- Halmazok, logikai műveletek, bizonyítási módszerek
- Hatványozás, exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek
- Logaritmus azonosságai, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Nevezetes azonosságok
- Gyökös azonosságok, gyökös egyenletek
- Százalékszámítás
- Számtani és mértani sorozatok
- Abszolútértékes egyenletek
- Polinomok, polinomok maradékos osztása
- Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Függvények
- Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
- Összetett függvény és inverz függvény
- Függvények ábrázolása, függvénytranszformációk
- Trigonometria, trigonometrikus egyenletek
- Koordinátageometria a síkban
- A parabola
- Koordinátageometria a térben, egyenesek és síkok térbeli egyenlete
- Síkidomok kerülete, területe, testek térfogata és felszíne
- Kombinatorika
- Valószínűségszámítás, klasszikus valószínűségi mező
- Binomiális eloszlás, hipergeometriai eloszlás
Számtani és mértani sorozatok
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Mértani sorozat
Mértani sorozatnak nevezzük azokat a legalább három tagból álló sorozatokat, ahol bármely két egymást követő tag (egy tag és az őt megelőző tag) hányadosa állandó. Ezt a hányadost kvóciensnek nevezzük és $q$-val jelöljük. Egy kicsit egyszerűbben megfogalmazva egy sorozat akkor mértani sorozat, ha minden tagja pontosan $q$-szor annyi, mint az előző tag, ahol $q$ egy tetszőleges nem nulla szám, és ezt hívjuk a sorozat hányadosának, vagy másként kvóciensének.
Vagyis a sorozat kvóciense vagy hányadosa az a szám, ahányszor mindegyik tag nagyobb az előzőnél.
A sorozat első elemét $a_1$-gyel, a kvóciensét vagy hányadosát $q$-val jelöljük.
A mértani sorozat $n$-edik tagját így tudjuk kiszámolni:
\( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \)
Az első $n$ tagjának összegét pedig így:
\( S_n = a_1 \frac{ q^n -1 }{q-1} \)
Olyankor, amikor $q = 1$ ez az összegképlet nem működik. Ilyenkor a sorozat minden tagja az előző tag egyszerese, ami azt jelenti, hogy a sorozatnak minden tagja ugyanannyi. Ekkor az összegképlet így néz ki: \( S_n = a_1 \cdot n \)
A mértani sorozat elnevezés onnan ered, hogy a nem negatív tagú mértani sorozatokra igaz, hogy bármely három egymást követő tagja közül a középső tag a másik két tag mértani közepe.
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Egy cég árbevétele az első évben 100 ezer dollár volt és azóta minden évben 20 ezer dollárral nő. Mekkora lesz az árbevétel a hatodik évben?
b) Egy cég árbevétele az első évben 100 ezer dollár volt és azóta minden évben 2%-kal nő. Mekkora lesz az árbevétel a hatodik évben?
c) Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_8 = 2$ és $a_7=162$. Mennyi $a_10$, ha számtani sorozatról, illetve ha mértani sorozatról van szó.
a) Bob, a laborjában baktériumok tenyésztésébe kezd. Egy óra alatt 5 milligramm baktérium keletkezett, és utána óránként megduplázódik a baktériumok száma a tenyészetben. Hány milligramm baktériuma lesz Bobnak a hatodik órában?
b) Egy iskolai futóversenyre a fiúk és a lányok külön-külön edzenek. Első nap mindannyian 3 kilométert futnak, aztán a fiúk minden nap 2 kilométerrel többet, a lányok pedig minden nap 20%-kal többet, mint előző nap. Mennyit futnak a fiúk és a lányok a tízedik napon? Mennyit futottak a 10 nap alatt összesen?
Egy vasútvonalon a nagysebességű vonatok forgalma évente folyamatosan növekszik. A növekedést különböző modellekkel lehet becsülni.
a) A lineáris becslési módszer szerint a vonatok forgalma minden évben ugyanannyival nő. 2023-ban 6,1 millió utas volt és 2050-re ez a szám 10,4 millió lesz. A modell szerint hány fővel növekszik a forgalom egy év alatt?
b) Az exponenciális modell szerint az utasok száma évente átlagosan 2%-kal nő. 2023-ban 6,1millió utassal számolva hány fővel növekszik az utasok száma 2040. és 2041. között?
c) Hány év alatt nő 30%-kal az utasok száma az exponenciális modell szerint?
Egy mértani sorozat első három tagjának összege 124. Ha az első tagjához 12-t, és a második tagjához 36-ot adunk, a harmadik tagjából pedig 4-et levonunk, akkor az így kapott három szám egy számtani sorozat három egymást követő tagja lesz. Mekkora az eredeti mértani sorozat hányadosa?
Egy sorozatról tudjuk, hogy a harmadik tagja 12 és a kilencedik tagja 324.
a) Mennyi az első 10 tag összege, ha számtani sorozatról van szó?
b) Mennyi az első 10 tag összege, ha mértani sorozatról van szó?
Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_1=-7$ és $a_8=896$.
a) Mennyi az első 10 tag összege, ha számtani, illetve ha mértani sorozatról van szó?
b) Mennyi a második 10 tag összege, ha számtani, illetve ha mértani sorozatról van szó?
Egy mértani sorozat első három tagjának az összege 35. Ha a harmadik számot 5-tel csökkentjük, egy számtani sorozat első három tagjához jutunk. Határozza meg a mértani sorozatot!
a) Egy számtani sorozatról tudjuk, hogy ha a huszonharmadik tagjából kivonjuk a tizenhatodik tagját, akkor 119-et kapunk, a sorozat hetedik tagja pedig 144. Mennyi a sorozat századik tagja?
b) Adjunk meg az 56 és az 576 között 12 darab számot úgy, hogy a megadott számokkal együtt ez a 14 darab szám egy számtani sorozat egymást követő tagjai legyenek.
c) Egy mértani sorozat ötödik tagja 48, a kilencedik tagja 768. Mennyi a sorozat tízedik tagja?
Egy sorozat hatodik tagja 1215, hetedik tagja pedig 3645. Mennyi a sorozat nyolcadik tagja és az első nyolc tagjának összege, ha
a) Számtani sorozatról van szó?
b) Mértani sorozatról van szó?
Egy mértani sorozat első tagja 9, az első hat tagjának összege 567, az első hét tag összege pedig 1143. Mennyi az első nyolc tag összege?
Egy számtani sorozatról tudjuk, hogy az első 5 tag összege 468, az első 6 tag összege pedig 9843. Mennyi az első hét tag összege?
Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_1=5$ és $a_6=1215$. Igazoljuk, hogy ha az első n tag összege 5890-nél kisebb, akkor n legfeljebb 7 lehet, függetlenül attól, hogy számtani vagy mértani sorozatról van-e szó.
A Föld átlaghőmérséklete 13,7 °C volt 1900-ban. 100 év alatt 0,74 °C mértékű a melegedés.
a) A lineáris becslési módszer szerint az átlaghőmérséklet minden évben ugyanannyival nő. Mekkora lesz ez alapján a Föld átlaghőmérséklete 2060-ban?
b) Az exponenciális modell szerint az átlaghőmérséklet évente mindig ugyanazzal a százalékkal nő. Mekkora ez a százalék?
c) Mekkora lesz az átlaghőmérséklet 2060-ban az exponenciális modell szerint?
d) Szakemberek szerint a 16 °C-os átlaghőmérséklet már komoly veszélyt jelenthet a földi civlizációra. Melyik évben érhetjük el a 16 °C-os átlaghőmérsékletet az egyik illetve a másik modell szerint?
Egy számtani sorozat első tagja 12. Az első tíz tag összege négyszer akkora, mint közülük a páros indexű tagok összege.
Mekkora a sorozat differenciája?
Egy mértani sorozat első 4 tagjának az összege 105, az 5., 6., 7., és 8. tag összege 1680. Melyik ez a sorozat?
Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_{10} + 2 a_8 = 3 a_9$ és $a_4 = 24$. Mennyi $a_7$, ha
a) számtani sorozatról van szó.
b) mértani sorozatról van szó.
Egy számtani sorozat első 3 tagjának az összege 30-cal kisebb, mint a következő 3 tag összege. Az első 6 tag összege 60. Melyik ez a sorozat?
a) Egy számtani sorozat első és századik tagjának összege 576. Mennyi az első száz tag összege?
b) Egy számtani sorozat második tagja 8 és a differenciája 3. Az első n tagjának összege 220. Mennyi az n értéke?
Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_8=2$ és $a_7=162$. Mennyi $a_{10}$, ha
a) számtani sorozatról van szó.
b) mértani sorozatról van szó.
Egy számtani sorozatról tudjuk, hogy ha a huszonharmadik tagjából kivonjuk a tizenhatodik tagját, akkor 119-et kapunk, a sorozat hetedik tagja pedig 144. Mennyi a sorozat századik tagja?
Itt van a sorozat tizenhatodik tagja…
És ez pedig a huszonharmadik.
Az a16-ból úgy kapjuk meg az a23-at, hogy 7-et ugrunk.
És mindegyik ugrás a sorozat differenciája.
A differencia meg is van.
Azoknak, akiket a házorvosuk nem tiltott el a matematikai képletek használatától…
Itt jön egy másik megoldás is:
Most, hogy a differencia megvan, lássuk milyen adatot nem használtunk még föl.
Ezt…
A sorozat századik tagja pedig:
Ez meg is van. Jöhet még egy ilyen…
Adjunk meg a 56 és az 576 között 12 darab számot úgy, hogy a megadott számokkal együtt ez a 14 darab szám egy számtani sorozat egymást követő tagjai legyenek.
Itt is jól jönne valami kis rajz…
Ja, mondjuk nem pont ez…
Akkor lesznek ezek a számok egy számtani sorozat egymást követő tagjai, ha mindegyik ugyanannyival több az előzőnél.
Ez lesz a sorozat differenciája.
Kész is.
Egy mértani sorozat ötödik tagja 224, a kilencedik tagja 768. Mennyi a sorozat tízedik tagja?
Megint jön a rajz…
Egy mértani sorozat minden tagja az előző tag q-szorosa…
És a tízedik tag is q-szorosa a kilencedik tagnak.
Lássuk, hogy mik azok a mértani sorozatok, mire lehet őket használni és megoldunk néhány mértani sorozatos feladatot. Megnézzük a mértani sorozatok összegképletét, a sorozat általános tagját, és tulajdonságait. Itt jön egy másik történet.
Bob, a laborjában baktériumok tenyésztésébe kezd. Egy óra alatt 5 milligramm baktérium keletkezett, és utána óránként megduplázódik a baktériumok száma a tenyészetben. Hány milligramm baktériuma lesz Bobnak a hatodik órában?
Ez egy sorozat, aminek a tagjait úgy kapjuk meg, hogy az előző tagot mindig 2-vel szorozzuk.
Az ilyen sorozatokat mértani sorozatnak nevezzük.
A számtani sorozatoknál azt csináltuk, hogy az előző taghoz mindig ugyanazt a számot hozzáadtuk…
Most pedig ugyanazzal a számmal szorozzuk.
Ezt a számot q-val jelöljük, és a mértani sorozat hányadosának nevezzük.
És, hogy miért éppen hányadosnak hívjuk…
Ha egy mértani sorozat bármelyik tagját elosztjuk az őt megelőző taggal…
Akkor mindig ugyanazt a számot kapjuk.
Ezt hívjuk a sorozat hányadosának.
És így jutunk el a mértani sorozatok hivatalos definíciójához is.
Egy sorozat akkor mértani sorozat, ha a második tagtól kezdve bármelyik tag és az azt megelőző tag hányadosa állandó.
Ez a hányados a q, amit kvóciensnek is szokás nevezni.
A mértani sorozatoknak is van összegképlete...
Most pedig nézzünk meg egy tanulságos történetet.
általános képlete pedig ez.
Mértani sorozat általános tagjának képlete
És itt jön még az összegképlet is.
Egy iskolai futóversenyre a fiúk és a lányok külön-külön edzenek. Első nap mindannyian 3 kilométert futnak, aztán a fiúk minden nap 2 kilométerrel többet, a lányok pedig minden nap 20%-kal többet, mint előző nap. Mennyit futnak a fiúk és a lányok a tízedik napon? Mennyit futottak a 10 nap alatt összesen?
Kezdjük a fiúkkal.
Minden nap ugyanannyival futnak többet, úgyhogy ez egy számtani sorozat.
A sorozat első tagja 3…
És a differencia pedig 2.
Lássuk, hogy mennyit futottak a tízedik napon…
Most pedig nézzük, mennyit futottak a 10 nap alatt.
Ennyit.
Ez egy piti feladat, úgyhogy ide a könnyített képlet is elég lesz.
A 10 nap alatt a fiúk 120 kilométert futottak összesen.
Jönnek a lányok…
Ők is minden nap ugyanannyival futnak többet, naponta 20%-kal.
Úgy néz ki, hogy ez is egy számtani sorozat lesz…
De a lányok sárgák…
Vagyis valami gubanc még lesz itt.
A lányok első nap 3 kilométert futnak.
A második nap pedig 20%-kal többet.
Aztán megint 20%-kal többet, de ez már a második nap 20%-a.
És ahogy napról napra többet futnak…
Ezek a 20%-ok is egyre nagyobbak lesznek.
Úgy néz ki, hogy ez mégsem számtani sorozat.
Hanem egy mértani sorozat.
A kérdés, hogy mit kezdhetnénk ezzel a +20%-kal.
Az, hogy a lányok naponta 20%-kal többet futnak, ezt jelenti:
Minden nap 1,2-szer annyit futnak, mint előző nap.
Ez tehát egy mértani sorozat lesz, aminek 1,2 a hányadosa.
:
A mértani sorozat képletével kiszámoljuk a a10-et, és meg is van, hogy mennyit futottak a lányok a tízedik napon.
Azt, hogy a tízedik napon mennyit futnak, a mértani sorozat képletével tudjuk kiszámolni.
Úgy tűnik, hogy 15,48 kilométert.
Végül nézzük, hogy mennyit futottak a lányok 10 nap alatt összesen.
Egy vasútvonalon a nagysebességű vonatok forgalma évente folyamatosan növekszik. A növekedést különböző modellekkel lehet becsülni.
a) A lineáris becslési módszer szerint a vonatok forgalma minden évben ugyanannyival nő. 2023-ban 6,1 millió utas volt és 2050-re ez a szám 10,4 millió lesz. A modell szerint hány fővel növekszik a forgalom egy év alatt?
b) Az exponenciális modell szerint az utasok száma évente átlagosan 2%-kal nő. 2023-ban 6,1millió utassal számolva hány fővel növekszik az utasok száma 2040. és 2041. között?
c) Hány év alatt nő 20%-kal az utasok száma az exponenciális modell szerint?
Hát, ez nem hangzik túl jól…
Kezdjük azzal, hogy mit jelent az, hogy „lineáris”…
A lineáris függvények így néznek ki:
És ezek pedig az exponenciális függvények:
És itt van még a vonat is:
De ez most nem fog nekünk túl sokat segíteni.
Amit viszont jegyezzünk meg, hogy a számtani sorozat mindig lineáris modell…
A mértani sorozat pedig exponenciális.
Az első kérdésre tehát valamilyen számtani sorozatos választ fogunk adni, a másik kettőre pedig mértani sorozatosat.
Kezdjük a számtani sorozattal.
A sorozat első tagja meg is van.
Most lássuk, hányadik tag lesz vajon 2050-ben…
Hát, egészen 2050-ig nem fogunk kiférni a rajzzal…
És innen még 20 év.
Tehát itt, a sorozat indexeinél is még +20…
A sorozatnak ez a tagja pedig a modell szerint…
A kérdés, hogy mennyivel növekszik a forgalom évente…
Vagyis, hogy mekkora a sorozat differenciája.
A modell szerint évente átlagosan 159 259 fővel növekszik a forgalom.
És most jöhet a mértani sorozat.
Megint csinálunk egy ábrát…
És most a 2040-et kéne megkeresnünk rajta.
Na meg 2041-et.
A kérdés, hogy mennyivel nőtt az utasforgalom 2040-ről 2041-re.
Hát ennyivel:
2040-ről 2041-re az utasforgalom 170 830 fővel nőtt.
Végül itt jön az utolsó kérdés…
Az utasok száma évente 2%-kal nő.
Két év alatt a növekedés:
Három év alatt pedig:
És négy év alatt:
A kérdés az, hogy hány év alatt lesz a növekedés +20%...
Hát, ennyi.
13,249 év alatt növekszik az utasforgalom 30%-ot.
Vagyis 13 év es egy negyedév alatt.
Most pedig végre kiderül, hogy miért hívják „számtani”nak a számtani sorozatot, és mitől „mértani” a mértani sorozat.
Sötét titkok fognak kiderülni, úgyhogy mindenki döntse el, valóban tudni akarja-e…
Az első titokzatos dolog a nevezetes közepek lesznek.
Ezt hívjuk az a és b számok számtani közepének:
A számtani közép nem más, mint az átlag.
És például három számnak is van számtani közepe…
Vagy négynek is.
De vannak olyan esetek, amikor egy másfajta átlagolásra van szükség.
Hogyha valaki például idősorok statisztikai elemzésével szeretne foglalkozni…
Vagy akkor is, ha szeretné tudni, hogy mitől „mértani” a mértani sorozat.
Ezt a másik típusú átlagot mértani átlagnak nevezzük…
És már jön is.
És egyúttal ez a két szám mértani átlaga.
A dolog most is működik több számra is…
És mindig annyiadik gyököt kell vonni, ahány szám van.
Most pedig lássuk, mi köze ezeknek a sorozatokhoz.
Hogyha x, y és z egy számtani sorozat három egymást követő tagja…
És a sorozat differenciája pedig d…
Akkor az x d-vel kevesebb…
A z pedig d-vel több az y-nál.
A három egymást követő tag közül a középső mindig a két másik tagnak a számtani közepe.
És most nézzük, mi a helyzet a mértani sorozatoknál.
És íme, itt a mértani közép.
És végül még egy dolog…
Nagyon szépek ezek a számtani és mértani közepek, de a mértani közepes képletben kicsit aggasztó ez az abszolútérték.
Vagyis jobban járunk, ha inkább ezt a verziót használjuk.
És akkor már a számtani sorozatnál is egyszerűbb inkább ez.
Most pedig lássuk, mire használhatnánk ezeket a képleteket.
Egy mértani sorozat első három tagjának összege 124. Ha az első tagjához 12-t, és a második tagjához 36-ot adunk, a harmadik tagjából pedig 4-et levonunk, akkor az így kapott három szám egy számtani sorozat három egymást követő tagja lesz. Mekkora az eredeti mértani sorozat hányadosa?
Az eredeti mértani sorozat első három tagja:
És itt jön a számtani sorozat három egymás utáni tagja:
A mértani sorozat első három tagjának összege pedig 124…
Úgy tűnik, hogy két ilyen mértani sorozat is lesz…
Az egyiknek a hányadosa q=5 a másiknak pedig q=1/5.
Egy sorozatról tudjuk, hogy a harmadik tagja 12 és a kilencedik tagja 324.
a) Mennyi az első 10 tag összege, ha számtani sorozatról van szó?
b) Mennyi az első 10 tag összege, ha mértani sorozatról van szó?
Kezdjük a számtani sorozattal.
Szinte észre sem vesszük és már meg is oldottuk ezt az egyenletrendszert…
És most jöhet az első 10 tag összege.
Hát, most nem egy főnyeremény ez a képlet, az a10-ről ugyanis fogalmunk sincs, hogy mennyi…
Nem baj, akkor bevetjük a durvább képletet…
Ez meg is van.
Jöhet a mértani sorozat.
Megint jön az egyenletrendszer…
Most, hogy ez megvan, visszarakjuk valamelyik egyenletbe…
Az első 10 tag összege pedig:
