Kettős integrál téglalapon, normáltartományon
Kétváltozós függvények határozott integrálja
A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot. Az értelmezési tartomány minden pontjához hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátáit, kirajzolódik az $x, y$ sík felett a függvény, ami egy felület.
A kétváltozós függvények határozott integrálja így egy test térfogata.
\( \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x,y) \; dxdy \)
Kettősintegrál téglalapon
A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.
A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.
\( \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x,y) \; dydx = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x,y) \; dxdy \)
A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az $x$ szerinti határokat adjuk meg és utána az $y$ szerintit vagy fordítva.
Polárkoordinátás helyettesítés
A polárkoordinátás helyettesítés egy olyan helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz. A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos $x$ és $y$ koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.
Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt $r$-nek nevezzük.
A másik pedig egy forgásszög, és jele $\theta$.
Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek. A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:
\( x= r \cos{ \theta} \quad y = r \sin{\theta} \)
A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek. A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:
\( \int \int_D f(x,y) \; dydx = \int \int_D f(r \cos{\theta}, r\sin{\theta}) r \; dr d\theta \)
Henger koordinátás helyettesítés
A henger-koordináták:
\( x= r \cos{\theta} \quad y = r \sin{\theta} \quad z=z \)
A henger-koordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.
A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:
\( \int \int \int_D f(x,y,z) \; dxdydz = \int \int \int_D f( r \cos{\theta}, r\sin{\theta}, z) r \; dr d \theta dz \)
Gömbi koordinátás helyettesítés
A polárkoordináták háromdimenziós változatát gömbi koordinátáknak nevezzük.
Az $r$ azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk az origótól, a $\varphi$ és $\theta$ pedig két forgás-szög.
A régi $x, y, z$ és az új gömbi koordináták közti kapcsolat:
\( x = r \sin{ \varphi} \cos{ \theta} \quad y = r \sin{ \varphi} \sin{ \theta} \quad z = r \cos{ \varphi} \)
A gömb koordinátás helyettesítés:
\( \int \int \int_D f(x, y, z) \; dxdydz = \int \int \int_D f \left( r \sin{ \varphi} \cos{ \theta}, r \sin{\varphi} \sin{\theta}, r \cos{ \varphi} \right) r^2 \sin{\varphi} \; dr d\theta d\varphi \)
Határozzuk meg az alábbi kettős integrál értékét:
a) $$ \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} x^2+xy^4+y^3 \; dxdy $$
b) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=2-x$ egyenes és a koordinátatengelyek által meghatározott derékszögű háromszög!
$$ \iint_D x^2+4y^3 \; dydx $$
a) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=2-x$ és $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$ által közrefogott tartomány!
$$ \iint_D x+4y \; dydx $$
b) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=\sqrt{x}$ és $y=x^2$ által közrefogott tartomány!
$$ \iint_D xy \; dydx $$
c) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=\sqrt{x}$ és $y=x^2$ által közrefogott tartomány!
$$ \iint_D \frac{y}{\sqrt{x}} \; dxdy $$
Végezzük el az alábbi intergálásokat.
a) $$ \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} xe^{xy} \; dxdy $$
b) $$ \int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{x}^{\sqrt{\pi}} \cos{y^2} \; dydx $$
c) $$ \int_{0}^{4} \int_{\sqrt{x}}^{2} \sqrt{1+y^3} \; dydx $$
Oldjuk meg az alábbi integrált.
$$ \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} 5-x^2-y^2 \; dydx $$
Integráljuk a $D: x^2+y^2\leq 9$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+4 \)
Számítsuk ki a $z=\sqrt{x^2+y^2}$ és a $z=6-x^2-y^2$ felületek által határolt térrész térfogatát.
Végezzük el az alábbi intergálásokat.
a) $$ \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} (x+y+z) \; dxdydz $$
b) $$ \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} 1 \; dxdydz $$
Oldjuk meg az alábbi integrált.
$$ \int_{0}^{5} \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \int_{-2}^{2} 1 \; dxdydz $$
Integráljuk az origó középpontú $R=5$ sugarú gömbön ezt a függvényt:
\( f(x,y,z)=z \left( x^2+y^2 \right) \)
Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y,z)=z \sqrt{x^2+y^2} \)
\( D: \sqrt{x^2+y^2}<z \quad \text{&} \quad x^2+y^2+z^2<4 \)
Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y,z)=z \left( x^2+y^2 \right) \)
\( D: \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{x^2+y^2}<z<\sqrt{3} \sqrt{x^2+y^2} \quad \text{&} \quad x^2+y^2+z^2<9 \)
Oldjuk meg az alábbi integrált.
$$ \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} 3x-2y^3+2 \; dxdy $$
Oldjuk meg az alábbi integrált.
$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{y}{(xy+2)^2} \; dxdy $$
Oldjuk meg az alábbi integrált.
$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \left( y+e^{3x}-1 \right) \; dydx $$
Oldjuk meg az alábbi integrált.
$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{6y}{ \left( 2x+3y^2+1 \right)^2 } \; dxdy $$
Oldjuk meg az alábbi integrált.
$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \left( x^2-1 \right) \cdot e^{-3y} \; dydx $$
Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol T az A(0,0), B(6,0), C(3,4), és a D(1,4) pontok által meghatározott trapéz!
$$ \iint_T y^2 \; dydx $$
Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol T az A(0,0), B(5,0), C(4,6), és a D(3,6) pontok által meghatározott trapéz!
$$ \iint_T e^{6x+y} \; dydx $$
Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol T az A(2,0), B(4,0), C(0,4), és a D(6,4) pontok által meghatározott trapéz!
$$ \iint_T x+y^2 \; dydx $$
Oldjuk meg az alábbi integrált.
$$ \int_{0}^{1} \int_{y^2}^{1} y \sin{x^2} \; dxdy $$
Oldjuk meg az alábbi integrált.
$$ \int_{0}^{16} \int_{ \frac{ \sqrt{y}}{2}}^{2} \sqrt[5]{1+x^3} \; dxdy $$
Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y)= \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \)
\( D: 4\leq x^2+y^2 \leq 25 \qquad 0\leq x \quad 0\leq y \)
Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y)= \frac{x^3y}{\sqrt{x^2+y^2}} \)
\( D: 4\leq x^2+y^2 \leq 25 \qquad x\leq y \quad -\sqrt{3}x\leq y \)
Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y)= xy \cdot \sqrt{x^2+y^2} \)
\( D: 4\leq x^2+y^2 \leq 25 \qquad 3x^2\leq y^2 \)
Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y)= xy \)
\( D: x^2-4x+y^2 \leq 21 \)
Számítsuk ki a $ z = \sqrt{x^2+y^2} $ és a $ z=2-x^2-y^2 $ felületek által határolt térrész térfogatát.
Integráljuk a következő függvényt:
$$ \int_{0}^{2} \int_{ 0 }^{\sqrt{4-y^2}} x^2+y^2 \; dxdy $$
Integráljuk a következő függvényt:
$$ \int_{-1}^{0} \int_{ -\sqrt{1-x^2} }^{0} \frac{2}{1+\sqrt{x^2+y^2}} \; dydx $$
Integráljuk a következő függvényt:
$$ \int_{-1}^{0} \int_{ -\sqrt{1-y^2} }^{0} \frac{4\sqrt{x^2+y^2}}{1+x^2+y^2} \; dxdy $$
Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y,z)= \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}} \)
\( D: \sqrt{x^2+y^2}<z \quad \text{&} \quad 4\leq x^2+y^2+z^2 \leq 9 \)
Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y,z)= z\cdot \sqrt{x^2+y^2} \)
\( D: 12 \leq x^2+y^2 \quad \text{&} \quad x^2+y^2+z^2 \leq 16 \quad \text{&} \quad 0 \leq z \)
Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y,z)= \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}} \)
\( D: 12 \leq x^2+y^2 \quad \text{&} \quad x^2+y^2+z^2 \leq 16 \quad \text{&} \quad 0 \leq z \)
Oldjuk meg az alábbi integrált.
\( \int_{0}^{2} \int_{ \frac{y}{2}}^{1} e^{x^2} \; dxdy \)
Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvény integrálját azon a véges tartományon, amelyet az adott egyenletű görbék zárnak közre.
\( f(x,y)=2x \cos{y} \quad y=x^2 \quad y+x=6 \quad y=0 \)
Vázoljuk fel az integrálási tartományt, majd számítsuk ki a megadott függvény kettős integrálját!
\( f(x,y)=\frac{8y}{x^3} \quad D=\left\{ (x,y) \in R^2 \; \mid \; 1 \leq x \leq 4 \quad \sqrt{x} \leq y x \right\} \)
Számítsuk ki az $f(x,y)=e^y + x$ kettős integrálját azon a tartományon, melyet az $x$ tengely, az $x=4$ egyenes és az $y=\ln{x}$ függvények határolnak.
Az egyváltozós függvények úgy működnek, hogy egy valós számhoz rendelnek hozzá egy másik valós számot.
A függvény grafikonja egy vonal.
Határozott integrálja a-tól b-ig pedig egy terület.
A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.
Az értelmezési tartomány minden pontjához hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát, kirajzolódik az x,y sík felett a függvény, ami egy felület.
A kétváltozós függvények határozott integrálja egy test térfogata.
Kezdjük a legegyszerűbb esettel, amikor egy téglalap alakú tartományon integrálunk.
Az x tengely szerint a-tól b-ig, az y szerint c-től d-ig.
Mindegy, hogy az y szerinti határokat írjuk előbb és az x szerintit később,
vagy fordítva.
Egyedül arra kell vigyáznunk, hogy ez a kettősintegrál
ilyen hagyma szerkezetű. Vannak külső és belső rétegei.
Amikor az y szerinti határokkal kezdünk, akkor a dy a végén van.
Persze kezdhetjük az x szerinti határokkal is, ilyenkor a dx van a végén.
Ha például ki szeretnénk számolni ezt a kettősintegrált, akkor írhatjuk úgy is, hogy az x szerinti határok vannak elöl…
és írhatjuk úgy is, hogy az y szerintiek.
A számolást viszont mindig belülről kifele kell elkezdeni. Először elintézzük a belsejét – most akkor ezek szerint x szerint.
Úgy kell x szerit integrálni, hogy az x-es tagokat integráljuk, y-t pedig konstansnak tekintjük.
x-et integráljuk, pedig csak konstans szorzónak számít.
És is konstans szorzónak számít.
Most, hogy ez megvan, behelyettesítjük ezeket a számokat.
De nem mindegy, hogy x vagy y helyére. Nos, x szerint integráltunk, úgyhogy x helyére.
Hát ez megvolna, most rátérünk a külső integrálásra.
Ezúttal y szerint.
Végül behelyettesítünk.
y szerint integráltunk, ezért y helyére. Nem mintha lenne más választásunk.
Hát ez kész.
Most nézzünk meg mi van akkor, ha nem egy téglalap felett akarunk integrálni, hanem mondjuk egy háromszög felett.
Ezek a térhatású rajzok csodálatosak…
de a vizuális élvezeteken kívül másra nem igazán használhatóak.
Sokkal jobban járunk, ha készítünk egy felülnézeti ábrát.
x szerint 0-tól 2-ig kell integrálnunk.
Ha y szerint is 0-tól 2-ig integrálunk, nos akkor egy téglalapot kapunk…
Az nem túl jó, mert mi a háromszögön szeretnénk integrálni.
A háromszöget úgy kapjuk meg, ha az y szerinti határok 0, és .
És most kezdjünk el integrálni.
A külső integrálás határai soha ne tartalmazzanak x-et vagy y-t.
Szerencsére a sorrendet bármikor megcserélhetjük.
Mindig a belső integrálással kezdünk.
Ez most y szerinti, úgyhogy az y-okat integráljuk,
x meg olyan, mintha konstans lenne.
Aztán y helyére behelyettesítünk.
És ezt integráljuk x szerint.
A folytatás még izgalmasabb lesz…
A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.
A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.
A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az x szerinti határokat adjuk meg és utána az y szerintit vagy fordítva.
A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha nem téglalapon integrálunk, hanem mondjuk ezen a háromszög alakú tartományon.
Ilyenkor érdemes felülnézeti rajzot készíteni, hogy jobban lássuk miről is van szó.
Az x szerinti határok rajzunkon most 0-tól 2-ig tartanak.
Az y szerinti határok viszont nem 0-tól 2-ig, mert akkor egy téglalapot kapunk…
Úgy lesz ebből háromszög, ha az y szerinti határok 0, és .
Vagyis az y szerinti határ egy függvény.
Esetünkben csak a felső határ függvény, de miért is ne lehetne az alsó határ is függvény.
Nos, legyen mondjuk
Integráljuk ezen az tartományon mondjuk azt a függvényt, hogy
Mindig a belső integrálással kezdünk.
Először tehát y szerint integrálunk.
Ilyenkor x olyan, mintha konstans lenne.
És most jöhet az x szerinti integrálás.
Csak előbb egy kicsit összevonunk.
Nem is olyan kicsit…
Hát ez nem volt túl kellemes.
Nézzünk meg egy másikat is, hátha az barátságosabb lesz.
Integráljuk a D tartományon az függvényt.
Előfordulhat, hogy a határoló függvény csak y-nal írható le.
Itt van például ez a tartomány.
Megpróbálhatnánk a határoló függvényt y-ra rendezni, de kár fáradozni vele.
Sok felesleges munkánk adódna ugyanis:
Szóval maradjunk inkább az eredeti függvénynél,
vállalva azt a kis kellemetlenséget, hogy most az y szerinti határok lesznek konkrét számok.
Nos integráljuk ezen a tartományon az függvényt.
A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.
A helyzet akkor válik izgalmassá, ha egy olyan tartományon integrálunk, amit egyváltozós függvények határolnak.
Itt van például ez. Az x szerinti határok legyenek és ,
az y szerinti határok pedig két függvény, és .
Ezek a függvények lehetnek például valamilyen parabolák…
vagy éppen olyan függvények, amik pont egy kört rajzolnak ki.
Egy 2 sugarú kört.
Lássuk csak, a kör egyenlete:
És ha , akkor
Ha szeretnénk megtudni, hogy mik lehetnek a határoló függvények, nos akkor ebből ki kell fejeznünk y-t.
Integráljuk ezen a körön az függvényt.
A helyzet nem tűnik túl bíztatónak.
Az alapvető probléma ezzel az integrálással az, hogy nehéz. Azért nehéz, mert ronda gyökös kifejezések vannak benne.
A gyökös kifejezések pedig a kör miatt vannak.
Nos, éppen ilyen körös esetekre van egy remek módszer, ami hihetetlenül megkönnyíti ezt az integrálást.
Ez egyfajta helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.
A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos x és y koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.
Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.
A másik pedig egy forgásszög, és jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:
Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek.
A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:
A kör összes pontját úgy kapjuk meg, ha befutja a teljes kört,
0-tól egészen –ig…
az r pedig befutja a 0-tól 2-ig terjedő intervallumot.
A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.
A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:
A polárkoordinátás helyettesítésnek köszönhetően a ronda gyökös kifejezések eltűntek, és ami maradt, az életünk legegyszerűbb integrálása
Főleg, ha tudjuk, hogy
Sőt, a polárkoordinátás helyettesítés még ennél is többet tud.
Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni egy olyan tartományon, ami egy lukas belsejű kör, egy körgyűrű.
Ráadásul mondjuk egy fél körgyűrű.
A polárkoordinátás helyettesítés megdöbbentően leegyszerűsíti az ilyen első ránézésre igencsak komplikáltnak tűnő helyzeteket.
Mindössze annyit kell tennünk, hogy megadjuk a szöget,
és a sugarat.
És már kész is van.
A polárkoordináták lényege, hogy az x és y koordinátákat új koordinátákra cseréljük le.
Azokban az esetekben ugyanis, amikor körök, gömbök vagy hengerek bukkannak fel, nos olyankor nem bizonyul kifizetődőnek az a fajta szögletes mentalitás, hogy x koordináta és y koordináta.
Egy olyan koordinátázást érdemes bevezetni, ami jobban alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.
Egy kör belsejében a legfontosabb jellemzők a középponttól való távolság és a forgásszög.
Az egyik koordináta ezért azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.
A másik pedig egy forgásszög, és jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:
A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:
Egy R sugarú kör összes pontját úgy kapjuk meg, hogy befutja a teljes kört,
0-tól egészen –ig…
az r pedig befutja a 0-tól R-ig terjedő intervallumot.
A polárkoordinátás helyettesítés egyik haszna, hogy megdöbbentően leegyszerűsíti azokat a bonyolult integrálásokat, amiket körön vagy valamilyen köralakú alakzaton végzünk.
A helyettesítést a következő képlet segítségével végezzük el:
Lássunk néhány ilyen esetet.
Integráljuk a tartományon a következő függvényt:
Lássuk csak, hogyan is néz ki ez a tartomány.
A konstansok határozott integrálása nagyon egyszerű:
Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni ezen a félkörön.
Ilyenkor látszik igazán, milyen ügyesen a körre vannak szabva a polárkoordináták.
A szokásos x és y koordinátákkal borzalmas lenne ez az integrálás.
De így csak annyit kell tennünk, hogy a szögeket átírjuk,
és már kész is.
Itt jön aztán egy másik.
Integráljuk a D tartományon az f(x,y) függvényt:
Most pedig néhány egészen vicces integrálás következik.
Itt is van az első:
Ebben a trükk az, hogy a belső integrálás x-szerinti, viszont az ilyen sajnos parciális integrálás.
Fenének van kedve parciálisan integrálni, így aztán megcseréljük az integrálás sorrendjét.
Most a belső integrálás y-szerinti, tehát x itt olyan, mintha konstans lenne, úgyhogy csak annyit kell integrálni, hogy …
na jó, valami c-szer
Ja és még itt van ez is, hogy a kitevőben valami a-szor y van.
A következő még viccesebb lesz.
Íme, itt is van:
Na ezzel meg az a probléma, hogy y-szerint nem igazán tudjuk integrálni.
Úgyhogy kénytelenek vagyunk x-szerint.
Úgy nem lesz nehéz, mert x-szerint csak konstansnak számít.
A csere miatt viszont kívülre került az ismeretlent tartalmazó határ…
ami nem maradhat így, ezért egy kis trükkre van szükség.
Jelenleg x-szerint 0-tól integrálunk -ig
és y-szerint x-től -ig.
De mindezt fordítva is nézhetjük.
Aztán itt jön egy még izgalmasabb eset.
Az a helyzet, hogy y-szerint meglehetősen kellemetlen lenne ezt integrálni.
Ezért megint megcseréljük a sorrendet.
A csere miatt viszont kívülre került az ismeretlent tartalmazó határ…
ami nem maradhat így, ezért ismét egy kis trükkre van szükség.
Jelenleg x-szerint 0-tól integrálunk 4-ig
és y-szerint -től 2-ig.
De mindezt fordítva is nézhetjük.
A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.
A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.
A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az x szerinti határokat adjuk meg és utána az y szerintit vagy fordítva.
A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha nem téglalapon integrálunk, hanem mondjuk ezen a háromszög alakú tartományon.
Ilyenkor érdemes felülnézeti rajzot készíteni, hogy jobban lássuk miről is van szó.
Az x szerinti határok rajzunkon most 0-tól 2-ig tartanak.
Az y szerinti határok viszont nem 0-tól 2-ig, mert akkor egy téglalapot kapunk…
Úgy lesz ebből háromszög, ha az y szerinti határok 0, és .
Vagyis az y szerinti határ egy függvény.
Esetünkben csak a felső határ függvény, de miért is ne lehetne az alsó határ is függvény.
Nos, legyen mondjuk
Integráljuk ezen az tartományon mondjuk azt a függvényt, hogy
Mindig a belső integrálással kezdünk.
Először tehát y szerint integrálunk.
Ilyenkor x olyan, mintha konstans lenne.
És most jöhet az x szerinti integrálás.
Csak előbb egy kicsit összevonunk.
Nem is olyan kicsit…
Hát ez nem volt túl kellemes.
Nézzünk meg egy másikat is, hátha az barátságosabb lesz.
Integráljuk a D tartományon az függvényt.
Előfordulhat, hogy a határoló függvény csak y-nal írható le.
Itt van például ez a tartomány.
Megpróbálhatnánk a határoló függvényt y-ra rendezni, de kár fáradozni vele.
Sok felesleges munkánk adódna ugyanis:
Szóval maradjunk inkább az eredeti függvénynél,
vállalva azt a kis kellemetlenséget, hogy most az y szerinti határok lesznek konkrét számok.
Nos integráljuk ezen a tartományon az függvényt.
A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.
A helyzet akkor válik izgalmassá, ha egy olyan tartományon integrálunk, amit egyváltozós függvények határolnak.
Itt van például ez. Az x szerinti határok legyenek és ,
az y szerinti határok pedig két függvény, és .
Ezek a függvények lehetnek például valamilyen parabolák…
vagy éppen olyan függvények, amik pont egy kört rajzolnak ki.
Egy 2 sugarú kört.
Lássuk csak, a kör egyenlete:
És ha , akkor
Ha szeretnénk megtudni, hogy mik lehetnek a határoló függvények, nos akkor ebből ki kell fejeznünk y-t.
Integráljuk ezen a körön az függvényt.
A helyzet nem tűnik túl bíztatónak.
Az alapvető probléma ezzel az integrálással az, hogy nehéz. Azért nehéz, mert ronda gyökös kifejezések vannak benne.
A gyökös kifejezések pedig a kör miatt vannak.
Nos, éppen ilyen körös esetekre van egy remek módszer, ami hihetetlenül megkönnyíti ezt az integrálást.
Ez egyfajta helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.
A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos x és y koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.
Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.
A másik pedig egy forgásszög, és jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:
Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek.
A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:
A kör összes pontját úgy kapjuk meg, ha befutja a teljes kört,
0-tól egészen –ig…
az r pedig befutja a 0-tól 2-ig terjedő intervallumot.
A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.
A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:
A polárkoordinátás helyettesítésnek köszönhetően a ronda gyökös kifejezések eltűntek, és ami maradt, az életünk legegyszerűbb integrálása
Főleg, ha tudjuk, hogy
Sőt, a polárkoordinátás helyettesítés még ennél is többet tud.
Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni egy olyan tartományon, ami egy lukas belsejű kör, egy körgyűrű.
Ráadásul mondjuk egy fél körgyűrű.
A polárkoordinátás helyettesítés megdöbbentően leegyszerűsíti az ilyen első ránézésre igencsak komplikáltnak tűnő helyzeteket.
Mindössze annyit kell tennünk, hogy megadjuk a szöget,
és a sugarat.
És már kész is van.
A polárkoordináták lényege, hogy az x és y koordinátákat új koordinátákra cseréljük le.
Azokban az esetekben ugyanis, amikor körök, gömbök vagy hengerek bukkannak fel, nos olyankor nem bizonyul kifizetődőnek az a fajta szögletes mentalitás, hogy x koordináta és y koordináta.
Egy olyan koordinátázást érdemes bevezetni, ami jobban alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.
Egy kör belsejében a legfontosabb jellemzők a középponttól való távolság és a forgásszög.
Az egyik koordináta ezért azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.
A másik pedig egy forgásszög, és jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:
A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:
Egy R sugarú kör összes pontját úgy kapjuk meg, hogy befutja a teljes kört,
0-tól egészen –ig…
az r pedig befutja a 0-tól R-ig terjedő intervallumot.
A polárkoordinátás helyettesítés egyik haszna, hogy megdöbbentően leegyszerűsíti azokat a bonyolult integrálásokat, amiket körön vagy valamilyen köralakú alakzaton végzünk.
A helyettesítést a következő képlet segítségével végezzük el:
Lássunk néhány ilyen esetet.
Integráljuk a tartományon a következő függvényt:
Lássuk csak, hogyan is néz ki ez a tartomány.
A konstansok határozott integrálása nagyon egyszerű:
Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni ezen a félkörön.
Ilyenkor látszik igazán, milyen ügyesen a körre vannak szabva a polárkoordináták.
A szokásos x és y koordinátákkal borzalmas lenne ez az integrálás.
De így csak annyit kell tennünk, hogy a szögeket átírjuk,
és már kész is.
Itt jön aztán egy másik.
Integráljuk a D tartományon az f(x,y) függvényt:
A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.
A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.
A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az x szerinti határokat adjuk meg és utána az y szerintit vagy fordítva.
A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha nem téglalapon integrálunk, hanem mondjuk ezen a háromszög alakú tartományon.
Ilyenkor érdemes felülnézeti rajzot készíteni, hogy jobban lássuk miről is van szó.
Az x szerinti határok rajzunkon most 0-tól 2-ig tartanak.
Az y szerinti határok viszont nem 0-tól 2-ig, mert akkor egy téglalapot kapunk…
Úgy lesz ebből háromszög, ha az y szerinti határok 0, és .
Vagyis az y szerinti határ egy függvény.
Esetünkben csak a felső határ függvény, de miért is ne lehetne az alsó határ is függvény.
Nos, legyen mondjuk
Integráljuk ezen az tartományon mondjuk azt a függvényt, hogy
Mindig a belső integrálással kezdünk.
Először tehát y szerint integrálunk.
Ilyenkor x olyan, mintha konstans lenne.
És most jöhet az x szerinti integrálás.
Csak előbb egy kicsit összevonunk.
Nem is olyan kicsit…
Hát ez nem volt túl kellemes.
Nézzünk meg egy másikat is, hátha az barátságosabb lesz.
Integráljuk a D tartományon az függvényt.
Előfordulhat, hogy a határoló függvény csak y-nal írható le.
Itt van például ez a tartomány.
Megpróbálhatnánk a határoló függvényt y-ra rendezni, de kár fáradozni vele.
Sok felesleges munkánk adódna ugyanis:
Szóval maradjunk inkább az eredeti függvénynél,
vállalva azt a kis kellemetlenséget, hogy most az y szerinti határok lesznek konkrét számok.
Nos integráljuk ezen a tartományon az függvényt.
A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.
A helyzet akkor válik izgalmassá, ha egy olyan tartományon integrálunk, amit egyváltozós függvények határolnak.
Itt van például ez. Az x szerinti határok legyenek és ,
az y szerinti határok pedig két függvény, és .
Ezek a függvények lehetnek például valamilyen parabolák…
vagy éppen olyan függvények, amik pont egy kört rajzolnak ki.
Egy 2 sugarú kört.
Lássuk csak, a kör egyenlete:
És ha , akkor
Ha szeretnénk megtudni, hogy mik lehetnek a határoló függvények, nos akkor ebből ki kell fejeznünk y-t.
Integráljuk ezen a körön az függvényt.
A helyzet nem tűnik túl bíztatónak.
Az alapvető probléma ezzel az integrálással az, hogy nehéz. Azért nehéz, mert ronda gyökös kifejezések vannak benne.
A gyökös kifejezések pedig a kör miatt vannak.
Nos, éppen ilyen körös esetekre van egy remek módszer, ami hihetetlenül megkönnyíti ezt az integrálást.
Ez egyfajta helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.
A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos x és y koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.
Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.
A másik pedig egy forgásszög, és jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:
Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek.
A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:
A kör összes pontját úgy kapjuk meg, ha befutja a teljes kört,
0-tól egészen –ig…
az r pedig befutja a 0-tól 2-ig terjedő intervallumot.
A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.
A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:
A polárkoordinátás helyettesítésnek köszönhetően a ronda gyökös kifejezések eltűntek, és ami maradt, az életünk legegyszerűbb integrálása
Főleg, ha tudjuk, hogy
Sőt, a polárkoordinátás helyettesítés még ennél is többet tud.
Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni egy olyan tartományon, ami egy lukas belsejű kör, egy körgyűrű.
Ráadásul mondjuk egy fél körgyűrű.
A polárkoordinátás helyettesítés megdöbbentően leegyszerűsíti az ilyen első ránézésre igencsak komplikáltnak tűnő helyzeteket.
Mindössze annyit kell tennünk, hogy megadjuk a szöget,
és a sugarat.
És már kész is van.
A polárkoordináták lényege, hogy az x és y koordinátákat új koordinátákra cseréljük le.
Azokban az esetekben ugyanis, amikor körök, gömbök vagy hengerek bukkannak fel, nos olyankor nem bizonyul kifizetődőnek az a fajta szögletes mentalitás, hogy x koordináta és y koordináta.
Egy olyan koordinátázást érdemes bevezetni, ami jobban alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.
Egy kör belsejében a legfontosabb jellemzők a középponttól való távolság és a forgásszög.
Az egyik koordináta ezért azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.
A másik pedig egy forgásszög, és jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:
A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:
Egy R sugarú kör összes pontját úgy kapjuk meg, hogy befutja a teljes kört,
0-tól egészen –ig…
az r pedig befutja a 0-tól R-ig terjedő intervallumot.
A polárkoordinátás helyettesítés egyik haszna, hogy megdöbbentően leegyszerűsíti azokat a bonyolult integrálásokat, amiket körön vagy valamilyen köralakú alakzaton végzünk.
A helyettesítést a következő képlet segítségével végezzük el:
Lássunk néhány ilyen esetet.
Integráljuk a tartományon a következő függvényt:
Lássuk csak, hogyan is néz ki ez a tartomány.
A konstansok határozott integrálása nagyon egyszerű:
Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni ezen a félkörön.
Ilyenkor látszik igazán, milyen ügyesen a körre vannak szabva a polárkoordináták.
A szokásos x és y koordinátákkal borzalmas lenne ez az integrálás.
De így csak annyit kell tennünk, hogy a szögeket átírjuk,
és már kész is.
Itt jön aztán egy másik.
Integráljuk a D tartományon az f(x,y) függvényt:
Az egész az egyváltozós függvények integrálásával kezdődött.
Aztán jött a kettősintegrál, amikor egy síkbeli alakzat felett integráltunk.
És most egy térbeli alakzaton fogunk integrálni.
Hát ez érdekes lesz.
Kezdetnek itt van mondjuk egy ilyen:
Rétegenként integrálgatunk…
Nos ez csodálatos, de fölmerülhet a kérdés, hogy mi ennek az értelme.
A minket körülvevő háromdimenziós térben a háromváltozós függvények különféle fizikai mennyiségeket írnak le. A tér pontjainak 3 koordinátájához rendelnek hozzá ezt-azt.
Mondjuk sűrűséget vagy elektromos térerősséget vagy nyomást vagy valamilyen más nagyon érdekes fizikai mennyiséget. Az integrálás segítségével ezeket a mennyiségeket az adott térrészre összesítjük.
Ha az előző példánkban szereplő függvény az akkor az integrálással éppen annak a tartománynak a térfogatát kapjuk, amin integráltunk.
Lássunk erre egy példát.
Itt van mondjuk ez a hasáb alakú test, aminek a térfogata ránézésre látszik, hogy 4.
Mivel azonban épp ráérünk, számoljuk ki ezt integrálással.
Nos ez csodálatos, de fölmerülhet a kérdés, hogy mi ennek az értelme.
A minket körülvevő háromdimenziós térben a háromváltozós függvények különféle fizikai mennyiségeket írnak le. A tér pontjainak 3 koordinátájához rendelnek hozzá ezt-azt.
Mondjuk sűrűséget vagy elektromos térerősséget vagy nyomást vagy valamilyen más nagyon érdekes fizikai mennyiséget. Az integrálás segítségével ezeket a mennyiségeket az adott térrészre összesítjük.
Ha az előző példánkban szereplő függvény az akkor az integrálással éppen annak a tartománynak a térfogatát kapjuk, amin integráltunk.
Lássunk erre egy példát.
Itt van mondjuk ez a hasáb alakú test, aminek a térfogata ránézésre látszik, hogy 4.
Mivel azonban épp ráérünk, számoljuk ki ezt integrálással.
Érdemes megjegyezni, hogy
De azért akadnak izgalmasabb alakzatok is.
Próbáljuk meg például kiszámolni ennek a hengernek a térfogatát.
Az alapkörének egyenlete:
Az ismeretlent tartalmazó határokat belülre tesszük…
Na és itt kezdődnek a bonyodalmak.
Ezt az integrálást ugyanis meglehetősen kellemetlen lenne kiszámolni. Pont ezért vezettük be korábban a polárkoordinátákat.
Itt az ideje, hogy megint használjuk őket. Csak éppen ezúttal már három dimenzióban.
És van még egy harmadik koordináta is, ami marad z.
Ezeket a koordinátákat henger-koordinátáknak nevezzük.
…és ne felejtsük el r-el szorozni.
Ez csodás. Most pedig számoljunk ki valami bonyolultabbat. Integráljunk ezen a hengeren valamilyen függvényt.
A polárkoordináták háromdimenziós változatát gömbi koordinátáknak nevezzük.
Itt az első koordináta azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk az origótól…
a második és harmadik koordináta pedig két forgás-szög.
Most pedig lássuk, milyen kapcsolat van a régi x, y, z és az új gömbi koordináták között.
Ennek felderítése nem is olyan egyszerű vállalkozás.
Szükségünk van hozzá bizonyos trigonometriai összefüggésekre.
És most számoljunk ki valamit a gömbi koordináták segítségével.
Integráljuk mondjuk az origó középpontú R=5 sugarú gömbön ezt a függvényt:
A helyettesítéshez a többváltozós összetett függvények integrálásának képletét használjuk, íme itt is van:
Most pedig lássuk az integrálás határait.
A gömb sugara R=5 tehát 0-tól kell 5-ig integrálunk...
A teljes gömbön integrálunk, így befutja a teljes kört…
És pedig…
Nos csak egy félkört.
Most szerint integrálunk.
Mivel az integrálandó kifejezésben nincsen ezért ez szempontjából konstansnak számít.
Ha ugyanezen a gömbön a konstans 1 függvényt integráljuk, akkor éppen a gömb térfogatát kapjuk meg.
Nézzük meg ezt is.
Itt jön az 5 egység sugarú gömb térfogata:
Na, hát ezt is megtudtuk, ami most jön az pedig emlékezetes lesz…
Folytatódnak a gömbi koordinátás rémtörténetek. Integráljuk a D tartományon a következő függvényt:
És most pedig lássuk hogyan is néz ki az a tartomány, amin integrálnunk kell.
Ez itt például egy gömb.
Egy olyan gömb belseje, aminek a sugara 3.
Na a másik az már érdekesebb…
Itt jön két nagyon remek alakzat, amiket érdemes megjegyeznünk.
Az egyik a forgásparaboloid…
a másik pedig a forgáskúp.
A jelek szerint most valami forgáskúppal van dolgunk.
Sőt, mindjárt kettővel.
Nos eddig jó. A következő célkitűzésünk az, hogy kiderítsük a kúpok félnyílás-szögét.
Ezt úgy tudjuk legkönnyebben kideríteni, ha itt is lecseréljük x-et y-t és z-t a gömbi koordinátákra:
Nekünk most a két kúp között kell integrálnunk.
És a teljes körön.
A most következő események tekinthetők úgy is, mint egy modern dráma.
És ahogyan ez a drámáknál lenni szokott, a szereplők bemutatásával kezdjük.
Nos, itt is vannak.
Ez mind közül a legfontosabb szereplő, egy térbeli függvény, egy felület.
Úgy működik, hogy a valószínűségeket a felület alatti térfogat adja meg.
A másik nagyon fontos szereplő neve együttes eloszlásfüggvény.
Nos, ha még emlékszünk rá:
A sűrűségfüggvényből egy mókás ki integrálással állíthatjuk elő:
Az eloszlásfüggvényből sűrűségfüggvényt deriválással tudunk csinálni.
Kétszer kell deriválni, először x szerint, aztán y szerint.
És most lássuk a mellékszereplőket.
Nos, a szereplőkkel megvagyunk, jöhet a történet.
Nézzük meg elsőként a peremsűrűség-függvényeket.
y szerint integrálunk,
és x három szektorban lehet.
És most pedig csináljunk a sűrűségfüggvényből eloszlásfüggvényt.
Ez már egyváltozós esetben sem volt túl kellemes…
De most sokkal rosszabb lesz.
Mindig a zöld tartományon integrálunk.
Ha az (x,y) pont a besatírozott részbe esik,
akkor mindig a nullát integráljuk.
Az együttes eloszlásfüggvény megszületése:
Újabb rémtörténetek következnek. Ezúttal az együttes eloszlásfüggvénnyel történnek mindenféle szörnyű dolgok.
Az első szörnyűség a perem-eloszlásfüggvények kiszámolása.
Itt x olyan, mintha egy konstans lenne, y pedig tart a végtelenbe.
Aztán jön a perem-sűrűségfüggvény.
Először x szerint deriválunk…
aztán y szerint.
A polárkoordináták háromdimenziós változatát gömbi koordinátáknak nevezzük.
Itt az első koordináta azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk az origótól…
a második és harmadik koordináta pedig két forgás-szög.
Most pedig lássuk, milyen kapcsolat van a régi x, y, z és az új gömbi koordináták között.
Ennek felderítése nem is olyan egyszerű vállalkozás.
Szükségünk van hozzá bizonyos trigonometriai összefüggésekre.
És most számoljunk ki valamit a gömbi koordináták segítségével.
Integráljuk mondjuk az origó középpontú R=5 sugarú gömbön ezt a függvényt:
A helyettesítéshez a többváltozós összetett függvények integrálásának képletét használjuk, íme itt is van:
Most pedig lássuk az integrálás határait.
A gömb sugara R=5 tehát 0-tól kell 5-ig integrálunk...
A teljes gömbön integrálunk, így befutja a teljes kört…
És pedig…
Nos csak egy félkört.
Most szerint integrálunk.
Mivel az integrálandó kifejezésben nincsen ezért ez szempontjából konstansnak számít.
Ha ugyanezen a gömbön a konstans 1 függvényt integráljuk, akkor éppen a gömb térfogatát kapjuk meg.
Nézzük meg ezt is.
Itt jön az 5 egység sugarú gömb térfogata:
Na, hát ezt is megtudtuk, ami most jön az pedig emlékezetes lesz…
Folytatódnak a gömbi koordinátás rémtörténetek. Integráljuk a D tartományon a következő függvényt:
És most pedig lássuk hogyan is néz ki az a tartomány, amin integrálnunk kell.
Ez itt például egy gömb.
Egy olyan gömb belseje, aminek a sugara 3.
Na a másik az már érdekesebb…
Itt jön két nagyon remek alakzat, amiket érdemes megjegyeznünk.
Az egyik a forgásparaboloid…
a másik pedig a forgáskúp.
A jelek szerint most valami forgáskúppal van dolgunk.
Sőt, mindjárt kettővel.
Nos eddig jó. A következő célkitűzésünk az, hogy kiderítsük a kúpok félnyílás-szögét.
Ezt úgy tudjuk legkönnyebben kideríteni, ha itt is lecseréljük x-et y-t és z-t a gömbi koordinátákra:
Nekünk most a két kúp között kell integrálnunk.
És a teljes körön.
A most következő események tekinthetők úgy is, mint egy modern dráma.
És ahogyan ez a drámáknál lenni szokott, a szereplők bemutatásával kezdjük.
Nos, itt is vannak.
Ez mind közül a legfontosabb szereplő, egy térbeli függvény, egy felület.
Úgy működik, hogy a valószínűségeket a felület alatti térfogat adja meg.
A másik nagyon fontos szereplő neve együttes eloszlásfüggvény.
Nos, ha még emlékszünk rá:
A sűrűségfüggvényből egy mókás ki integrálással állíthatjuk elő:
Az eloszlásfüggvényből sűrűségfüggvényt deriválással tudunk csinálni.
Kétszer kell deriválni, először x szerint, aztán y szerint.
És most lássuk a mellékszereplőket.
Nos, a szereplőkkel megvagyunk, jöhet a történet.
Nézzük meg elsőként a peremsűrűség-függvényeket.
y szerint integrálunk,
és x három szektorban lehet.
És most pedig csináljunk a sűrűségfüggvényből eloszlásfüggvényt.
Ez már egyváltozós esetben sem volt túl kellemes…
De most sokkal rosszabb lesz.
Mindig a zöld tartományon integrálunk.
Ha az (x,y) pont a besatírozott részbe esik,
akkor mindig a nullát integráljuk.
Az együttes eloszlásfüggvény megszületése:
Újabb rémtörténetek következnek. Ezúttal az együttes eloszlásfüggvénnyel történnek mindenféle szörnyű dolgok.
Az első szörnyűség a perem-eloszlásfüggvények kiszámolása.
Itt x olyan, mintha egy konstans lenne, y pedig tart a végtelenbe.
Aztán jön a perem-sűrűségfüggvény.
Először x szerint deriválunk…
aztán y szerint.
