott ez a három pont, és egy olyan negyedik pontot kell találnunk, hogy a négy pont egy négyzet csúcsai legyenek.
Húzzuk be megint az oldalakat…
És kész is.
Végül itt van ez a három pont, és adjunk meg egy olyan negyedik pontot, hogy a négy pont egy négyzet csúcsai legyenek.
Megint jönnek a vonalak…
Meg is van…
De sajnos van egy kis gond.
Ez egy téglalap és nem négyzet.
A feladat viszont négyzetet akart.
Sajna már ezek az oldalak sem egyforma hosszúak, amit a feladat adott meg…
Így aztán ebből már biztosan nem lesz négyzet.
Vagyis ez a feladat nem megoldható.
Négyzet helyett téglalapot viszont lehet találni.
Hát, ennyit a téglalapokról…
Az a legjobb a téglalapokban, hogy kerületet és a területet is nagyon könnyű kiszámolni.
A kerület csak ennyi, hogy összeadjuk az oldalak hosszát…
És vannak köztük egyforma hosszúak.
A területet pedig úgy kapjuk meg, hogy megszámoljuk, hány darab kisnégyzet fér bele a téglalap belsejébe.
Egy sorban 7 darab…
És van 5 sor.
A dolog általánosan is működik…
Egy téglalap területe 40 cm2 és az egyik oldala 8 cm hosszú. Milyen hosszú a másik oldal és mekkora a kerület?
Most, hogy az oldalak megvannak, a kerületet már nagyon könnyű kiszámolni.
Itt jön aztán ez. Számoljuk ki, hogy mekkora a kerülete és a területe.
A kerülethez csak össze kell adnunk az oldalak hosszát…
És most jöhet a terület.
Ennek a téglalapnak a területét nagyon könnyű kiszámolni…
És most számoljuk ki a téglalap felének a területét…
Hát, ez nem atomfizika… a félbevágott téglalapnak fele akkora a területe.
Ez a félbevágott téglalap egy háromszög.
Egy olyan háromszög, aminek az egyik szöge derékszög.
Az ilyen háromszögeket derékszögű háromszögnek nevezzük.
Azokat az oldalait, amik eredetileg a téglalap oldalai voltak, úgy hívjuk, hogy befogónk.
Befogó
A leghosszabb oldala pedig az átfogó.
Átfogó
Az átfogó mindig a derékszögű csúccsal szemben van.
A befogókat a-val és b-vel jelöljük…
Az átfogó pedig c.
A derékszögű háromszögek területét úgy kapjuk meg…
Hogy a befogók szorzatát elosztjuk 2-vel.
Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza 12 cm és 5 cm. Mekkora a területe?
Már jön is a vadonatúj képletünk…
Ez eddig elég könnyű…
Egy másik derékszögű háromszögben az egyik befogó 12 cm és a háromszög területe 96 cm2. Mekkora a másik befogó?
Ha egyet tippelhetünk, hogy melyik képlet segíthet a megoldásban…
Akkor biztosan ez:
Dehogy is, ez egyetemi matek…
Persze, hogy megint a területképlet kell…
Az a oldalról tudjuk, hogy 12…
És az egész terület pedig 96.
Meg is van a másik befogó.
És most nézzük, mit tudnak még ezek a derékszögű háromszögek…
Itt egy téglalap, ami 16 centiméter széles és 5 centiméter magas. A téglalapot felül egy 12 centis és egy 4 centis szakaszra bontottuk, alul pedig egy 9 centis és egy 7 centis szakaszra. Mekkora annak a négyszögnek a területe, aminek az oldala felül 5 cm, alul 9 cm és a másik két oldala az eredeti téglalapban halad?
Ennek kellene a területe…
Hát, így hirtelen ez nem néz ki túl jól.
De ne essünk pánikba, már jön is a darabolós módszer…
A darabolós módszer lényege, hogy először kiszámoljuk a teljes téglalap területét…
Aztán darabolunk.
Levágjuk először ezt a derékszögű háromszöget…
És aztán pedig…
A megmaradt terület:
Itt jön egy újabb négyszög. Számoljuk ki ennek is a területét.
Megint jön a darabolásos módszer.
A teljes terület ezeknek az összege:
