Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció

mateking

  • Nyitólap
  • Tantárgyak
  • Matek érettségi
  • FAQ
  • Rólunk
Login
  • Középiskolai matek  
  • Analízis 1  
  • Analízis 2  
  • Analízis 3  
  • Lineáris algebra  
  • Valószínűségszámítás  
  • Diszkrét matematika  
  • Statisztika  
 

Matek 2

  • Kettős integrál (csak gazdinfon)
  • Diff.egyenletek (csak gazdinfon)
  • Valszám alapok, kombinatorika
  • Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel
  • Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
  • Idióta feladatok, amik várhatók az első ZH-ban
  • Várható érték és szórás
  • Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
  • Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások
  • Kétváltozós eloszlások
  • Nem árt, ha tudunk integrálni

Kettős integrál (csak gazdinfon)

  • Epizódok
  • Feladatok
01
 
A kettős integrál kiszámolása
02
 
Kettősintegrál normáltartományon
03
 
Néhány vicces kettősintegrál
04
 
FELADAT | Kettős integrál
05
 
FELADAT | Kettős integrál
06
 
FELADAT | Kettős integrál
07
 
FELADAT | Kettős integrál
08
 
FELADAT | Kettős integrál
09
 
FELADAT | Kettős integrál trapézon
10
 
FELADAT | Kettős integrál trapézon
11
 
FELADAT | Kettős integrál trapézon
12
 
FELADAT | Kettős integrál
13
 
FELADAT | Kettős integrál

1.

a) $$ \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} x^2+xy^4+y^3 \; dxdy  $$

b) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=2-x$ egyenes és a koordinátatengelyek által meghatározott derékszögű háromszög!

$$ \iint_D x^2+4y^3 \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


2.

a) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=2-x$ és $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$ által közrefogott tartomány!

$$ \iint_D x+4y \; dydx  $$

b) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=\sqrt{x}$ és $y=x^2$ által közrefogott tartomány!

$$ \iint_D xy \; dydx  $$

c) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=\sqrt{x}$ és $y=x^2$ által közrefogott tartomány!

$$ \iint_D \frac{y}{\sqrt{x}} \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Végezzük el az alábbi intergálásokat.

a) $$ \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} xe^{xy} \; dxdy  $$

b) $$ \int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{x}^{\sqrt{\pi}} \cos{y^2} \; dydx  $$

c) $$ \int_{0}^{4} \int_{\sqrt{x}}^{2} \sqrt{1+y^3} \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


A kettős integrál kiszámolása

Az egyváltozós függvények úgy működnek, hogy egy valós számhoz rendelnek hozzá egy másik valós számot.

A függvény grafikonja egy vonal.

Határozott integrálja a-tól b-ig pedig egy terület.

A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.

Az értelmezési tartomány minden pontjához hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát, kirajzolódik az x,y sík felett a függvény, ami egy felület.

A kétváltozós függvények határozott integrálja egy test térfogata.

Kezdjük a legegyszerűbb esettel, amikor egy téglalap alakú tartományon integrálunk.

Az x tengely szerint a-tól b-ig, az y szerint c-től d-ig.

Mindegy, hogy az y szerinti határokat írjuk előbb és az x szerintit később,

vagy fordítva.

Egyedül arra kell vigyáznunk, hogy ez a kettősintegrál

ilyen hagyma szerkezetű. Vannak külső és belső rétegei.

Amikor az y szerinti határokkal kezdünk, akkor a dy a végén van.

Persze kezdhetjük az x szerinti határokkal is, ilyenkor a dx van a végén.

Ha például ki szeretnénk számolni ezt a kettősintegrált, akkor írhatjuk úgy is, hogy az x szerinti határok vannak elöl…

és írhatjuk úgy is, hogy az y szerintiek.

A számolást viszont mindig belülről kifele kell elkezdeni. Először elintézzük a belsejét – most akkor ezek szerint x szerint.

Úgy kell x szerit integrálni, hogy az x-es tagokat integráljuk, y-t pedig konstansnak tekintjük.

x-et integráljuk,  pedig csak konstans szorzónak számít.

És  is konstans szorzónak számít.

Most, hogy ez megvan, behelyettesítjük ezeket a számokat.

De nem mindegy, hogy x vagy y helyére. Nos, x szerint integráltunk, úgyhogy x helyére.

Hát ez megvolna, most rátérünk a külső integrálásra.

Ezúttal y szerint.

Végül behelyettesítünk.

y szerint integráltunk, ezért y helyére. Nem mintha lenne más választásunk.

Hát ez kész.

Most nézzünk meg mi van akkor, ha nem egy téglalap felett akarunk integrálni, hanem mondjuk egy háromszög felett.

Ezek a térhatású rajzok csodálatosak…

de a vizuális élvezeteken kívül másra nem igazán használhatóak.

Sokkal jobban járunk, ha készítünk egy felülnézeti ábrát.

x szerint 0-tól 2-ig kell integrálnunk.

Ha y szerint is 0-tól 2-ig integrálunk, nos akkor egy téglalapot kapunk…

Az nem túl jó, mert mi a háromszögön szeretnénk integrálni.

A háromszöget úgy kapjuk meg, ha az y szerinti határok 0, és .

És most kezdjünk el integrálni.

A külső integrálás határai soha ne tartalmazzanak x-et vagy y-t.

Szerencsére a sorrendet bármikor megcserélhetjük.

Mindig a belső integrálással kezdünk.

Ez most y szerinti, úgyhogy az y-okat integráljuk,

x meg olyan, mintha konstans lenne.

Aztán y helyére behelyettesítünk.

És ezt integráljuk x szerint.

A folytatás még izgalmasabb lesz…


Kettősintegrál normáltartományon

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.

A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az x szerinti határokat adjuk meg és utána az y szerintit vagy fordítva.

A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha nem téglalapon integrálunk, hanem mondjuk ezen a háromszög alakú tartományon.

Ilyenkor érdemes felülnézeti rajzot készíteni, hogy jobban lássuk miről is van szó.

Az x szerinti határok rajzunkon most 0-tól 2-ig tartanak.

Az y szerinti határok viszont nem 0-tól 2-ig, mert akkor egy téglalapot kapunk…

Úgy lesz ebből háromszög, ha az y szerinti határok 0, és .

Vagyis az y szerinti határ egy függvény.

Esetünkben csak a felső határ függvény, de miért is ne lehetne az alsó határ is függvény.

Nos, legyen mondjuk

Integráljuk ezen az tartományon mondjuk azt a függvényt, hogy

Mindig a belső integrálással kezdünk.

Először tehát y szerint integrálunk.

Ilyenkor x olyan, mintha konstans lenne.

És most jöhet az x szerinti integrálás.

Csak előbb egy kicsit összevonunk.

Nem is olyan kicsit…

Hát ez nem volt túl kellemes.

Nézzünk meg egy másikat is, hátha az barátságosabb lesz.

Integráljuk a D tartományon az  függvényt.

Előfordulhat, hogy a határoló függvény csak y-nal írható le.

Itt van például ez a tartomány.

Megpróbálhatnánk a határoló függvényt y-ra rendezni, de kár fáradozni vele.

Sok felesleges munkánk adódna ugyanis:

Szóval maradjunk inkább az eredeti függvénynél,

vállalva azt a kis kellemetlenséget, hogy most az y szerinti határok lesznek konkrét számok.

Nos integráljuk ezen a tartományon az függvényt.

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A helyzet akkor válik izgalmassá, ha egy olyan tartományon integrálunk, amit egyváltozós függvények határolnak.

Itt van például ez. Az x szerinti határok legyenek  és ,

az y szerinti határok pedig két függvény,  és  .

Ezek a függvények lehetnek például valamilyen parabolák…

vagy éppen olyan függvények, amik pont egy kört rajzolnak ki.

Egy 2 sugarú kört.

Lássuk csak, a kör egyenlete:

És ha , akkor

Ha szeretnénk megtudni, hogy mik lehetnek a határoló függvények, nos akkor ebből ki kell fejeznünk y-t.

Integráljuk ezen a körön az  függvényt.

A helyzet nem tűnik túl bíztatónak.

Az alapvető probléma ezzel az integrálással az, hogy nehéz. Azért nehéz, mert ronda gyökös kifejezések vannak benne.

A gyökös kifejezések pedig a kör miatt vannak.

Nos, éppen ilyen körös esetekre van egy remek módszer, ami hihetetlenül megkönnyíti ezt az integrálást.

Ez egyfajta helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos x és y koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.

Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek.

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

A kör összes pontját úgy kapjuk meg, ha  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól 2-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.

A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:

A polárkoordinátás helyettesítésnek köszönhetően a ronda gyökös kifejezések eltűntek, és ami maradt, az életünk legegyszerűbb integrálása

Főleg, ha tudjuk, hogy

Sőt, a polárkoordinátás helyettesítés még ennél is többet tud.

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni egy olyan tartományon, ami egy lukas belsejű kör, egy körgyűrű.

Ráadásul mondjuk egy fél körgyűrű.

A polárkoordinátás helyettesítés megdöbbentően leegyszerűsíti az ilyen első ránézésre igencsak komplikáltnak tűnő helyzeteket.

Mindössze annyit kell tennünk, hogy megadjuk a szöget,

és a sugarat.

És már kész is van.

A polárkoordináták lényege, hogy az x és y koordinátákat új koordinátákra cseréljük le.

Azokban az esetekben ugyanis, amikor körök, gömbök vagy hengerek bukkannak fel, nos olyankor nem bizonyul kifizetődőnek az a fajta szögletes mentalitás, hogy x koordináta és y koordináta.

Egy olyan koordinátázást érdemes bevezetni, ami jobban alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

Egy kör belsejében a legfontosabb jellemzők a középponttól való távolság és a forgásszög.

Az egyik koordináta ezért azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

Egy R sugarú kör összes pontját úgy kapjuk meg, hogy  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól R-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés egyik haszna, hogy megdöbbentően leegyszerűsíti azokat a bonyolult integrálásokat, amiket körön vagy valamilyen köralakú alakzaton végzünk.

A helyettesítést a következő képlet segítségével végezzük el:

Lássunk néhány ilyen esetet.

Integráljuk a  tartományon a következő függvényt:

Lássuk csak, hogyan is néz ki ez a tartomány.

A konstansok határozott integrálása nagyon egyszerű:

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni ezen a félkörön.

Ilyenkor látszik igazán, milyen ügyesen a körre vannak szabva a polárkoordináták.

A szokásos x és y koordinátákkal borzalmas lenne ez az integrálás.

De így csak annyit kell tennünk, hogy a szögeket átírjuk,

és már kész is.

Itt jön aztán egy másik.

Integráljuk a D tartományon az f(x,y) függvényt:


Néhány vicces kettősintegrál

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.

A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az x szerinti határokat adjuk meg és utána az y szerintit vagy fordítva.

A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha nem téglalapon integrálunk, hanem mondjuk ezen a háromszög alakú tartományon.

Ilyenkor érdemes felülnézeti rajzot készíteni, hogy jobban lássuk miről is van szó.

Az x szerinti határok rajzunkon most 0-tól 2-ig tartanak.

Az y szerinti határok viszont nem 0-tól 2-ig, mert akkor egy téglalapot kapunk…

Úgy lesz ebből háromszög, ha az y szerinti határok 0, és .

Vagyis az y szerinti határ egy függvény.

Esetünkben csak a felső határ függvény, de miért is ne lehetne az alsó határ is függvény.

Nos, legyen mondjuk

Integráljuk ezen az tartományon mondjuk azt a függvényt, hogy

Mindig a belső integrálással kezdünk.

Először tehát y szerint integrálunk.

Ilyenkor x olyan, mintha konstans lenne.

És most jöhet az x szerinti integrálás.

Csak előbb egy kicsit összevonunk.

Nem is olyan kicsit…

Hát ez nem volt túl kellemes.

Nézzünk meg egy másikat is, hátha az barátságosabb lesz.

Integráljuk a D tartományon az  függvényt.

Előfordulhat, hogy a határoló függvény csak y-nal írható le.

Itt van például ez a tartomány.

Megpróbálhatnánk a határoló függvényt y-ra rendezni, de kár fáradozni vele.

Sok felesleges munkánk adódna ugyanis:

Szóval maradjunk inkább az eredeti függvénynél,

vállalva azt a kis kellemetlenséget, hogy most az y szerinti határok lesznek konkrét számok.

Nos integráljuk ezen a tartományon az függvényt.

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A helyzet akkor válik izgalmassá, ha egy olyan tartományon integrálunk, amit egyváltozós függvények határolnak.

Itt van például ez. Az x szerinti határok legyenek  és ,

az y szerinti határok pedig két függvény,  és  .

Ezek a függvények lehetnek például valamilyen parabolák…

vagy éppen olyan függvények, amik pont egy kört rajzolnak ki.

Egy 2 sugarú kört.

Lássuk csak, a kör egyenlete:

És ha , akkor

Ha szeretnénk megtudni, hogy mik lehetnek a határoló függvények, nos akkor ebből ki kell fejeznünk y-t.

Integráljuk ezen a körön az  függvényt.

A helyzet nem tűnik túl bíztatónak.

Az alapvető probléma ezzel az integrálással az, hogy nehéz. Azért nehéz, mert ronda gyökös kifejezések vannak benne.

A gyökös kifejezések pedig a kör miatt vannak.

Nos, éppen ilyen körös esetekre van egy remek módszer, ami hihetetlenül megkönnyíti ezt az integrálást.

Ez egyfajta helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos x és y koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.

Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek.

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

A kör összes pontját úgy kapjuk meg, ha  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól 2-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.

A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:

A polárkoordinátás helyettesítésnek köszönhetően a ronda gyökös kifejezések eltűntek, és ami maradt, az életünk legegyszerűbb integrálása

Főleg, ha tudjuk, hogy

Sőt, a polárkoordinátás helyettesítés még ennél is többet tud.

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni egy olyan tartományon, ami egy lukas belsejű kör, egy körgyűrű.

Ráadásul mondjuk egy fél körgyűrű.

A polárkoordinátás helyettesítés megdöbbentően leegyszerűsíti az ilyen első ránézésre igencsak komplikáltnak tűnő helyzeteket.

Mindössze annyit kell tennünk, hogy megadjuk a szöget,

és a sugarat.

És már kész is van.

A polárkoordináták lényege, hogy az x és y koordinátákat új koordinátákra cseréljük le.

Azokban az esetekben ugyanis, amikor körök, gömbök vagy hengerek bukkannak fel, nos olyankor nem bizonyul kifizetődőnek az a fajta szögletes mentalitás, hogy x koordináta és y koordináta.

Egy olyan koordinátázást érdemes bevezetni, ami jobban alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

Egy kör belsejében a legfontosabb jellemzők a középponttól való távolság és a forgásszög.

Az egyik koordináta ezért azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

Egy R sugarú kör összes pontját úgy kapjuk meg, hogy  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól R-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés egyik haszna, hogy megdöbbentően leegyszerűsíti azokat a bonyolult integrálásokat, amiket körön vagy valamilyen köralakú alakzaton végzünk.

A helyettesítést a következő képlet segítségével végezzük el:

Lássunk néhány ilyen esetet.

Integráljuk a  tartományon a következő függvényt:

Lássuk csak, hogyan is néz ki ez a tartomány.

A konstansok határozott integrálása nagyon egyszerű:

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni ezen a félkörön.

Ilyenkor látszik igazán, milyen ügyesen a körre vannak szabva a polárkoordináták.

A szokásos x és y koordinátákkal borzalmas lenne ez az integrálás.

De így csak annyit kell tennünk, hogy a szögeket átírjuk,

és már kész is.

Itt jön aztán egy másik.

Integráljuk a D tartományon az f(x,y) függvényt:


FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál trapézon

FELADAT | Kettős integrál trapézon

FELADAT | Kettős integrál trapézon

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

Kontakt
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Események
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Felhasználási feltételek Adatvédelmi irányelvek Felhasználás oktatóknak

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim