- Halmazok, logikai műveletek, bizonyítási módszerek
- Hatványozás, exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek
- Logaritmus azonosságai, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Nevezetes azonosságok
- Gyökös azonosságok, gyökös egyenletek
- Százalékszámítás
- Számtani és mértani sorozatok
- Abszolútértékes egyenletek
- Polinomok, polinomok maradékos osztása
- Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Függvények
- Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
- Összetett függvény és inverz függvény
- Függvények ábrázolása, függvénytranszformációk
- Trigonometria, trigonometrikus egyenletek
- Koordinátageometria a síkban
- A parabola
- Koordinátageometria a térben, egyenesek és síkok térbeli egyenlete
- Síkidomok kerülete, területe, testek térfogata és felszíne
- Kombinatorika
- Valószínűségszámítás, klasszikus valószínűségi mező
- Binomiális eloszlás, hipergeometriai eloszlás
Hatványozás, exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek
Hatványazonosságok összefoglaló
Hatványozás azonosságai:
\( a^n a^k = a^{n+k} \)
\( \frac{ a^n}{ a^k } = a^{n-k} \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
\( \left( a^n \right)^k = a^{nk} \qquad a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \)
\( a^{ \frac{k}{n}} = \left( \sqrt[n]{a} \right)^k = \sqrt[n]{a^k} \)
\( a^n b^n = (ab)^n \)
\( \frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right)^n \)
Exponenciális függvény
Exponenciális függvénynek nevezzük az $f(x)=a^x$ alakú függvényeket, ahol $a>0$ valós szám.
Az exponenciális függvények meglehetősen fontosak a matematikában, sőt nem csak a matematikában.
Ilyen függvények írják le a baktériumok szaporodását, a radioaktív elemek bomlását, a számítógépek teljesítményének növekedését és még rengeteg más dolgot.
Exponenciális egyenletek megoldása
Az exponenciális egyenletek megoldásának kulcsa, hogy a két oldalt azonos hatványalapra hozzuk, mert ekkor
\( a^x = a^b \Rightarrow x=b \)
Így hát az egyenlet két oldalát addig alakítgatjuk a hatványozás azonosságainak segítségével, amíg erre az alakra nem jutunk.
Exponenciális egyenlőtlenségek megoldása
Exponenciális egyenlőtlenséget ugyanúgy kell mint az egyenletet, amire figyelni kell csupán az az, hogy amikor elhagyjuk a hatványalapot, nem mindegy, hogy az 1-nél nagyobb, vagy kisebb szám-e.
Ha az alap 1-nél nagyobb szám, akkor nem történik semmi, az alap elhagyása után az egyenlőtlenség iránya megmarad.
Ha viszont az alap 1-nél kisebb szám, akkor az alap elhagyása után az egyenlőtlenség iránya megfordul.
Végezzük el ezeket a műveleteket a hatványazonosságok segítségével.
a) \( \left( \frac{ \left( u^4 \cdot u^2 \right)^3}{u^{20}} \right)^5 = ? \)
b) \( \sqrt[6]{ \left( \frac{u^4}{v^4} \right)^3 } =? \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( \left( \frac{3}{4} \right)^{x+5} = \left( \frac{9}{16} \right)^{x-3} \)
b) \( \left( \frac{3}{2} \right)^{x-4} = \left( \frac{4}{9} \right)^{x-10} \)
c) Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva?
d) Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben?
e) A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radiaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:
\( N(t)=N_0 \cdot e^{-\lambda t} \)
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége?$ \; \lambda=0,0277 $
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( 4^{5-x}=16^{3x-1} \)
b) \( \left( \frac{3}{4} \right)^{x-4} = \sqrt[3]{ \left( \frac{9}{16} \right)^{x-3} } \)
c) \( \sqrt[3]{16^x} = 4^{3x-14} \)
d) \( \sqrt[3]{144^x} = \sqrt{ \frac{1}{12^{10-3x} } } \)
e) \( 2^{x+5}+7=7\cdot 2^{x+3} +1 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} = 56 \)
b) \( 3^x 3^4 +5 = 4\cdot 3^{x+2} +3^x +49 \)
c) \( 3^{x-4} \cdot 16 = 4^{x-4} \cdot 9 \)
d) \( 9^x-7\cdot 3^{x+2} = 19 \cdot 3^x -81 \)
e) \( 4^{x+1}-13\cdot 6^x + 9^{x+1}=0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket.
a) \( 16^{x-3}\leq 8^{x+2} \)
b) \( 3^x+4\cdot 3^{x+1} \leq 117 \)
c) \( \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right)^{2x+5} \leq \left( \frac{4}{7} \right)^{3x-2} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
a) \( (0,125)^{3-4x}=\frac{1}{32} \)
b) \( 3^x + 3^{x+1} + 3^{x+2} + 3^{x+3} = 120 \)
c) \( 4^x + 4^{x+1} + 4^{x+2} = 336 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( 3^{x-4} \cdot 16 = 4^{x-4} \cdot 9 \)
b) \( 4^{x-3} \cdot 144 = 12^{x-3} \cdot 16 \)
c) \( 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} + 2^{x+3} = 3^x +3^{x+2} \)
Oldjuk meg ezeket az exponenciális egyenlőtlenségeket.
a) \( 27^{x+2} \leq 9^{x-3} \)
b) \( 2^{x+2}+6\cdot 2^x > 40 \)
c) \( \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)^{2x-1} \geq \left( \frac{1}{5} \right)^{5x+4} \)
Oldjuk meg ezt az exponenciális egyenlőtlenséget.
\( 4^x-3\cdot 2^{x+1}+8 <0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( \sqrt[3]{4^x} = \sqrt{2^{3x+1}} \)
Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenletet.
\( 2^{\sqrt{x}+2} - 2^{\sqrt{x}+1} = 12 +2^{ \sqrt{x}-1} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( 5\cdot 2^{ \sqrt{x}+1} -24=4\cdot 2^{ \sqrt{x}} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
a) \( 2\cdot 9^x +2 =20\cdot 3^{x-1} \)
b) \( 16^x +16-4^{x+2}=4^x \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( 5\cdot 2^{ \sqrt{x}+1} -56=3\cdot 2^{ \sqrt{x}} \)
Ez exponenciális függvényekkel való ismerkedésünket kezdjük az alapokkal, a hatványazonosságokkal.
Hatványozni jó dolog és így kezdetben bőven elég annyit tudni, hogy
de semmi ördögi nem lesz itt.
Az első hatványazonosság azzal fog foglalkozni, hogy mi történik, ha megszorozzuk ezt mondjuk azzal, hogy 62.
Hát nézzük meg.
Nos ha ezeket összeszorozzuk, akkor
a kitevők összeadódnak.
Ez lesz az első azonosság.
HATVÁNYAZONOSSÁGOK
Most nézzük meg mi történik, ha ezeket elosztjuk egymással.
De azért van itt egy apró kellemetlenség.
Már jön is.
Nos amikor a nevező kitevője nagyobb, ilyenkor az eredmény egy tört.
Itt pedig a kitevő negatív lesz.
Most lássuk, hogyan kell hatványt hatványozni.
Nos így:
A kitevőket kell összeszoroznunk.
Itt van aztán ez, hogy
Na ez vajon mi lehet?
Nézzük meg mi történik ha alkalmazzuk rá a legújabb azonosságunkat.
Vagyis ez valami olyan, amit ha négyzetre emelünk, akkor 9-et kapunk.
Ilyen éppenséggel van, ezt hívjuk -nek.
A törtkitevő tehát gyökvonást jelent.
Az előbbi két azonosságot kicsit továbbfejlesztve kapunk egy harmadikat.
Ha van egy ilyen, hogy
nos akkor ezen ki is próbálhatjuk ezt a képletet.
Jön itt még néhány újabb képlet,
de most már lássuk a függvényeket.
Így néz ki a 2x függvény. Ez pedig a 3x.
Ha az alap egy 2 és 3 közti szám, akkor a függvény a 2x és a 3x között van.
Például egy ilyen szám a
2,71828182845904523536028747135266249775724709369995…
Ez a szám mágikus jelentőséggel bír a matematikában és az egyszerűség kedvéért elnevezték e-nek.
Ez a függvény tehát az ex.
Az összes 1-nél nagyobb alapú exponenciális függvény valahogy így néz ki.
Ha az alap 1-nél kisebb, nos az egy másik állatfajta.
Az exponenciális egyenletek megoldása:
Most néhány egészen fantasztikus exponenciális egyenletet fogunk megoldani.
Már jön is az első:
Mindig ez lebegjen a szemünk előtt:
Persze csak akkor, ha meg akarunk oldani egy ilyen egyenletet…
Lássuk csak, bingo!
Na, ezzel megvolnánk.
Csak még egy dolog. Ennél a lépésnél írjuk oda, hogy: az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt.
Itt van aztán egy újabb ügy:
A két hatványalap nem ugyanaz…
de van remény.
És nézzük, mit tehetnénk ezzel:
Most pedig lássunk valami izgalmasabbat.
Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva?
Készítsünk erről egy rajzot.
Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van ezzel a kis képlettel kapjuk meg:
Itt x azt jelenti, hogy hányszor 25 perc telt el.
A mi kis történetünkben két óra, vagyis 120 perc telik el:
Tehát ennyi milligramm lesz a baktériumok tömege 120 perc múlva.
Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben?
A történet úgy szól, hogy kezdetben volt 23 milligramm, a végén pedig 736:
De az x=5 nem azt jelenti, hogy 5 perc telt el…
Az x=5 azt jelenti, hogy 5 generációnyi idő telt el:
Vagyis 60 perc telt el.
A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében.
Hát így elsőre ez egy elég ronda képlet, de mindjárt kiderül, hogy nem is olyan rémes.
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége?
A 90-stroncium felezési ideje 25 év, tehát képletünk valahogy így néz ki:
Íme, a képlet:
Ha 40 év telik el, akkor t helyére 40-et írunk:
Ezt beírjuk a számológépbe…
40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.
Most nézzük, mi történik 100 év alatt.
Ha 100 év telik el, nos, akkor t helyére 100-at kell írnunk:
Vagyis 100 év alatt 6,3%-ra csökken a radioaktív atommagok száma.
Újabb rémtörténetek következnek exponenciális egyenletekkel.
Itt is jön az első:
Na, ezzel megvolnánk.
Itt van aztán ez:
Eddig jó…
Vannak aztán első ránézésre eléggé rémisztő egyenletek is.
Itt jön néhány újabb remek exponenciális egyenlet.
Na, ezzel megvolnánk.
Nézzünk egy másikat.
Most pedig lásunk valami izgalmasabbat.
Így aztán elhatalmasodik rajtunk az érzés, hogy le kéne osztani 4x-nel.
Nos, az izgalmak még tovább fokozhatók.
Nézzük, vajon meg tudjuk-e oldani ezt:
Ez valójában egy másodfokú egyenlet, ami exponenciális egyenletnek álcázza magát.
És vannak egészen trükkös esetek is.
Nézzünk meg még egy ilyet.
Az exponenciális egyenletek megoldása:
Most néhány egészen fantasztikus exponenciális egyenletet fogunk megoldani.
Már jön is az első:
Mindig ez lebegjen a szemünk előtt:
Persze csak akkor, ha meg akarunk oldani egy ilyen egyenletet…
Lássuk csak, bingo!
Na, ezzel megvolnánk.
Csak még egy dolog. Ennél a lépésnél írjuk oda, hogy: az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt.
Itt van aztán egy újabb ügy:
A két hatványalap nem ugyanaz…
de van remény.
És nézzük, mit tehetnénk ezzel:
Most pedig lássunk valami izgalmasabbat.
Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva?
Készítsünk erről egy rajzot.
Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van ezzel a kis képlettel kapjuk meg:
Itt x azt jelenti, hogy hányszor 25 perc telt el.
A mi kis történetünkben két óra, vagyis 120 perc telik el:
Tehát ennyi milligramm lesz a baktériumok tömege 120 perc múlva.
Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben?
A történet úgy szól, hogy kezdetben volt 23 milligramm, a végén pedig 736:
De az x=5 nem azt jelenti, hogy 5 perc telt el…
Az x=5 azt jelenti, hogy 5 generációnyi idő telt el:
Vagyis 60 perc telt el.
A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében.
Hát így elsőre ez egy elég ronda képlet, de mindjárt kiderül, hogy nem is olyan rémes.
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége?
A 90-stroncium felezési ideje 25 év, tehát képletünk valahogy így néz ki:
Íme, a képlet:
Ha 40 év telik el, akkor t helyére 40-et írunk:
Ezt beírjuk a számológépbe…
40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.
Most nézzük, mi történik 100 év alatt.
Ha 100 év telik el, nos, akkor t helyére 100-at kell írnunk:
Vagyis 100 év alatt 6,3%-ra csökken a radioaktív atommagok száma.
Újabb rémtörténetek következnek exponenciális egyenletekkel.
Itt is jön az első:
Na, ezzel megvolnánk.
Itt van aztán ez:
Eddig jó…
Vannak aztán első ránézésre eléggé rémisztő egyenletek is.
Itt jön néhány újabb remek exponenciális egyenlet.
Na, ezzel megvolnánk.
Nézzünk egy másikat.
Most pedig lásunk valami izgalmasabbat.
Így aztán elhatalmasodik rajtunk az érzés, hogy le kéne osztani 4x-nel.
Nos, az izgalmak még tovább fokozhatók.
Nézzük, vajon meg tudjuk-e oldani ezt:
Ez valójában egy másodfokú egyenlet, ami exponenciális egyenletnek álcázza magát.
És vannak egészen trükkös esetek is.
Nézzünk meg még egy ilyet.
