Kombinatorika

Itt az ideje, hogy készítsünk egy rövid kombinatorikai összefoglalót. Kiderül, hogy mi az a permutáció, kombináció, variáció, sőt, ami még ennél is fontosabb, az is kiderül, hog mikor melyiket kell használni. Van n darab elem mindet kiválasztjuk kiválasztunk közülük k darabot a sorrend számít a sorrend nem számít PERMUTÁCIÓ n darab különböző elem permutációinak száma: mese: Hányféleképpen ülhet le öt ember egymás mellé egy padon? Permutációból van ismétléses permutáció és ismétlés nélküli permutáció. Most az ismétlés nélküli permutációt nézzük, az ismétléses permutáció egy másik epizódban lesz. VARIÁCIÓ n darab különböző elemből kiválasztott k darab elem permutációinak száma: Hányféleképpen ülhet le öt ember közül három egymás mellé egy padon? Variációból is van ismétléses variáció és ismétlés nélküli variáció. Most az ismétlés nélküli variációval foglalkozunk, de egy másik epizódban jön az ismétléses variáció is. KOMBINÁCIÓ n darab különböző elem közül kiválasztott k darab elem kombinációinak száma: Kombinációból csak az ismétlés nélküli kombinációval fogunk foglalkozni, de azzal nagyon. Hányféleképpen választhatunk ki öt ember közül hármat? Most pedig nézzünk néhány feladatot. Hányféle hatjegyű szám alkotható az 1,2,3,4,5,6 számjegyekből, ha mindegyiket csak egyszer használhatjuk? Az első helyre még bármelyik számjegyet tehetjük… A következő helyre már csak ötfélét. És így tovább… Most nézzük, mi történik akkor, ha vannak a számjegyek közt egyformák. Hány hatjegyű szám alkotható ezekből? Az elv ugyanaz, mint az előbb. És mivel most vannak köztük egyformák… ezért sokkal kevesebb eset lesz. Osztani kell az egyforma elemek faktoriálisaival. Ezt hívjuk ismétléses permutációnak. Lássuk, mi történik akkor, ha nem az összes elemet permutáljuk, csak a kiválasztott elemeket. Készítsünk ötjegyű számokat úgy, hogy egy számjegyet csak egyszer használhatunk. Ha úgy készítünk ötjegyű számokat, hogy minden számjegyet többször is használhatunk… Ezt ismétléses variációnak hívjuk. Az ismétléses variáció meglehetősen alattomos feladatokban is fel szokott bukkanni. Egy buszon 20-an utaznak, és az öt megállója során végül minden utas leszáll. Hányféleképpen tehetik ezt meg? Nos, itt vannak a megállók: Az első megállónál bárki leszállhat, ami húszféle utas. A második megállóban szintén bárki leszállhat, így ez is 20. Namost, ha az első megállóban leszállnak például 4-en… Akkor a másodikban már nem tudnak 20-an leszállni, mert nincs is annyi ember a buszon. De mivel fogalmunk sincs, hányan szállnak le az első megállóban, ezért nem tudjuk milyen számot írjunk a második megállóhoz. Jegyezzük meg, hogy ha egy kombinatorika feladatot nem tudunk megoldani, akkor inkább keressünk egy másik feladatot. Ja, nem. Ne ezt jegyezzük meg… Ha egy kombinatorika feladatot nem tudunk megoldani, akkor fordítsuk meg a hozzárendelést. megálló utas Szóval, itt vannak az utasok: És az első utas leszállhat ötféle helyen… a második utas is leszállhat ötféle helyen, és így tovább. Végül itt jön még egy izgalmas ügy. Egy nyereményjátékon 20 ember között kisorsolnak 5 ajándékot. Hányféleképpen lehetséges ez, ha a)A nyeremények különbözőek, és egy ember csak egyet kaphat? Az első embernek adhatunk ötféle ajándékot. A másodiknak már csak négyfélét… De van itt egy kis gond. Egyáltalán nem biztos, hogy az első ember kapott ajándékot. És, ha nem kapott, akkor a második ember ötfélét kaphat. Megint jönnek a kérdőjelek. És ez bizony nem jó jel… Úgyhogy fordítsuk meg a hozzárendelést. ember nyeremény Az első nyereményt adhatjuk 20-féle embernek. A második nyereményt már csak 19-nek. És így tovább… b)A nyeremények különbözőek, de egy ember többet is kaphat? Az első nyereményt adhatjuk 20-féle embernek. És az összes többit is. c)A nyeremények egyformák, de egy ember csak egyet kaphat? Az első nyereményt adhatjuk 20-féle embernek. Csakhogy itt most nincs első nyeremény. Mert mindegyik nyeremény egyforma. Ezért nem számít a nyeremények sorrendje. Az egyforma ajándékok miatt nem számít a sorrend. Vagyis ez egy kombináció lesz, ahol 20 emberből választunk ki 5 embert. Ezt számológéppel az nCr gomb lenyomásával tudjuk kiszámolni:

Ha egy kombinatorika feladatot nem tudunk megoldani, akkor fordítsuk meg a hozzárendelést. megálló utas Szóval, itt vannak az utasok: És az első utas leszállhat ötféle helyen… a második utas is leszállhat ötféle helyen, és így tovább. Végül itt jön még egy izgalmas ügy. Egy nyereményjátékon 20 ember között kisorsolnak 5 ajándékot. Hányféleképpen lehetséges ez, ha a)A nyeremények különbözőek, és egy ember csak egyet kaphat? Az első embernek adhatunk ötféle ajándékot. A másodiknak már csak négyfélét… De van itt egy kis gond. Egyáltalán nem biztos, hogy az első ember kapott ajándékot. És, ha nem kapott, akkor a második ember ötfélét kaphat. Megint jönnek a kérdőjelek. És ez bizony nem jó jel… Úgyhogy fordítsuk meg a hozzárendelést. ember nyeremény Az első nyereményt adhatjuk 20-féle embernek. A második nyereményt már csak 19-nek. És így tovább… b)A nyeremények különbözőek, de egy ember többet is kaphat? Az első nyereményt adhatjuk 20-féle embernek. És az összes többit is. c)A nyeremények egyformák, de egy ember csak egyet kaphat? Az első nyereményt adhatjuk 20-féle embernek. Csakhogy itt most nincs első nyeremény. Mert mindegyik nyeremény egyforma. Ezért nem számít a nyeremények sorrendje. Az egyforma ajándékok miatt nem számít a sorrend. Vagyis ez egy kombináció lesz, ahol 20 emberből választunk ki 5 embert. Ezt számológéppel az nCr gomb lenyomásával tudjuk kiszámolni: Egy dominókészlet azonos méretű dominókból áll. Minden dominó egyik oldala egy vonallal két részre van osztva. Az egyes részeken elhelyezett pöttyök száma 0-tól 6-ig bármi lehet. Minden lehetséges párosításnak léteznie kell, de két egyforma nem lehet egy készletben. Hány darabból áll egy dominókészlet? Íme, épp itt van egy dominó a készletből. Az első fontos észrevétel, hogy ha megfordítjuk... attól ez még ugyanaz a darab dominó marad. A második fontos észrevétel, hogy vannak olyan dominók is, amiket eszünkbe se jut megfordítani. Mert mindkét oldaluk egyforma. Most nézzük, melyikből hány darab van. Ezekből van 7 darab… Ezek meg itt olyanok, hogy az egyik mezőben nem ugyanaz a szám van, mint a másikban. A felső szám még 0-tól 6-ig bármi lehet, ez összesen 7-féle lehetőség, az alsó viszont nem lehet ugyanolyan, mint a felső, ezért az csak 6-féle. De valójában csak fele ennyi eset van, mert bármelyiket megfordítva ugyanazt a dominót kapjuk. Több váratlan fordulat már nincs, a készlet 21+7=28 darab dominóból áll.

Még mindig a középiskolai matek felelevenítésével foglalkozunk, ahol elvileg mindenki tanult valószínűségszámítást és kombinatorikát. De csak elvileg, éppen ezért teljesen az alapoktól kezdünk és nem építünk a középiskolai matematika tanulmányokra. Tíztagú társaság raftingolni indul egy ötszemélyes egy háromszemélyes és egy kétszemélyes csónakkal.

Hányféleképpen ülhetnek a csónakokba, ha a csónakokon belül a helyek között nem teszünk különbséget?

Mi a helyzet akkor, ha két adott ember egy csónakba akar kerülni?

Ilyenkor az szokott lenni, hogy egynek vesszük őket…

Így aztán 9 elemet kell elhelyezni.

Csak hát az a baj, hogy ha ezt az 5 elemet választjuk…

akkor az hat ember és nem férnek el.

Hát jó, akkor válasszunk csak 4-et, hogy biztosan beférjenek.

Csak hát az a baj, hogy ha ezt a 4 elemet választjuk…

akkor az tényleg csak 4 ember, vagyis marad egy üres hely.

Úgy tűnik sehogyan sem akar ez kijönni.

A problémát az okozza, hogy két embert egynek vettünk.

Az „egynek vesszük” elv tökéletesen jól működik olyankor, amikor csak sorba akarjuk rakni az elemeket.

De nem működik olyankor, amikor kiválasztunk.

Ilyenkor esetekre kell bontani.

Hány olyan szám keletkezik, amelyben két páros és két práratlan számjegy szerepel?

Először kiválasztjuk a számjegyeket…

aztán sorba rakjuk.

Hány olyan szám készíthető amiben szerepel a 9-es számjegy?

Az előző módszer itt is működik.

Egy másik jó ötlet, hogy vesszük az összes esetet…

és levonjuk belőle azokat amikor nincs 9-es.

Itt az ideje, hogy készítsünk egy rövid kombinatorikai összefoglalót. A középiskolai matek felelevenítésével kezdjük, ahol elvileg mindenki tanult valószínűségszámítást és kombinatorikát. De csak elvileg, éppen ezért teljesen az alapoktól kezdünk és nem építünk a középiskolai matematika tanulmányokra. Kezdjük tehát a középiskolai matematika tananyag összefoglalását és átismétlését.

Van n darab elem

mindet kiválasztjuk

kiválasztunk közülük k darabot

a sorrend számít

a sorrend nem számít

PERMUTÁCIÓ

n darab különböző elem permutációinak száma n faktoriális:

mese:

Hányféleképpen ülhet le öt ember egymás mellé egy padon?

VARIÁCIÓ

n darab különböző elemből kiválasztott k darab elem permutációinak száma.

Hányféleképpen ülhet le öt ember közül három egymás mellé egy padon?

KOMBINÁCIÓ

n darab különböző elem közül kiválasztott k darab elem kombinációinak száma.

Hányféleképpen választhatunk ki öt ember közül hármat?

Ez mind nagyon szép. Most pedig lássunk néhány kombinatorika feladatot megoldással. Mindegyik feladat egyszerű középiskolai matek feladat, egyik sem nehezebb, mint amilyennel a matek érettségin találkozhatunk. Nekünk azért fontosak ezek a kombinatorika feladatok, mert sok izgalmas dolog épül majd az alap kombinatorikára és az alap középiskolai matek tudásra. Lássuk.

Egy 52 lapos francia kártyából kihúzunk 5 lapot.

Mi a valószínűsége, hogy az első és a harmadik lap ász?

kedvező eset

összes eset

Kezdjük az összes esettel.

Az 52 lap közül választunk ki 5 darabot. A kérdés az, hogy számít-e a sorrend

vagy nem.

Mivel a szövegben ilyenek vannak, hogy első lap, meg harmadik lap, a jelek szerint számít a sorrend.

Most lássuk a kedvező eseteket.

Az első lap ász, ez négyféle lehet.

A következő lap elvileg bármi lehet a maradék 51 lapból.

Aztán a harmadik lapnak megint ásznak kell lennie.

Lássuk csak hány ász van még.

Fogalmunk sincs. Ha ugyanis a második helyre is ászt raktunk, akkor már csak kettő.

De ha a második helyre nem, akkor három.

Ez bizony probléma.

A kedvező eset számolásánál mindig a kívánsággal kell kezdeni.

Most tehát azzal, hogy az első lap ász és a harmadik lap is ász.

Utána jöhetnek a többi lapok.

Van még 50 darab lap a második helyre.

Aztán még 49 és 48.

Mi a valószínűsége, hogy csak az első és a harmadik lap ász?

Most is számít a sorrend.

Az összes eset ugyanannyi,mint az előbb.

Lássuk mi van a kedvezőkkel.

Megint a kívánsággal kezdünk.

De most csak ez a két ász van, tehát a második lap nem lehet ász.

Így csak 48 féle lehet.

Aztán 47 és 46.

Mi a valószínűsége, hogy a lapok közt két ász lesz?

Itt nem számít a sorrend ezért kombinációt használunk.

A 4 ászból ki kell húznunk kettőt.

Aztán pedig kell még 3 lap ami már nem ász.

Hát ez remek. Végül nézzünk meg még egy feladatot.

Egy kosárlabdacsapat 9 játékosból áll, közülük öten vannak egyszerre a pályán.

Mekkora a valószínűsége, hogy a két legjobb játékos egyszerre van a pályán?

A kiválasztás sorrendje nem számít, csak az, hogy kiket választunk a pályára.

Így aztán kombinációra lesz szükség.

Nézzük mennyi eset van összesen.

A 9 játékosból kell kiválasztanunk ötöt.

A kedvező amikor a két legjobb a pályán van, vagyis őket mindenképp kiválasztjuk,

és még hármat.

Mi a valószínűsége, hogy a két legjobb játékos közül csak az egyik van a pályán?

Az összes eset itt is ugyanannyi.

A kedvező pedig amikor a két legjobb játékosból választunk egyet

és a többi tehetségtelen amatőr közül még négyet.