Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Matematika 1 Analízis 1

Kategóriák
  • Halmazok, egyenletek, azonosságok
  • Trigonometria, komplex számok, polinomok
  • Vektorok, mátrixok, determináns
  • Függvények, függvények ábrázolása
  • Összetett függvény, inverz függvény
  • Sorozatok határértéke, sorok
  • Függvények határértéke és folytonossága
  • Deriválás
  • Differenciálhatóság, az érintő egyenlete
  • L'Hospital szabály
  • Teljes függvényvizsgálat
  • Határozatlan integrálás
  • Határozott integrálás és alkalmazásai
  • Racionális törtfüggvények integrálása

Differenciálhatóság, az érintő egyenlete

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
  • Tesztek
01
 
Deriválás feladatok alapszint
01
 
Függvények differenciálhatósága
02
 
Alapderiváltak, deriválási szabályok
02
 
Differenciálhatóság vizsgálata teszt
03
 
Differenciálhatóság és folytonosság, kétoldali derivált
04
 
Differenciálhatóság vizsgálata | paraméteres feladatok
05
 
Az érintő egyenlete
06
 
FELADAT | Differenciálhatóság vizsgálata
07
 
FELADAT | Differenciálhatóság vizsgálata
08
 
FELADAT | Érintő egyenlete
09
 
FELADAT | Érintő egyenlete
10
 
FELADAT | Érintő egyenlete
11
 
FELADAT | Érintő egyenlete

Differenciahányados

Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados:

\( \frac{ f(x) - f(x_0) }{ x -x_0} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Differenciálhányados

Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados:

\( m= \lim_{x \to x_0}{ \frac{ f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \)

Ezt nevezzük a függvény $x_0$ pontban vett deriváltjának is.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Deriválási szabályok

$f$ és $g$ deriválható függvények, és $c$ valós szám esetén a deriválási szabályok:

\( (cf)' = cf' \quad \left( \frac{f}{c} \right)' = \frac{f'}{c} \)

\( (f+g)' = f' + g' \)

\( (fg)' = f'g + fg' \)

\( \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{ f'g - fg'}{g^2} \)

\( \left( \frac{c}{f} \right)' = \frac{-cf'}{f^2} \)

\( \left( f \left( g(x) \right) \right)' = f' \left( g(x) \right) g'(x) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Differenciahányados

Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados:

\( \frac{ f(x) - f(x_0) }{ x -x_0} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Differenciálhányados

Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados:

\( m= \lim_{x \to x_0}{ \frac{ f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \)

Ezt nevezzük a függvény $x_0$ pontban vett deriváltjának is.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Nevezetes függvények deriváltjai

\( (c)'=0 \quad \left( x^n \right)' = n x^{n-1} \quad \left( e^x \right)' = e^x \quad \left( a^x \right)' = a^x \ln{a} \)

\( ( \ln{x} )' = \frac{1}{x} \quad ( \log_a{x} )' = \frac{1}{x} \frac{1}{\ln{a}} \quad ( \sin{x} )' = \cos{x} \quad ( \cos{x} )' = - \sin{x} \)

\( ( \tan{x} )' = \frac{1}{\cos^2{x} } \quad ( \arcsin{x} )' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad ( \arccos{x} )' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (\arctan{x})' = \frac{1}{1+x^2} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Az érintő egyenlete

A derivált geometriai jelentése a függvény grafikonjához húzott érintő meredeksége.

Az érintő egyenlete:

\( f(x) = f'(x_0) (x-x_0) + f(x_0) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Oldjuk meg az alábbi feladatokat:

a) Mi lesz az \( f(x)=x^2+5x-7 \) függvények a deriváltja az \( x_0=2 \)-ben?

b) Mi lesz az \( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \) függvények a deriváltja az \( x_0=1 \)-ben?

c) Mi lesz az \( f(x)=-4x^2+5x \) függvények a deriváltja az \( x_0=-3 \)-ban?

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Deriváljuk az alábbi függvényeket.

a) \( \left( 5\cdot x^3 \right)' = \; ? \)

b) \( \left( \frac{x^5}{7} \right)' = \; ? \)

c) \( \left( x^2+\ln{x} \right)' = \; ? \)

d) \( \left( x^3 \cdot \ln{x} \right)' = \; ? \)

e) \( \left( \frac{x^2}{\ln{x}} \right)' = \; ? \)

f) \( \left( \frac{5}{x^3+2} \right)' = \; ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Oldjuk meg az alábbi feladatokat:

a) Deriválható-e az alábbi függvény az \( x_0 = 2 \) pontban?

\( f(x)= \begin{cases} 9-x^2, &\text{ha } x<2 \\ 3x-1, &\text{ha } x \geq 2 \end{cases} \)

b) Deriválható-e az alábbi függvény az \( x_0 = -3 \) pontban?

\( f(x)= \begin{cases} x^4-4x^2, &\text{ha } x<-3 \\ \sqrt{x^2+16}, &\text{ha } x \geq -3 \end{cases} \)

c) Deriválható-e az alábbi függvény az \( x_0 = 2 \) pontban?

\( f(x)= \begin{cases} 4x^2-7e^{x-2}-9, &\text{ha } x<2 \\ \ln{ \left( x^3-3x-1 \right)}, &\text{ha } x \geq 2 \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Oldjuk meg az alábbi feladatokat:

a) Milyen \( A \) paraméter esetén deriválható az alábbi függvény az \( x_0 = 1 \) pontban?

\( f(x)= \begin{cases} \sqrt[4]{\ln{x}+6x+10}, &\text{ha } x>1 \\ \frac{A}{x^2+4}, &\text{ha } x \geq 1 \end{cases} \)

b) Megadható-e az \( A \) és \( B \) paraméter úgy, hogy ez a függvény deriválható legyen az \( x_0 = -2 \) pontban?

\( f(x)= \begin{cases} Ax^4+4x, &\text{ha } x \leq -2 \\ x^3+Bx^2, &\text{ha } x > -2 \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Oldjuk meg az alábbi feladatokat:

a) Keressük annak az érintőnek az egyenletét, ami az \( f(x)=2x^3+1 \) függvényt az \( y_0=55 \) pontban érinti.

b) Keressük annak az érintőnek az egyenletét, ami az \( f(x)=x^2-x+4 \) függvényt egy olyan pontban érinti, aminek \( x \) koordinátája negatív, \( y \) koordinátája 24.

c) Keressük annak az érintőnek az egyenletét, amely érinti az \( f(x)=x^4+5x+12 \) függvényt és párhuzamos az \( y=-27x+1 \) egyenessel.

d) Keressük annak az érintőnek az egyenletét, ami az \( f(x)=2e^{x-4}+5 \) függvényt az \( y_0=7 \) pontban érinti.

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Oldjuk meg az alábbi feladatokat:

a) Deriválható-e ez a függvény az \( x_0 = 3 \) és \( x_1 = 6 \) pontokban?

\( f(x)=\left| x^2-6x \right| \)

b) Deriválható-e ez a függvény az \( x_0 = 0 \) és \( x_1 = 6 \) pontokban?

\( f(x)=x \cdot \left| x^2-6x \right| \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Oldjuk meg az alábbi feladatokat:

a) Deriválható-e ez a függvény az \( x_0 = 0 \) pontban?

\( f(x)=\left| x \right| \cdot \sin{x} \)

b) Milyen \( A \) paraméter esetén deriválható ez a függvény az \( x_0=0 \) pontban?

\( f(x)= \begin{cases} e^{Ax^2-x}, &\text{ha } x<0 \\ \cos{(x^2+x)}, &\text{ha } x \geq 0 \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Mely pontban, vagy pontokban párhuzamos egymással az $f(x)=(x-3)^2+7$ és a $g(x)=3\ln{x}$ függvények érintője?

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Adjuk meg az $f(x)=(x+2)e^x$ függvény esetén az alábbiakat:

a) paritását

b) érintő egyenes egyenletét $x_0=-3$ helyen.

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Van itt ez a függvény: $f(x)=2x \cdot \ln{x} $

És keressük az érintő egyenletét az $x_0 = \sqrt{e}$ pontban.

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Van itt ez a függvény: $f(x)=(x-2)e^{2x-4}$

És adjuk meg az érintő egyenletét a függvény zérushelyén.

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Függvények differenciálhatósága

Differenciálhatóság és folytonosság, kétoldali derivált

Differenciálhatóság vizsgálata | paraméteres feladatok

Az érintő egyenlete

Alapderiváltak, deriválási szabályok

Van itt egy függvény.

Ha néhány pontjában érintőt húzunk a függvényhez,

akkor az látszik, hogy ahol az érintő fölfelé megy, ott a függvény növekszik,

ahol az érintő lefelé megy, ott a függvény csökken.

Ott pedig, ahol az érintő vízszintesen megy, a függvénynek minimuma van,

de tulajdonképpen lehet maximuma is.

Mi az a deriválás, Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.

Az érintő tehát valahogy együtt mozog a függvénnyel, így ha ki tudjuk számolni a függvény érintőinek a meredekségét, akkor meg tudjuk mondani, hogy mit csinál

maga a függvény.

Számoljuk ki mondjuk ennek az érintőnek a meredekségét.

A meredekség azt jelenti, hogy ha egyet lépünk előre, akkor mennyit lépünk fölfelé.

A meredekség kiszámolásához segítségül hívunk egy másik pontot.

Először annak az egyenesnek számoljuk ki a meredekségét,

ami ezen a két ponton megy át.

Lássuk mekkora ennek az egyenesnek a meredeksége!

amennyit fölfele megy

amennyit előre megy

Ezt a meredekséget differencia hányadosnak nevezzük.

A szelő meredeksége a

differenciahányados:

Ez igazán remek, de eredetileg az érintő meredekségének kiszámolása volt a cél.

Nos úgy lesz ebből érintő, hogy -et elkezdjük közelíteni  felé, és így a szelők egyre jobban közelítenek az érintőhöz.

Az érintő meredeksége tehát a szelők meredekségének a határértéke.

Ezt differenciál hányadosnak nevezzük, ez a derivált.

Az érintő meredeksége

a differenciál hányados:

az  pontban a derivált

Egy függvény deriváltja tehát azt mondja meg, hogy milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához.

Az  függvény deriváltjának jelölésére az  van forgalomban.

Lássuk melyik függvénynek mi a deriváltja!

A konstans függvények deriváltja nulla.

Például egy konstans függvény és

A hatványfüggvények deriváltja

például  deriváltja

Ha úgy adódik, hogy ilyen gyökös izéket kell deriválni, azt ugyanígy kell:

 és a derivált

Az egy biztos pont az életünkben, ugyanis deriváltja önmaga:  

Az  deriváltja kicsit rondább:

Itt van például ez, hogy  

nos ennek a deriváltja nem  mert itt x a kitevőben van.

és ez a bizonyos  egy konkrét szám, nevezetesen e alapú logaritmus 5, de aggodalomra semmi ok, a számológéppel ki tudjuk számolni:

Ez igazán remek, de maradjunk inkább annál, hogy .

Aztán itt van az emlegetett deriváltja:

Az egyéb logaritmusok deriváltja pedig

például   10-es alapú logaritmus, így hát a=10 és a derivált:

Aztán itt jönnek a trigonometrikus függvények.

A szinusz deriváltja koszinusz, a koszinusz deriváltja mínusz szinusz.

A tangens deriváltja

na az már jóval barátságtalanabb, a többiről nem is beszélve.

Most pedig jöjjenek a deriválási szabályok!

És itt jön a legviccesebb, az összetett függvény deriválási szabálya.

Van itt egy függvény, ez még nem összetett.

Akkor válik összetett függvénnyé, ha x helyett mondjuk az van, hogy

Na ez már összetett függvény, és a szabály szerint úgy kell deriválni, hogy először deriváljuk a külső függvényt, ami az, hogy

aztán megszorozzuk a belső függvény deriváltjával.

Vagy itt van egy másik.

Ez nem összetett függvén, hanem egy ártatlan kis összeg.

De ha ez az egész a negyediken van,

na akkor már összetett függvény.

A külső függvény itt az, hogy

aminek a deriváltja, ahogyan lenni szokott

aztán itt is szorozni kell még a belső függvény deriváltjával.

És itt van például ez.

A külső függvény deriváltja

Most pedig elérkezett az idő, hogy szerencsét próbáljunk

a deriválás feladatokkal.


FELADAT | Differenciálhatóság vizsgálata

FELADAT | Differenciálhatóság vizsgálata

FELADAT | Érintő egyenlete

FELADAT | Érintő egyenlete

FELADAT | Érintő egyenlete

FELADAT | Érintő egyenlete

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim