- Abszolútértékes egyenletek
- Bevezető a bevezetőhöz
- Vektorok síkban és térben
- Egyenletrendszerek
- Síkidomok és testek
- Logaritmikus egyenletek
- Számtani és mértani sorozatok
- Trigonometrikus egyenletek
- Kombinatorika
- Gyökös egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Exponenciális egyenletek
- Elsőfokú és másodfokú egyenletek
Síkidomok és testek
Szögfüggvények derékszögű háromszögben
\( \sin{\alpha} = \frac{ \text{szöggel szemközti befogó} }{ \text{átfogó} } = \frac{a}{c} \)
\( \cos{\alpha} = \frac{ \text{szög melletti befogó} }{ \text{átfogó} } = \frac{b}{c} \)
\( \tan{\alpha} = \frac{ \text{szöggel szemközti befogó} }{ \text{szög melletti befogó} } = \frac{a}{b} \)
Koszinusz derékszögű háromszögekben
Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének koszinuszát a következőképp értelmezzük:
\( \cos{\alpha} = \frac{ \text{ szög melletti befogó} }{ \text{átfogó} } \)
Szinusz derékszögű háromszögekben
Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének szinuszát a következőképp értelmezzük:
\( \sin{\alpha} = \frac{ \text{ szöggel szemközti befogó} }{ \text{átfogó} } \)
Tangens derékszögű háromszögekben
Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének tangensét a következőképp értelmezzük:
\( \tan{\alpha} = \frac{ \text{ szöggel szemközti befogó } }{ \text{szög melletti befogó} } \)
Az egyiptomi Nagy Piramis 147 m magas és a piramis lábánál 232 m hosszú. Számoljuk ki, hogy hány köbméter szikla kellett a felépítéséhez, mekkora a piramis felülete és milyen meredek az oldala.
a) Mi a háromszög magasságvonala?
b) Mi a háromszög súlyvonala?
c) Mi a háromszög köré írható körének középpontja?
d) Mi a háromszög beírható körének középpontja?
a) Egy világítótorony teteje 32 fokos emelkedési szögben látszik abból a csónakból, ami a torony lábától 100 méter távolságban van. Milyen magas a torony?
b) Egy 50 méter magas világítótorony tetejéről egy hajó 14°-nyi depresszió szög (vízszinteshez képest lefele mért szög) alatt látszik. A torony alja éppen a tenger szintjében van. Milyen távol van a hajóa torony aljától?
Gúlák, hasábok, kúpok, hengerek, térfogat és felszín
Van itt egy sík ezzel a háromszöggel,
és a sík felett egy pont.
Ha a pontot összekötjük a háromszögek csúcsaival, akkor egy térbeli
alakzatot kapunk, amit úgy hívunk, hogy gúla.
Az eredeti háromszöget a gúla alapjának nevezzük,
a gúla többi oldalát pedig oldallapnak.
A dolog nem csak háromszöggel működik…
A gúlákat aszerint nevezzük el, hogy hány oldala van az alapnak.
háromoldalú gúla
négyoldalú gúla
ötoldalú gúla
Amikor az alap egy kör, nos olyankor más elnevezés van forgalomban.
forgáskúp
gúla forgáskúp
Az eredeti síkbeli alakzatokból máshogyan is tudunk térbeli alakzatokat csinálni.
Ezeket úgy hívjuk, hogy hasáb.
hasáb
Persze a legutolsó megint különcködik.
henger
Van ferde hasáb is.
A ferdeség attól függ, hogy ezek az összekötővonalak mekkora
szöget zárnak be az alap síkjával.
Az összekötővonalakat alkotónak hívjuk.
Ami azt illeti jobban szeretjük az egyenes hasábokat.
A gúla és a hasáb magasságát h-val jelöljük.
Az egyenes hasábnál ez megegyezik az oldallapok magasságával.
De a gúláknál sajna az oldallapok magassága általában nem ugyanakkora,
mint a gúla magassága.
Ilyenkor a kétféle magasság közti kapcsolat felírásához hipnotikus állapot
és derékszögű háromszögek hallucinálása szükséges.
És most nézzük meg, hogyan tudjuk kiszámolni ezeknek a testeknek a felszínét és a térfogatát.
Kezdjük a hasáb-típusúakkal.
Lássuk, miből áll a felszín.
Nos ebből:
A = T + T + palást területe
A = 2T + palást területe
És itt jön a térfogat:
A gúla és kép típusú testek felszíne és térfogata:
A = T + palást területe
Hasábok és hengerek
A = 2T + palást területe
Gúlák és kúpok
A = T + palást területe
Az egyiptomi Nagy Piramis 147 m magas és a piramis lábánál 232 m hosszú.
Számoljuk ki, hogy hány köbméter szikla kellett a felépítéséhez, mekkora a piramis
felülete és milyen meredek az oldala.
Kezdjük a térfogattal.
A felszín a piramis négy oldallapjából áll.
Az alja ugyanis nem látszik.
Nézzük, mekkora egy oldal területe.
A háromszög szokásos területképletét
használjuk:
Ilyen oldallapból van négy.
Tehát a felszín:
És most nézzük, milyen meredek a piramis oldala.
Az alaplap és az oldallap közötti szöget kell kiszámolnunk.
Ha szeretnénk fölmászni a piramis tetejére, akkor az
egyik oldaléle érdemes menni.
Az ugyanis kevésbé meredek.
Végül itt jön még egy dolog.
A három piramis közül a legkisebb a Menkaure-piramis.
A Nagy Piramis kétszer akkora, vagyis kétszer olyan magas és kétszer olyan hosszú.
Felépíteni azonban nem kétszer annyi ideig tart,
a benne lévő anyag ugyanis nem kétszer annyi, hanem sokkal több.
Azt, hogy pontosan hányszor annyi anyag van benne a következő kis trükkel
lehet megoldani.
Ha egy négyzetből szeretnénk egy kétszer akkora négyzetet csinálni…
akkor a nagy négyzethez 4 darab kis négyzetre van szükség.
Ha egy kockából szeretnénk kétszer akkora kockát építeni, akkor
8 darab kis kocka kell hozzá.
Egy alakzat területe négyzetesen aránylik a méreteihez. Ha a méreteit γ-szeresére
változtatjuk, akkor a területe γ2-szeresére változik.
Egy alakzat térfogata köbösen aránylik a méreteihez. Ha a méreteit γ-szeresére
változtatjuk, akkor a térfogata γ3-szeresére változik.
Visszatérve a piramisokhoz ez azt jelenti, hogy a 2-szer akkora
piramis térfogata 23-szor akkora.
Vagyis 8-szor akkora.
Háromszögek nevezetes pontjai, vonalai, és trapézok
Van itt ez a háromszög, amiben a csúcsokat az ABC nagy
betűivel jelöljük…
Az oldalakat pedig kis betűkkel úgy, hogy az A csúccsal
szemben az a oldal van, a B csúccsal szemben a b…
Most pedig megismerkedünk a háromszögek nevezetes
pontjaival és vonalaival.
A háromszög magasságvonala a csúcsból a szemközti oldal
egyenesére bocsátott merőleges.
Ezek mindig egy pontban metszik egymást, és ezt a pontot
magasságpontnak nevezzük.
Vannak tompaszögű háromszögek is…
a magasságpont ilyen esetekben a háromszögön kívül tartózkodik.
A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal
felezőpontjával összekötő szakasz.
Nos, ezek is mindig egy pontban metszik egymást, ezt a pontot
hívjuk a háromszög súlypontjának.
További izgalom, hogy a súlypont mindegyik súlyvonalat 2:1
arányban osztja.
A háromszög oldalfelező merőleges egyenesei szintén egy pontban
metszik egymást. Ez a pont minden csúcstól egyenlő távolságra van és a
háromszög köré írható kör középpontja.
A háromszög belső szögfelezői szintén egy pontban metszik
egymást. Ez a háromszögbe írható kör középpontja.
Most pedig lássunk néhány képletet a háromszögek
területének kiszámolására.
És itt egy kevésbé ismert képlet is:
A hegycsúcsok magasságát egy ügyes kis trükkel lehet megmérni...
Kell hozzá egy lézeres távolságmérő…
Szögmérővel ellátva.
A távolságmérővel becélozzuk a hegycsúcs tetejét…
És lemérjük a távolságot.
Aztán megmérjük ezt a szöget.
És most jön a trükk.
Van itt ez a derékszögű háromszög…
Ebben a háromszögben itt a hegycsúcs magassága.
És mindjárt meg is tudjuk mondani, hogy ez mennyi ez a magasság.
Egy nagyon ravasz képlet segítségével.
Egy derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó és az átfogó arányát
A hegycsúcs magassága meg is van.
Hogyha pedig tudjuk, hogy mekkora a mérési pont tengerszintfeletti magassága…
Csak hozzáadjuk ehhez az 1926,1 métert…
És meg is van a hegycsúcs tengerszintfeletti magassága.
És most nézzünk meg egy másik érdekes történetet.
Egy világítótorony teteje 32 fokos emelkedési szögben látszik abból a csónakból, ami a torony lábától 100 méter távolságban van. Milyen magas a torony?
A 32 fokos emelkedési szög ezt jelenti…
A vízszinteshez képest 32 fok fölfelé…
És ez itt a 100 méter.
Megint van egy derékszögű háromszög…
Amiben a torony magassága az egyik befogó…
És a 100 méter a másik befogó.
Ez a történet a háromszög két befogójáról szól…
Az ilyen esetekre pedig itt jön most egy újabb képlet.
Sőt, essünk túl mindegyiken…
Az ilyen derékszögű háromszöges problémáknál szinuszt, koszinuszt és tangenst fogunk használni.
A szinusz már megvan.
Itt jön a koszinusz…
És itt van még a tangens…
Most az egyik befogót keressük, és a másik befogót ismerjük…
Vagyis a három közül az fog kelleni, amiben két befogó szerepel.
És most nézzük, mi van ezzel a szinusszal…
És most néhány nagyon izgalmas kérdésre fogunk választ kapni.
Kezdjük azzal, hogy vajon hogyan lehet megmérni azt, hogy egy
csillag milyen távol van a Földtől.
Vannak persze az életben ennél sokkal fontosabb kérdések is,
például az, hogy hogyan szerezzünk több követőt az Instragramon,
de mégis foglalkozzunk most egy picit a csillagokkal.
A csillag távolságának kiszámolásához egy trükköt fogunk
használni. Megmérjük, hogy milyen szögben látszik a csilla a
Földről nézve nyáron… és télen.
Ez alapján pedig ki tudjuk számolni ezt a szöget.
Aminek a fele is egész lesz.
Azt már tudjuk, hogy milyen messze van a Föld a Naptól…
Úgy kb. 150 millió kilométerre.
És ez a két adat éppen elég is.
A csillagászok ugyanis magányos éjszakáikon kifejlesztettek egy függvényt a
derékszögű háromszögekre, amit szinusz névre kereszteltek el.
szöggel szemközti befogó
sin α = _______________________
átfogó
Ha mondjuk α = 1◦ akkor a csillag távolsága:
x = 8823,53 millió km
Van aztán egy ilyen is:
szög melletti befogó
__________________
átfogó
És végül itt van még ez:
szöggel szemközti befogó
______________________
szög melletti befogó
És most lássunk néhány érdekes történetet.
Kezdjük azzal, hogy milyen magasan áll a kecske…
mármint ez a kecske.
Ha tudjuk, hogy a szikla lábától 28 méterre…
éppen 30 fokos szögben látni a szikla tetejét.
x=16,17 méter
Egy másik világítótorony 30m magas sziklára épült. A torony teteje 15◦-os szögben, az alja
10◦-os szögben látszik egy hajóról. Milyen magas a torony?
m = 15,59 méter