- Abszolútértékes egyenletek
- Bevezető a bevezetőhöz
- Vektorok síkban és térben
- Egyenletrendszerek
- Síkidomok és testek
- Logaritmikus egyenletek
- Számtani és mértani sorozatok
- Százalékszámítás
- Trigonometrikus egyenletek
- Kombinatorika
- Gyökös egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Exponenciális egyenletek
- Elsőfokú és másodfokú egyenletek
Síkidomok és testek
Forgáskúp
A kúp egy gúlaszerű térbeli test, melynek alapja egy kör.
A kúp felszíne:
\( A = T + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V=\frac{T\cdot h}{3} \)
ahol $h$ a kúp magassága.
Forgáskúp felszíne
\( A = T + \text{palást területe} \)
ahol $T$ az alaplap területe
Forgáskúp térfogata
\( V=\frac{T\cdot h}{3} \)
ahol $h$ a kúp magassága.
Gúla
Vegyünk egy síkbeli sokszöget és a sík felett egy pontot. Ha a pontot összekötjük a síkbeli alakzat csúcsaival, akkor egy térbeli alakzatot kapunk, amit úgy hívunk, hogy gúla.
A gúla felszíne:
\( A = T + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V=\frac{T\cdot h}{3} \)
ahol $h$ a gúla magassága.
Gúla felszíne
\( A = T + \text{palást területe} \)
ahol $T$ az alaplap területe
Hasáb
A hasáb egy olyan test, amelynek két párhuzamos lapja egymással egybevágó sokszög, a többi lapja pedig paralelogramma.
A hasábok felszíne:
\( A = 2T + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V=T\cdot h \)
ahol $h$ a hasáb magassága.
Hasáb felszíne
\( A = 2T + \text{palást területe} \)
ahol $T$ az alaplap (vagy fedőlap) területe
Henger
A henger olyan, mint a hasáb, csak nem sokszög a két párhuzamos lap, hanem kör.
A hengerek felszíne:
\( A = 2T + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V=T\cdot h \)
ahol $h$ a henger magassága.
Henger felszíne
\( A = 2T + \text{palást területe} \)
ahol $T$ az alaplap területe
Háromszög köré írható kör
A háromszög oldalfelezőmerőlegesei mindig egy pontban metszik egymást. Ez a pont minden csúcstól egyenlő távolságra van és emiatt a háromszög köré írható kör középpontja.
Háromszög magasságvonala és a magasságpont
A háromszög magasságvonala a csúcsból a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges.
Ezek mindig egy pontban metszik egymást, és ezt a pontot magasságpontnak nevezzük.
Ha a háromszög tompaszögű, akkor a magasságpont a háromszögön kívülre esik.
Háromszög súlyvonala és a súlypont
A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz.
Ezek mindig egy pontban metszik egymást, ezt a pontot hívjuk a háromszög súlypontjának.
További izgalom, hogy a súlypont mindegyik súlyvonalat 2:1 arányban osztja.
Háromszögbe írható kör
A háromszög belső szögfelezői mindig egy pontban metszik egymást. Ez a háromszögbe írható kör középpontja.
Képletek háromszög területére
A jól ismert képlet:
\( T = \frac{ a \cdot m_a}{2} = \frac{ b \cdot m_b}{2} = \frac{ c \cdot m_c}{2} \)
És egy kevésbé ismert:
\( T = \frac{abc}{4R} \)
Itt $R$ a háromszög köré írható körének sugara.
Koszinusz derékszögű háromszögekben
Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének koszinuszát a következőképp értelmezzük:
\( \cos{\alpha} = \frac{ \text{ szög melletti befogó} }{ \text{átfogó} } \)
Szinusz derékszögű háromszögekben
Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének szinuszát a következőképp értelmezzük:
\( \sin{\alpha} = \frac{ \text{ szöggel szemközti befogó} }{ \text{átfogó} } \)
Szögfüggvények derékszögű háromszögben
\( \sin{\alpha} = \frac{ \text{szöggel szemközti befogó} }{ \text{átfogó} } = \frac{a}{c} \)
\( \cos{\alpha} = \frac{ \text{szög melletti befogó} }{ \text{átfogó} } = \frac{b}{c} \)
\( \tan{\alpha} = \frac{ \text{szöggel szemközti befogó} }{ \text{szög melletti befogó} } = \frac{a}{b} \)
Tangens derékszögű háromszögekben
Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének tangensét a következőképp értelmezzük:
\( \tan{\alpha} = \frac{ \text{ szöggel szemközti befogó } }{ \text{szög melletti befogó} } \)
Az egyiptomi Nagy Piramis 147 m magas és a piramis lábánál 232 m hosszú. Számoljuk ki, hogy hány köbméter szikla kellett a felépítéséhez, mekkora a piramis felülete és milyen meredek az oldala.
a) Mi a háromszög magasságvonala?
b) Mi a háromszög súlyvonala?
c) Mi a háromszög köré írható körének középpontja?
d) Mi a háromszög beírható körének középpontja?
a) Egy világítótorony teteje 32 fokos emelkedési szögben látszik abból a csónakból, ami a torony lábától 80 méter távolságban van. Milyen magas a torony?
b) Ebből az 50 méter magas világítótorony tetejéről egy hajó 14°-nyi depresszió szög (vízszinteshez képest lefele mért szög) alatt látszik. Milyen távol van a hajó?
Gúlák, hasábok, kúpok, hengerek, térfogat és felszín
Van itt egy sík ezzel a háromszöggel,
és a sík felett egy pont.
Ha a pontot összekötjük a háromszögek csúcsaival, akkor egy térbeli
alakzatot kapunk, amit úgy hívunk, hogy gúla.
Az eredeti háromszöget a gúla alapjának nevezzük,
a gúla többi oldalát pedig oldallapnak.
A dolog nem csak háromszöggel működik…
A gúlákat aszerint nevezzük el, hogy hány oldala van az alapnak.
háromoldalú gúla
négyoldalú gúla
ötoldalú gúla
Amikor az alap egy kör, nos olyankor más elnevezés van forgalomban.
forgáskúp
gúla forgáskúp
Az eredeti síkbeli alakzatokból máshogyan is tudunk térbeli alakzatokat csinálni.
Ezeket úgy hívjuk, hogy hasáb.
hasáb
Persze a legutolsó megint különcködik.
henger
Van ferde hasáb is.
A ferdeség attól függ, hogy ezek az összekötővonalak mekkora
szöget zárnak be az alap síkjával.
Az összekötővonalakat alkotónak hívjuk.
Ami azt illeti jobban szeretjük az egyenes hasábokat.
A gúla és a hasáb magasságát h-val jelöljük.
Az egyenes hasábnál ez megegyezik az oldallapok magasságával.
De a gúláknál sajna az oldallapok magassága általában nem ugyanakkora,
mint a gúla magassága.
Ilyenkor a kétféle magasság közti kapcsolat felírásához hipnotikus állapot
és derékszögű háromszögek hallucinálása szükséges.
És most nézzük meg, hogyan tudjuk kiszámolni ezeknek a testeknek a felszínét és a térfogatát.
Kezdjük a hasáb-típusúakkal.
Lássuk, miből áll a felszín.
Nos ebből:
A = T + T + palást területe
A = 2T + palást területe
És itt jön a térfogat:
A gúla és kép típusú testek felszíne és térfogata:
A = T + palást területe
Hasábok és hengerek
A = 2T + palást területe
Gúlák és kúpok
A = T + palást területe
Az egyiptomi Nagy Piramis 147 m magas és a piramis lábánál 232 m hosszú.
Számoljuk ki, hogy hány köbméter szikla kellett a felépítéséhez, mekkora a piramis
felülete és milyen meredek az oldala.
Kezdjük a térfogattal.
A felszín a piramis négy oldallapjából áll.
Az alja ugyanis nem látszik.
Nézzük, mekkora egy oldal területe.
A háromszög szokásos területképletét
használjuk:
Ilyen oldallapból van négy.
Tehát a felszín:
És most nézzük, milyen meredek a piramis oldala.
Az alaplap és az oldallap közötti szöget kell kiszámolnunk.
Ha szeretnénk fölmászni a piramis tetejére, akkor az
egyik oldaléle érdemes menni.
Az ugyanis kevésbé meredek.
Végül itt jön még egy dolog.
A három piramis közül a legkisebb a Menkaure-piramis.
A Nagy Piramis kétszer akkora, vagyis kétszer olyan magas és kétszer olyan hosszú.
Felépíteni azonban nem kétszer annyi ideig tart,
a benne lévő anyag ugyanis nem kétszer annyi, hanem sokkal több.
Azt, hogy pontosan hányszor annyi anyag van benne a következő kis trükkel
lehet megoldani.
Ha egy négyzetből szeretnénk egy kétszer akkora négyzetet csinálni…
akkor a nagy négyzethez 4 darab kis négyzetre van szükség.
Ha egy kockából szeretnénk kétszer akkora kockát építeni, akkor
8 darab kis kocka kell hozzá.
Egy alakzat területe négyzetesen aránylik a méreteihez. Ha a méreteit γ-szeresére
változtatjuk, akkor a területe γ2-szeresére változik.
Egy alakzat térfogata köbösen aránylik a méreteihez. Ha a méreteit γ-szeresére
változtatjuk, akkor a térfogata γ3-szeresére változik.
Visszatérve a piramisokhoz ez azt jelenti, hogy a 2-szer akkora
piramis térfogata 23-szor akkora.
Vagyis 8-szor akkora.
Háromszögek nevezetes pontjai, vonalai, és trapézok
Van itt ez a háromszög, amiben a csúcsokat az ABC nagy
betűivel jelöljük…
Az oldalakat pedig kis betűkkel úgy, hogy az A csúccsal
szemben az a oldal van, a B csúccsal szemben a b…
Most pedig megismerkedünk a háromszögek nevezetes
pontjaival és vonalaival.
A háromszög magasságvonala a csúcsból a szemközti oldal
egyenesére bocsátott merőleges.
Ezek mindig egy pontban metszik egymást, és ezt a pontot
magasságpontnak nevezzük.
Vannak tompaszögű háromszögek is…
a magasságpont ilyen esetekben a háromszögön kívül tartózkodik.
A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal
felezőpontjával összekötő szakasz.
Nos, ezek is mindig egy pontban metszik egymást, ezt a pontot
hívjuk a háromszög súlypontjának.
További izgalom, hogy a súlypont mindegyik súlyvonalat 2:1
arányban osztja.
A háromszög oldalfelező merőleges egyenesei szintén egy pontban
metszik egymást. Ez a pont minden csúcstól egyenlő távolságra van és a
háromszög köré írható kör középpontja.
A háromszög belső szögfelezői szintén egy pontban metszik
egymást. Ez a háromszögbe írható kör középpontja.
Most pedig lássunk néhány képletet a háromszögek
területének kiszámolására.
És itt egy kevésbé ismert képlet is:
És most néhány nagyon izgalmas kérdésre fogunk választ kapni.
Kezdjük azzal, hogy vajon hogyan lehet megmérni azt, hogy egy
csillag milyen távol van a Földtől.
Vannak persze az életben ennél sokkal fontosabb kérdések is,
például az, hogy hogyan szerezzünk több követőt az Instragramon,
de mégis foglalkozzunk most egy picit a csillagokkal.
A csillag távolságának kiszámolásához egy trükköt fogunk
használni. Megmérjük, hogy milyen szögben látszik a csilla a
Földről nézve nyáron… és télen.
Ez alapján pedig ki tudjuk számolni ezt a szöget.
Aminek a fele is egész lesz.
Azt már tudjuk, hogy milyen messze van a Föld a Naptól…
Úgy kb. 150 millió kilométerre.
És ez a két adat éppen elég is.
A csillagászok ugyanis magányos éjszakáikon kifejlesztettek egy függvényt a
derékszögű háromszögekre, amit szinusz névre kereszteltek el.
szöggel szemközti befogó
sin α = _______________________
átfogó
Ha mondjuk α = 1◦ akkor a csillag távolsága:
x = 8823,53 millió km
Van aztán egy ilyen is:
szög melletti befogó
__________________
átfogó
És végül itt van még ez:
szöggel szemközti befogó
______________________
szög melletti befogó
És most lássunk néhány érdekes történetet.
Kezdjük azzal, hogy milyen magasan áll a kecske…
mármint ez a kecske.
Ha tudjuk, hogy a szikla lábától 28 méterre…
éppen 30 fokos szögben látni a szikla tetejét.
x=16,17 méter
Egy másik világítótorony 30m magas sziklára épült. A torony teteje 15◦-os szögben, az alja
10◦-os szögben látszik egy hajóról. Milyen magas a torony?
m = 15,59 méter
