Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Bevezető matematika

Kategóriák
  • Abszolútértékes egyenletek
  • Bevezető a bevezetőhöz
  • Vektorok síkban és térben
  • Egyenletrendszerek
  • Síkidomok és testek
  • Logaritmikus egyenletek
  • Számtani és mértani sorozatok
  • Százalékszámítás
  • Trigonometrikus egyenletek
  • Kombinatorika
  • Gyökös egyenletek
  • Egyenlőtlenségek
  • Exponenciális egyenletek
  • Elsőfokú és másodfokú egyenletek

Síkidomok és testek

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Testek térfogata és felszíne
02
 
Háromszögek és trapézok
03
 
Szinusz, koszinusz derékszögű háromszögekben

Forgáskúp

A kúp egy gúlaszerű térbeli test, melynek alapja egy kör.

A kúp felszíne:

\( A = T + \text{palást területe} \)

Térfogata:

\( V=\frac{T\cdot h}{3} \)

ahol $h$ a kúp magassága.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Forgáskúp felszíne

\( A = T + \text{palást területe} \)

ahol $T$ az alaplap területe

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Forgáskúp térfogata

\( V=\frac{T\cdot h}{3} \)

ahol $h$ a kúp magassága.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gúla

Vegyünk egy síkbeli sokszöget és a sík felett egy pontot. Ha a pontot összekötjük a síkbeli alakzat csúcsaival, akkor egy térbeli alakzatot kapunk, amit úgy hívunk, hogy gúla.

A gúla felszíne:

\( A = T + \text{palást területe} \)

Térfogata:

\( V=\frac{T\cdot h}{3} \)

ahol $h$ a gúla magassága.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gúla felszíne

\( A = T + \text{palást területe} \)

ahol $T$ az alaplap területe

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gúla térfogata

\( V=\frac{T\cdot h}{3} \)

ahol $h$ a gúla magassága.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Hasáb

A hasáb egy olyan test, amelynek két párhuzamos lapja egymással egybevágó sokszög, a többi lapja pedig paralelogramma.

A hasábok felszíne:

\( A = 2T + \text{palást területe} \)

Térfogata:

\( V=T\cdot h \)

ahol $h$ a hasáb magassága.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Hasáb felszíne

\( A = 2T + \text{palást területe} \)

ahol $T$ az alaplap (vagy fedőlap) területe

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Hasáb térfogata

\( V=T\cdot h \)

ahol $h$ a hasáb magassága.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Henger

A henger olyan, mint a hasáb, csak nem sokszög a két párhuzamos lap, hanem kör.

A hengerek felszíne:

\( A = 2T + \text{palást területe} \)

Térfogata:

\( V=T\cdot h \)

ahol $h$ a henger magassága.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Henger felszíne

\( A = 2T + \text{palást területe} \)

ahol $T$ az alaplap területe

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Henger térfogata

\( V=T\cdot h \)

ahol $h$ a henger magassága.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Háromszög köré írható kör

A háromszög oldalfelezőmerőlegesei mindig egy pontban metszik egymást. Ez a pont minden csúcstól egyenlő távolságra van és emiatt a háromszög köré írható kör középpontja.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Háromszög magasságvonala és a magasságpont

A háromszög magasságvonala a csúcsból a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges.

Ezek mindig egy pontban metszik egymást, és ezt a pontot magasságpontnak nevezzük.

Ha a háromszög tompaszögű, akkor a magasságpont a háromszögön kívülre esik.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Háromszög súlyvonala és a súlypont

A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz.

Ezek mindig egy pontban metszik egymást, ezt a pontot hívjuk a háromszög súlypontjának.

További izgalom, hogy a súlypont mindegyik súlyvonalat 2:1 arányban osztja.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Háromszögbe írható kör

A háromszög belső szögfelezői mindig egy pontban metszik egymást. Ez a háromszögbe írható kör középpontja.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Képletek háromszög területére

A jól ismert képlet:

\( T = \frac{ a \cdot m_a}{2} = \frac{ b \cdot m_b}{2} = \frac{ c \cdot m_c}{2} \)

És egy kevésbé ismert:

\( T = \frac{abc}{4R} \)

Itt $R$ a háromszög köré írható körének sugara.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Koszinusz derékszögű háromszögekben

Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének koszinuszát a következőképp értelmezzük:

\( \cos{\alpha} = \frac{ \text{ szög melletti befogó} }{ \text{átfogó} } \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Szinusz derékszögű háromszögekben

Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének szinuszát a következőképp értelmezzük:

\( \sin{\alpha} = \frac{ \text{ szöggel szemközti befogó} }{ \text{átfogó} } \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Szögfüggvények derékszögű háromszögben

\( \sin{\alpha} = \frac{ \text{szöggel szemközti befogó} }{ \text{átfogó} } = \frac{a}{c} \)

\( \cos{\alpha} = \frac{ \text{szög melletti befogó} }{ \text{átfogó} } = \frac{b}{c} \)

\( \tan{\alpha} = \frac{ \text{szöggel szemközti befogó} }{ \text{szög melletti befogó} } = \frac{a}{b} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Tangens derékszögű háromszögekben

Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének tangensét a következőképp értelmezzük:

\( \tan{\alpha} = \frac{ \text{ szöggel szemközti befogó } }{ \text{szög melletti befogó} } \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Az egyiptomi Nagy Piramis 147 m magas és a piramis lábánál 232 m hosszú. Számoljuk ki, hogy hány köbméter szikla kellett a felépítéséhez, mekkora a piramis felülete és milyen meredek az oldala.

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

a) Mi a háromszög magasságvonala?

b) Mi a háromszög súlyvonala?

c) Mi a háromszög köré írható körének középpontja?

d) Mi a háromszög beírható körének középpontja?

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

a) Egy világítótorony teteje 32 fokos emelkedési szögben látszik abból a csónakból, ami a torony lábától 80 méter távolságban van. Milyen magas a torony?

b) Ebből az 50 méter magas világítótorony tetejéről egy hajó 14°-nyi depresszió szög (vízszinteshez képest lefele mért szög) alatt látszik. Milyen távol van a hajó?

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Testek térfogata és felszíne

Gúlák, hasábok, kúpok, hengerek, térfogat és felszín

Van itt egy sík ezzel a háromszöggel,
és a sík felett egy pont.

Ha a pontot összekötjük a háromszögek csúcsaival, akkor egy térbeli
alakzatot kapunk, amit úgy hívunk, hogy gúla. 

Az eredeti háromszöget a gúla alapjának nevezzük,
a gúla többi oldalát pedig oldallapnak. 

A dolog nem csak háromszöggel működik…
A gúlákat aszerint nevezzük el, hogy hány oldala van az alapnak.

háromoldalú gúla
négyoldalú gúla
ötoldalú gúla

Amikor az alap egy kör, nos olyankor más elnevezés van forgalomban.

forgáskúp

gúla            forgáskúp

Az eredeti síkbeli alakzatokból máshogyan is tudunk térbeli alakzatokat csinálni.
Ezeket úgy hívjuk, hogy hasáb. 
hasáb
Persze a legutolsó megint különcködik.
henger

Van ferde hasáb is.
A ferdeség attól függ, hogy ezek az összekötővonalak mekkora 
szöget zárnak be az alap síkjával. 
Az összekötővonalakat alkotónak hívjuk.
Ami azt illeti jobban szeretjük az egyenes hasábokat.
A gúla és a hasáb magasságát h-val jelöljük.
Az egyenes hasábnál ez megegyezik az oldallapok magasságával.
De a gúláknál sajna az oldallapok magassága általában nem ugyanakkora,
mint a gúla magassága. 
Ilyenkor a kétféle magasság közti kapcsolat felírásához hipnotikus állapot
és derékszögű háromszögek hallucinálása szükséges. 

És most nézzük meg, hogyan tudjuk kiszámolni ezeknek a testeknek a felszínét és a térfogatát.
Kezdjük a hasáb-típusúakkal.
Lássuk, miből áll a felszín.
Nos ebből:
A = T + T + palást területe
A = 2T + palást területe

És itt jön a térfogat: 

A gúla és kép típusú testek felszíne és térfogata:
A = T + palást területe


Hasábok és hengerek
A = 2T + palást területe
Gúlák és kúpok
A = T + palást területe


Az egyiptomi Nagy Piramis 147 m magas és a piramis lábánál 232 m hosszú.
Számoljuk ki, hogy hány köbméter szikla kellett a felépítéséhez, mekkora a piramis
felülete és milyen meredek az oldala.

Kezdjük a térfogattal.

A felszín a piramis négy oldallapjából áll.
Az alja ugyanis nem látszik.
Nézzük, mekkora egy oldal területe.
A háromszög szokásos területképletét
használjuk:
Ilyen oldallapból van négy.
Tehát a felszín:

És most nézzük, milyen meredek a piramis oldala.
Az alaplap és az oldallap közötti szöget kell kiszámolnunk.

Ha szeretnénk fölmászni a piramis tetejére, akkor az
egyik oldaléle érdemes menni.
Az ugyanis kevésbé meredek. 

Végül itt jön még egy dolog.

A három piramis közül a legkisebb a Menkaure-piramis.
A Nagy Piramis kétszer akkora, vagyis kétszer olyan magas és kétszer olyan hosszú.

Felépíteni azonban nem kétszer annyi ideig tart,
a benne lévő anyag ugyanis nem kétszer annyi, hanem sokkal több.

Azt, hogy pontosan hányszor annyi anyag van benne a következő kis trükkel
lehet megoldani.

Ha egy négyzetből szeretnénk egy kétszer akkora négyzetet csinálni…
akkor a nagy négyzethez 4 darab kis négyzetre van szükség. 

Ha egy kockából szeretnénk kétszer akkora kockát építeni, akkor
8 darab kis kocka kell hozzá.

Egy alakzat területe négyzetesen aránylik a méreteihez. Ha a méreteit γ-szeresére
változtatjuk, akkor a területe γ2-szeresére változik. 

Egy alakzat térfogata köbösen aránylik a méreteihez. Ha a méreteit  γ-szeresére
változtatjuk, akkor a térfogata γ3-szeresére változik. 

Visszatérve a piramisokhoz ez azt jelenti, hogy a 2-szer akkora 
piramis térfogata 23-szor akkora. 
Vagyis 8-szor akkora. 


Háromszögek és trapézok

Háromszögek nevezetes pontjai, vonalai, és trapézok

Van itt ez a háromszög, amiben a csúcsokat az ABC nagy

betűivel jelöljük…

Az oldalakat pedig kis betűkkel úgy, hogy az A csúccsal

szemben az a oldal van, a B csúccsal szemben a b…

Most pedig megismerkedünk a háromszögek nevezetes

pontjaival és vonalaival.

A háromszög magasságvonala a csúcsból a szemközti oldal

egyenesére bocsátott merőleges.

Ezek mindig egy pontban metszik egymást, és ezt a pontot

magasságpontnak nevezzük.

Vannak tompaszögű háromszögek is…

a magasságpont ilyen esetekben a háromszögön kívül tartózkodik.

A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal

felezőpontjával összekötő szakasz.

Nos, ezek is mindig egy pontban metszik egymást, ezt a pontot

hívjuk a háromszög súlypontjának.

További izgalom, hogy a súlypont mindegyik súlyvonalat 2:1

arányban osztja.

A háromszög oldalfelező merőleges egyenesei szintén egy pontban

metszik egymást. Ez a pont minden csúcstól egyenlő távolságra van és a

háromszög köré írható kör középpontja.

A háromszög belső szögfelezői szintén egy pontban metszik

egymást. Ez a háromszögbe írható kör középpontja.

Most pedig lássunk néhány képletet a háromszögek

területének kiszámolására.

És itt egy kevésbé ismert képlet is:


Szinusz, koszinusz derékszögű háromszögekben

És most néhány nagyon izgalmas kérdésre fogunk választ kapni.

Kezdjük azzal, hogy vajon hogyan lehet megmérni azt, hogy egy

csillag milyen távol van a Földtől.

Vannak persze az életben ennél sokkal fontosabb kérdések is,

például az, hogy hogyan szerezzünk több követőt az Instragramon,

de mégis foglalkozzunk most egy picit a csillagokkal.

A csillag távolságának kiszámolásához egy trükköt fogunk

használni. Megmérjük, hogy milyen szögben látszik a csilla a

Földről nézve nyáron… és télen.

Ez alapján pedig ki tudjuk számolni ezt a szöget.

Aminek a fele is egész lesz.

Azt már tudjuk, hogy milyen messze van a Föld a Naptól…

Úgy kb. 150 millió kilométerre.

És ez a két adat éppen elég is.

A csillagászok ugyanis magányos éjszakáikon kifejlesztettek egy függvényt a

derékszögű háromszögekre, amit szinusz névre kereszteltek el.

                 szöggel szemközti befogó

sin α = _______________________

                             átfogó

Ha mondjuk α = 1◦ akkor a csillag távolsága:

x = 8823,53 millió km

Van aztán egy ilyen is:

  szög melletti befogó

__________________

          átfogó

És végül itt van még ez:

szöggel szemközti befogó

______________________

  szög melletti befogó

És most lássunk néhány érdekes történetet.

Kezdjük azzal, hogy milyen magasan áll a kecske…

mármint ez a kecske.

Ha tudjuk, hogy a szikla lábától 28 méterre…

éppen 30 fokos szögben látni a szikla tetejét.

x=16,17 méter

Egy másik világítótorony 30m magas sziklára épült. A torony teteje 15◦-os szögben, az alja

10◦-os szögben látszik egy hajóról. Milyen magas a torony?

m = 15,59 méter


Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim