A Pitagorasz-tétel
Pitagorasz-tétel
A derékszögű háromszögben a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével, vagyis ha az átfogót $c$-vel jelöltük:
\( a^2 + b^2 = c^2 \)
Pitagorasz-tétel megfordítása
Ha egy háromszög oldalaira teljesül, hogy
$a^2 + b^2 = c^2$
Akkor a háromszög derékszögű.
Pitagoraszi számhármasok
A Pitagoraszi számhármasok olyan számok, amelyekre teljesül a Pitagorasz-tétel.
Pl.: $3$, $4$ és $5$ együtt Pitagoraszi számhármasok, ugyanis $3^2+4^2=5^2$ igaz.
a) Egy derékszögű háromszögben a két befogó: $a=6 \; cm$, $b=8 \; cm$. Mekkora az átfogó?
b) Egy derékszögű háromszög befogói $p$ és $q$, az átfogója pedig $r$. Tudjuk, hogy $p=9 \; cm$ és $r=15 \; cm$. Mekkora a $q$ oldal?
c) Egy derékszögű háromszög befogói $w$ és $t$, az átfogója pedig $f$. Tudjuk, hogy $t=24 \; cm$ és $f=41\; cm$. Mekkora a $w$ oldal?
a) Számoljuk ki a derékszögű háromszögek hiányzó oldalait.
i)
ii)
iii)
b) A következő három szám lehet-e egy derékszögű háromszög három oldalának hossza?
i) $28, 44, 53$
ii) $30, 50, 40$
iii) $5, 9, \sqrt{106}$
a) Az egyiptomi piramisok közül a Nagy-piramis 147 méter magas, és az alapja egy 232 méter oldalhosszúságú négyzet. Amikor a piramis alapját kezdték építeni, kijelölték a négyzet középpontját, ami fölött majd a piramis csúcsa fog elhelyezkedni. Milyen távol van ez a pont a piramis négy sarkától? Milyen hosszú a piramis egyik oldaléle?
b) Egy téglalapnak az egyik oldala 4 centiméter, az egyik átlója pedig 6 centiméter. Mekkora a téglalap területe?
c) Egy négyzet átlója 5 cm. Mekkora az oldala?
d) Számítsuk ki ennek a deltoidnak a területét.
a) Egy egyenlőszárú háromszögben a szárak $13\; cm$ hosszúak, az alap pedig $10\; cm$. Mekkora a háromszög területe?
b) Egy egyenlőszárú háromszög terülte $120 \; cm^2$, az alapja pedig $30 \; cm$. Mekkorák a szárai?
c) Egy szabályos háromszög oldalai $16 \; cm$ hosszúak. Mekkora a háromszög területe?
d) Mekkora az $a$ oldalú szabályos háromszög területe?
e) Mekkora az $a$ oldalú négyzet átlója?
a) Egy szimmetrikus trapéz szárai 13 cm hosszúak, a kisebbik alapja 6 cm a nagyobbik pedig 16 cm. Mekkora a trapéz területe?
b) Itt jön egy másik trapéz, aminek a szárai 13 és 15 cm hosszúak, a rövidebbik alap 10 cm, a trapéz magassága pedig 12 cm. Mekkora a trapéz területe?
c) És van ez a harmadik trapéz, aminek a területe 108 $cm^2$, az alapjai 24 cm és 3 cm, az egyik szára pedig 10 cm. Mekkora a másik szár?
Ha van olyan matematikai tétel, amit a világon szinte minden ember ismer, akkor az a Pitagorasz-tétel.
Ismertsége talán annak is köszönhető, hogy nem túl bonyolult dolgot állít:
Vagyis egy derékszögű háromszögben a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.
A Pitagorasz-tétel bizonyítása nagyon egyszerű.
A tétel megfordítása is igaz…
Ja, mondjuk nem ez a megfordítás…
A megfordítás azt jelenti, hogyha egy háromszög oldalaira teljesül, hogy
akkor a háromszög derékszögű.
Derékszögű háromszögben a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.
A Pitagorasz-tételt és a megfordítását az emberiség évezredek óta használja derékszög szerkesztésére.
Egy piramis alapjának az építésénél például elég fontos volt eltalálni a 90 fokot.
Ha csak 1 fokot tévednek, már akkor is olyan ferde lesz a piramis, hogy nem lehet rendesen megépíteni.
Egy nagyon ravasz módszert használtak a derékszög szerkesztésére.
12 darab csomót kötöttek egymástól egyforma távolságra egy kötélre.
Aztán a kötelet háromszög alakban kifeszítették.
Mégpedig így, hogy az oldalak hossza 3 csomó, 4 csomó és 5 csomó legyen.
Ez ugyanis éppen egy pitagoraszi számhármas.
Ami garantálja, hogy itt hajszálpontosan derékszög van.
ennek köszönhetően itt garantáltan derékszög van.
A pitagoraszi számhármasokat már több ezer évvel ezelőtt ismerték, és Több ezer évvel ezelőtt
Pitagoraszi számhármas.
A pitagoraszi számhármasokat a Föld szinte minden jelentősebb civilizációja ismerte, sőt azt is tudták, hogy ez a derékszög szerkesztés egyik legbiztosabb módszere.
A legrégebbi agyagtábla, amin a pitagoraszi számhármasok felbukkannak 3800 éves.
Püthagorasz, akiről a tételt elnevezték úgy durván 2500 éve élt, vagyis biztosan nem ő találta ki, csak neki volt a legjobb a marketingje.
á négyzet meg bé négyzet egyenlő cé négyzet
tezgyén éc őlnegye tezgyén éb gem tezgyén á
A leghíresebb pitagoraszi számhármas a 3,4 és 5, de szintén használták az 5, 12 és 13 számhármast is.
És van még néhány…
Püthagorasz, akiről a tételt elnevezték úgy durván 2500 éve élt, így a tételt nem ő találta ki, csak neki volt a legjobb a marketingje.
A Pitagorasz-tétel használata nagyon egyszerű…
Itt van például ez csinos derékszögű háromszög, amiben ismerjük a két befogót, és a kérdés, hogy mekkora az átfogó.
Már jön is a Pitagorasz-tétel…
És kész is van.
A Pitagorasz-tétel feladatról feladatra megoldja az élet problémáit…
Legalábbis azokat, amik derékszögű háromszögekkel kapcsolatosak.
Itt is jön egy újabb...
Egy derékszögű háromszög befogói p és q, az átfogója pedig r. Tudjuk, hogy p=9 és r=15. Mekkora a q oldal?
Hát igen, ez a p, q és r egy ócska kis trükk, hogy megzavarják az életünket…
Gyakran előfordul, hogy egy feladatban direkt nem a-val, b-vel és c-vel jelölik az oldalakat, hátha így könnyebben elszámoljuk…
A szokásos Pitagorasz-tétel most átalakul:
Ezen nem kell fennakadni, simán jelölhetjük az oldalakat akár így is…
És akkor a jó öreg Pitagorasz-tétel:
De most maradjunk inkább a p, q és r-nél…
Ez is megvan.
De vigyázni kell ezekkel a Pitagorasz-tételes feladatokkal.
Nagyobb mennyiségben ugyanis már ártalmasak lehetnek.
Talán egy még nem árthat meg…
Ebben a derékszögű háromszögben a befogók x és y, az átfogója pedig z. Tudjuk, hogy y = 9 és z = 15. Mekkora az x oldal?
Hopp, erre valami nagyon ronda szám jött ki…
Biztos elszámoltuk…
Az ilyen gyanús végeredményeket érdemes újra csekkolni.
De, ha megint ez jön ki, akkor nincs mit tenni.
Ez a megoldás.
Vagyis simán lehetnek pitagoraszos feladatok csúnya számokkal is.
Az egyiptomi piramisok közül a Nagy-piramis 147 méter magas, és az alapja egy 232 méter oldalhosszúságú négyzet.
Amikor a piramis alapját kezdték építeni, kijelölték a négyzet középpontját, ami fölött majd a piramis csúcsa fog elhelyezkedni.
Milyen távol van ez a pont a piramis négy sarkától?
Rajzoljuk le külön ezt a négyzetet…
És ezt a távolságot keressük.
A négyzet átlói merőlegesek egymásra…
Vagyis ez egy derékszögű háromszög.
És a másik befogója is x.
Jöhet a Pitagorasz…
Számoljuk ki azt is, hogy milyen hosszú a piramis egyik oldaléle.
Már megint egy derékszögű háromszög…
Az egyik befogója 164 méter hosszú…
A másik befogó pedig a piramis magassága.
Jöhet megint a Pitagorasz-tétel…
A piramis oldaléle 220,24 méter hosszú.
A Pitagorasz-tétellel lazán ki tudunk számolni néhány dolgot egyenlő szárú háromszögekben is.
Egy szimmetrikus trapéz szárai 13 cm hosszúak, a kisebbik alapja 6 cm a nagyobbik pedig 16 cm. Mekkora a trapéz területe?
Mivel a trapéz szimmetrikus…
ez a szakasz itt…
ugyanolyan hosszú, mint ez a másik.
Itt jön aztán egy kis Pitagorasz-tétel.
A trapéz területe pedig:
Itt jön egy másik trapéz, aminek a szárai 13 és 15 cm hosszúak, a rövidebbik alap 10 cm trapéz magassága pedig 12cm.
Mekkora a trapéz területe?
Az ilyen feladatoknál az első lépés mindig az, hogy ne essünk pánikba.
Hogyha ezzel megvagyunk, akkor innen már könnyű.
A magasságot mindig úgy érdemes berajzolni, hogy derékszögű háromszögek keletkezzenek.
Most pedig jön két Pitagorasz-tétel.
És a trapéz területe:
És van ez a harmadik trapéz, aminek a területe 108 cm2, az alapjai 24 cm és 3 cm, az egyik szára pedig 10 cm. Mekkora a másik szár?
A trapéz területe:
A trapéz egyik szára 10 cm, ami éppen ennek a derékszögű háromszögnek az átfogója.
És a trapéz másik szára is egy derékszögű háromszög átfogója…
Hát, ez is megvan.
és 24 cmszimmetrikus trapéz szárai 13 cm hosszúak, a kisebbik alapja 6 cm a nagyobbik pedig 16 cm. Mekkora a trapéz területe?
A Pitagorasz-tétellel lazán ki tudunk számolni néhány dolgot egyenlő szárú háromszögekben is.
Ebben az egyenlő szárú háromszögben a szárak 13 cm hosszúak, az alap pedig 10 cm. Mekkora a háromszög területe?
A jó öreg területképlet szerint ekkora.
Az a oldalról tudjuk, hogy 10 cm…
De kellene még a háromszög magassága is.
És itt kerül képbe a Pitagorasz-tétel.
Az alaphoz tartozó magasság az alapot felezi…
Ez meg is van.
Nézzünk meg még egyet…
Egy egyenlő szárú háromszög Területe 120 cm2, az alapja pedig 30 cm. Mekkorák a szárai?
Lássuk, mit kezdhetnénk a területtel…
És most jöhet a Pitagorasz-tétel…
Kész is, megvannak a szárak.
Hát, ez nem túl szép…
Nézzük, mekkora lesz a terület…
Végül itt jön egy szabályos háromszög, aminek az oldalai 16 cm hosszúak. Mekkora a háromszög területe?
Ezt akár általánosan is kiszámolhatjuk…
Nézzük meg, hogy mekkora lesz az a oldalú szabályos háromszög területe.
Mindent ugyanúgy csinálunk, mint az előbb…
