Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
Pontok, egyenesek, síkok
A geometria legapróbb építőkockái a pontok. A pontokat az ABC nagy betűivel jelöljük.
Az egyenesek mindkét irányban végtelen kiterjedésű és végtelenül keskeny egyenes vonalak. De ez csak az egyenes vizuális leírása, matematikai definíciója nincsen, ugyanis az egyenes a ponthoz hasonlóan alapfogalom.
A sík is geometria alpafogalom. A síkok már két dimenziósak, ellentétben az egy dimenziós egyenessel. Az egyenesen csak jobbra és balra tudunk mozogni, egy síkban viszont már két lényegesen különböző irány létezik, jobbra-balra és előre-hátra. Ennél is nagyobb a dimenziója a térnek, amiben a pontok, az egyenesek és a síkok helyezkednek el. A térben három lényegesen különböző irány van, ezért a tér három dimenziós. Létezik benne jobbra-balra, előre-hára és fel-le.
Szakasz
Egy egyenesnek a két pont közötti részét szakasznak nevezzük.
A szakasz az egyenessel ellentétben mindig véges hosszúságú, és a hossza mindig a két pont távolsága.
Félsík
Ha egy síkot egy egyenessel kettévágunk, akkor két félsík keletkezik.
Féltér
Ha a teret egy síkkal két részre vágjuk, akkor két féltér keletkezik.
Szögek
A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Ezek a tartományok és a két félegyenes szöget alkotnak. Azt, hogy a két szögtartomány közül melyikről van szó, a szárak közé rajzolt körívvel jelezzük. A szög csúcsa a két félegyenes közös végpontja, a szög szárai pedig maguk a félegyenesek. A félegyenesek közötti részt szögtartománynak nevezzük. A két félegyenes mindig két ilyen tartományt határoz meg, és egy körívvel jelöljük, hogy épp melyik szögtartományról van szó.
A szögeket a görög abc betűivel jelöljük: $\alpha, \beta, \gamma, \dots $
A szögeket nagyságuk szerint szokás csoportosítani. A szögek mérésére a fokot szokás használni, egy teljes kör éppen 360 fok, a derékszög pedig a 90 fok. Amikor a két szögszár éppen egybeesik, akkor az általuk meghatározott szög a nullszög és a teljes szög, az egyik 0 fokos, a másik 360 fokos. Amikor a két félegyenes 0 és 90 fok közötti szöget zár be, azt úgy hívjuk, hogy hegyes-szög. Amikor épp 90 fokos szögben állnak, azt derékszögnek nevezzük. A 90 foknál nagyobb és 180 foknál kisebb szögek a tompaszögek. A 180 fokos szöget egyenes-szögnek nevezzük, míg a 180 fok és 360 fok közötti szögeket homorúszögnek hívjuk.
Hegyesszög
Ha egy szög $0°$ és $90°$ közé esik, akkor hegyesszögnek nevezzük.
Az $\alpha $ szög hegyesszög, ha $ 0°< \alpha < 90° $.
Derékszög
Ha egy szög pontsoan $90°$-os, akkor derékszögnek is nevezzük.
Az $\alpha$ szög derékszög, ha $ \alpha = 90° $.
Tompaszög
Ha egy szög $90°$ és $180°$ közé esik, akkor tompaszögnek nevezzük.
Az $\alpha $ szög tompaszög, ha $ 90°< \alpha < 180° $.
Egyenesszög
Ha egy szög pontosan $180°$-os, akkor egyenesszögnek is nevezzük.
Az $\alpha $ szög egyenesszög, ha $ \alpha = 180° $.
Homorúszög
Ha egy szög $180°$ és $360°$ közé esik, akkor homorúszögnek nevezzük.
Az $\alpha $ szög homorúszög, ha $ 180°< \alpha < 360° $.
Két pont távolsága
Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.
Ha tehát le kell mérni két pont távolságát, csak rá kell helyezni a vonalzónkat a két pontra, és már látjuk is a két pont távolságát.
Pont és egyenes távolsága
Pont és egyenes távolságának leméréséhez először a pontból merőlegest kell állítanunk az egyenesre.
A távolság pedig ennek a szakasznak a hossza.
Pont és sík távolsága
Pont és sík távolságának leméréséhez először a pontból merőlegest kell állítanunk a síkra.
A pont és sík távolsága pedig ennek a szakasznak a hossza.
Két egyenes távolsága
Ha a két egyenes metszi egymást, akkor a távolságuknak nincs sok értelme vagy 0.
Ha a két egyenes egymással párhuzamos, akkor a távolságukat úgy kapjuk meg, hogy az egyik egyenes tetszőleges pontjából merőlegest bocsátunk a másik egyenesre.
És a két egyenes távolsága ennek a merőleges szakasznak a hossza.
Ha az egyenesek különböző síkokban futnak, úgy hívjuk őket, hogy kitérő egyenesek.
A kitérő egynesek nem párhuzamosak, de nem is metszik egymást.
A kitérő egyenesek mindig két párhuzamos síkban futnak, így a távolságuk a két sík távolsága.
Kitérő egyenesek
Ha az egyenesek különböző síkokban futnak, úgy hívjuk őket, hogy kitérő egyenesek.
A kitérő egynesek nem párhuzamosak, de nem is metszik egymást.
Kitérő egyenesek láthatunk például autópályáknál, ahol az egyik út keresztezi a másikat egy hídon át.
Két sík távolsága
Ha a két sík metszi egymást, olyankor egy egyenesben metszik egymást és a távolságuknak nincs sok értelme vagy 0.
Ha a két sík párhuzamos, akkor a két sík távolságát úgy kapjuk meg, hogy veszünk az egyik síkon egy tetszőleges pontot, a pontbl merőlegest állítunk a síkra, és a távolságuk ennek a szakasznak a hossza.
Nevezetes ponthalmazok
Két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza a két pontot összekötő szakasznak a szakaszfelező merőleges egyenese.
Három ponttól azonos távolságra lévő pont a három pon köré írható kör középpontja.
Két metsző egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza a két egyenes szögének szögfelezője.
Egyállású szögek
Ha két szögben a szögszárak egymással párhuzamosak és egyforma irányúak is, akkor ezeket a szögeket egyállású szögeknek nevezzük.
Az egyállású szögek egyenlők.
Váltószögek
Ha két szögben a szögszárak egymással párhuzamosak, de irányuk ellentétes, akkor ezeket a szögeket váltószögeknek nevezzük.
A váltószögek egyenlők.
Csúcsszögek
Ha két váltószöget a csúcsuknál összeillesztünk, akkor ezeket a szögeket csúcsszögeknek nevezzük.
A csúcsszögek egyenlők.
Ha két egyenes metszi egymást, akkor mindig két-két csúcsszög pár keletkezik.
Kiegészítő szögek
Ha két szög szárai párhuzamosak és az egyik száruk közös, akkor ezeket a szögeket kiegészítő szögnek nevezzük.
A kiegészítő szögek nem egyenlők (kivéve ha 90°-90°-osak), de ha összeadjuk őket, mindig 180 fokot kapunk.
Pótszögek
Ha két szög 90 fokra egészíti ki egymást, akkor pótszögeknek hívjuk őket.
És most néhány őrülten izgalmas dolgot csinálunk ennek az órának a segítségével.
Délben kezdjük.
Ilyenkor a mutatók éppen nulla fokos szöget zárnak be egymással.
Ezt úgy hívják, hogy nullszög.
Aztán menjünk tovább…
Megjelenik itt egy szög…
A mutatókat szögszáraknak nevezzük…
SZÖGSZÁR
Ezt a belső részt pedig szögtartománynak.
A szögeket a görög ABC betűivel szokás jelölni.
Íme a kollekció:
Húha, ez rosszabb, mint a római számok…
Szerencsére nekünk most csak a legkönnyebben leírható görög betűk kellenek.
Az alfa, ami az A-nak felel meg…
A béta, ami a B-nek…
És a gamma, ami a C-nek.
Ja nem, a gamma az a G. Ki érti ezt…
A lényeg, hogy a többit egyelőre el is felejthetjük…
Most pedig elég nekünk az alfa is.
3 óráig vannak a hegyes-szögek…
Aztán a 90 fokot úgy hívjuk, hogy derékszög.
A derékszöget így szokták jelölni.
Vagy lehet így is.
Aztán jönnek a tompaszögek…
Egészen hatig.
És ezt úgy hívjuk, hogy egyenes-szög.
Az egyenes-szög 180 fokos.
És itt jönnek a homorú-szögek.
Vagy más néven konkáv-szögek.
NULLSZÖG
HEGYES-SZÖG
DERÉKSZÖG
TOMPASZÖG
EGYENES-SZÖG
HOMORÚSZÖG
És amikor teljesen körbeértünk…
Az a teljes szög.
Hát, ez eddig nem hangzik túl izgalmasnak…
Készítsünk ebből egy listát.
Itt van ez az alakzat.
Derítsük ki, hogy milyen típusúak ezek a szögei.
Ez halálosan izgalmas…
Nézzünk meg még egyet…
Derítsük ki ezekről a szögekről is, hogy milyenek.
És most folytassuk valamivel, ami talán egy kicsit izgalmasabb…
Ez itt a háromdimenziós tér.
Belefér az egész naprendszer…
A térben három lényegesen különböző irány van.
Ezért hívják háromdimenziósnak.
Hogyha a naprendszer dimenziója három helyett kettő volna…
Akkor ilyen lenne.
Egy kicsit lapos…
Ezt úgy hívjuk, hogy sík.
A síkban csak két lényegesen különböző irány van, ezért a sík dimenziója kettő.
Ami bőven elég arra, hogy tudjunk rajzolni háromszögeket, vagy éppen négyszögeket.
És mindenféle síkidomot.
Ha a dimenziót megint csökkentjük eggyel…
Azt úgy hívjuk, hogy egyenes.
Az egyenesek egydimenziósak.
És aminek még az egyenesnél is kevesebb a dimenziója…
Azok a pontok.
A pontok nulladimenziósak.
És ezek a geometria legapróbb építőkockái.
A pontokat az ABC nagy betűivel jelöljük.
Az egyeneseket pedig az ABC kis betűivel.
Itt az e egyenes és rajta a P pont.
Ez a pont két részre osztja az egyenest.
Ezeket a részeket félegyenesnek nevezzük.
Ha veszünk egy másik pontot is…
A két pont közötti részt szakasznak nevezzük.
Ez itt a PQ szakasz.
És most ugorjunk egy dimenzióval följebb…
Ez itt egy sík.
És ez pedig egy egyenes a síkban.
A síkot az egyenes két félsíkra vágja…
Hogyha veszünk a síkban egy másik egyenest is…
Akkor ezek lehetnek egymással párhuzamosak…
Vagy az is lehet, hogy metszik egymást.
És, ha a másik egyenes egy másik síkban van…
Akkor azt mondjuk, hogy ezek kitérő egyenesek.
A kitérő egyenesek nem párhuzamosak, de nem is metszik egymást.
Egyszerűen elmennek egymás mellett…
És most nézzük, mit tudnak a síkok…
Itt van ez a két sík.
Lehetnek metszők…
Ilyenkor egy egyenesben metszik egymást…
És lehetnek párhuzamosak.
Ilyenkor nem metszik egymást.
Egy sík a teret mindig két részre vágja.
Ezeket a részeket féltérnek hívjuk.
De az izgalmak csak most jönnek…
A geometria építőkockái a pontok, az egyenesek és a síkok.
A pontokat az ABC nagy betűivel jelöljük…
Az egyeneseket és a síkokat pedig kis betűkkel.
És most nézzük, hogy milyen távol vannak ezek egymástól.
Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.
Egy pont és egy egyenes távolsága már izgalmasabb…
A pontból merőlegest állítunk az egyenesre…
És a távolság ennek a szakasznak a hossza.
Egy pont és egy sík távolsága pedig…
Ilyenkor a síkra állítunk merőlegest a pontból.
A pont és a sík távolsága ennek a szakasznak a hossza.
A pontokkal végeztünk.
Jöhetnek az egyenesek.
Nézzük, mekkora ezeknek az egyeneseknek a távolsága.
Hogyha az egyenesek metszik egymást, akkor nem értelmezzük a távolságukat.
Ha az egyenesek egymással párhuzamosak…
Amikor az egyenesek egymással párhuzamosak...
A távolságukat úgy kapjuk meg, hogy ez egyik egyenes tetszőleges pontjából merőlegest bocsátunk a másik egyenesre.
És a két egyenes távolsága ennek a merőleges szakasznak a hossza.
Végül van egy harmadik lehetőség is.
Olyankor, amikor az egyenesek különböző síkokban futnak…
Úgy hívjuk őket, hogy kitérő egyenesek.
És a távolságuk…
A kitérő egyenesek mindig két egymással párhuzamos síkban futnak.
Az egyenesek távolsága pedig éppen ennek a két síknak a távolsága.
És, hogy mit is jelent két sík távolsága…
Hogyha a síkok metszik egymást, akkor nem értelmezzük a távolságukat.
Ha pedig párhuzamosak, akkor a két sík távolságát úgy kapjuk, hogy veszünk az egyik síkon egy tetszőleges pontot…
A pontból merőlegest állítunk a síkra…
És a távolság ennek a szakasznak a hossza.
Van itt ez a két pont…
És próbáljuk meg kideríteni, hogy hol helyezkednek el a síkban azok a pontok, amelyek egyenlő távolságra vannak ettől a két ponttól.
Egy ilyen pont biztosan van…
A két pontot összekötő szakasz felezőpontja.
De van még több is…
A két pont közti szakasz felezőmerőleges egyenese.
Két ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a két pontot összekötő szakasznak a szakaszfelező merőleges egyenese.
Most nézzük mi a helyzet, ha felbukkan egy harmadik pont…
A B-től és C-től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza ez.
A BC szakasz szakaszfelező merőlegese.
És az a pont ahol a két szakaszfelező merőleges metszi egymást…
Ez a pont egyenlő távolságra van mindhárom ponttól.
Így aztán rajta van az AC szakasz szakaszfelező merőlegesén is.
Három ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a három pontot összekötő szakaszok felezőmerőlegeseinek a közös metszéspontja.
Egyedül az okozhat kisebb problémát…
Amikor a három pont egy egyenesre esik.
Ilyenkor ugyanis a szakaszfelezők nem metszik egymást.
Vagyis nincsen olyan pont, ami a három ponttól egyenlő távolságra lenne.
Két egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az egyenesek által bezárt szögek szögfelezői.
Ezek itt az egyenesek…
Ez az egyenesek által bezárt szög…
És ez a szögfelező.
Na persze van itt egy másik szög is…
És ennek is van egy szögfelezője.
Olyankor pedig, amikor az egyenesek párhuzamosak…
A két egyenes között félúton futó egyenes van egyenlő távolságra mindkét egyenestől.
És három egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza…
Menjünk szépen sorban…
Ez a szögfelező egyenlő távol fut ettől a két egyenestől.
Meg ez is.
Aztán ezek a szögfelezők egyenlő távol futnak a másik két egyenestől…
Végül itt jönnek még ezek is.
Mindhárom egyenestől egyenlő távolságra van ez a vont…
És még három másik…
És olyankor, amikor a három egyenes párhuzamos, nincs ilyen pont.
